以三角形为背景的几何类比探究压轴问题-2023年中考数学压轴题专项训练(学生版)

以三角形为背景的几何类比探究压轴问题

1.考向分析

1(2023•济阳区一模)如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是边AB的中点，连接CD，CD=6，以点D为顶点作△DEF，使∠EDF=90°，DE=DF=10．

(1)连接BF，CE．线段BF和线段CE的数量关系为，直线BF和直线CE的位置关系为；

(2)如图2，当EC∥AB时，设AC与DE交于点G，求DG的长度；

(3)当E，C，B在同一条直线上时，请直接写出EC的长度．

2(2023•龙港区模拟)Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在直线BC上运动，连接AD，将线段AD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，连接AE，CE．

(1)当点D与点B重合时，如图1，请直接写出线段EC和线段AC的数量关系；

(2)点D在线段BC上(不与点B，C重合)时，请写出线段AC，DC，EC之间的数量关系，并说明理由；

(3)若AB=42，CD=1，请直接写出△DCE的面积．

3(2023•铁西区模拟)(1)如图1，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，连接AD，BC，探究AD与BC的关系，并证明．

(2)如图2，△ABC是等腰直角三角形，点D在AC的延长线上，连接BD，将线段BD绕着D逆时针旋转90°得到ED，连接BE，过点E作EF∥AB交AC延长线于点F．求证：AF=2CD．

(3)如图3，△ABC中，若AB=8，AC=33，若将CB绕点C逆时针旋转120°，得到CD，连接AD，直接写出AD的取值范围．

4(2023•怀远县校级模拟)在△ABC和△EDC中，∠ACB=∠ECD=90°，BC=k•AC，CD=k•CE．

(1)如图1，当k=1时，探索AE与BD的关系；

(2)如图2，当k≠1时，请探索AE与BD的关系，并证明；

(3)如图3，在(2)的条件下，分别在BD、AE上取点M、N，使得BD=m•MD，AE=m•NE，试探索CN 与CM的关系，并证明．

2.压轴题速练

1(2023•蚌山区校级二模)在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接

CE．

(1)如图1，若点D在BC边上，AC，BE相交于F点．

①求证：BD=CE；

②若AF=DF，AB=5，BC=6，求BD的长．

(2)如图2，若∠BAC=90°，M为BE的中点，连接AM，求证：AM⊥CD．

2(2023•徐州模拟)如图1，在△ABC中，∠A=90°，∠ACB=30°，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC．连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．连接MP，PN，MN．

(1)观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是：；

(2)探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，证明：(1)中的结论仍然成立；

(3)拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=2，AB=6．求△PMN面积的最大值．

3(2023•重庆模拟)已知△ABC为等边三角形，D是边AB上一点，连接CD，点E为CD上一点，连接BE．

(1)如图1，延长BE交AC于点F，若∠ABF=15°，BF=6，求AF的长；

(2)如图2，将△BEC绕点C顺时针旋转60°到△AGC，延长BC至点H，使得CH=BD，连接AH交CG 于点N，猜想线段CE，GN，DE之间存在的数量关系，并证明你的猜想；

(3)如图3，AB=8，点H是BC上一点，且BD=2CH，连接DH，点K是AC上一点，CK=AD，连接DK，BK，将△BKD沿BK翻折到△BKQ，连接CQ，当△ADK的周长最小时，直接写出△CKQ的面积．

4(2023•大连一模)问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题，如图1，在△ABC中，AB= AC，D是BC延长线上一点，连接AD，∠ADB=60°，点E在线段AD上，且DE=CD，连接CE．求证

∠ACE=∠BAD．独立思考：

(1)请解答王老师提出的问题．实践探究；

(2)在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答：“如图2，连接BE，以B为圆心，BE长为半径画弧，交AE于点F，连接BF，探究线段AF与DE，之间的数量关系，并证明．”问题解决：(3)数学活动小组对上述问题进行特殊化研究之后，提出下面的问题，请你解答：“如图3，在(2)条件下，过E作EK⊥AC于K，若DE=2，BC=3EF，求EK的长．”

5(2023•前郭县一模)如图，已知∠ABC=90°，P是射线BC上一动点，连接AP，D是AP的中点，连接BD，作点B关于AP的对称点B′，连接B′D，B′P．

(1)当B′P∥BD时，判断△B'DP的形状，并说明理由；

(2)当B′P∥AB时，△B'DP的形状是；

(3)当B′D∥AB时，若AB=2，则△B'DP的面积是　3　．

6(2023•海曙区一模)已知E在△ABC内部(如图①)，等边三角形ABC的边长为6，等边三角形BDE的边长为4，连结AE和DC．

(1)求证：AE=DC；

(2)当AE⊥BD时，求CD的长；

(3)将△BDE绕点B旋转一周，F为DC的中点(如图②)，求旋转过程中EF的取值范围．

7(2023•邗江区一模)翻开数学发展史，我们就知道数学不仅是抽象、严谨的，还有另外一面．人类从结绳计数开始就在进行着数学实验，并且通过实验不断发展数学．可见，数学实验不仅是数学家研究数学的方式，也是学生学习数学的一种重要方式．在某次数学社团活动中，几位同学利用三角板进行了如下的实数学验，请大家在这一数学实验的基础上思考并回答相关问题：

几位同学把两块完全相同的等腰直角三角板按图1方式摆放，已知△ABC≌△DEF，∠ABC=∠DEF= 45°，BC⊥AC，EF⊥DF，AC=DF=8cm，线段AC在直线MN上，点F在线段AB上，点A与点D重合．

(1)∠CAE=，BF=cm；

(2)将三角板DEF的直角顶点F沿FA方向滑动，同时顶点D沿AN方向在射线AN上滑动，如图2．

①当点F恰好是线段AB中点时，求∠AFD的度数；

②当点F从初始位置滑动到点A处时，请直接写出点E所经过的路径长；

(3)在(2)的条件下，过点D，F分别作AN，AB的垂线，两条垂线相交于点P，连接AP，线段AP的长度是否为定值？如果是，请求出结果；如果不是，请说明理由．