线性代数教案-第四章 线性方程组

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第四章:线性方程组
一、 本章的教学目标及基本要求
所谓线性方程组,其形式为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.
,,
m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 (4.0.1) 其中n x x ,, 1代表n 个未知量,m 是方程个数,)11(n j m i a ij ,,;,, ==被称为方程组的系数,)1(m i b i , ,=是常数项.方程组中未知量个数n 与方程个数m 不一定相等.系数ij a 的第一个角标i 表示它在第i 个方程,第二个角标j 表示它是未知量j x 的系数.因为未知量的幂次是1,故称为线性方程组.
如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项,这个线性方程组就确定了.确切地说,线性方程组(4.0.1)可以用下列矩阵来表示:
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m mn m m n n b a a a b a a a b a a a 21222221
111211(4.0.2) 实际上,给定矩阵(4.0.2),除去代表未知量的字母外,线性方程组(4.0.1)就确定了,而采用什么字母来代表未知量是无关紧要的.以后如无特别声明,类似(4.0.2)的矩阵就被看做一个线性方程组.
对于线性方程组(4.0.1),设n m ij a A ⨯=][,T 1)(n x x ,, =x ,T 1)(m b b ,, =b ,由矩阵乘法的定义知,它可被表为
b x =A . (4.0.3)
当n m =,A 是一个n 阶方阵.若0det ≠A ,它存在唯一解,可用克莱姆法则求得.若0det =A ,或n m ≠,方程组(4.0.3)在什么条件下有解;如果有解,解是否唯一;如果解不唯一而且有无穷个,这些解是否可用简要形式表示以及如何表示等等问题,即为本章讨论的主要内容.
1 齐次线性方程组
在线性方程组(4.0.3)中,若T
)00(,, ==θb ,则有 θx =A . (4.1.1)
这被称为与线性方程组(4.0.3)对应的齐次线性方程组,A 被称为它的系数矩阵.
线性方程组的三种初等变换,与矩阵的三种行初等变换完全对应. 任何矩阵均可经有限次行初等变换化为行最简形.
性质1 若1ξx =,2ξx =是θx =A 的解,则21ξξx +=也是θx =A 的解.
性质2 若ξx =是θx =A 的解,k 为任意实数,则ξx k =也是θx =A 的解.
θx =A 的全部解构成一个线性空间,记为S ,被称为齐次线性方程组θx =A 的解空间.
定理4.1.1 齐次线性方程组(4.1.1)有非零解的充要条件是n A R <)(.
解空间S 的基又被称为方程组(4.1.1)的基础解系.求得基础解系,就求得了全部解. 通解.
显然,T )00(,, =θ是齐次线性方程组的解,被称为零解或平凡解.
2 非齐次线性方程组
在线性方程组(4.0.3)中,若T )00(,, =≠θb ,则它被称为非齐次线性方程组.与它对应的矩阵
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m mn m m n n b a a a b a a a b a a a B 21222221
111211 是一个)1(+⨯n m 矩阵,它由系数矩阵n m ij a A ⨯=][加上一列T 1)(m b b ,, =b 组成,即 ][b A B =.
称B 为线性方程组(4.0.3)的增广矩阵.
性质1 若1ηx =,2ηx =是b x =A 的解,则12ηηx -=是对应齐次线性方程组θx =A 的解.
性质2 若ηx =是b x =A 的解,ξx =是对应齐次线性方程组θx =A 的解,则ηξx +=是b x =A 的解.
性质3 非齐次线性方程组的通解是对应齐次方程组的通解加上自身的任意一个解. 定理4.2.1 非齐次线性方程组b x =A 有解的充要条件是)()(B R A R =,即系数矩阵和增广矩阵有相同的秩.
定理4.2.2设非齐次线性方程组b x =A 的系数矩阵A 及增广矩阵B 的秩相等:r B R A R ==)()(,未知量个数为n .则它有唯一解的充要条件是n r =;它有无穷多解的充要条件是n r <.
二、本章教学内容的重点和难点
1、齐次及非齐次线性方程组的解法
2、理解解空间与前面空间的关系。

三、本章内容的深化和拓广
了解求解方程组在实际问题中的应用。

四、本章教学方式
以讲课方式为主。

五、本章的思考题和习题
1(3)(4) 2 3 (3)(4) 4(2)(3) 5 6 7 8 9。

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