Chapter2_谓词逻辑1(12谓词量词)

这里5，3，张三，李四是客体，大于，比…高是谓词， 表达了客体之间的关系。 在反映判断的句子中，用以刻划客体的性质或关系的 部分即是谓词。


二、用谓词刻划命题的本质属性 P：张三是个大学生。


Q：李四是个大学生。
是两个不同的命题，但谓词“是个大学生”是相同的。 引入一个符号来表示“是个大学生”，比如用A来表示，再引入一 种方法表示客体的名称，这样就能把“XX是个大学生”这个命题的 本质属性刻划出来。

A(b)， G ( t ) 称作一元谓词， B(a,b)称作二元谓词。 可推广到n元谓词。 n元谓词 A是谓词，a1，a2，…an是客体的名称，则 A(a1，a2，…an)是n元谓词。 一元谓词了表达客体的性质，多元谓词了表达客体之间 的关系。在多元谓词中客体的次序与事先约定有关。
§2—2 命题函数与量词 一、命题函数 1、简单命题函数：由一个谓词、一些客体变元组成的表达式 称为简单命题函数。 例如： A(x)表示“x学习好”，x是客体变元， A(x)是简单命题 函数。此时A(x)没有确定的真值，所以A(x)不是命题，只有当 x取特定的客体时， A(x)才确定了一个命题。 2、复合命题函数：由一个或n简单命题函数以及逻辑联结词 组合而成的表达式称复合命题函数。 逻辑联结词┐、∧、∨、→、 的意义与命题演算中的解 释完全类似。 例如，A(x)表示“x学习好”，B(x)表示“x工作好”，A(x) ∧B(x)表示“x的工作、学习都好”， A(x) ∧B(x)是复合命题 函数。 n元谓词就是有n个客体变元的命题函数。


学习《谓词逻辑》这一章 的要求 一、学习目的与要求
本章目的是讲授谓词逻辑与命题逻辑的联系与区别，通 过本章的学习，使学生了解谓词逻辑的基本概念，掌握谓词逻 辑中的基本定义、定理。了解谓词逻辑的推理方法。
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二、知识点


1. 谓词逻辑的概念与表示方法；
2.命题函数与量词 3.谓词逻辑中的合式公式（Wff）与
所有的人都是要死的。
苏格拉底是人。 所以苏格拉底是要死的。 出现问题的原因 在于，三段论中，结 论R与前提P，Q的内 在联系不可能在命题 逻辑中表示出来。
又如：
所有的自然数都是有理数。 100是自然数。 所以100是有理数。
显然这些都是正确的推理，但在命题逻辑中却无法得到证明，因为三 段论的每句话都是一个原子命题，我们可分别用P，Q，R来表示。这样， 三段论方法用形式符号表示应为 P∧Q R 即 P∧Q→ RT 但在命题逻辑里， P∧Q→ R显然不是重言式。
M (s)
D (s)

对于一个谓词，如果其中每一个变量都在一个量词作用之 下，则它就不再是命题函数，而是一个命题了。但是，这种命题 和命题逻辑中的命题有所不同，因为终归这种命题里还有变量。 当然这种变量和命题函数中的变量还有区别。

用谓词表达式表示命题的例子见教材18页和19页的举例。

四、特性谓词
例如：H表示“高于”，a表示客体“张三”，b表示 客体“李四”，则H(a,b)就表示命题：“张三高于李四”。 “b是A”类型的命题用A(b)表达。 如命题 (a) 他是三好学生。 用G表示 谓词“是三好学生”，t表示可体“他”，则 命题(a)可表示为G ( t ) 。 对于“a是小于b”这种表示两个客体之间关系的命题， 可表达为B(a,b)，这里B(a,b)表示“是小于”。

命题逻辑研究命题与命题之间的逻辑关系，它的基本 研究单位是原子命题。在命题演算中，原子命题是不能再 分割的。这样处理原子命题对研究命题间的关系是合适的。 但是，因为原子命题不考虑命题内在的结构和逻辑关系， 这就使人类的很多思维过程在命题逻辑中表达不出来。
逻辑学中著名的三段论方法，是由一个大前提，一个小前提推出结论 的方法。这方面的例子如：
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第1讲

