河南省商丘市梁园区市级名校2024届中考数学四模试卷含解析

河南省商丘市梁园区市级名校2024届中考数学四模试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．某大型企业员工总数为28600人，数据“28600”用科学记数法可表示为（）
A．0.286×105B．2.86×105C．28.6×103D．2.86×104
2．若()53
-=-，则括号内的数是()
A．2-B．8-C．2 D．8
3．制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）
A．360元B．720元C．1080元D．2160元
4．已知关于x的一元二次方程mx2＋2x－1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）.
A．m＞－1且m≠0B．m＜1且m≠0C．m＜－1 D．m＞1
5．中国传统扇文化有着深厚的底蕴，下列扇面图形是中心对称图形的是( )
A．B．C．D．
6．如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为( ) A．10 B．9 C．8 D．7
7．如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣3，﹣4），顶点C在x轴的负半轴上，函数y=k
x
（x＜0）
的图象经过菱形OABC中心E点，则k的值为（）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“我”字的一面相对面上的字是（）A．国B．厉C．害D．了
9．反比例函数y＝m
x
的图象如图所示，以下结论：①常数m＜﹣1；②在每个象限内，y随x的增大而增大；③若点
A(﹣1，h)，B(2，k)在图象上，则h＜k；④若点P(x，y)在上，则点P′(﹣x，﹣y)也在图象．其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如果一组数据1、2、x、5、6的众数是6，则这组数据的中位数是（）
A．1 B．2 C．5 D．6
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．计算：21﹣1＝1，22﹣1＝3，23﹣1＝7，24﹣1＝15，25﹣1＝31，归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测22019﹣1的个位数字是_____．
12．若a，b互为相反数，则a2﹣b2=_____．
13．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________.
14．如图，为保护门源百里油菜花海，由“芬芳浴”游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB，AC．若∠B=56°，∠C=45°，则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为_____米．（sin56°≈0.8，tan56°≈1.5）
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（-2，0），B（0，2），⊙O的半径为1，点C为⊙O上一动点，过点B作BP⊥直线AC，垂足为点P，则P点纵坐标的最大值为cm．
16．四张背面完全相同的卡片上分别写有0、·3、9、2、22
7
四个实数，如果将卡片字面朝下随意放在桌子上，
任意取一张，那么抽到有理数的概率为___________．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）某学校计划组织全校1441名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共62辆A，B两种型号客车作为交通工具．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：
型号载客量租金单价
A 30人/辆380元/辆
B 20人/辆280元/辆
注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数设学校租用A型号客车x辆，租车总费用为y元．求y与x的函数解析式，请直接写出x的取值范围；若要使租车总费用不超过21940元，一共有几种租车方案？哪种租车方案总费用最省？最省的总费用是多少？
18．（8分）如图，▱ABCD中，点E，F分别是BC和AD边上的点，AE垂直平分BF，交BF于点P，连接EF，PD．求证：平行四边形ABEF是菱形；若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求tan∠ADP的值．
19．（8分）如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，AD⊥DB，点E为AB的中点，DE∥BC.
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）连接EC，若∠A＝30°，DC3EC的长.
20．（8分）已知：如图，在□ABCD中，点G为对角线AC的中点，过点G的直线EF分别交边AB、CD于点E、F，
过点G的直线MN分别交边AD、BC于点M、N，且∠AGE=∠CGN.
（1）求证：四边形ENFM为平行四边形；
（2）当四边形ENFM为矩形时，求证：BE=BN.
21．（8分）如图已知△ABC，点D是AB上一点，连接CD，请用尺规在边AC上求作点P，使得△PBC的面积与△DBC 的面积相等（保留作图痕迹，不写做法）
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，弧CD⊥AB，垂足为H，P为弧AD上一点，连接PA、PB，PB交CD于E．（1）如图（1）连接PC、CB，求证：∠BCP=∠PED；
（2）如图（2）过点P作⊙O的切线交CD的延长线于点E，过点A向PF引垂线，垂足为G，求证：∠APG=1
2
∠F；
（3）如图（3）在图（2）的条件下，连接PH，若PH=PF，3PF=5PG，BE=25，求⊙O的直径AB．
23．（12分）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下面是水平放置的破裂管道有水部分的截面．若这个输水管道有水部分的水面宽16cm
AB ，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．
24．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、D
【解题分析】
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可
【题目详解】
28600=2.86×1．故选D．
【题目点拨】
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键2、C
【解题分析】
根据有理数的减法，减去一个数等于加上这个数的相反数，可得答案．
【题目详解】
-=-，
解：253
故选：C．
【题目点拨】
本题考查了有理数的减法，减去一个数等于加上这个数的相反数．
3、C
【解题分析】
根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可．【题目详解】
3m×2m=6m2，
∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2，
将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，
则面积扩大为原来的9倍，
∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2，
∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080元，
故选C．
【题目点拨】
本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
4、A
【解题分析】
∵一元二次方程mx2＋2x－1=0有两个不相等的实数根，
∴m≠0，且22－4×m×(﹣1)＞0，
解得：m＞﹣1且m≠0.
