2022年中考数学满分攻略全等三角形

2022年中考数学专题复习
第4.3讲全等三角形
★★★知识梳理★★★
知识点一、全等三角形的概念和性质
1．两个三角形叫做全等三角形.
2．全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角，全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高线）、周长、面积分别对应.
知识点二、全等三角形的判定
1．全等三角形的判定方法：
（1）基本事实：对应相等的两个三角形全等，简记为“边边边”或“SSS”；
（2）基本事实：对应相等的两个三角形全等，简记为“边角边”或“SAS”；（3）基本事实：对应相等的两个三角形全等，简记为“角边角”或“ASA”；（4）对应相等的两个三角形全等，简记为“角角边”或“AAS”；（5）对应相等的两个直角三角形全等，简记为“斜边、直角边”或“HL”；2．证明三角形全等的一般思路如下：
（1）若已知两边对应相等，则找第三条边（SSS）或它们的夹角（SAS）或找直角（HL）（2）若已知两角对应相等，则找它们的夹边（ASA）或其中一角的对边（AAS）；
（3）若已知一边和邻角对应相等，则找这边的另一邻角（ASA）或找这边的对角（AAS）或找这个角的另一边（SAS）；
（4）若已知一边和它的对角对应相等，则找一角（AAS）或已知角为直角的情况下，找一
边（HL）.
★★★中考典例剖析★★★
考点一：平移类型
例1 （2021·大连）如图，点A，D，B，E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF．求证：BC＝EF．
【跟踪训练】
1.（2021·衡阳）如图，点A、B、D、E在同一条直线上，AB＝DE，AC∥DF，BC∥EF．
求证：△ABC≌△DEF．
考点二：轴对称类型
例2 （2021·杭州）在①AD＝AE，②∠ABE＝∠ACD，③FB＝FC这三个条件中选择其中一个，并完成问题的解答．
问题：如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB（不与点A，点B重合），点E在AC边上（不与点A，点C重合），连接BE，BE与CD相交于点F．若，求证：BE＝CD．（注：
如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分）
【跟踪训练】
2.（2021·吉林）如图，点D在AB上，E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C.
求证：AD＝AE．
3.（2021云南）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC＝BD，AC与BD相交于点E．求证：∠DAC＝∠CBD．
考点三：一线三等角类型
例3 （2021·南充）如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE ⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．求证：AF＝BE．
【跟踪训练】
4.（2020·宁波）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）
A．△ABC的周长B．△AFH的周长
C．四边形FBGH的周长D．四边形ADEC的周长
考点四：旋转型
例4 （2021·黄石）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，DE＝EF．（1）求证：△ADE≌△CFE；（2）若AB＝5，CF＝4，求BD的长．
【跟踪训练】
5.（2021·重庆）如图，点B，F，C，E共线，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（）
A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥FD
例5 （2021·徐州）如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE与BD交于点F.（1）求证：AE＝BD；（2）求∠AFD的度数.
【跟踪训练】
6.（2021·威海）如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE．连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G．若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是（）
A．∠ADC＝∠AEB B．CD∥AB C．DE＝GE D．BF2＝CF·AC
★★★真题达标演练★★★
1.（2021·兰州）如图，点E，C在线段BF上，∠A＝∠D，AB∥DE，BC＝EF.求证：AC ＝DF．
2.（2021·新疆）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且
BE＝CF．
求证：（1）△ABE≌△DCF；
（2）四边形AEFD是平行四边形．
3.（2021·盐城）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别在取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线．这里构造全等三角形的依据是（）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
4.（2021·济宁）如图，四边形ABCD中，∠BAC＝∠DAC，请补充一个条
件，使△ABC≌△ADC．
5.（2021·台州）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝20，BC ＝DC ＝.