§2—1 谓词的概念与表示 §2—2 命题函数与量词
要求： 1、掌握如下概念：
谓词、谓词填式、n元谓词、命题函数、复合命题函数、 个体域、全总个体域、全称量词、存在量词、存在唯一量词、 特性谓词
2、会用谓词表达式写出命题。

§2—1 谓词的概念与表示 （教材54页）
3、个体域：在命题函数中，客体变元的论述范围称 作个体域。把各个个体域综合在一起作为论述范围 的域称全总个体域。 命题函数不是一个命题，只有其中的个体变元用 特定个体或个体常元替代时，才能成为一个命题。 但是客体变元在哪些范围内取特定的值，对命题函 数是否成为命题及命题的真值极有影响。

例4 R(x)表示“x是个大学生”，如果x的讨论范围为 某大学里班级的学生，则R(x)是永真式。 如果x的讨论范围为某中学里班级的学生，则R(x) 是永假式。 如果x的讨论范围为一个剧场中的观众，观众中有 大学生也有非大学生，那么，对某些观众，R(x)为真， 对另一些观众，R(x)为假。

例1 设S(x)表示“x学习很好”，用W(x)表示“x工 作很好”。 则┐S(x)表示“x学习不是很好”。 S(x)∧W(x)表示“x的学习，工作都很好”。 S(x)→W(x)表示“若x的学习很好，则x工作得很 好”。

例2 用H(x,y)表示“x比y长得高”。设l表示李四，c 表示张三。 则 ┐H(l,c)表示“李四不比张三长得高”。 ┐H(l,c) ∧ ┐H(c,l)表示“李四不比张三长得高”且 “张三不比李四长得高”即“张三与李四同样高”。 例3 设Q(x,y)表示“x比y重”。当x,y指人或物时，它 是一个命题，但若x,y指实数时，Q(x,y)就不是一个命 题。
以由量词、简单命题函数、逻辑联结词构成的谓 词表达式表示。 如设 M(x)：x是人，D(X)：ｘ是要死的，s：苏格拉底。 则三段论的三个命题： 所有的人都是要死的。 苏格拉底是人。 所以苏格拉底是要死的。 可表示为：
( x )( M ( x ) D ( x ))


2．命题公式的递归定义，自然语言翻译成命题公式
3．真值表的构造、命题公式等价的概念。
4．重言式与蕴涵式的定义、逻辑意义，逻辑等价与 逻辑蕴涵的意义和证明方法。常用的逻辑等价公式 和逻辑蕴涵公式。
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5．命题公式的对偶式、合取范式、析取范式、 主合取范式、主析取范式。逻辑小项、逻辑大项。 任给公式化为析取范式、任给公式化为主析取范 式、任给公式化为合取范式、任给公式化为主合 取范式。 6．命题逻辑的推理理论，主要的推理方法：真 值表法、直接证明法、间接证明法。常用推理规 则：P规则、T规则、CP规则。 7．命题逻辑的应用示例。
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二、要求 1．识记


命题表示方法、真值判断、命题公式的递归定义。
2．领会
联结词真值确定、翻译、命题公式的等价性和蕴 涵性证明、任给公式化为析取范式、任给公式化为 主析取范式、任给公式化为合取范式、任给公式化 为主合取范式。 3．简单应用 命题逻辑推理规则。
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这里x是 个体变元
例5
( P ( x, y ) P ( y, z ) P ( X , Z )
若P(x,y)解释为“x小于y”，当x，y，x都在实数域中取值，则 这个式子表示为“若x小于y且y小于z，则x小于z”。这是一永真式。
这里P是 谓词变元， x，y是个体变元
如果P(x,y)解释为“x为y的儿子”，当x，y， z都指人，则“若 x为y的儿子且y是z的儿子则x是z的儿子”。这 个式子表达的是一个永假公式。
第二章 谓词逻辑 （理论课12学时，共6讲）
教学内容
§2—1 谓词的概念与表示 §2—2 命题函数与量词 §2—3 谓词公式与翻译 §2—4 变元的约束 §2—5 谓词演算的等价式与蕴含式
学时
2 2 4
§2—6 前束范式
§2—7 谓词演算的推理理论
2
2
为什么要研究谓词逻辑？
为了刻划命题内部的逻辑结构，需要研究谓词逻辑。 为了对论断进行推证，也要对命题的内部关系进行深入 地研究。例如简单而有名的苏格拉底三段论都无法用命题逻 辑予以推证，但可用谓词逻辑进行推证。