故选A.
【题目点拨】
本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式：
（1）当△=b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当△=b2﹣4ac=0时，方程有有两个相等的实数根；
（3）当△=b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根.
5、C
【解题分析】
根据中心对称图形的概念进行分析．
【题目详解】
A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
【题目点拨】
考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
6、D
【解题分析】
分析：先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．
详解：∵五边形的内角和为（5﹣2）•180°=540°，∴正五边形的每一个内角为540°÷5=18°，如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1=360°﹣18°×3=360°﹣324°=36°，360°÷36°=1．∵已经有3个五边形，∴1﹣3=7，即完成这一圆环还需7个五边形．
故选D．
点睛：本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形．
7、B
【解题分析】
根据勾股定理得到OA22
34
+，根据菱形的性质得到AB=OA=5，AB∥x轴，求得B（-8，-4），得到E（-4，-2），于是得到结论．
【题目详解】
∵点A的坐标为（﹣3，﹣4），
∴OA22
+，
34
∵四边形AOCB是菱形，
∴AB=OA=5，AB∥x轴，
∴B（﹣8，﹣4），
∵点E 是菱形AOCB 的中心，
∴E （﹣4，﹣2），
∴k =﹣4×（﹣2）=8，
故选B ．
【题目点拨】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
8、A
【解题分析】
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【题目详解】
∴有“我”字一面的相对面上的字是国.
故答案选A.
【题目点拨】
本题考查的知识点是专题：正方体相对两个面上的文字，解题的关键是熟练的掌握正方体相对两个面上的文字. 9、B
【解题分析】
根据反比例函数的图象的位置确定其比例系数的符号，利用反比例函数的性质进行判断即可．
【题目详解】
解：∵反比例函数的图象位于一三象限，
∴m ＞0
故①错误；
当反比例函数的图象位于一三象限时，在每一象限内，y 随x 的增大而减小，故②错误；
将A(﹣1，h)，B(2，k)代入y ＝
x m ，得到h ＝﹣m ，2k ＝m ， ∵m ＞0
∴h ＜k
故③正确；
将P(x ，y)代入y ＝x m 得到m ＝xy ，将P′(﹣x ，﹣y)代入y ＝x
m 得到m ＝xy ， 故P(x ，y)在图象上，则P′(﹣x ，﹣y)也在图象上
故④正确，
故选：B ．
【题目点拨】
本题考查了反比例函数的性质，牢记反比例函数的比例系数的符号与其图象的关系是解决本题的关键．
10、C
【解题分析】
分析：根据众数的定义先求出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即可得出答案．
详解：∵数据1，2，x，5，6的众数为6，
∴x=6，
把这些数从小到大排列为：1，2，5，6，6，最中间的数是5，
则这组数据的中位数为5；
故选C.