（1）求证：△ABC ≌△ADC ；
（2）当∠BCA ＝45°时，求∠BAD 的度数．
6.（2021·重庆）如图，在△ABC 和△DCB 中，∠ACB ＝∠DBC ，添加一个条件，不能证明△ABC 和△DCB 全等的是（ ）
A ．∠ABC ＝∠DC
B B ．AB ＝D
C C ．AC ＝DB
D ．∠A ＝∠D
7.（2021·无锡）已知：如图，AC ，DB 相交于点O ，AB ＝DC ，∠ABO ＝∠DCO ． 求证：（1）△ABO ≌△DCO ；（2）∠OBC ＝∠OCB ．
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8.（2021·南京）如图，AC与BD交于点O，OA＝OD，∠ABO＝∠DCO，E为BC延长线上一点，过点E作EF∥CD，交BD的延长线于点F．
（1）求证：△AOB≌△DOC；
（2）若AB＝2，BC＝3，CE＝1，求EF的长．
9.（2021·福建）如图，在△ABC中，D是边BC上的点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE＝DF，CE＝BF．求证：∠B＝∠C．
10.（2021·成都）如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以
下条件不能判定△ABE≌△ADF的是（）
A．BE＝DF B．∠BAE＝∠DAF C．AE＝AD D．∠AEB＝∠AFD
11.（2021·菏泽）如图，在菱形ABCD中，点M、N分别在AB、CB上，且∠ADM＝∠CDN，求证：BM＝BN．
12.（2021·铜仁）如图，AB交CD于点O，在△AOC与△BOD中，有下列三个条件：
①OC＝OD，②AC＝BD，③∠A＝∠B．请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结论（只要求写出一种正确的选法）．（1）你选的条件为，结论为；
（2）证明你的结论．
13.（2021·柳州）如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，
连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么？
14.（2021·广州）如图，点E、F在线段BC上，AB∥CD，∠A＝∠D，BE＝CF.
证明：AE＝DF．
15.（2021·怀化）已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E、A、C、F在同一直线上，AE＝CF．求证：（1）△ADE≌△CBF；（2）ED∥BF．
16.（2021·哈尔滨）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（）
A．30°B．25°C．35°D．65°
17.（2021·齐齐哈尔）如图，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是．（只需写出一个条件即可）
18.（2021·湘西州）如图，在△ABC中，点D在AB边上，CB＝CD，将边CA绕点C 旋转到CE的位置，使得∠ECA＝∠DCB，连接DE与AC交于点F，且∠B＝70°，∠A ＝10°．（1）求证：AB＝ED；（2）求∠AFE的度数．
19.（2020·黔东南）如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形．
探究发现
（1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．
拓展运用
（2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长．（3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长．
20.（2021·深圳）如图，已知反比例函数过A，B两点，A点坐标（2，3），直线AB经过原点，将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，则C点坐标为.
21.（2021·福建）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．线段EF是由线段AB平移得到的，点F在边BC上，△EFD是以EF为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在AC的延长线上．（1）求证：∠ADE＝∠DFC；（2）求证：CD＝BF．
22.（2021·西藏）如图，AB∥DE，B，C，D三点在同一条直线上，∠A＝90°，EC⊥BD，且AB＝CD．求证：AC＝CE．
23.（2021·陕西）如图，BD∥AC，BD＝BC，且BE＝AC．求证：∠D＝∠ABC．
2022年中考数学专题复习
第4.3讲全等三角形
★★★知识梳理★★★
知识点一、全等三角形的概念和性质
1．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
2．全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等，全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高线）、周长、面积分别对应相等.
知识点二、全等三角形的判定
1．全等三角形的判定方法：
（1）基本事实：三边对应相等的两个三角形全等，简记为“边边边”或“SSS”；
（2）基本事实：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，简记为“边角边”或“SAS”；（3）基本事实：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，简记为“角边角”或“ASA”；（4）两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为“角角边”或“AAS”；（5）斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为“斜边、直角边”或“HL”；2．证明三角形全等的一般思路如下：
（1）若已知两边对应相等，则找第三条边（SSS）或它们的夹角（SAS）或找直角（HL）（2）若已知两角对应相等，则找它们的夹边（ASA）或其中一角的对边（AAS）；
（3）若已知一边和邻角对应相等，则找这边的另一邻角（ASA）或找这边的对角（AAS）或找这个角的另一边（SAS）；
（4）若已知一边和它的对角对应相等，则找一角（AAS）或已知角为直角的情况下，找一
边（HL）.
★★★中考典例剖析★★★
考点一：平移类型
例1 （2021·大连）如图，点A，D，B，E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF．求证：BC＝EF．
【思路分析】根据线段的和差得到AB＝DE，由平行线的性质得到∠A＝∠EDF，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解析】证明：∵AD＝BE
∴AD＋BD＝BE＋BD，即AB＝DE
∵AC∥DF
∴∠A＝∠EDF
又∵AC＝DF
∴△ABC≌△DEF（SAS）
∴BC＝EF
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键.
