2022-2023学年浙江省宁波市鄞州区实验中学九年级数学第一学期期末经典模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，在△ABC 中，点D 是边AB 上的一点，∠ADC ＝∠ACB ，AD ＝2，BD ＝6，则边AC 的长为（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
2．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A ．20ax bx c ++=
B ．2221x x x +=-
C ．()()130x x --=
D ．212x x 3．已知二次函数2(2)3y x a x =-+-+，当2x >时y 随x 的增大而减小，且关于x 的分式方程
2133a x x x -=---的解是自然数，则符合条件的整数a 的和是（ ）
A ．3
B ．4
C ．6
D ．8
4．下列图形中不是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．如图，AB 为O 的直径，C ，D 为O 上的两点.若2AB =，1BC =，则BDC ∠的度数是（ ）
A ．15︒
B ．30
C ．45︒
D ．60︒
6．如图1是一只葡萄酒杯，酒杯的上半部分是以抛物线为模型设计而成，且成轴对称图形.从正面看葡萄酒杯的上半部分是一条抛物线，若4AB =，3CD =，以顶点C 为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（ ）
A ．234y x =
B ．2316y x =
C ．234y x =-
D ．2316
y x =- 7．方程x 2+4x +4＝0的根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．有一个实数根
D ．没有实数根
8．如图，若A 、B 、C 、D 、E ，甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC 与△DEF 相似，则点F 应是甲、乙、丙、丁四点中的（ ）．
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
9．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，若OA ＝2，∠P ＝60°
，则AB 的长为( )
A ．23π
B ．π
C ．43π
D ．53
π 10．如图点D 、E 分别在△ABC 的两边BA 、CA 的延长线上，下列条件能判定ED ∥BC 的是（ ）．
A ．AD DE A
B B
C =； B ．A
D A
E AC AB
=；
C ．A
D AB D
E BC ⋅=⋅； D ．AD AC AB AE ⋅=⋅．
11．如图，正方形ABCD 的边长是3，BP CQ =，连接AQ 、DP 交于点O ，并分别与边CD 、BC 交于点F 、E ，连接AE ，下列结论：①AQ DP ⊥；②2OA OD OP =⋅；③AOD OECF S S ∆=四边形；④当1BP =时，1316OE OA =．正确结论的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
12．如图，点A 的坐标是()40，
，ABO ∆是等边角形，点B 在第一象限，若反比例函数 k y x
=的图象经过点B ，则k 的值是（ ）
A ．1
B ．3
C ．23
D ．43
二、填空题（每题4分，共24分）
13．若点C 是线段AB 的黄金分割点且AC ＞BC ，则AC ＝_____AB （用含无理数式子表示）．
14．如图，在平面直角坐标系中，111222333,,,n n n ABC A B C A B C A B C A B C ∆∆∆∆∆都是等腰直角三角形，点123,,,n B B B B B 都在x 轴上，点1B 与原点重合，点123
,,,A C C C n C 都在直线14:33l y x =+上，点C 在y 轴上，1122//////
////n n AB A B A B A B y 轴， 1122n ////////C //n AC AC A C A x 轴，若点A 的横坐标为﹣1，则点n C 的
纵坐标是_____．
15．如图所示，四边形ABCD 是边长为3的正方形，点E 在BC 上，BE ＝1，△ABE 绕点A 逆时针旋转后得到△ADF ，
则FE 的长等于____________.
16．某农户2010年的年收入为4万元，由于“惠农政策”的落实，2012年年收入增加到5.8万元．设每年的年增长率x 相同，则可列出方程为______．
17．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点P ，若∠P ＝40°，则∠ADC ＝____°．
18．某商品原售价300元，经过连续两次降价后售价为260元，设平均每次降价的百分率为x ，则满足x 的方程是______．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图1，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()()2,0,8,0A B -，与y 轴交于点()0,4C ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点M 为抛物线的顶点，在y 轴上是否存在点N ，使90MNB ∠=︒？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图2，位于y 轴右侧且垂直于x 轴的动直线l 沿x 轴正方向从O 运动到B (不含O 点和B 点)，分别与抛物线、直线BC 以及x 轴交于点,,P E F ，过点P 作PQ BC ⊥于点Q ，求面积PQE 的最大值．
20．（8分）如图，等腰Rt △BPQ 的顶点P 在正方形ABCD 的对角线AC 上（P 与AC 不重合），∠PBQ=90°，QP 与BC 交于E,QP 延长线交AD 于F ，连CQ.
