可压缩Navier-Stokes方程的稳定化有限元方法
具外力可压Navier-Stokes方程弱解的稳定性
具外力可压Navier-Stokes方程弱解的稳定性最近，在有关浅水波动力学行为的渐进分析研究中，推导出一类粘性系数依赖于密度的可压Navier-Stokes方程[7]。
粘性系数依赖于密度的可压Navier-Stokes方程也可以从Boltzmann方程的流体动力学渐近逼近（和等熵假定）中推导出来[3]。
有关粘性依赖于密度Navier-Stokes方程的数学研究近年来受到了广泛的重视，因为人们普遍认为当真空出现时，特别是在真空边界附近，可压Navier-Stokes方程的解的行为十分复杂。
这一点已经被有关的研究所证实（详细讨论参见第一章引言）。
本文考虑粘性系数依赖于密度的可压Naiver-Stokes方程在有外力作用时的高维周期区域T<sup>N</sup>，2≤N≤3，（为方便起见下面我们记Ω=T<sup>N</sup>）上的初值问题（?）<sub>t</sub>p+▽·（pu）=0，（0.1）（?）<sub>t</sub>（pu）+▽·（pu（?）u）+▽p<sup>γ</sup>-▽·（p▽u）-p▽φ=0，（0.2）p|t=0=p<sub>0</sub>，pu|t=0=m<sub>0</sub>，（0.3）其中γ＞1，并且初值满足其中C＞0是常数，以及存在δ＞0充分小，使得当γ∈（1，3），φ∈L2γ／γ-1(0，T；W<sup>1,2γ／γ-1</sup>（Ω）)∩L<sup>1</sup>(0，T；W<sup>1,p</sup>（Ω）)，p＞3时，我们证明了初值问题（0.1）-（0.3）弱解的稳定性。
该结果改进了以往的要求γ＞N／2的有关结果（参见著作[2]及其参考文献），并将[1]的结果推广到具有外力的情形。
非定常Navier-Stokes方程的一种非协调有限元投影稳定化方法
非定常Navier-Stokes方程的一种非协调有限元投影稳定化方法张莉;王彦朝;宋卫平【摘要】基于标准的L2投影算子,对非定常Navier-Stokes方程提出了一种非协调有限元投影稳定化方法.这种非协调有限元方法的速度/压力空间采用非协调有限元NCPt-P1.该方法不仅绕开了inf-sup条件对等阶元的束缚,也克服了高雷诺数下对流占优引起的振荡.同时,结合外推公式,将非线性问题转化为线性格式进行处理,从而减少了计算量.最后给出了详细的稳定性分析和误差分析.%In this paper,we propose a new stabilized nonconforming finite element method based on L2 projection for the Navier-Stokes equations with high Reynolds number.This nonconforming method use the lowest equal-order pair of mixed finite elements (i.e.,NCP1-P1).The scheme not only avoids the requirement caused by the inf-sup condition but also overcomes the convection domination caused by the high Reynolds number.We transform the nonlinear problem into a linear problem using the Extrapolation formula to simplify the computation.The stability and error analysis of this method are given in detail【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(040)004【总页数】7页(P435-441)【关键词】Navier-Stokes方程;L2投影;高雷诺数;外推公式【作者】张莉;王彦朝;宋卫平【作者单位】四川师范大学数学与软件科学学院,四川成都610066;四川师范大学数学与软件科学学院,四川成都610066;四川中电启明星信息技术有限公司,四川成都610041【正文语种】中文【中图分类】O241.82有限元方法[1]已经成为计算流体问题Stokes方程和不可压缩Navier-Stokes方程的一种重要而有力的工具.