【跟踪训练】
1.（2021·衡阳）如图，点A、B、D、E在同一条直线上，AB＝DE，AC∥DF，BC∥EF．
求证：△ABC≌△DEF．
【解析】证明：∵AC∥DF
∴∠CAB＝∠FDE
∵BC∥EF
∴∠CBA ＝∠FED 在△ABC 和△DEF 中 ∴△ABC ≌△DEF （ASA ） 考点二：轴对称类型
例2 （2021·杭州）在①AD ＝AE ，②∠ABE ＝∠ACD ，③FB ＝FC 这三个条件中选择其中一个，并完成问题的解答．
问题：如图，在△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB （不与点A ，点B 重合），点E 在AC 边上（不与点A ，点C 重合），连接BE ，BE 与CD 相交于点F ．若 ，求证：BE ＝CD ．（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分）
【思路分析】若选择条件①，利用∠ABC ＝∠ACB 得到AB ＝AC ，则可根据“SAS ”可判断△ABE ≌△ACD ，从而得到BE ＝CD ；选择条件②，利用∠ABC ＝∠ACB 得到AB ＝AC ，则可根据“ASA ”可判断△ABE ≌△ACD ，从而得到BE ＝CD ；选择条件③，利用∠ABC ＝∠ACB 得到AB ＝AC ，再证明∠ABE ＝∠ACD ，则可根据“ASA ”可判断△ABE ≌△ACD ，从而得到BE ＝CD ．
【解析】证明：选择条件①的证明为： ∵∠ABC ＝∠ACB ∴AB ＝AC
在△ABE 和△ACD 中 ∴△ABE ≌△ACD （SAS ） ∴BE ＝CD
选择条件②的证明为：
⎪⎩
⎪
⎨⎧∠=∠=∠=∠FED CBA DE
AB FDE CAB ⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=AD AE A A AC AB
∵∠ABC ＝∠ACB ∴AB ＝AC
在△ABE 和△ACD 中 ∴△ABE ≌△ACD （ASA ） ∴BE ＝CD
选择条件③的证明为： ∵FB ＝FC ∴∠EBC ＝∠DCB ∵∠ABC ＝∠ACB ∴∠DBC ＝∠ECB 在△DCB 和△EBC 中 ∴△DCB ≌△EBC （SAS ） ∴BE ＝CD
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键. 【跟踪训练】
2.（2021·吉林）如图，点D 在AB 上，E 在AC 上，AB ＝AC ，∠B ＝∠C. 求证：AD ＝AE ．
【解析】证明：在△ABE 与△ACD 中 ∴△ACD ≌△ABE （ASA ）
⎪⎩
⎪
⎨⎧∠=∠=∠=∠A A AC
AB ACD ABE ⎪⎩
⎪
⎨⎧∠=∠=∠=∠EBC DCB CB
BC ECB DBC ⎪⎩
⎪
⎨⎧∠=∠=∠=∠C B AC AB A A
∴AD ＝AE
3.（2021云南）如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，AC ＝BD ，AC 与BD 相交于点E ． 求证：∠DAC ＝∠CBD ．
【解析】证明：在△DCA 和△DCB 中
∴△CDA ≌△DCB （SSS ） ∴∠DAC ＝∠CBD 考点三：一线三等角类型
例3 （2021·南充）如图，∠BAC ＝90°，AD 是∠BAC 内部一条射线，若AB ＝AC ，BE ⊥AD 于点E ，CF ⊥AD 于点F ．求证：AF ＝BE ．
【思路分析】根据AAS 证明△BAE ≌△ACF ，再根据全等三角形的对应边相等即可得解． 【解析】证明：∵∠BAC ＝90° ∴∠BAE ＋∠FAC ＝90° ∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ∴∠BEA ＝∠AFC ＝90° ∴∠BAE ＋∠EBA ＝90° ∴∠EBA ＝∠FAC 在△ACF 和△BAE 中
⎪⎩
⎪
⎨⎧===CD DC BD AC BC AD
∴△ACF ≌△BAE(AAS) ∴AF ＝BE
【点评】本题考查三角形全能的判定与性质，解题关键是根据已知条件证明△ACF ≌△BAE. 【跟踪训练】
4.（2020·宁波）△BDE 和△FGH 是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC 内．若求五边形DECHF 的周长，则只需知道（ ）