(1)①求证：AP=CQ ；
②求证：2PA AF AD =⋅
(2)当13PA PC =时，求AF DF 的值.
21．（8分）（1）解方程：2510x x -+=（配方法）
（2）已知二次函数：21218y mx x =-+与x 轴只有一个交点，求此交点坐标．
22．（10分）如图，AB 是O 的直径，AC 是弦，D 是弧BC 的中点，过点D 作EF 垂直于直线,AC 垂足为F ，交AB 的延长线于点E ．
()1求证:EF 是O 的切线；
()2若6,8
AF EF
==，求O的半径．
23．（10分）如图，抛物线y＝﹣1
3
x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）求过B、C两点的直线的函数表达式；
（3）点P是第一象限内抛物线上的一个动点．过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由；
24．（10分）如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB24cm
=, CD8cm
=.
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求（1）中所作圆的半径
25．（12分）如图，已知AD•AC＝AB•AE，∠DAE＝∠BAC．求证：△DAB∽△EAC．
26．如图，在正方形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，AB=4，AM=1，BN=3 4 .
(1)求证:ΔADM ∽ΔBMN ；
(2)求∠DMN 的度数.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【解析】证明△ADC ∽△ACB ，根据相似三角形的性质可推导得出AC 2=AD•AB ，由此即可解决问题.
【详解】∵∠A=∠A ，∠ADC=∠ACB ，
∴△ADC ∽△ACB ， ∴AC AD AB AC
=， ∴AC 2=AD•AB=2×8=16，
∵AC>0，
∴AC=4，
故选B.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题.
2、C
【解析】试题解析：A 、20ax bx c ++=，没有给出a 的取值，所以A 选项错误；
B 、2221x x x +=-不含有二次项，所以B 选项错误；
C 、(1)(3)0x x --=是一元二次方程，所以C 选项正确；
D 、212x x
-=不是整式方程，所以D 选项错误．故选C ．
考点：一元二次方程的定义．
3、A
【分析】由二次函数的增减性可求得对称轴，可求得a取值范围，再求分式方程的解，进行求解即可．【详解】解：
∵y=-x2+（a-2）x+3，
∴抛物线对称轴为x=
2
2
a-
，开口向下，
∵当x＞2时y随着x的增大而减小，
∴
2
2
a-
≤2，解得a≤6，
解关于x的分式方程
2
1
33
a x
x x
-
=-
--
可得x=
1
2
a+
，且x≠3，则a≠5，
∵分式方程的解是自然数，
∴a+1是2的倍数的自然数，且a≠5，
∴符合条件的整数a为：-1、1、3，
∴符合条件的整数a的和为：-1+1+3=3，
故选：A．
【点睛】
此题考查二次函数的性质，由二次函数的性质求得a的取值范围是解题的关键．
4、B
【分析】在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】A、C、D都是中心对称图形；不是中心对称图形的只有B．
故选B．
【点睛】
本题属于基础应用题，只需学生熟知中心对称图形的定义，即可完成．
5、B
【分析】先连接OC，根据三条边都相等可证明△OCB是等边三角形，再利用圆周角定理即可求出角度.
【详解】解：如图，连接OC．
∵AB=2，BC=1，
∴OB=OC=BC=1，
∴△OCB是等边三角形，∴∠COB=60°，
∴∠CDB=1
2
∠COB=30°.
故选：B．
【点睛】
本题考查圆周角定理，等边三角形的判定及性质等知识，作半径是圆中常用到的辅助线需熟练掌握.
6、A
【分析】由题意可知C(0,0)，且过点(2,3)，设该抛物线的解析式为
y=ax2，将两点代入即可得出a的值，进一步得出解析式.
【详解】根据题意，得
该抛物线的顶点坐标为C(0,0)，经过点(2,3).
∴设该抛物线的解析式为y=ax2.
