【数学】四川省双流中学2017-2018学年高二4月月考(文)

四川省双流中学2017-2018学年高二4月月考（文）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数
=（ ）
A ．i
B ．i +1
C ．i -
D ．i -1 2．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ） A ．（2，
） B ．（2，
） C ．（2，） D ．（2，）
3．化极坐标方程02cos 2
=-ρθρ为直角坐标方程为（ ）
A ．x 2+y 2=0或y=2
B ．x=2
C ．x 2+y 2=0或x=2
D ．y=2
4..双曲线
19
42
2=-y x 的渐近线方程是（ ） A ．x y 32±
= B ．x y 94±= C ．x y 23±= D ．x y 49±= 5.函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是( )
A.⎥⎦
⎤ ⎝
⎛∞-23, B.⎪⎭
⎫⎢⎣
⎡+∞,23
C.⎥⎦
⎤ ⎝
⎛-23,1 D.⎪⎭
⎫⎢⎣
⎡4,23
6．f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且3)2(-=f ，=)2017(f ( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．2
7.直线y x b =+与抛物线2
2x y =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥，则b =（ ）
.2A .2B - .1C .1D -
8.若直线l 过点(3,0)与双曲线2
2
4936x y -=只有一个公共点，则这样的直线有（ ）
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
9.若不论k 为何值，直线(2)y k x b =-+与曲线2
2
1x y -=总有公共点，则b 的取值范围是（ ）
A.(
B.⎡⎣
C.(2,2)-
D.[]2,2-
10．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面均相切，已知这个球的体积是32
3
π，那么这个三棱柱的体积是( )
A.
B.
C.
D. 11．直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )
A ．⎣⎡⎦⎤－34，0
B ．⎣⎡⎦⎤－33，3
3 C ．[－3，3] D ．⎣⎡⎦⎤－23，0 12已知直线0634:1=+-y x l 和直线1:2-=x l ，抛物线x y 42
=上一动点P
到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ） A ．
1637 B ．3 C.5
11
D ．2 第Ⅱ卷（90分）
二.填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）
13.动圆过点()1,0，且与直线1x =-相切，则动圆的圆心的轨迹方程为____________. 14.函数x
x x f 2
ln )(+=
在1=x 处的切线方程为____________. 15.已知函数()3
2
f x x ax bx c =+++在2
3
x =-
与1x =时都取得极值，若对[]1,2x ∈-，不等式()2
f x c <恒成立，则c 的取值范围为______ 16.已知函数x x x x f 3sin 2
1)(3+-
=，
对于任意R x ∈都有0)2()3(2
≤-++-k x f x x f 恒成立，则k 的取值范围是 .
三.解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

） 17．（本小题满分12分）
已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4． (Ⅰ)求a ，b 的值； (Ⅱ)讨论f (x )的单调性．
18．（本小题满分12分）
某校进行文科、理科数学成绩对比，某次考试后，各随机抽取100名同学的数学考试成绩进行统计，其频率分布表如下.
理科
文科 （Ⅰ）根据数学成绩的频率分布表，求理科数学成绩的中位数的估计值；
（Ⅱ）请填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为数学成绩与文理科有关：
（Ⅲ）设文理科数学成绩相互独立，记A 表示事件“文科、理科数学成绩都大于等于120分”，估计A 的概率.
附：22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
19.（本题满分12分）
已知函数f (x )＝－x 2
＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2
x
(x >0)．
(Ⅰ)若g (x )＝m 有实根，求m 的取值范围；
（Ⅱ）确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根.
20.（本题满分12分）
设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2
212
x y +=上，过M 作x 轴的垂线， 垂足为N ，点P 满足2NP NM =.
(Ⅰ)求点P 的轨迹方程；
（Ⅱ）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .
21.（本题满分12分）
设函数2
()2x
f x e ax ex =---，其中e 为自然对数的底数. （1）1a =时，求曲线()x f 在点(1,(1))f 处的切线方程；
（2）函数()h x 是()f x 的导函数，求函数()h x 在区间[]0,1上的最小值.
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。

