实变函数试卷

《实变函数》试卷
专业_________班级________ 姓名 学号
注 意 事 项
1、本试卷共6页。

班级、学号等栏目，字迹要清楚、工整。

一、单项选择题（3分×5=15分）
1、1、下列各式正确的是（ ）
（A ）1lim n k n n k n A A ∞
∞
→∞
===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞
∞
==→∞
=⋂⋃;
（C ）1lim n k n n k n
A A ∞
∞
→∞
===⋂⋃; （D ）1lim n k n k n
n A A ∞
∞
==→∞
=⋂⋂;
2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0m P = (C) P P ='
(D) P P =
3、下列说法不正确的是（ ）
(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n
f x 是可测函数
（C ）{}inf ()n n
f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测
5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)('
x f 在],[b a 上L 可积 (D) ⎰-=b
a
a f
b f dx x f )()()('
二. 填空题(3分×5=15分)
1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________
2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'
E =______,o
E =______,E =______.
3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有
_________________________________，则称E 是L 可测的
4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. （填“充分”，“必要”，“充要”）
5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________________________,则称()f x 为
[],a b 上的有界变差函数。

三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举
反例说明.(5分×4=20分)
1、设1E R ⊂，若E 是稠密集，则C E 是无处稠密集。

2、若0=mE ，则E 一定是可数集.
3、若|()|f x 是可测函数，则()f x 必是可测函数。

4．设()f x 在可测集E 上可积分，若,()0x E f x ∀∈>，则()0E
f x >⎰
四、解答题（8分×2=16分）.
1、（8分）设2,()1,x x f x x ⎧=⎨⎩为无理数
为有理数
，则()f x 在[]0,1上是否R -可积，是否L -
可积，若可积，求出积分值。

2、（8分）求0
ln()
lim cos x
n
x n e
xdx
n
∞-+⎰
五、证明题（6分×4+10=34分）.
1、（6分）证明[]0,1上的全体无理数作成的集其势为c .
2、（6分）设()f x 是(),-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数
,{|()}a E x f x a =≥是闭集。

3、（6分）在[],a b 上的任一有界变差函数()f x 都可以表示为两个增函数之差。

4、（6分）设,()mE f x <∞在E 上可积，(||)n e E f n =≥，则lim 0n n
n me ⋅=.
5、（10分）设()f x 是E 上..a e 有限的函数，若对任意0δ>，存在闭子集F E δ⊂，使()f x 在F δ上连续，且()m E F δδ-<，证明：()f x 是E 上的可测函数。

(鲁津定理的逆定理)。