7.2.4 莫尔条纹的傅里叶分析方法_光学轮廓术_[共6页]

7.2 正弦结构光编码的莫尔条纹图的形成与分析
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7.2.4 莫尔条纹的傅里叶分析方法
1．单光栅的投射特性及其傅里叶表达式 在光学上，一只光栅可以看作是一种对入
射光波的振幅或相位，或对振幅和相位两者进
行调制的装置。

在数学上可以用一个透射函数
来研究透射光栅。

① 设OXY 平面为光栅栅线所在平面，取
直角坐标系如图7-6所示，
且有周期性的栅线结构对称分布于Y 轴。

X 方向取垂直于栅线的方向。

当非相干光以平行光束垂直入射于光栅
时，光栅的透光特性t (x )可表示如下：
()1220
h h kp x kp t x d ⎧−+⎪=⎨⎪⎩在透光区，即≤≤在其余非透光区（即图7-6中线宽区）
（7-37） 式中，k 为整数，0,1,2,k =±± ；p 为光栅栅距；h 为透光缝宽。

式（7-37）是一个周期函数，其傅里叶级数的复数形式为
()()exp i2πn n t x A n x υ=−=∑∞∞ （7-38） 式中，υ为光栅的空间频率，1p
υ=；n A 为傅里叶系数，n 为整数，n A 可由下式求得： ()/2/21i2πexp d kp h n kp h n A t x x x p p +−⎛⎫−= ⎪⎝⎭⎰ （7-39）
把式（7-37）代入式（7-39）得
/2/21i2π1π1exp d sin πkp h n kp h n nh A x x p p n p +−⎛⎫⎛⎫−=×= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰ （7-40） 令h p
α=，α称为光栅的孔栅比（即光栅上透光的孔宽与栅距之比），则 ()()sin πsin πn A n c n n ααααα
== （7-41）
其中 ()()sin πsin πn c n n ααα= ② 设对图7-6所示的位置，光栅栅线沿X 轴方向平移x 0距离，如图7-7所示。

此时，光栅的透光特性可表示为
图7-6 初相位为零的光栅分布
第7章 正弦结构光编码的三维轮廓测量技术
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()0001220h h k p x x k p x t x x ⎧−++⎪−=⎨⎪⎩在透光区，+≤≤在
其余非透光区 （7-42）
其傅里叶级数的复数形式表示为
()()0'ex p i2πn n t x x A n x υ=−−=∑∞∞ （7-43）
n A ′由下式求得： ()()()002021'1ex p i2πd sin ex p i2πh k p x n h k p x A n x x c n n x p υααυ++−+=×−=−⎰ （7-44）
把式（7-44）和式（7-41）代入式（7-43）得
()()00exp i2πn n t x x A n x x υ=−⎡⎤−=−⎣⎦∑∞∞ （7-45）
③ 设对图7-6所示的位置，光栅绕垂直于光栅自身平面的轴转动θ角，如图7-8所示，这时，如果从坐标系X OY ′′来看，其透光特性的傅里叶级数的复数表达式与式（7-38）完全一样，即
()[]'exp i2π'n n t x A n x υ=−=∑∞∞ （7-46）
根据坐标变换，有
'cos sin x x y θθ=+ （7-47） 所以，从坐标系XOY 来看，此时透光特性的傅里叶表达式为
()(),e x p i2πc o s s in n n t x y A n x y υθθ=−=+⎡⎤⎣⎦∑∞∞ （7-48）。