特别地，混合有限元方法[2]备受欢迎.然而混合有限元方法的研究面临2个方面的问题:1) 要求有限元空间必须满足inf-sup条件即稳定性条件.遗憾的是工程上计算方便的等阶有限元空间不满足inf-sup条件;2) 当方程呈现对流占优时，其有限元解会出现震荡.为了克服上述困难，采用稳定化技巧的混合有限元方法应运而生.目前常用的稳定化方法主要是基于残差的稳定化方法[3-4]和基于非残差的稳定化方法[5-10].又因为基于非残差的稳定化方法不需要计算二阶导数,使得稳定化格式简单而受到更多的关注.低阶元和等阶元在工程计算中的应用非常广泛，P. B. Bochev等[11]、Li J.[12]以及C. R. Dohrman等[13]分别对Stokes问题的低阶元和一般等阶元(P1-P1,Q1-Q1)的压力投影稳定化方法给出了详细的理论分析.Li J.等[14]和He Y.等[15]又把压力投影稳定化方法推广应用到Navier-Stokes方程，并给出了详细的理论分析和数值算例,其中，文献[14]对于瞬态的Navier-Stokes方程基于高斯积分提出了一种压力投影稳定化方法，有限元空间是采用的最低阶的等阶元.该方法虽然成功地绕开了inf-sup条件的限制，但是当雷诺数很大时，方程的解仍然可能出现不稳定性.随后,文献[16]对瞬态的Navier-Stokes方程提出了一种新的全离散粘性稳定化方法.这个方法不仅绕开了inf-sup条件的限制，同时克服了高雷诺数下对流占优引起的解的不稳定性,并且在时间计算上，每次只用进行线性计算，从而提高了计算效率.另一方面，不可压缩流体的非协调有限元相对于协调有限元方法更加简单，单元自由度较少，并且满足局部守恒条件，从而受到更多的关注和应用.在计算的过程中，变量之间的关联仅在相邻边的中点，所形成的方程未知数较少，进而更加有利于并行计算.文献[12,14]对Stokes方程和Navier-Stokes方程提出了一类局部稳定的协调有限元方法.其速度-压力有限元空间是P1-P1元，基于高斯积分构建稳定项，得到的新的有限元格式是稳定的，成功地绕开了inf-sup条件对等阶有限元的约束.随后文献[17]又将此稳定化方法推广应用到非协调元上计算Stokes方程，其速度-压力有限元空间是非协调元NCP1-P1元，并给出了详细的理论分析和数值算例.相对于一般的非协调元Crouzeix-Raviart(C-R)元，NCP1-P1元虽然不满足inf-sup条件，但是计算更加精确.这类局部稳定的有限元方法[12,14,17]比传统的混合有限元方法更加简单、有效且不依赖于稳定化参数.受以上讨论的启发,本文针对非定常的Navier-Stokes方程，建立了一种既能克服对流占优所引起的震荡，又能绕开inf-sup条件限制的非协调有限元稳定化方法.特别地，本文所给的投影不需要将速度或压力投影到异网格上进行计算，利用外推公式将非线性格式转换为线性格式,从而大大地减少了计算量，提高计算效率.本文考虑如下非定常Naiver-Stokes方程其中,Ω⊂R2为多边形区域，其边界Γ=∂Ω满足Lipschitz连续性,且Q=[0,T]×Ω,T>0.u(x,t)∈R2为速度，p(x,t)∈R为压力，f(x,t)∈R2为体力，λ=Re-1为粘性系数，Re为雷诺数，T>0为最终时间，，引入记号:(·，·)和‖·‖0，分别表示空间L2(Ω)(或L2(Ω)2)的内积和范数,((u,v))=(u,表示和X空间的内积和范数.