超实用高考数学专题复习：第九章平面解析几何 第7节抛物线

3
5
7
A.4
B.1
C.4
D.4
解析 如图所示，设抛物线的准线为 l，AB 的中点为 M，作
AA1⊥l 于点 A1，BB1⊥l 于点 B1，MM1⊥l 于点 M1，由抛物线
的方程知 p＝12，由抛物线定义知|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|＝3，
所以点 M 到 y 轴的距离为|MM1|－p2＝12(|AA1|＋|BB1|)－p2＝12×3
(1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )
(2)方程 y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是a4，0，
准线方程是 x＝－a4.(
)
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )
(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.( )
第7节 抛物线
考试要求 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作
用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
养成良好的答题习惯，是决定高考数学成败的决定性因素之一。做题前，要 认真阅读题目要求、题干和选项，并对答案内容作出合理预测;答题时，切忌跟 着感觉走，最好按照题目序号来做，不会的或存在疑问的，要做好标记，要善 于发现，找到题目的题眼所在，规范答题，书写工整;答题完毕时，要认真检查 ，查漏补缺，纠正错误。总之，在最后的复习阶段，学生们不要加大练习量。 在这个时候，学生要尽快找到适合自己的答题方式，最重要的是以平常心去面 对考试。数学最后的复习要树立信心，考试的时候遇到难题要想“别人也难” ，遇到容易的则要想“细心审题”。越到最后，考生越要回归基础，单词最好 再梳理一遍，这样有利于提高阅读理解的效率。另附高考复习方法和考前30天 冲刺复习方法。
2.(老教材选修2－1P72A1改编)顶点在原点，且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是 ________________. 解析 设抛物线的标准方程是 y2＝kx 或 x2＝my，代入点 P(－2，3)，解得 k＝－92，m ＝43，所以 y2＝－92x 或 x2＝43y. 答案 y2＝－92x 或 x2＝43y
【训练1】 (1)设抛物线y2＝2px的焦点在直线2x＋3y－8＝0上，则该抛物线的准线方程
为( ) A.x＝－4
B.x＝－3
C.x＝－2
D.x＝－1
(2)(2020·佛山模拟)已知抛物线 x2＝2py(p＞0)的焦点为 F，准线为 l，点 P(4，y0)在
抛物线上，K 为 l 与 y 轴的交点，且|PK|＝ 2|PF|，则 y0＝________. 解析 (1)直线2x＋3y－8＝0与x轴的交点为(4，0)，∴抛物线y2＝2px的焦点为(4，0)，
解析 (1)如图1，由抛物线定义可知，|PF|＝|PH|，|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PH|，从而最 小值为A到准线的距离为3.
(2)如图 2，当 P，A，F 三点共线，且 P 在 FA 延长线上时，|PA|－|PF|有最小值为－ |AF|＝－ 2.当 P，A，F 三点共线，且 P 在 AF 延长线上时，|PA|－|PF|有最大值为|AF| ＝ 2.故|PA|－|PF|最小值为－ 2，最大值为 2. 答案 (1)3 (2)－ 2 2
规律方法 解决到点与准线的距离之和最值问题，先将抛物线上的点到准线的距离 转化为到焦点的距离，再构造出“两点之间线段最短”，使问题得解.
角度3 动弦中点到坐标轴距离最短问题
【例2－3】 已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距
离为( )
3
3
A.4
B.2
C.1
D.2
以△PAF 的面积为 43×|FA|2＝ 43×42＝4 3.故选 B. (3)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相 等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x. 答案 (1)D (2)B (3)y2＝4x
规律方法 1.应用抛物线定义的两个关键点 (1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)抛物线焦点 到准线的距离为p. 2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向， 在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就 可以确定抛物线的标准方程. 3.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点 来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.
－14＝54，故选 C.
答案 C
6.(2019·昆明诊断)已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物线有公共 点，则直线l的斜率的取值范围是________. 解析 由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程， 消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；当k≠0时，Δ＝ (4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1，因此k的取值范围是 [－1，1]. 答案 [－1，1]
＋|BB1|≥6，2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故点 M 到 x 轴的距离 d≥2，故选 D.
答案 D
规律方法 解决动弦中点到坐标轴距离最短问题 将定长线段的中点到准线的距离转化为线段端点到准线距离之和的一半，再根据三 角形中两边之和大于第三边得出不等式求解.
角度4 焦点弦中距离之和最小问题 【例2－4】 已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分
∴准线方程为x＝－4.
