高中数学选择性必修二 专题5 2 导数在研究函数中的应用(A卷基础篇)(含答案)

专题5. 2导数在研究函数中的应用（1）（A 卷基础篇）
（新教材人教A 版,浙江专用）
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）
1．（2020·全国高二课时练习）设函数()f x 的图象如图所示，则导函数()'
f x 的图象可能为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】
∵()f x 在(,1)-∞，(4,)+∞上为减函数，在(1,4)上为增函数， ∴当1x <或4x >时，()0f x '<；当14x <<时，()0f x '>． 故选：C ．
2．（2020·河北张家口市·高三月考）下列函数中，在其定义域上为增函数的是（ ） A ．4y x = B ．2x y -=
C ．cos y x x =+
D ．1
2y x =-
【答案】C 【解析】
对于A 选项，函数4y x =为偶函数，在()0,∞+上递增，在(),0-∞上递减； 对于B 选项，函数2x
y -=在R 上递减；
对于C 选项，1sin 0y x '=-≥在R 上恒成立，则函数cos y x x =+在其定义域R 上递增； 对于D 选项，函数1
2y x =-在()0,∞+上递减. 故选：C ．
3．（2020·赣州市赣县第三中学高三期中（文））已知函数2
1()ln 2
f x x x =-，则其单调增区间是（ ） A ．()1,+∞ B ．()0,∞+
C ．(]0,1
D ．[]0,1
【答案】A 【解析】 由2
1()ln 2
f x x x =
-，函数定义域为()0,∞+， 求导211
()x f x x x x
='-=-，令()0f x '>，得1x >或1x <-（舍去）
所以()f x 单调增区间是()1,+∞ 故选：A.
4．（2020·张家界市民族中学高二月考）函数2
2
y x x
=+的单调递增区间为（ ）
A ．(),1-∞
B ．)+∞
C ．()1,+∞
D ．(),0-∞
【答案】C 【解析】
322
222
2x y x x x
-'=-=，由0y '>得3220x ->，即1x >， 所以函数2
2
y x x
=+的单调递增区间为(1,)+∞. 故选：C
5．（2020·全国高三专题练习）如图所示为()y f x '=的图象，则函数()y f x =的单调递减区间是（ ）
A ．(),1-∞-
B ．()2,0-
C ．()()2,0,2,-+∞
D ．()(),1,1,-∞-+∞
【答案】C 【解析】
由导函数图象，知20x -<<或2x >时，()0f x '<，∴()f x 的减区间是(2,0)-，(2,)+∞． 故选：C ．
6．（2019·江西九江市·高二期末（理））函数()2
2ln f x x x =-的递增区间是（ ）
A ．10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
B ．1,02⎛⎫-
⎪⎝⎭和1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
C ．1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
D ．1,2⎛
⎫-∞-
⎪⎝
⎭和10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】C 【解析】
因为()2
2ln f x x x =-的定义域为(0,)+∞，1
()4f x x x
'=-
， 由()0f x '>，得140x x -
>，解得12x >，
所以()f x 的递增区间为1
(,)2
+∞. 故选：C.
7．（2020·四川内江市·高三三模（文））函数x
y x e =⋅的图像大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】
'(1)x y x e =+⋅，当1x >-时，'0y >，当1x <-时，'0y <，所以函数x y x e =⋅在(1,)-+∞
上单调递增，在(,1)-∞-上单调递减. 故选：C
8．（2020·广东深圳市·高三开学考试）已知函数()f x 与f x 的图象如图所示，则不等式组()()
03
f x f x x '<⎧⎨
<<⎩解集为（ ）
A ．0,1
B ．()1,3
C ．1,2
D ．()1,4
【答案】B 【解析】
由导函数与原函数单调性关系知图中实线是()'
f x 的图象，虚线是()f x 的图象，不等式组()()
03f x f x x <⎧⎨<<'⎩
解
集是{|13}x x <<． 故选：B ．
9．（2020·全国高三专题练习）已知()'
f x 是定义在R 上的函数()f x 的导函数，且满足()()0xf x f x '+>对任
意的x ∈R 都成立，则下列选项中一定正确的是（ ） A ．(2)
(1)2
f f > B ．
(1)
(2)2
f f > C ．(2)
(1)2
f f <
D ．
(1)
(2)2
f f < 【答案】D 【解析】
令()()F x xf x =，则()()()0xf x x F x f '='+>，故()F x 为R 上的增函数， 所以()()21F F >即()()221f f >， 故选：D.