点睛：本题考查了中位数的知识点，将一组数据按照从小到大的顺序排列，如果数据的个数为奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数为偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、1
【解题分析】
观察给出的数，发现个位数是循环的，然后再看2019÷4的余数，即可求解．
【题目详解】
由给出的这组数21﹣1＝1，22﹣1＝3，23﹣1＝1，24﹣1＝15，25﹣1＝31，…，
个位数字1，3，1，5循环出现，四个一组，
2019÷4＝504…3，
∴22019﹣1的个位数是1．
故答案为1．
【题目点拨】
本题考查数的循环规律，确定循环规律，找准余数是解题的关键．
12、1
【解题分析】
【分析】直接利用平方差公式分解因式进而结合相反数的定义分析得出答案．
【题目详解】∵a，b互为相反数，
∴a+b=1，
∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=1，
故答案为1．
【题目点拨】本题考查了公式法分解因式以及相反数的定义，正确分解因式是解题关键．
13、1；
【解题分析】
根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用360°÷45°可求得边数．
【题目详解】
∵多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是45°，
∴360°÷45°=1
即该正多边形的边数是1．
【题目点拨】
本题主要考查了多边形外角和是360度和正多边形的性质（正多边形的各个内角相等，各个外角也相等）． 14、60
【解题分析】
根据题意和图形可以分别表示出AD 和CD 的长，从而可以求得AD 的长，本题得以解决．
【题目详解】
∵∠B=56°，∠C=45°，∠ADB=∠ADC=90°，BC=BD+CD=100米， ∴BD=tan 56AD ︒，CD=tan 45AD ︒， ∴tan 56AD ︒+tan 45AD ︒
=100， 解得，AD≈60 考点：解直角三角形的应用．
15、132
+ 【解题分析】
当AC 与⊙O 相切于点C 时，P 点纵坐标的最大值，如图，直线AC 交y 轴于点D ，连结OC ，作CH ⊥x 轴于H ，
PM ⊥x 轴于M ，DN ⊥PM 于N ，
∵AC 为切线，
∴OC ⊥AC ，
在△AOC 中，∵OA=2，OC=1，
∴∠OAC=30°，∠AOC=60°，
在Rt △AOD 中，∵∠DAO=30°，
∴OD=3OA=3， 在Rt △BDP 中，∵∠BDP=∠ADO=60°，
∴DP=12BD=12（） 在Rt △DPN 中，∵∠PDN=30°，
∴PN=12DP=12
而，
∴3=12+，
即P 点纵坐标的最大值为
12． 【题目点拨】
本题是圆的综合题，先求出OD 的长度，最后根据两点之间线段最短求出PN+MN 的值．
16、34
【解题分析】
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【题目详解】
∵在0.·
3、227这四个实数种，有理数有0.·3227
这3个， ∴抽到有理数的概率为34
， 故答案为34． 【题目点拨】
此题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事
件A的概率P（A）=m
n
．
三、解答题（共8题，共72分）
17、(1) 21≤x≤62且x为整数；(2)共有25种租车方案，当租用A型号客车21辆，B型号客车41辆时，租金最少，为19460元．
【解题分析】
（1）根据租车总费用=A、B两种车的费用之和，列出函数关系式，再根据A
B两种车至少要能坐1441人即可得取x的取值范围；
（2）由总费用不超过21940元可得关于x的不等式，解不等式后再利用函数的性质即可解决问题.
【题目详解】
(1)由题意得y＝380x＋280(62－x)＝100x＋17360，
∵30x＋20(62－x)≥1441，
∴x≥20.1，∴21≤x≤62且x为整数；
(2)由题意得100x＋17360≤21940，
解得x≤45.8，∴21≤x≤45且x为整数，
∴共有25种租车方案，
∵k＝100>0，∴y随x的增大而增大，
当x＝21时，y有最小值，y最小＝100×21＋17360＝19460，
故共有25种租车方案，当租用A型号客车21辆，B型号客车41辆时，租金最少，为19460元．
【题目点拨】
本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用等，解题的关键是理解题意，正确列出函数关系式，会利用函数的性质解决最值问题．
18、（1）详见解析；（2）tan∠ADP＝．
【解题分析】
（1）根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质即可得到结论；
（2）作PH⊥AD于H，根据四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，得到AB＝AF＝4，∠ABF＝∠ADB＝30°，AP⊥BF，从而得到PH＝，DH＝5，然后利用锐角三角函数的定义求解即可．
【题目详解】
（1）证明：∵AE垂直平分BF，
∴AB＝AF，
∴∠BAE＝∠FAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠FAE＝∠AEB，
∴∠AEB＝∠BAE，
∴AB＝BE，
∴AF＝BE．
∵AF∥BC，
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵AB＝BE，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）解：作PH⊥AD于H，
∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，
∴AB＝AF＝4，∠ABF＝∠AFB＝30°，AP⊥BF，
∴AP＝AB＝2，
∴PH＝，DH＝5，
∴tan∠ADP＝＝．
【题目点拨】
本题考查了菱形的判定及平行四边形的性质，解题的关键是牢记菱形的几个判定定理，难度不大．19、（1）见解析；（2）7
EC=
【解题分析】
（1）直接利用直角三角形的性质得出
1
2
DE BE AB
==，再利用DE∥BC，得出∠2＝∠3，进而得出答案；
（2）利用已知得出在Rt△BCD中，∠3＝60°，3
DC=，得出DB的长，进而得出EC的长. 【题目详解】
（1）证明：∵AD⊥DB，点E为AB的中点，
∴
1
2
DE BE AB
==.