A ．△ABC 的周长
B ．△AFH 的周长
C ．四边形FBGH 的周长
D ．四边形ADEC 的周长
【解析】∵△GFH 为等边三角形 ∴FH ＝GH ，∠FHG ＝60° ∴∠AHF ＋∠GHC ＝120° ∵△ABC 为等边三角形
∴AB ＝BC ＝AC ，∠ACB ＝∠A ＝60° ∴∠GHC ＋∠HGC ＝120° ∴∠AHF ＝∠HGC ∴△AFH ≌△CHG （AAS ） ∴AF ＝CH
∵△BDE 和△FGH 是两个全等的等边三角形 ∴BE ＝FH
∴五边形DECHF 的周长＝DE ＋CE ＋CH ＋FH ＋DF ＝BD ＋CE ＋AF ＋BE ＋DF ＝（BD ＋DF ＋AF ）＋（CE ＋BE ）＝AB ＋BC ∴只需知道△ABC 的周长即可 故选：A ．
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠∠=∠BA AC EBA FAC BEA AFC
考点四：旋转型
例4 （2021·黄石）如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，CF ∥AB ，DF 交AC 于E 点，DE ＝EF ．（1）求证：△ADE ≌△CFE ；（2）若AB ＝5，CF ＝4，求BD 的长．
【思路分析】（1）先根据CF ∥AB 可得∠ADF ＝∠F ，∠A ＝∠ECF ，再结合DE ＝EF 即可证明△ADE ≌△CFE （AAS ）；（2）由（1）得出AD ＝CF ，利用BD ＝AB ﹣AD 即可求解. 【解析】（1）证明：∵CF ∥AB ∴∠ADF ＝∠F ，∠A ＝∠ECF 在△ADE 和△CFE 中 ∴△ADE ≌△CFE （AAS ） （2）∵△ADE ≌△CFE ∴AD ＝CF ＝4
∴BD ＝AB ﹣AD ＝5﹣4＝1
【点评】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质，解决问的关键在于熟练掌握全等三角形的判定方法. 【跟踪训练】
5.（2021·重庆）如图，点B ，F ，C ，E 共线，∠B ＝∠E ，BF ＝EC ，添加一个条件，不能判断△ABC ≌△DEF 的是（ ）
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠∠=∠FE DE F ADE FCE A
A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥FD
【解析】证明：∵BF＝EC
∴BF＋FC＝EC＋FC，即BC＝EF
又∵∠B＝∠E
∴添加条件为AB＝DE时，△ABC≌△DEF（SAS），故A不符合题意；
添加条件为∠A＝∠D时，△ABC≌△DEF（AAS），故B不符合题意；
添加条件为AC＝DF时，无法判断△ABC≌△DEF，故C符合题意；
添加条件为AC∥FD时，则∠ACB＝∠DFE，故△ABC≌△DEF（ASA），故D不符合题意；
故选：C．
例5 （2021·徐州）如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE与BD交于点F.（1）求证：AE＝BD；（2）求∠AFD的度数.
【思路分析】（1）先证明∠ACE＝∠BCD，再证明△ACE≌△BCD（SAS）即可得到AE＝BD；（2）由△ACE≌△BCD得到∠A＝∠B，由对顶角得到∠ANC＝∠BNF，推出∠ACN ＝∠BFN＝90°，即可求得∠AFD的度数.
【解析】（1）证明：∵AC⊥BC，DC⊥EC
∴∠ACB＝∠ECD＝90°
∴∠ACB＋∠BCE＝∠ECD＋∠BCE，即∠ACE＝∠BCD
在△ACE和△BCD中
∴△ACE ≌△BCD （SAS ） ∴AE ＝BD
（2）解：如图，设AE 与BC 交于点N
∵△ACE ≌△BCD ∴∠A ＝∠B
对顶角性质可知：∠ANC ＝∠BNF ∵∠ACB ＝90° ∴∠A ＋∠ANC ＝90° ∴∠B ＋∠BNF ＝90°
∴∠NFD ＝90°即∠AFD ＝90°
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和与外角定理，解决问的关键在于找到全等的三角形. 【跟踪训练】