∴3=a⨯22.
∴a=3 4 .
∴该抛物线的解析式为y=3
4
x2.
故选A.
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，根据题意得出两个坐标是解题的关键.
7、B
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．
【详解】解：∵△＝b2﹣4ac＝16﹣16＝0
∴方程有两个相等的实数根．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．
总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
8、A
【分析】令每个小正方形的边长为1，分别求出两个三角形的边长，从而根据相似三角形的对应边成比例即可找到点F 对应的位置．
【详解】解：根据题意，△ABC 的三边之比为1:2:5 要使△ABC ∽△DEF ，则△DEF 的三边之比也应为1:2:5
经计算只有甲点合适，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定定理：
（1）两角对应相等的两个三角形相似．
（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
（3）三边对应成比例的两个三角形相似．
9、C
【解析】试题解析：∵PA 、PB 是⊙O 的切线，
∴∠OBP =∠OAP =90°
， 在四边形APBO 中，∠P =60°，
∴∠AOB =120°
， ∵OA =2，
∴AB 的长l =
12024=1803
ππ⨯. 故选C.
10、D
【分析】根据选项选出能推出ADE ABC ∆∆∽，推出D B ∠=∠或E C ∠=∠的即可判断．
【详解】解：
A 、∵AD DE A
B BC
=，EAD BAC ∠=∠，不符合两边对应成比例及夹角相等的相似三角形判定定理. 无法判断ADE ∆与ABC ∆相似，即不能推出//DE BC ，故本选项错误；
B
、AD AE AC AB
= EAD BAC ∠=∠，
ADE ACB ∴∆∆∽，
E B ∴∠=∠，D C ∠=∠，
即不能推出//DE BC ，故本选项错误；
C 、由A
D AB D
E BC ⋅=⋅可知
AB DE BC AD
=，不能推出DAE BAC ∆∆∽，即不能推出D B ∠=∠，即不能推出两直线平行，故本选项错误； D 、∵AD AC AB AE ⋅=⋅，
AD AE AB AC
∴=， EAD BAC ∠=∠，
DAE BAC ∴∆∆∽，
D B ∴∠=∠，
//DE BC ∴，故本选项正确；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质和判定和平行线的判定的应用，主要考查学生的推理和辨析能力，注意：有两组对应边的比相等，且这两边的夹角相等的两三角形相似．
11、D
【分析】由四边形ABCD 是正方形，得到AD =BC =AB ，∠DAB =∠ABC =90°，即可证明△DAP ≌△ABQ ，根据全等三角形的性质得到∠P =∠Q ，根据余角的性质得到AQ ⊥DP ；故①正确；根据相似三角形的性质得到AO 2=OD •OP ，故②正确；根据△CQF ≌△BPE ，得到S △CQF =S △BPE ，根据△DAP ≌△ABQ ，得到S △DAP =S △ABQ ，即可得到S △AOD =S 四边形OECF ；故③正确；根据相似三角形的性质得到BE 的长，进而求得QE 的长，证明△QOE ∽△POA ，根据相似三角形对应边成比例即可判断④正确，即可得到结论．
【详解】∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD =BC =AB ，∠DAB =∠ABC =90°．
∵BP =CQ ，
∴AP =BQ ．
在△DAP 与△ABQ 中，∵AD AB DAP ABQ AP BQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△DAP≌△ABQ，
∴∠P=∠Q．
∵∠Q+∠QAB=90°，
∴∠P+∠QAB=90°，
∴∠AOP=90°，
∴AQ⊥DP；
故①正确；
∵∠DOA=∠AOP=90°，∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90°，∴∠DAO=∠P，
∴△DAO∽△APO，
∴AO OP OD OA
=，
∴AO2=OD•OP．故②正确；
在△CQF与△BPE中，∵
FCQ EBP
Q P
CQ BP
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△CQF≌△BPE，
∴S△CQF=S△BPE．
∵△DAP≌△ABQ，
∴S△DAP=S△ABQ，
∴S△AOD=S四边形OECF；故③正确；
∵BP=1，AB=3，
∴AP=1．