10．（2020·黄梅国际育才高级中学高二期中）已知函数()2
ln 1f x x a x =-+在()1,3内不是单调函数，则
实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,18 B ．[]2,18
C ．(][),218,-∞+∞
D ．[)2,18
【答案】A 【解析】 ∵()'2a f x x x
=-，()2
ln 1f x x a x =-+在()1,3内不是单调函数， 故20a
x x
-
=在()1,3存在变号零点，即22a x =在()1,3存在零点， ∴218a <<. 故选：A.
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）
11．（2020·长顺县文博高级中学有限公司高三月考）函数32
2611y x x =-+的单调减区间是__________.
【答案】()0,2 【解析】
()261262y x x x x '=-=-，令0y '<，解得02x <<，
所以函数的单调减区间为()0,2. 故答案为：()0,2
12．（2020·全国高三专题练习）函数()52ln f x x x =-的单调递减区间是______．
【答案】20,5⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解析】
()f x 的定义域是()0,∞+，
()252'5x f x x x
-=-
=， 令()'0f x <，解得：2
05
x <<
，
所以()f x 在20,5⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，故答案为20,
.5⎛⎫ ⎪⎝⎭
13．（2019·全国高三月考（文））已知0a >，函数3
()2f x x ax =-在[1,)+∞上是单调增函数，则a 的最大
值是_______． 【答案】6 【解析】
2()6f x x a '=-，令()0f x '>，得6a x >
6a x <-16
a
≤，解得6a ． 故答案为：6
14．（2018·全国高二专题练习） 函数()3
2
267f x x x =-+在区间______上是增函数，在区间______上
是减函数．
【答案】(),0-∞和()2,+∞ ()0,2 【解析】
2'()612f x x x =-=6(2)x x -，令'()0f x <，解得：02x <<，
令'()0f x >，解得：0x <或2x >.函数()32
267f x x x =-+在区间(,0)-∞,(2,)+∞上是增函数，在区
间(0,2)上是减函数．
15．（2020·浙江高一期末）已知2
()(3)f x x b x =+-是定义在R 上的偶函数，则实数b =_____，写出函数
2
()2g x x x
=
+-在(0,)+∞的单调递增区间是______ 【答案】3 )
2,+∞
【解析】
()f x 是定义在R 上的偶函数，
()()f x f x ∴-=，()2
2(3)(3)x b x x b x ∴---=+-，解得3b =，
(
)(
22
21x x g x x x
+'=-+=， 令()0g x '>
，解得x >
()g x ∴
的单调递增区间是
)
+∞.
故答案为：3
；
)
+∞.
16．（2020·全国高三专题练习）已知()lg f x x x =，那么()f x 单调递增区间__________；()f x 单调递减区间__________.
【答案】1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭ 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解析】
因为()lg f x x x =,故11
()lg lg lg lg lg ln10ln10
f x x x x x e ex x '=+⋅=+=+=.
令()0f x '=可得1ex =,即1x e
=
. 又()f x '
为增函数,故当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时,()0f x '<,()f x 单调递减；
当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时, ()0f x '>,()f x 单调递增.
故答案为：(1) 1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭；(2)10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
17．（2019·山西运城市·高三期中（文））设函数()-=-x x
f x e ae （a 为常数）.若()f x 为奇函数，则
a =________；若()f x 是[2,2]-上的减函数，则a 的取值范围是________.
