21-22序列的傅里叶变换的定义及性质

2.2 序列的Fourier变换的定义及性质
2.2.1 序列Fourier变换的定义
第二章 时域离散信号和系统的频域分析
定义
X (e )
j
n
x ( n )e

2.2 序列傅里叶变换 的定义及性质
jn
(2.2.1)
为序列x(n)的Fourier变换，可用FT(Fourier Transform)表示。 FT成立的充要条件是序列x(n)满足绝对可和条件，即
2.2 序列傅里叶变换 的定义及性质
y(n) x(n) * h(n)
Y(e j ) X(e j ) * H(e j ) (2.2.31)

则有
证明
y(n )
m
x(m)h(n m)
n m
Y(e j ) FT[ y(n)]
令 k=n-m,则
j


设序列 x o (n)满足
x o ( n ) x ( n)
* o
(2.2.12)
则称序列 x o (n)为共轭反对称序列。 将x o (n)用其实部和虚部表示 : x o (n) x or (n) jx oi (n)
同法可得
xor (n) xor (n)
(2.2.13)
xoi (n) xoi (n)
(2.2.14)
可知，共轭反对称序列其实部是奇函数，虚部是偶函数。
第二章 时域离散信号和系统的频域分析
jn x ( n ) e 例2.2.2 试分析序列 的对称性
2.2 序列傅里叶变换 的定义及性质
解： 因x(n)满足式(2.2.10),所以是共轭对称序列，且可展为
j * j j j FT [ xo (n)] 1 [ X ( e ) X ( e )] j Im[ X ( e )] jX ( e ) I 2
结论：序列x(n)共轭对称部分对应FT的实部，反对称部分对应FT 的虚部。和(a)的结论比较?
第二章 时域离散信号和系统的频域分析
5. 时域卷积定理 设
图2.2.2 cosωm 的波形
第二章 时域离散信号和系统的频域分析
2. FT的线性
2.2 序列傅里叶变换 的定义及性质
设X1 (e j ) FT[x1 (n)], X2 (e j ) FT[x 2 (n)]
则有
FT[ax1 (n) bx2 (n)] aX 1 (e j ) bX 2 (e j )
n
| x (n) |


(2.2.2)
jn jm x ( n ) e e d
FT的逆变换
j jm X ( e ) e d


故有
n
x (n ) e

n

j( mn )
d 2
n
x (n )(n m)
当N=4时，其幅度与相位随频率ω的变化曲线如
图2.2.1所示。
第二章 时域离散信号和系统的频域分析
2.2 序列傅里叶变换 的定义及性质
图2.2.1 R4(n)的幅度与相位曲线
第二章 时域离散信号和系统的频域分析
2.2.2 序列Fourier变换的性质 1. FT的周期性 在定义(2.2.1)式中，n取整数，故下式成立
X (e )
j j ( 2M ) n x ( n ) e , M为整数
2.2 序列傅里叶变换 的定义及性质
(2.2.5)
n
因此，序列的Fourier变换是频率ω的周期函数，周期为2π. 在ω=0 和ω=2πM 附近的频谱分布是相同的,在ω=0,±2π, ±4π …点上表示信号x(n)的直流分量（见图2.2.2(a))。而离开 这些点越远，其频率应越高，但又是以2π为周期的，则最高的频 率应是ω = π (或ω = (2M+1)π )。
x(n) cosn j sin n
对一般序列，可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，即：
x(n) xe (n) xo (n)
(2.2.15)
并可用原序列x(n)分别求出共轭对称序列与共轭反对称序列：
* x e ( n) 1 [ x ( n ) x (n)] 2
(2.2.17)
j * j X o (e j ) 1 [ X ( e ) X ( e )] 2
(2.2.22)
(2.2.23)
第二章 时域离散信号和系统的频域分析
研究FT的对称性，可从两部分进行分析 (a) 将序列x(n)分成实部 xr (n) 和虚部 xi (n)，即
2.2 序列傅里叶变换 的定义及性质
(2.2.4)

x (n )
j jn 1 X ( e )e d 2

第二章 时域离散信号和系统的频域分析
例2.2.1 解
j
2.2 序列傅里叶变换 的定义及性质
设x(n)=RN(n)，求x(n)的傅里叶变换。
x (e )
n