6.（2021·威海）如图，在△ABC 和△ADE 中，∠CAB ＝∠DAE ＝36°，AB ＝AC ，AD ＝AE ．连接CD ，连接BE 并延长交AC ，AD 于点F ，G ．若BE 恰好平分∠ABC ，则下列结论错误的是（ ）
A ．∠ADC ＝∠AE
B B ．CD ∥AB
C ．DE ＝GE
D ．BF 2＝CF ·AC
【解析】①∵∠CAB ＝∠DAE ＝36°
∴∠CAB ﹣∠CAE ＝∠DAE ﹣∠CAE ，即∠DAC ＝∠EAB
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=DC EC BCD ACE BC AC
又∵AB＝AC，AD＝AE
∴△DAC≌△EAB（SAS）
∴∠ADC＝∠AEB，故A选项不符合题意；
②∵∠CAB＝∠DAE＝36°
∴∠ACB＝∠ABC＝（180°﹣36°）÷2＝72°
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE＝∠CBE＝36°
由①可知∠DCA＝∠EBA＝36°，∠CAB＝36°
∴CD∥AB，故B选项不符合题意；
③假设DE＝GE，则∠DGE＝∠ADE＝72°，∠DEG＝180°﹣2×72°＝36°∴∠AEG＝∠AED﹣∠DEG＝72°﹣36°＝36°
∵∠ABE＝36°，∠AEG是△ABE的一个外角
∴∠AEG＝∠EAB＋∠ABE
而事实上∠AEG≠∠EAB＋∠ABE
∴假设不成立，故C选项符合题意；
④∵∠CAB＝∠CBF＝36°，∠C＝∠C＝72°
∴△ABC∽△BCF
∴BC2＝CF·AC
又∵BC＝BF
∴BF2＝CF·AC，故D选项不符合题意
故选：C．
★★★真题达标演练★★★
1.（2021·兰州）如图，点E ，C 在线段BF 上，∠A ＝∠D ，AB ∥DE ，BC ＝EF.求证：AC ＝DF ．
【解析】证明：∵AB ∥DE ∴∠B ＝∠DEF 在△ABC 和△DEF 中 ∴△ABC ≌△DEF （SSS ） ∴AC ＝DF
2.（2021·新疆）如图，在矩形ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在BC 的延长线上，且BE ＝CF ．
求证：（1）△ABE ≌△DCF ； （2）四边形AEFD 是平行四边形．
【解析】证明：（1）∵四边形ABCD 是矩形
∴AB ＝CD ，∠ABC ＝∠DCB ＝90°，AD ＝BC ，AD ∥BC ∴∠ABE ＝∠DCF ＝90° 在△ABE 和△DCF 中 ∴△ABE ≌△DCF （SAS ） （2）∵四边形ABCD 为矩形
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠∠=∠EF BC DEF B D A ⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=CF BE DCF ABE DC AB
∴AD ∥BC ，即AD ∥EF ，AD ＝BC ∵BE ＝CF
∴BE ＋EC ＝CF ＋EC ，即BC ＝EF ∴AD ＝EF
∴四边形AEFD 是平行四边形
3.（2021·盐城）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB 的两边OA 、OB 上分别在取OC ＝OD ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C 、D 重合，这时过角尺顶点M 的射线OM 就是∠AOB 的平分线．这里构造全等三角形的依据是（ ）
A ．SAS
B ．ASA
C ．AAS
D ．SSS
【解析】证明：在△COM 和△DOM 中 ∴△COM ≌△DOM （SSS ）
∴∠COM ＝∠DOM ，即OM 是∠AOB 的平分线 故选：D ．
4.（2021·济宁）如图，四边形ABCD 中，∠BAC ＝∠DAC ，请补充一个条件 ，使△ABC ≌△ADC ．
【解析】当AB ＝AD 时，△ABC ≌△ADC （SAS ）； 当∠B ＝∠D 时，△ABC ≌△ADC （AAS ）； 当∠ACB ＝∠ACD 时，△ABC ≌△ADC （ASA ）；
⎪⎩
⎪
⎨⎧===MD MC OM OM OD OC
故答案为：AB ＝AD 或∠B ＝∠D 或∠ACB ＝∠ACD.
5.（2021·台州）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝20，BC ＝DC ＝.