∵∠P=∠P，∠EBP=∠DAP=90°，∴△PBE∽△PAD，
∴
4
3 PB PA
EB DA
==，
∴BE
3
4 =，
∴QE
13
4 =，
∵∠Q=∠P，∠QOE=∠POA=90°，∴△QOE∽△POA，
∴1434OA A O P E QE ==， ∴1316
OE OA =，故④正确． 故选：D ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解答本题的关键．
12、D
【分析】首先过点B 作BC 垂直OA 于C,根据AO=4，△ABO 是等辺三角形，得出B 点坐标，迸而求出k 的值. 【详解】
解：过点B 作BC 垂直OA 于C ，
∵点A 的坐标是(2,0) ，AO=4，
∵△ABO 是等边三角形
∴OC= 2，BC=23∴点B 的坐标是(2，3把(2，23代入
k y x
=，得: k=xy=3故选：D
【点睛】 本题考查的是利用等边三角形的性质来确定反比例函数的k 值．
二、填空题（每题4分，共24分）
1351- 【分析】直接利用黄金分割的定义求解．
【详解】解：∵点C 是线段AB 的黄金分割点且AC ＞BC ，
∴AC AB ．
故答案为． 【点睛】
本题考查了黄金分割的定义，点C 是线段AB 的黄金分割点且AC ＞BC ，则
12
AC BC =，正确理解黄金分割的定义是解题的关键. 14、1
232
n n -- 【解析】由题意(11)A -，，可得(01)C ，，设1(,)C m m ，则1433m m =
+，解得2m =，求出1C 的坐标，再设2(,2)C n n =-，则14233
n n -=+，解得5n =，故求出2C 的坐标，同理可求出3C 、4C 的坐标，根据规律 即可得到n C 的纵坐标. 【详解】解：由题意(11)
A -，，可得(01)C ，， 设1(,)C m m ，则1433m m =
+，解得2m =， ∴1(2,2)C ，
设2(,2)C n n =-，则14233n n -=
+，解得5n =， ∴2(5,3)C ，
设3(,5)C a a -，则14533a a -=+，解得192
a =， ∴3199(,)22C ，同法可得46527(,)44C ，…，n C 的纵坐标为1
232
n n --， 故答案为1
232
n n --． 【点睛】
此题主要考查一次函数图像的应用，解题的关键是根据题意求出1C 、2C 、3C ，再发现规律即可求解.
15、【分析】由题意可得EC =2，CF =4，根据勾股定理可求EF 的长．
【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BC =CD =1．
∵△ABE 绕点A 逆时针旋转后得到△ADF ，∴DF =BE =1，∴CF =CD +DF =1+1=4，CE =BC ﹣BE =1﹣1=2．
在Rt △EFC 中，EF 2225CE CF =+=．
【点睛】
本题考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
16、4（1+x ）2=5.1
【解析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果设每年的年增长率为x ，根据“由2010年的年收入4万元增加到2012年年收入5.1万元”，即可得出方程．
【详解】设每年的年增长率为x ，根据题意得：
4（1+x ）2=5.1．
故答案为4（1+x ）2=5.1．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程﹣﹣增长率问题．若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2=b （增长为+，下降为﹣）．
17、115°
【分析】根据过C 点的切线与AB 的延长线交于P 点，∠P=40°，可以求得∠OCP 和∠OBC 的度数，又根据圆内接四边形对角互补，可以求得∠D 的度数，本题得以解决．
【详解】解：连接OC ，如右图所示，
由题意可得，∠OCP=90°，∠P=40°，
∴∠COB=50°，
∵OC=OB ，
∴∠OCB=∠OBC=65°，
∵四边形ABCD 是圆内接四边形，
∴∠D+∠ABC=180°，
∴∠D=115°，
故答案为：115°．
【点睛】
本题考查切线的性质、圆内接四边形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
18、2
300(1)260x -=．
【分析】根据降价后的售价=降价前的售价×（1-平均每次降价的百分率），可得降价一次后的售价是300(1)x -，降价一次后的售价是2300(1)x -，再根据经过连续两次降价后售价为260元即得方程．
【详解】解：由题意可列方程为2300(1)260x -=
故答案为：2300(1)260x -=．
【点睛】