如果P(x,y)解释为 “x距离y 10米”，若x，y，z表示地面
上的房子，那么“x距离y10米且y距离z10米则x距离z10米”。这 个命题的真值将由x，y，z的具体位置而定，它可能为T，也可能
为F。
y
x z
x
y
z

二、量词 用来表示客体之间的数量关系。(量词记号是由逻辑学家
Fray引入的) ，

2. 命题的表示方法
用谓词表达命题，必须包括客体和谓词字母两个部分。
单独一个谓词不是完整的命题，必须在谓词字母后填以客体才能表示 命题。谓词字母后填以客体所得的式子称为谓词填式 。 对于给定的命题，当用表示其客体的小写字母和表示其谓词的大写字 母来表示时，规定把小写字母写在大写字母右侧的圆括号( )内。 如A表示“是个大学生” ，a表示张三，b表示李四，则A(a)表示命题 “张三是个大学生”。A(b)表示命题“李四是个大学生”。
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离散数学
Discrete Mathematics

第一章 内容回顾
一、知识点 1．命题的概念、表示方法；联结词的逻辑意义。
在讨论带有量词的命题函数时，必须确定其个体域， 为了方便，将所有命题函数的个体域全部统一，使用全总个 体域。对每一个客体变元的变化范围，用特性谓词加以限制。 限定客体变元变化范围的谓词，称作特性谓词。 一般地，对全称量词，特性谓词常作蕴含的前件，对 存在量词，特性谓词常作合取项。


自然语言的翻译；
4.谓词中的变元约束；
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5．谓词逻辑演算中的等价式与蕴涵式；
6．谓词逻辑中的前束范式；
7．谓词逻辑的推理理论。
第9章 查找

三、要求 1.识记


全称量词、存在量词的概念，量词的辖域，
约束变元、自由变元的辨认。 2.领会
谓词逻辑中的合式公式（Wff）的递归定义、自然 语言翻译成谓词公式，化公式为前束范式，谓词逻 辑的推理理论、证明方法、推理规则。命题公式扩 充到谓词逻辑中的联系与区别。 3.简单应用 利用谓词逻辑解决简单的论证应用题。

在谓词逻辑中，为揭示命题内部结构及其不同命题 的内部结构关系，就按照这两部分对命题进行分析，并且 把主语称为个体或客体，把谓语称为谓词。 客体可以独立存在，它可以是具体的，也可以是抽 象的。上面的“李宁”、“苏格拉底”、“哲学” 是客 体。“是……” 是谓词，表达了客体的性质。 又如：5大于3。 张三比李四高。


一、谓词的概念
1. 客体和谓词 在Ls中，命题是具有确定真值的陈述句。从语法上 分析，一个陈述句由主语和谓语两部分组成。主语是谓语 陈述的对象（称为客体或个体），指出谓语说的是“谁” 或者“什么”；谓语是用来陈述主语的，说明主语“怎么 样”或者“是什么”（称为谓词）。 如： 李宁是体操运动员。 主语 谓语 苏格拉底是古希腊哲学家。 主语 谓语 哲学是研究世界观的学问。 主语 谓语


三、谓词的表示
1. 客体和谓词的表示方法 约定用大写字母表示谓词，用小写字母表示客体名称。表示特定的客 体，称为客体常元，以a,b,c,…或a1,b1,c1,…表示；表示不确定的客体， 称为客体变元，以x,y,z,…或x1,y1,z1,…表示。表示特定谓词，称为谓词 常元，表示不确定的谓词，称为谓词变元，都用大写英文字母或大写英 文字母带下标来表示，如P,Q,R, …或A1,A2,A3,…。
所有的人都是要死的。 苏格拉底是人。 所以苏格拉底是要死的。
苏格拉底（前469前399） 古希腊唯 心主义哲学家。
苏格拉底三段论是正确的。但用命题 逻辑却无法推出。这是因为命题逻辑基本 组成单位是原子命题，并把它看作不可再 分解的。但两个原子命题间，常常有一些 共同特征，为了刻划命题内部的逻辑结构， 就需研究谓词逻辑（简称为Lp）。 在研究某些推理时，有必要对原子命题作 进一步分析，分析出其中的个体词，谓词 和量词，研究它们的形式结构的逻辑关系、 正确的推理形式和规则，这些正是谓词逻 辑的基本内容。