(2)作 PM⊥l，垂足为 M，由抛物线定义知|PM|＝|PF|，又知|PK|＝ 2|PF|，∴在直角
三角形 PKM 中，sin∠PKM＝||PPMK||＝||PPKF||＝ 22，∴∠PKM＝45°，∴△PMK 为等腰 py0＝8，
直角三角形，∴|PM|＝|MK|＝4，又知点 P 在抛物线 x2＝2py(p＞0)上，∴y0＋p2＝4， 解得py0＝＝42，. 答案 (1)A (2)2
知识梳理
1.抛物线的定义 (1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离__相__等___的点的轨迹叫做抛物线.点 F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的__准__线___. (2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
图形
标准 方程
规律方法 1.解决到焦点与定点距离之和最小问题，先将抛物线上的点到焦点的距 离转化为到准线的距离，再结合图形解决问题. 2.到两定点距离之差的最值问题，当且仅当三点共线时取最值.
角度2 到点与准线的距离之和最值问题 【例2－2】 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到
3. (老教材选修2－1P67A3改编)抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点的个数为 ________. 解析 设 P(x1，y1)，则|PF|＝x1＋2＝5，得 x1＝3，y1＝±2 6.故满足条件的点的个数 为 2.
答案 2
4.(2019·全国Ⅱ卷)若抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆3xp2 ＋yp2＝1 的一个焦点，则 p＝ ()
开口方向 向右
向左
向上
向下
[常用结论与微点提醒] 1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于 2p，通径是过焦点最短的弦. 2.抛物线 y2＝2px(p>0)上一点 P(x0，y0)到焦点 Fp2，0的距离|PF|＝x0＋p2，也称为抛
物线的焦半径.
诊断自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
解析 由题意知，抛物线的准线 l：y＝－1，过点 A 作 AA1⊥l 交 l 于点 A1，过点 B
作 BB1⊥l 交 l 于点 B1，设弦 AB 的中点为 M，过点 M 作 MM1⊥l 交 l 于点 M1，则|MM1|
＝|AA1|＋2 |BB1|.因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F 为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，所以|AA1|
y2＝2px (p>0)
y2＝－2px (p>0)
x2＝2py (p>0)
x2＝－2py (p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
Fp2，0
F－p2，0
F0，p2
F0，－p2
性质 离心率
e＝1
准线方程 x＝－p2
x＝p2
y＝－p2
y＝p2
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
PA⊥l，A 为垂足，若直线 AF 的斜率为－ 3，则△PAF 的面积为( )
A.2 3
B.4 3
C.8
D.8 3
(3)动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.
解析 (1)由已知可知双曲线的焦点为(－ 2，0)，( 2，0).设抛物线方程为 y2＝ ±2px(p>0)，则p2＝ 2，所以 p＝2 2，所以抛物线方程为 y2＝±4 2x.故选 D. (2)设准线与 x 轴交于点 Q，因为直线 AF 的斜率为－ 3，|FQ|＝2，所以∠AFQ＝60°， |FA|＝4，又因为|PA|＝|PF|，∠PAF＝60°，所以△PAF 是边长为 4 的等边三角形，所
考点二 与抛物线有关的最值问题
多维探究
角度1 到焦点与定点距离之和(差)最值问题
【例2－1】 点P为抛物线y2＝4x上的动点，点A(2，1)为平面内定点，F为抛物线焦点，
则： (1)|PA|＋|PF|的最小值为________；
(2)(多填题)|PA|－|PF|的最小值为________，最大值为________.
考点一 抛物线的定义、标准方程及其性质
【例1】 (1)已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物
线C的方程是( )
A.y2＝±2 2x
B.y2＝±2x
C.y2＝±4x
D.y2＝±4 2x
(2)(2020·福州联考)设抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，准线为 l，P 为该抛物线上一点，
直线x＝－1的距离之和的最小值为________. 解析 如图，易知抛物线的焦点为 F(1，0)，准线是 x＝－1， 由抛物线的定义知点 P 到直线 x＝－1 的距离等于点 P 到 F 的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点 P，使点 P 到 点 A(－1，1)的距离与点 P 到 F(1，0)的距离之和最小，显 然，连接 AF 与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最 小值为 [1－（－1）]2＋（0－1）2＝ 5. 答案 5
别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________. 解析 由题意知F(1，0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最 小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知，当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时 为最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为2. 答案 2 规律方法 过抛物线的焦点且与抛物线的对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，通径 是抛物线所有过焦点的弦中最短的，若能将问题转化为与通径有关的问题，则可以 用通径最短求最值.
A.2
B.3
C.4
D.8
解析 由题意知，抛物线的焦点坐标为p2，0，椭圆的焦点坐标为± 2p，0，所以p2
＝ 2p，解得(2020·河南中原名校联考)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是抛物线上的两点，且
|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )
(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的 通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.( ) 解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线，而非抛 物线. (2)方程 y＝ax2(a≠0)可化为 x2＝1ay，是焦点在 y 轴上的抛物线，且其焦点坐标是 0，41a，准线方程是 y＝－41a. (3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形. (4)一条直线平行抛物线的对称轴，此时与抛物线只有一个交点，但不相切. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√