本题考查一元二次方程的实际应用，增长率问题，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，正确列出方程，要注意增长的基础．
三、解答题（共78分）
19、（1）213442y x x =-++；（2）不存在，理由见解析；（3）PQE S 最大值为165
． 【分析】(1)利用待定系数法求出解析式；
(2) 设点N 的坐标为(0，m )，过点M 做MH ⊥y 轴于点H ，证得△MHN ∽△NOB ，利用对应边成比例，得到2425960m m -+=，方程无实数解，所以假设错误，不存在；
(3) △PQE ∽△BOC ，得22PQE BOC S
PE S BC =，得到215PQE S PE =，当PE 最大时，PQE S 最大，求得直线BC 的解析式，设
点P 的坐标为 213442n n n ⎛
⎫-++ ⎪⎝⎭，，则E 142n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
，，再求得PE 的最大值，从而求得答案． 【详解】(1) 把点A （-2，0）、B （8，0）、C （0，4）分别代入2y ax bx c =++，得：
42064804a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩
，
解得14324a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩
， 则该抛物线的解析式为：213442
y x x =-
++； (2)不存在
∵抛物线经过A （-2，0）、B （8，0），
∴抛物线的对称轴为()8232x +-=
=， 将3x =代入213442y x x =-++得：254
y =， ∴抛物线的顶点坐标为：2534M ⎛
⎫ ⎪⎝⎭， ，
假设在y 轴上存在点N ，使∠MNB =90︒，
设点N 的坐标为(0，m )，过顶点M 做MH ⊥y 轴于点H ，
∴∠MNH +∠ONB =90︒，∠MNH +∠HMN =90︒，
∴∠HMN=∠ONB ，
∴△MHN ∽△NOB ，
∴MH HN NO OB
=， ∵B （8，0），N (0，m )，2534M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， ， ∴25834
OB NO m HM HN m ====-，，，， ∴2534
8
m m -=， 整理得：2425960m m -+=，
∵()2
242544969110b ac =-=--⨯⨯=-<⊿，
∴方程无实数解，所以假设错误，
在y 轴上不存在点N ，使∠MNB =90︒；
(3) ∵PQ ⊥BC ，PF ⊥OB ，
∴90PQE BFE BOC ∠=∠=∠=︒，
∴EF ∥OC ，
∴PEQ BEF BCO ∠=∠=∠，
∴△PQE ∽△BOC ， 得22PQE BOC S
PE S BC =， ∵B （8，0）、C （0，4），
∴8OB =，4OC =，222228480BC OB OC =+=+=，
∴BOC 11841622S OB OC ==⨯⨯=， ∴2
222116805
PQE BOC PE PE S S PE BC ==⨯=， ∴当PE 最大时，PQE S 最大，
设直线BC 的解析式为y kx b =+，
将B （8，0）、C （0，4）代入得804k b b +=⎧⎨=⎩
， 解得：124
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，
∴直线BC 的解析式为142
y x =-+， 设点P 的坐标为 213442n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，
， 则点E 的坐标为142n n ⎛
⎫-+ ⎪⎝⎭
，，
∴()222131114424442244PE n n n n n n ⎛⎫=-++--+=-+=--+ ⎪⎝⎭
， ∵104
-<， ∴当4n =时，PE 有最大值为4， ∴PQE S 最大值为
2211164555PE =⨯=． 【点睛】
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有：待定系数法求二次函数、一次函数解析式，点坐标，相似三角形的判定与性质和三角形的面积求法，特别注意利用数形结合思想的应用．
20、（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）17
AF DF = 【分析】（1）①证出∠ABP=∠CBQ ，由SAS 证明△ABP ≌△CBQ 可得结论；
②根据正方形的性质和全等三角形的性质得到∠DAC=∠BAC ，∠APF=∠ABP ，即可证得△APF ∽△ABP ，再根据相似三角形的性质即可求解；
（2）设正方形边长为a ，根据已知条件可求得PA 的长，再根据第(1)②的结论可求得AF 的长，从而求得答案.