（1）求证：△ABC ≌△ADC ；
（2）当∠BCA ＝45°时，求∠BAD 的度数． 【解析】（1）证明：在△ABC 和△ADC 中 ∴△ABC ≌△ADC （SSS ）
（2）如图，过点B 作BE ⊥AC 于点E
∵BE ⊥AC ，∠BCA ＝45° ∴△BCE 为等腰直角三角形 ∴BE ＝BC ·sin45°＝10 在RT △ABE 中，，即∠BAE ＝30° ∵△ABC ≌△ADC ∴∠BAC ＝∠DAC
∴∠BAD ＝2∠BAE ＝2×30°＝60°
6.（2021·重庆）如图，在△ABC 和△DCB 中，∠ACB ＝∠DBC ，添加一个条件，不能证明△ABC 和△DCB 全等的是（ ）
210⎪⎩
⎪
⎨⎧===AC AC DC BC AD AB 2
1
2010sin ===∠AB BE
BAE
A ．∠ABC ＝∠DC
B B ．AB ＝D
C C ．AC ＝DB
D ．∠A ＝∠D
【解析】在△ABC 和△DCB 中，∠ACB ＝∠DBC ，BC ＝BC A ：当∠ABC ＝∠DCB 时，△ABC ≌△DCB （ASA ），故A 能证明； B ：当AB ＝DC 时，不能证明两三角形全等，故B 不能证明； C ：当AC ＝DB 时，△ABC ≌△DCB （SAS ），故C 能证明； D ：当∠A ＝∠D 时，△ABC ≌△DCB （AAS ），故D 能证明； 故选：B ．
7.（2021·无锡）已知：如图，AC ，DB 相交于点O ，AB ＝DC ，∠ABO ＝∠DCO ． 求证：（1）△ABO ≌△DCO ；（2）∠OBC ＝∠OCB ．
【解析】证明：在△ABO 和△DCO 中 ∴△ABO ≌△DCO （AAS ） （2）由（1）知，△ABO ≌△DCO ∴OB ＝OC ∴∠OBC ＝∠OCB
8.（2021·南京） 如图，AC 与BD 交于点O ，OA ＝OD ，∠ABO ＝∠DCO ，E 为BC 延长线上一点，过点E 作EF ∥CD ，交BD 的延长线于点F ． （1）求证：△AOB ≌△DOC ；
（2）若AB ＝2，BC ＝3，CE ＝1，求EF 的长．
【解析】（1）证明：∵OA ＝OD ，∠ABO ＝∠DCO
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠∠=∠DC AB DCO ABO COD AOB
又∵∠AOB ＝∠DOC ∴△AOB ≌△DOC （AAS ）
（2）∵△AOB ≌△DOC ，AB ＝2，BC ＝3，CE ＝1 ∴AB ＝DC ＝2，BE ＝BC ＋CE ＝3＋1＝4 ∵EF ∥CD ∴△BEF ∽△BCD ∴
，即 ∴EF ＝
9.（2021·福建）如图，在△ABC 中，D 是边BC 上的点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，且DE ＝DF ，CE ＝BF ．求证：∠B ＝∠C ．
【解析】证明：∵DE ⊥AC ，DF ⊥AB ∴∠DEC ＝∠DFB ＝90° 在△DEC 和△DFB 中 ∴△DEC ≌△DFB （SAS ） ∴∠B ＝∠C
10.（2021·成都）如图，四边形ABCD 是菱形，点E ，F 分别在BC ，DC 边上，添加以下条件不能判定△ABE ≌△ADF 的是（ ）
BC BE CD EF =3
4
2=EF 3
8⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=BF CE DFB DEC DF
DE
A ．BE ＝DF
B ．∠BAE ＝∠DAF
C ．AE ＝A
D D ．∠AEB ＝∠AFD
【解析】由四边形ABCD 是菱形可得：AB ＝AD ，∠B ＝∠D A ：添加BE ＝DF ，可用SAS 证明△ABE ≌△ADF ，故不符合题意； B ：添加∠BAE ＝∠DAF ，可用ASA 证明△ABE ≌△ADF ，故不符合题意； C ：添加AE ＝AD ，不能证明△ABE ≌△ADF ，故符合题意；
D ：添加∠AEB ＝∠AFD ，可用AAS 证明△AB
E ≌△AD
F ，故不符合题意； 故选：C ．
11.（2021·菏泽）如图，在菱形ABCD 中，点M 、N 分别在AB 、CB 上，且∠ADM ＝ ∠CDN ，求证：BM ＝BN ．
【解析】证明：∵四边形ABCD 为菱形 ∴AD ＝CD ＝AB ＝BC ，∠A ＝∠C 在△AMD 和△CND 中 ∴△AMD ≌△CND （ASA ） ∴AM ＝CN
∴AB ﹣AM ＝BC ﹣CN ，即BM ＝CN
12.（2021·铜仁）如图，AB 交CD 于点O ，在△AOC 与△BOD 中，有下列三个条件：①OC ＝OD ，②AC ＝BD ，③∠A ＝∠B ．请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结论（只要求写出一种正确的选法）． （1）你选的条件为 ，结论为 ； （2）证明你的结论．