∵DE∥BC，
∴∠2＝∠3.
∴∠1＝∠3.
∴BD平分∠ABC.
（2）解：∵AD⊥DB，∠A＝30°，
∴∠1＝60°.
∴∠3＝∠2＝60°.
∵∠BCD＝90°，
∴∠4＝30°.
∴∠CDE＝∠2+∠4＝90°.
DC=，
在Rt△BCD中，∠3＝60°，3
∴DB＝2.
∵DE＝BE，∠1＝60°，
∴DE＝DB＝2.
∴22437
=+=+=.
EC DE DC
【题目点拨】
此题主要考查了直角三角形斜边上的中线与斜边的关系，正确得出DB，DE的长是解题关键.
20、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解题分析】
分析：
（1）由已知条件易得∠EAG=∠FCG，AG=GC结合∠AGE=∠FGC可得△EAG≌△FCG，从而可得△EAG≌△FCG，由此可得EG=FG，同理可得MG=NG，由此即可得到四边形ENFM是平行四边形；
（2）如下图，由四边形ENFM为矩形可得EG=NG，结合AG=CG，∠AGE=∠CGN可得△EAG≌△NCG，则
∠BAC=∠ACB ，AE=CN，从而可得AB=CB，由此可得BE=BN.
详解：
（1）∵四边形ABCD为平行四四边形边形，
∴∠EAG=∠FCG.
∵点G为对角线AC的中点，∴AG=GC.
∵∠AGE=∠FGC，
∴△EAG≌△FCG.
∴EG=FG.
同理MG=NG.
∴四边形ENFM为平行四边形. （2）∵四边形ENFM为矩形，
∴EF=MN，且EG=1
EF
2
,GN=
1
MN
2
，
∴EG=NG，
又∵AG=CG，∠AGE=∠CGN，
∴△EAG≌△NCG，
∴∠BAC=∠ACB ，AE=CN，
∴AB=BC，
∴AB-AE=CB-CN，
∴BE=BN.
点睛：本题是一道考查平行四边形的判定和性质及矩形性质的题目，熟练掌握相关图形的性质和判定是顺利解题的关键.
21、见解析
【解题分析】
三角形的面积相等即同底等高，所以以BC为两个三角形的公共底边，在AC边上寻找到与D到BC距离相等的点即可.
【题目详解】
作∠CDP=∠BCD ，PD 与AC 的交点即P.
【题目点拨】
本题考查了三角形面积的灵活计算，还可以利用三角形的全等来进行解题.
22、（1）见解析；（2）见解析；（3）AB=1
【解题分析】
（1）由垂径定理得出∠CPB=∠BCD ，根据∠BCP=∠BCD+∠PCD=∠CPB+∠PCD=∠PED 即可得证；
（2）连接OP ，知OP=OB ，先证∠FPE=∠FEP 得∠F+2∠FPE=180°，再由∠APG+∠FPE=90得2∠APG+2∠FPE=180°，据此可得2∠APG=∠F ，据此即可得证；
（3）连接AE ，取AE 中点N ，连接HN 、PN ，过点E 作EM ⊥PF ，先证∠PAE=∠F ，由tan ∠PAE=tan ∠F 得
PE EM AP MF =，再证∠GAP=∠MPE ，由sin ∠GAP=sin ∠MPE 得GP EM AP PE =，从而得出MF GP AP AP
=，即MF=GP ，由3PF=5PG 即35
PG PF =，可设PG=3k ，得PF=5k 、MF=PG=3k 、PM=2k ，由∠FPE=∠PEF 知PF=EF=5k 、EM=4k 及5、AP=35PE tan PAE =∠，证∠PEM=∠ABP 得5，继而可得5k=2，据此求得k=2，从而得出AP 、BP 的长，利用勾股定理可得答案．
【题目详解】
证明：（1）∵AB 是⊙O 的直径且AB ⊥CD ，
∴∠CPB=∠BCD ，
∴∠BCP=∠BCD+∠PCD=∠CPB+∠PCD=∠PED ，
∴∠BCP=∠PED ；
（2）连接OP ，则OP=OB ，
∴∠OPB=∠OBP，
∵PF是⊙O的切线，
∴OP⊥PF，则∠OPF=90°，
∠FPE=90°﹣∠OPE，
∵∠PEF=∠HEB=90°﹣∠OBP，∴∠FPE=∠FEP，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠APB=90°，
∴∠APG+∠FPE=90°，
∴2∠APG+2∠FPE=180°，
∵∠F+∠FPE+∠PEF=180°，
∵∠F+2∠FPE=180°
∴2∠APG=∠F，
∴∠APG=1
2
∠F；
（3）连接AE，取AE中点N，连接HN、PN，过点E作EM⊥PF于M，
由（2）知∠APB=∠AHE=90°，
∵AN=EN，
∴A、H、E、P四点共圆，
∴∠PAE=∠PHF，