22.选修4-4：极坐标与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C
的参数方程为2sin x y α
α
⎧=⎪⎨=⎪⎩，其中α为参数，
(0,)απ∈.在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P
的极坐标为
)4π，直线l
的极坐标方程为sin()04
π
ρθ-+=.
(Ⅰ)求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；
（Ⅱ）若Q 是曲线C 上的动点，M 为线段PQ 的中点.求点M 到直线l 的距离的最大值.
23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()211f x x x =++-. (Ⅰ)解不等式()3f x ≥；
（Ⅱ）记函数()f x 的最小值为m ，若a ，b ，c 均为正实数，且1
22
a b c m ++=， 求222a b c ++的最小值.
参考答案
1-6、ABCCCA 7-12、ACBDBD 13.x y 42
=; 14.03=-+y x ; 15. 16.[)+∞,2
17..解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4，
由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8． 从而a ＝4，b ＝4．
(2) 由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)·1e 2x
⎛
⎫
-
⎪⎝
⎭
． 令f ′(x )＝0得，x ＝－ln 2或x ＝－2．
当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )＞0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )＜0． 故f (x )在 (－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 18.解：（Ⅰ）理科数学成绩的频率分布表中，成绩小于105分的频率为0.35<0.5， 成绩小于120分的频率为0.75>0.5，
故理科数学成绩的中位数的估计值为
分．
（Ⅱ）根据数学成绩的频率分布表得如下列联表： ，
故没有90%的把握认为数学成绩与文理科有关．
（Ⅲ）记B 表示“文科数学成绩大于等于120分”，C 表示“理科数学成绩大于等于120分”， 由于文理科数学成绩相互独立，
所以A 的概率．
15(0.50.35)
105110.625
0.40⨯-+
=2
2
200(25787522)0.250 2.706
10010047153K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯()()()()0.220.250.055P A P BC P B P C ===⨯=
19.解:(1)∵g(x)＝x ＋e 2
x
≥2e 2＝2e ，
等号成立的条件是x ＝e.故g(x)的值域是[2e ，＋∞)， 因而只需m≥2e ，则g(x)＝m 就有实根．
(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)＝f(x)中函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)＝x ＋e 2
x
(x>0)的图象．
∵f(x)＝－x 2＋2ex ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2. 其对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2. 故当m －1＋e 2>2e ，即m>－e 2＋2e ＋1时，
g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根． ∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)． 20.解：（1）设
，
，则
由得
因为
在上，所以
. 因此点的轨迹方程为
（2）由题意知
设
，则
，
由
得
又由（1）知，故
所以
，即. 又过点
存在唯一直线垂直于，所以过点
且垂直于
的直线过
的左焦点
.
21.解：(1) 1a =时，2
e ()2x
f x x ex =---
∵e ()2x f x x e '=--， ∴2
1(1)112e 3f e =--⨯-=-，(1)2f '=-
∴曲线y ()f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为
32(1)y x +=--即2y 10x ++= ……6分
22.解：（1）∵直线l
的极坐标方程为sin()04
π
ρθ-
+=，即s i n c o s 1
00ρθρθ-+=.
由cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得直线l 的直角坐标方程为100x y --=.
将曲线C
的参数方程2sin x y αα
⎧=⎪⎨=⎪⎩消去参数α，得曲线C 的普通方程为
22
1(0)124
x y y +=>. （2
）设,2sin )Q αα(0)απ<<. 点P
的极坐标)4
π
化为直角坐标为(4,4).
则2,sin 2)M αα++.
∴点M 到直线l
的距离d
=
=≤.
当sin()13
π
α-
=，即56
π
α=
时，等号成立. ∴点M 到直线l
的距离的最大值为
.
23.解：（1）()211f x x x =++-13,212,123,1x x x x x x ⎧
-≤-⎪⎪
⎪
=+-<<⎨⎪
≥⎪⎪⎩
.
∴()3f x ≥等价于1233x x ⎧≤-⎪⎨⎪-≥⎩或112
23
x x ⎧-<<⎪⎨⎪+≥⎩或1
33x x ≥⎧⎨≥⎩. 解得1x ≤-或1x ≥.
∴原不等式的解集为(,1][1,)-∞-+∞. （2）由（1），可知当12x =-时，()f x 取最小值32，即3
2
m =. ∴
13
222
a b c ++=. 由柯西不等式，有2222221
()[()12]2
a b c ++++21(2)2
a b c ≥++.
∴22237a b c ++≥. 当且仅当22c a b ==，即17a =，27b =，4
7
c =时，等号成立.
∴222a b c ++的最小值为3
7
.。