柯西不等式好题-学生版

1. 求证：ac+bd ≤22b a
+
柯西不等式的一般形式为：
对任意的实数有及n n b b b a a a ,,,,,,2121
或1
n
i i
i a b
=≤
∑
其中等号当且仅当n
n b a b a b a === 22
11时成立（当0=k b 时，认为).1,0n k a k <≤= 一、 证明不等式
1. 已知正数,,a b c 满足1a b c ++= 证明 222
3
3
3
3
a b c a b c ++++≥
2. 设
,
121+>>>>n n a a a a 求证：
01
1111
113221>−+−++−+−++a a a a a a a a n n n
3. 求证：()().2222112
2212
22
1y x y x y y x x +++≥
++
+
4.
设a 、b 、c 为正数且各不相等。

求证：
c
b a a
c c b b a ++>+++++9222 5.
a 、
b 为非负数，a +b =1，+∈R x x 21,
求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++
6.
若a >b >c 求证：
c
a c
b b a −≥−+−4
11 7.
+∈R c b a ,,
求证：
2
3≥+++++b a c a c b c b a 8. 已知a 1,a 2,a 3,…,a n ，b 1,b 2,…,b n 为正数，求证：
9. 设a ,b ,c 为正数，且a +b +c =1,求证：
,12122
1⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑===n i i n i i n i i i i b a b a
10. 若n 是不小于2的正整数，试证：
11. 设x 1,x 2,…,x n 都是正数(n ³2)且， 求证： 二、求解最值
12. 已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=试求a 的最值 13. 设非负实数n ααα⋅⋅⋅21,满足,121=+⋅⋅⋅++n ααα求
1
213`12
21
11_1−++++
⋅⋅⋅++++
+⋅⋅⋅++n n n n
ααααααααααα的最小值。

三、用柯西不等式证明条件不等式
14. 已知a,b +
∈R ，a+b=1,,,21+
∈R x x
求证：()()212121x x ax bx bx ax ≥+•+
15. 设
,,,,21+
∈R x x x n 求证： 2
211212231
n n n n x x x x x x x x x x x −++++≥+++
四、利用柯西不等式证明恒等式
16. 已知,1112
2
=−+−a b b a 求证：12
2
=+b a 。

五、利用柯西不等式解无理方程（或方程组）
17. 解方程
()()()
11
211
112
222++
=++
+•+
x x x x x
x 。

18. 解方程组
4222222296
()()486
x y z x w x x y z w w y z ++=+=+++++=
六、柯西不等式的变形公式： 约定n i R b i 2,1,=∈+
有 ()n
n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≥
+++ 212
21222
2
121 当且仅当n n b a b a b a === 2211等号成立
分析：由柯西不等式可得 ()()2
2121222
21
21n n n n a a a b b b b a b a b a +++≥+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++
19. 设1,,,,212
1=+++∈+
n n x x x R x x x 且， 证明2
112121
322
22121≥++++++++−−x x x x x x x x x x x x n n n n n
20. 已知,0a b >，且1a b +=，求
11
2a b
+的最小值 21. 设且各不相同*
∈N a a a n ,,,21 ，证明n
n a a a a n 13121132223221
++++≥++++。