【解析】（1）由AAS ，选的条件是：①，③，结论是：②；
⎪⎩
⎪
⎨⎧∠=∠=∠=∠CDN ADM CD
AD C A
（2）证明：在△AOC 和△BOD 中 ∴△AOC ≌△BOD （AAS ） ∴AC ＝BD
13.（2021·柳州）如图，有一池塘，要测池塘两端A 、B 的距离，可先在平地上取一个点C ，从点C 不经过池塘可以直接到达点A 和B ，连接AC 并延长到点D ，使CD ＝CA ，连接BC 并延长到点E ，使CE ＝CB ，连接DE ，那么量出DE 的长就是A 、B 的距离，为什么？
【解析】证明：在△DEC 和△ABC 中 ∴△DEC ≌△ABC （SAS ） ∴DE ＝AB
14.（2021·广州）如图，点E 、F 在线段BC 上，AB ∥CD ，∠A ＝∠D ，BE ＝CF. 证明：AE ＝DF ．
【解析】证明：∵AB ∥CD ∴∠B ＝∠C 在△ABE 和△DCF 中 ⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠∠=∠OD OC BOD AOC B A ⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=CB CE ACB DCE CA CD ⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠∠=∠CF BE C B D A
∴△ABE ≌DCF （AAS ） ∴AE ＝DF
15.（2021·怀化）已知：如图，四边形ABCD 为平行四边形，点E 、A 、C 、F 在同一直线上，AE ＝CF ．求证：（1）△ADE ≌△CBF ；（2）ED ∥BF ．
【解析】证明：（1）∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴DA ＝BC ，DA ∥BC ∴∠DAC ＝∠BCA
∵∠DAC ＋∠EAD ＝180°，∠BCA ＋∠FCB ＝180° ∴∠EAD ＝∠FCB 在△ADE 和△CBF 中 ∴△ADE ≌△CBF （SAS ） （2）由（1）知，△ADE ≌△CBF ∴∠E ＝∠F ∴ED ∥BF
16.（2021·哈尔滨）如图，△ABC ≌△DEC ，点A 和点D 是对应顶点，点B 和点E 是对应顶点，过点A 作AF ⊥CD ，垂足为点F ，若∠BCE ＝65°，则∠CAF 的度数为（ ）
A ．30°
B ．25°
C ．35°
D ．65°
【解析】解：∵△ABC ≌△DEC ∴∠ACB ＝∠DCE ∵∠BCE ＝65°
∴∠ACD ＝∠BCE ＝65°
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=CB AD FCB EAD CF AE
∴∠AFC＝90°
∴∠CAF＋∠ACD＝90°
∴∠CAF＝90°﹣65°＝25°
故选：B．
17.（2021·齐齐哈尔）如图，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是．（只需写出一个条件即可）
【解析】证明：∵∠1＝∠2
∴∠1＋∠BAD＝∠2＋∠BAD，即∠BAC＝∠EAD
∵AC＝AD
∴当添加∠B＝∠E时，可根据“AAS”判断△ABC≌△AED；
当添加∠C＝∠D时，可根据“ASA”判断△ABC≌△AED；
当添加AB＝AE时，可根据“SAS”判断△ABC≌△AED．
故答案为：∠B＝∠E或∠C＝∠或AB＝AE．
18.（2021·湘西州）如图，在△ABC中，点D在AB边上，CB＝CD，将边CA绕点C 旋转到CE的位置，使得∠ECA＝∠DCB，连接DE与AC交于点F，且∠B＝70°，∠A ＝10°．（1）求证：AB＝ED；（2）求∠AFE的度数．
【解析】（1）证明：∵∠ECA＝∠DCB
∴∠ECA＋∠ACD＝∠DCB＋∠ACD，即∠ECD＝∠ACB
∵AC＝EC，CB＝CD
∴△ACB≌△ECD（SAS）
（2）解：∵CB ＝CD ，∠B ＝70° ∴∠DCB ＝180°－2×70°＝40° ∴∠ECA ＝∠DCB ＝40° ∵△ACB ≌△ECD ，∠A ＝10° ∴∠E ＝∠A ＝10°
∴∠AFE ＝∠E ＋∠ECA ＝50°
19.（2020·黔东南）如图1，△ABC 和△DCE 都是等边三角形． 探究发现
（1）△BCD 与△ACE 是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由． 拓展运用
（2）若B 、C 、E 三点不在一条直线上，∠ADC ＝30°，AD ＝3，CD ＝2，求BD 的长． （3）若B 、C 、E 三点在一条直线上（如图2），且△ABC 和△DCE 的边长分别为1和2，求△ACD 的面积及AD 的长．