【详解】证明：
（1）①∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=BC ，∠ABC=90°，
∵△PBQ 为等腰直角三角形，
∴∠PBQ=90°，PB=BQ ，
∵∠ABP+∠BPC =∠BPC+∠CBQ =90︒，
∴∠ABP=∠CBQ ，
在△ABP 与△CBQ 中，
AB BC ABP CBQ PB BQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABP ≌△CBQ ，
∴AP=CQ ；
②如图，
∵∠CPB=∠3+∠4=∠1+∠2，
∵∠4=∠1=45°，
∴∠3=∠2，
∴∠5=∠2，
∵∠6=∠1=45°，
∴△PFA ∽△BPA ， ∴AF PA PA AB
=， ∴2PA AF AB =⋅ 即2PA AF AD =⋅；
(2)设正方形边长为a ，则2AC a =， ∵
13
PA PC =， ∴14PA AC =， ∴2， ∵2PA AF AB =⋅， ∴22AF a ⎫⋅=⎪⎪⎝⎭
，
解得：AF=18
a ， ∴DF=78
a ， ∴17
AF DF =. 【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；灵活运用相似三角形的判定与性质是解题的关键．
21、（1）12x x ==（2）2m =，交点坐标为(3,0). 【分析】（1）把常数项移到方程的右边，两边加上一次项系数的一半的平方，进行配方，再用直接开平方的方法解方程即可，
（2）由二次函数的定义得到：0,m ≠再利用0∆=求解m 的值，最后求解交点的坐标即可．
【详解】解：（1） 2510x x -+=，
251,x x ∴-=-
222555()1(),22
x x ∴-+=-+ 2521(),24
x ∴-=
5,22
x ∴-=±
1255,22
x x +-∴== （2）
二次函数：21218y mx x =-+与x 轴只有一个交点， 2040
m b ac ≠⎧∴⎨∆=-=⎩ 2(12)4180,m ∴--⨯=
2,m ∴=
∴ 22212182(3),y x x x =-+=-
∴ 这个交点为抛物线的顶点，顶点坐标为：(3,0).
即此交点的坐标为：(3,0).
【点睛】
本题考查了解一元二次方程的配方法，二次函数与x 轴的交点坐标问题，掌握相关知识是解题的关键．
22、（1）详见解析；（2）⊙O 的半径为
154． 【分析】（1）证明EF 是O 的切线，可以连接OD ，证明OD ⊥EF ； （2）要求O 的半径，即线段OD 的长，在证明△EOD ∽△EAF 的基础上，利用对应线段成比例可得OD AF ＝OE EA
，
其中AF=6，AE可利用勾股定理计算出来，OE可用含半径的代数式表示出，这样不难计算出半径OD的长．【详解】（1）证明：连接OD．
∵EF⊥AF，
∴∠F＝90°．
∵D是BC的中点，∴=
BD CD．
∴∠EOD＝∠DOC＝1
2
∠BOC，
∵∠A＝1
2
∠BOC，∴∠A＝∠EOD，
∴OD∥AF．
∴∠EDO＝∠F＝90°．∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△AFE中，∵AF＝6，EF＝8，∴22
AE AF EF
=+22
68
+10，
设⊙O半径为r，∴EO＝10﹣r．
∵∠A＝∠EOD，∠E＝∠E，
∴△EOD∽△EAF，∴OD
AF
＝
OE
EA
，
∴
10
610
r r
-=．
∴r＝15
4
，即⊙O的半径为
15
4
．
【点睛】
本题考查的知识点有切线的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解题中添加过切点与圆心的辅助线是关键点，也是难点．
23、（1）y＝﹣1
3
x2+
1
3
x+4；（2）y＝﹣x+4；（3）存在，（1，4）或（
52
2
，
21
6
）．
【分析】（1）将点A，B的坐标代入y＝﹣1
3
x2+bx+c即可；
（2）先求出点C的坐标为（0，4），设直线BC的解析式为y＝kx+4，再将点B（4，0）代入y＝kx+4即可；
（3）先判断存在点P，求出AC，BC的长及∠OCB＝∠OBC＝45°，设点P坐标为（m，﹣1
3
m2+
1
3
m+4），则点Q（m，