【答案】1 4
1
≥-a e 【解析】 （1）若()-=-x
x f x e
ae 为奇函数
则()()x
x
x x f x e ae x e ae f --=-=-+-=-，则1a =
（2）若()f x 是[2,2]-上的减函数，则()x x
f x e ae -'=--在[2,2]-上小于或者等于零，即0
x x e ae ---≤在[2,2]-上恒成立，2x e a --≤，可知2x
y e
-=-在[2,2]-上单调递增，所以4
1≥-
a e .
三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分） 18．（2020·甘肃省岷县第二中学高二期中（理））求函数()3
3f x x x =-的递减区间.
【答案】()1,1- 【解析】 ∵233f
x
x ，
∴令2
330x ，解得11x -<<.
∴函数()3
3f x x x =-的递减区间为()1,1-.
19．（2019·甘肃省武威第一中学高二月考（理））求函数ln ()(0)x
f x x x
=
>的单调区间． 【答案】增区间为(0e)，
，减区间为(e )+∞，. 【解析】 由()f x 得()()222
1
·
ln ln ''ln 1ln 'x x
x x x x x x f x x x x ---===
， 令()'0f x =，即21ln 0x
x -=，得1ln 0x -=，从而e x =，
令()'0f x >，即21ln 0x
x ->，得e x <，此时()f x 为增函数，又0x >，得增区间为()0e ，，
令()'0f
x <，即21ln 0x
x
-<，得e x >，此时()f x 为减函数，减区间为()e +∞，.
20．（2020·横峰中学月考（文））已知()1x
f x e ax =--. （1）当2a =时，讨论()f x 的单调区间；
（2）若()f x 在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围.
【答案】（1）()f x 的单调递增区间为()ln 2,+∞，单调递减区间为(),ln 2-∞；（2）0a ≤ 【解析】
（1）当2a =时，()21x
f x e x =--
则()'
2x f x e =-，
令()'
20x f x e =->，得ln 2x > 令()'
20x f
x e =-<，得ln 2x <
所以()f x 的单调递增区间为()ln 2,+∞ 单调递减区间为(),ln 2-∞
（2）由题可知：()f x 在定义域R 内单调递增 等价于()'
0x f x e a =-≥
由()'
x f
x e a =-在R 上单调递增，又0x e >
则000a a -≥⇒≤
21．（2020·西宁市海湖中学高二月考（文））已知函数()3
1f x x ax =--. （1）若()f x 在区间(1,)+∞上为增函数，求a 的取值范围. （2）若()f x 的单调递减区间为(1,1)-，求a 的值. 【答案】（1）(],3-∞；（2）3. 【解析】
（1）因为()2
3f x x a '=-，且()f x 在区间(1,)+∞上为增函数，
所以()0f x '≥在(1,)+∞上恒成立，即230x a -≥在(1，+∞)上恒成立， 所以23a x ≤在(1,)+∞上恒成立，所以3a ≤，即a 的取值范围是(],3-∞ （2）由题意知0a >.因为()3
1f x x ax =--，所以()2
3f x x a '=-.
由()0f x '<，得33
a
a x -
<<， 所以()f x 的单调递减区间为(,)33
a a -
， 又已知()f x 的单调递减区间为(1,1)-，
所以(,)33
a a -
=(1,1)-， 所以
13
a
=，即3a =. 22.已知函数，其中.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求的单调区间.
【答案】（Ⅰ）．
（Ⅱ）①当时，的单调递减区间为；单调递增区间为，．
②当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为
，．
③当时，为常值函数，不存在单调区间．
④当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为，．【解析】
（Ⅰ）解：当时，，．……2分
由于，，
所以曲线在点处的切线方程是． ……4分
（Ⅱ）解：，． …………6分
①当时，令，解得．
的单调递减区间为；单调递增区间为，．…8分
当时，令，解得，或．
②当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为
，． ……10分
③当时，为常值函数，不存在单调区间．……………11分
④当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为
，． …………14分。