【解析】（1）△BCD 与△ACE 全等 证明：∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形 ∴AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°
∴∠ACB+∠ACD ＝∠DCE+∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE 在△ACE 和△BCD 中
∴△ACE ≌△BCD （ SAS ） （2）由（1）得：△BCD ≌△ACE ∴BD ＝AE
∵△DCE 是等边三角形
⎪⎩⎪
⎨⎧=∠=∠=CD CE BCD ACE BC AC
∴∠CDE ＝60°，CD ＝DE ＝2 ∵∠ADC ＝30°
∴∠ADE ＝∠ADC+∠CDE ＝30°+60°＝90° 在Rt △ADE 中， ∴BD ＝
（3）如图，过A 作AF ⊥CD 于点F
∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形 ∴∠BCA ＝∠DCE ＝60° ∵B 、C 、E 三点在一条直线上
∴∠BCA+∠ACD+∠DCE ＝180°，即∠ACD ＝60° 在Rt △ACF 中，AF ＝AC ·sin ∠ACF ＝1×＝，CF ＝AC ·cos ∠ACF ＝1×＝
∴S △ACD ＝CD ·AF ＝×2×
FD ＝CD ﹣CF ＝2－＝
在Rt △AFD 中，AD 2＝AF 2+FD 2＝，即AD ＝ 20.（2021·深圳）如图，已知反比例函数过A ，B 两点，A 点坐标（2，3），直线AB 经过原点，将线段AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BC ，则C 点坐标为 .
13232222=+=+=DE AD AE 13232
3
212
1212123
212
3
3)2
3
()23(
22=+3
【解析】如图，过点B 作y 轴的平行线l ，过点A 、C 作l 的垂线，分别交于D ，E 两点
由题意及作图可知：B （﹣2，﹣3），D （2，﹣3） ∵∠ABD ＋∠CBE ＝90°，∠ABD ＋∠BAD ＝90° ∴∠CBE ＝∠BAD 在△ABD 与△BEC 中 ∴△ABD ≌△BEC （AAS ） ∴BE ＝AD ＝6，CE ＝BD ＝4 ∴C （4，﹣7） 故答案为：（4，﹣7）．
21.（2021·福建）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°．线段EF 是由线段AB 平移得到的，点F 在边BC 上，△EFD 是以EF 为斜边的等腰直角三角形，且点D 恰好在AC 的延长线上．（1）求证：∠ADE ＝∠DFC ；（2）求证：CD ＝BF ．
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠∠=∠AB BC BAD CBE ADB BEC
【解析】（1）证明：∵△EFD 是以EF 为斜边的等腰直角三角形 ∴∠ADE ＋∠ADF ＝90° ∵∠ACB ＝90° ∴∠ADF ＋∠DFC ＝90° ∴∠ADE ＝∠DFC
（2）证明：如图，连接AE
平移性质可知：AE ∥BF ，AE ＝BF ∴∠EAD ＝∠ACB ＝90° ∴∠EAD ＝∠DCF ∵△EFD 是等腰直角三角形 ∴DE ＝FD
由（1）可知：∠ADE ＝∠DFC 在△AED 和△CDF 中 ∴△AED ≌△CDF （AAS ） ∴AE ＝CD ∴CD ＝BF
22.（2021·西藏）如图，AB ∥DE ，B ，C ，D 三点在同一条直线上，∠A ＝90°，EC ⊥BD ，且AB ＝CD ．求证：AC ＝CE ．
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠∠=∠FD DE CFD ADE DCF EAD
【解析】证明：∵AB ∥DE
∴∠B ＝∠D
∵EC ⊥BD ，∠A ＝90°
∴∠DCE ＝90°＝∠A
在△ABC 和△CDE 中
∴△ABC ≌△CDE （ASA ）
∴AC ＝CE
23.（2021·陕西）如图，BD ∥AC ，BD ＝BC ，且BE ＝AC ．求证：∠D ＝∠ABC ．
【解析】证明：∵BD ∥AC
∴∠ACB ＝∠EBD
在△ABC 和△EDB 中
∴△ABC ≌△EDB （SAS ）
∴∠ABC ＝∠D ⎪⎩
⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠ECD A CD
AB D B ⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠=EB AC EBD C BD CB。