R N ( n )e
j n

第二章 时域离散信号和系统的频域分析
2.2 序列傅里叶变换 的定义及性质
例如，x(n)=cosωn，当ω =2πM, M取整数，x(n)的序列值如 图2.2.2(a),代表直流分量；当(2M+1)π时，x(n)的波形如图 2.2.2(b)所示，代表最高频率信号，是一种变化最快的信号。由 于FT的周期性，一般只需分析 ±π之间或0~2π 之间的FT即可。
* x o ( n) 1 [ x ( n ) x (n)] 2
(2.2.18)
见P36
第二章 时域离散信号和系统的频域分析
2.2 序列傅里叶变换 的定义及性质
对于频域函数 x (e j ) 也有和前面类似的概念和结论：
X(e j ) X e (e j ) X o (e j )
m
对LSI系统，求系统输出时，可在时域用(1.3.7),在频域wk.baidu.com(2.2.31)
第二章 时域离散信号和系统的频域分析
6. 频域卷积定理 设 则
j
2.2 序列傅里叶变换 的定义及性质
y(n)=x(n)h(n)
1 1 π j j j j( ) Y (e ) X (e ) H (e ) X (e ) H (e )d π 2π 2π
x(n) xr (n) jxi (n)
FT后得到
式中
X(e j ) X e (e j ) X o (e j )
X e (e ) FT[x r (n)]
j n jn x ( n ) e r jn x ( n ) e i
X o (e j ) FT[ jxi (n)] j
(2.2.19)
X e (e j )与X o (e j )分别为FT的共轭对称项和反对称 项,满足 :
j X e (e j ) X * ( e ) e
j X o (e j ) X * ( e ) o
(2.2.20)
(2.2.21)
同样有如下公式：
j * j X e (e j ) 1 [ X ( e ) X ( e )] 2
2.2 序列傅里叶变换 的定义及性质
n
| x (n ) |
2

1 2



| X(e j ) | 2 d
(2.2.35)
证明
n
| x (n ) |

2

n
x (n ) x


*
(n )

n
x

*
1 (n )[ 2 X(e j )e jn d

n 0
N 1
e j
1 e jN e jN / 2 (e jN / 2 e jN / 2 ) j / 2 j / 2 j 1 e e (e e j / 2 ) sin(N / 2) e j( N 1) 2 sin( / 2) （2.2.4）
n
上面两式中，xr(n)和虚部xi(n)都是实数序列。容易证明： X e (e j ) 具有共轭对称性。X o (e j ) 具有共轭反对称性。
第二章 时域离散信号和系统的频域分析
x (n ) x e (n ) x o (n )
由式(2.2.18)和(2.2.19)
* x e (n ) 1 [ x ( n ) x (n)] 2 * x o (n ) 1 [ x ( n ) x (n)] 2
3. FT的时移与频移
(2.2.6)
设X(e ) FT[x(n)],那么
FT[ x(n k )] e jk X (e j ) (2.2.7)
j
FT[e jn x(n)] X (e j ( ) )
(2.2.8)
第二章 时域离散信号和系统的频域分析
4. FT的对称性
第二章 时域离散信号和系统的频域分析 2.1 引言
2.2 序列傅里叶变换 的定义及性质
信号和系统的分析方法分：时域(time domain)和频 域（frequency domain)分析方法。 时域离散信号和系统中，信号用序列表示，其自变量 不是连续变化的时间t,而是整数。系统则用差分方程来 描述，频域分析采用Z变换或Fourier变换。其中， Fourier变换和模拟信号的Fourier变换不同，但都是线 性变换，有很多共性。
* x e ( n )
x er (n) jx ei (n)
对比上面两公式，因左边相等，故有
x er (n) x er (n)
x ei (n) x ei (n)
可知，共轭对称序列其实部是偶函数，虚部是奇函数。
第二章 时域离散信号和系统的频域分析
2.2 序列傅里叶变换 的定义及性质

1 X (e 2 1 X (e 2
j
)
n j * j
* jn x ( n ) e d j 2 1 | X ( e ) | d 2
)X (e )d

Parseval定理说明：信号在时域的总能量等于频域的总能量。
2.2 序列傅里叶变换 的定义及性质
(b) 将序列x(n)分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分xo(n)，即
(2.2.24)
FT后有 j * j j j FT [ xe (n)] 1 [ X ( e ) X ( e )] Re[ X ( e )] X ( e ) R 2
2.2 序列傅里叶变换 的定义及性质
设序列 x e (n)满足
* x e ( n) x e ( n) 则称序列 x e (n)为共轭对称序列。 将x e (n)用其实部和虚部表示 : x e (n) x er (n) jx ei (n)
(2.2.9)
将上式两边的n用-n替换，并取共轭，得到：
[
jn x ( m ) h ( n m ) ] e

Y (e )
k m jk k


jk jn x ( m ) h ( k ) e e jm j j x ( m ) e H ( e ) X ( e )

h ( k )e
证明
Y (e )
j n
(2.2.32)


x(n)h(n)e jn
1 π jn j j n x(n) H (e )e d e 2π π n

(2.2.33)
第二章 时域离散信号和系统的频域分析
7. 帕斯维尔(Parseval)定理