﹣m+4），用含m的代数式表示出QM，AM的长，然后分①当AC＝AQ时，②当AC＝CQ时，③当CQ＝AQ时三种情况进行讨论，列出关于m的方程，求出m的值，即可写出点P的坐标．
【详解】（1）将点A（﹣3，0），B（4，0）代入y＝﹣1
3
x2+bx+c，
得，
330
16
40
3
b c
b c
--+=
⎧
⎪
⎨
-++=
⎪⎩
，
解得，
1
3
4
b
c
⎧
=
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
∴此抛物线的表达式为y＝﹣1
3
x2+
1
3
x+4；
（2）在y＝﹣1
3
x2+
1
3
x+4中，
当x＝0时，y＝4，
∴C（0，4），
设直线BC的解析式为y＝kx+4，
将点B（4，0）代入y＝kx+4，
得，k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4；（3）存在，理由如下：
∴A（﹣3，0），B（4，0），C（0，4），∴OA＝3，OC＝OB＝4，
∴AC
＝5，BC
，∠OCB＝∠OBC＝45°，
设点P坐标为（m，﹣1
3
m2+
1
3
m+4），则点Q（m，﹣m+4），
∴QM＝﹣m+4，AM＝m+3，
①当AC＝AQ时，则AC＝AQ＝5，（m+3）2+（﹣m+4）2＝25，
解得：m1＝1，m2＝0（舍去），
当m＝1时，﹣1
3
m2+
1
3
m+4＝4，
则点P坐标为（1，4）；
②当AC＝CQ时，CQ＝AC＝5，如图，过点Q作QD⊥y轴于点D，则QD＝CD＝OM＝m，
则有2m2＝52，
解得m1＝52
2
，m2＝﹣
52
2
（舍去）；
当m＝52
2
时，﹣
1
3
m2+
1
3
m+4＝
521
6
-
，
则点P坐标为（52
2
，
521
6
-
）；
③当CQ＝AQ时，（m+3）2+（﹣m+4）2＝2m2，
解得：m＝25
2
（舍去）；
故点P的坐标为（1，4）或（52
2
，
521
6
-
）．
【点睛】
本题考查求二次函数解析式、求二元一次方程解析式和解二次函数，解题的关键是掌握求二次函数解析式、求二元一次方程解析式和解二次函数.
24、（1）图见解析；（2）1．
【分析】（1）由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作AC，BC的中垂线交于点O，则点O是弧ACB所在圆的圆心；
（2）在Rt△OAD中，由勾股定理可求得半径OA的长．
【详解】解：（1）作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆，如图．
（2）连接OA，设OA=x，AD=12cm，OD=（x-8）cm，
则根据勾股定理列方程：
x2=122+（x-8）2，
解得：x=1．
答：圆的半径为1cm．
25、证明见解析
【分析】根据相似三角形的判定定理即可证明△DAB∽△EAC．【详解】证明：∵AD•AC＝AB•AE，
∴AD AB AE AC
=，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠DAB＝∠EAC，
∴△DAB∽△EAC．
【点睛】
本题考查三角形相似的判定定理，正确理解三角形相似的判定定理是本题解题的关键．26、（1）见解析；（2）90°
【分析】（1）根据
4
3
AD
MB
=，
4
3
AM
BN
=，即可推出
AD AM
MB BN
=，再加上∠A=∠B=90°，就可以得出△ADM∽△BMN；
（2）由△ADM∽△BMN就可以得出∠ADM=∠BMN，又∠ADM+∠AMD=90°，就可以得出∠AMD+∠BMN=90°，从而得出∠DMN的度数．
【详解】(1)∵AD=4，AM=1
∴MB=AB-AM=4-1=3
∵
4
3
AD
MB
=，
14
33
4
AM
BN
==
∴AD AM MB BN
=
又∵∠A=∠B=90°
∴ΔADM∽ΔBMN
(2)∵ΔADM∽ΔBMN
∴∠ADM=∠BMN
∴∠ADM+∠AMD=90°
∴∠AMD+∠BMN=90°
∴∠DMN=180°-∠BMN-∠AMD=90°
【点睛】
本题考查了正方形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时证明△ADM∽△BMN是解答的关键．。