∵PH=PF，
∴∠PHF=∠F，
∴∠PAE=∠F ，
tan ∠PAE=tan ∠F ， ∴PE EM AP MF
=， 由（2）知∠APB=∠G=∠PME=90°，
∴∠GAP=∠MPE ，
∴sin ∠GAP=sin ∠MPE ， 则
GP EM AP PE
=， ∴MF GP AP AP =， ∴MF=GP ，
∵3PF=5PG ， ∴35
PG PF =， 设PG=3k ，则PF=5k ，MF=PG=3k ，PM=2k
由（2）知∠FPE=∠PEF ，
∴PF=EF=5k ，
则EM=4k ，
∴tan ∠PEM=
2142k k =，tan ∠F=4433
k k =， ∴tan ∠PAE=43PE AP =， ∵
=，
∴
AP=PE tan PAE =∠， ∵∠APG+∠EPM=∠EPM+∠PEM=90°，
∴∠APG=∠PEM ，
∵∠APG+∠OPA=∠ABP+∠BAP=90°，且∠OAP=∠OPA ，
∴∠APG=∠ABP ，
∴∠PEM=∠ABP ，
则tan ∠ABP=tan ∠PEM ，即AP PM BP EM
=，
∴224k k BP k
=，
则BP=35k，
∴BE=5k=25，
则k=2，
∴AP=35、BP=65，
根据勾股定理得，AB=1．
【题目点拨】
本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、四点共圆条件、相似三角形的判定与性质、三角函数的应用等知识点．
23、这个圆形截面的半径为10cm.
【解题分析】
分析：先作辅助线，利用垂径定理求出半径，再根据勾股定理计算．
解答：解：如图，OE⊥AB交AB于点D，
则DE=4，AB=16，AD=8，
设半径为R，
∴OD=OE-DE=R-4，
由勾股定理得，OA2=AD2+OD2，
即R2=82+（R-4）2，
解得，R=10cm．
24、（1）二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）点P的坐标为：（0，2）或（0，3﹣2）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
【解题分析】
（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；
（2）先求出点B的坐标，再根据勾股定理求得BC的长，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB；
②BP=BC；③PB=PC；分别根据这三种情况求出点P的坐标；
（3）设AM=t 则DN=2t ，由AB=2，得BM=2﹣t ，S △MNB=12
×（2﹣t ）×2t=﹣t 2+2t ，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB 最大面积；此时点M 在D 点，点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．
【题目详解】
解：（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c ，
103b c c ++=⎧⎨=⎩
解得：b=﹣4，c=3，
∴二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；
（2）令y=0，则x 2﹣4x+3=0，
解得：x=1或x=3，
∴B （3，0），
∴，
点P 在y 轴上，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，
①当CP=CB 时，，∴或OP=PC ﹣﹣3
∴P 1（0，），P 2（0，3﹣）；
②当PB=PC 时，OP=OB=3，
∴P 3（0，-3）；
③当BP=BC 时，
∵OC=OB=3
∴此时P 与O 重合，
∴P 4（0，0）；
综上所述，点P 的坐标为：（0，）或（0，3﹣）或（﹣3，0）或（0，0）；
（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，
∴S△MNB=1
2
×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，
当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．。