在空间中，|·|1=‖·‖0与‖·‖1是等价的,因此统一用‖·‖1表示|·|1和‖·‖1.问题(1)的等价变分格式为:求(u,p)∈X×M,t∈[0,T]，对∀(v,q)∈X×M，满足关系其中且a1(u;v,w)有如下性质：对区域Ω进行正则三角形剖分，记为单元Kj的直径，为Γk的中点,[u]=u|Γjk-u|Γkj表示跳量.定义其中Pn(K)为单元K上所有次数小于等于n的多项式集合.本文考虑如下的速度和压力的有限元空间:Xh=NCP1，Mh=P1，其中其中P1(Kj)表示单元Kj上所有次数小于等于1的多项式集合.由定义不难得到空间NCP1满足相容性条件：和下列性质[17]:对于任意的(u,p)∈X×M,存在(Πu，Πp)∈Xh×Mh使得对于任意的(u,p)∈(H2(Ω)∩X)×(H1(Ω)∩M)，存在(Πu,Πp)∈Xh×Mh使得其中‖|为能量范数.基于高斯积分引入稳定项Gh(·，·):其中g(x)dx表示单元Kj上的Gauss积分的近似，且当多项式次数i=1,2时，等于Gauss积分.另外，g(x)=p(x)q(x)是次数小于等于2次的多项式.进而，定义ρh:L2(Ω)→W0为标准的L2投影，其中W0表示单元Kj上的分片常数函数集合,满足如下性质[17-18]：记定理 2.1[17-18] 存在与h、λ、k无关的正常β，对任意的(uh,ph)，(vh,qh)∈Xh×Mh，使得记和分别是un、zn、τn和qn的空间逼近.引入如下稳定项来克服高雷诺数下对流占优引起的震荡:其中,α为稳定化参数,πl-1:L2(Ω)→(Pl-1(τh))2是标准的全局或局部L2投影，且满足性质为了便于表述，引入如下记号和引理：定义 2.1 对∀(u,p),(v,q)∈X×M,有根据文献[10]，有下列稳定性结论:引理 2.1 对于任意的ph∈Mh，存在常数β1满足:其中Gh(ph,ph)=‖.用类似于文献[7,10]的方法可以得到如下定理:定理 2.2 对任意(uh,ph)∈Xh×Mh,有其中常数β2与h和α无关.由此，得到(1)式的一个新的有限元稳定格式:对∀(vh,qh)∈Xh×Mh和所有n≥1，使得其中k>0是给定一个时间步长,)∈Xh×Mh为已经求解出来的值,是一个外推公式，.当n=0时，令.下面将详细证明格式(5)是稳定的，并且误差精度能达到O(h2+(k)4).3.1 稳定性为了推导过程中的形式简单,记.定理 3.1 格式(5)是稳定的，即对任意的h,k,n>0满足证明在(5)式的第一个式子中，取，由可得将上式两边同时对n从0到N-1求和,可得(6)式.证毕.3.2 误差估计定义 3.1 对任意(v,q)∈X×M,(vh,qh)∈Xh×Mh，令投影算子(Ph,Qh):X×M→Xh×Mh满足如下关系：其中引理 3.1[17-18] 投影算子(Ph，Qh)满足如下性质:对∀v,q∈X×M，则对∀v,q∈(H2(Ω)∩X)×(H1(Ω)∩M)，则定理 3.2 设u∈L∞(0,T;Hm+1(Ω))∩L∞(0,T;L∞(Ω))∩C0(0,T;H1(Ω))，u∈L∞(0,T;L∞(Ω))，ut∈L2(0,T;Hm+1(Ω))∩L∞(0,T;L2(Ω))，utt∈L2(0,T;H1(Ω))，uttt∈L2(0,T;L2(Ω)),ptt∈L2(0,T;L2(Ω))，f∈L2(0,T;H-1(Ω))，并且是方程(5)的解,则存在一个与h、k、λ无关的常数c=c(Ω,u,p,T,f)>0，对∀n∈{0,1,…,N-1}使得证明在(2)式中，取，可得(8)式减去(5)式可得令对ξ=e,η,φh,σ,ζ,τh，定义.从(9)式中加上并减去可得其中在(12)式中令,则可得由Cauchy-Schwartz不等式和Young不等式易得其中接下来估计I1、I2、I3.对I1由Young不等式得在)中加上并减去，由三角不等式和,再由Young不等式得由E[·,·]的定义和u的正则性及逆不等式得将(19)和(20)式代入(18)式，则有下面考虑I3的估计.由三角不等式、Young不等式以及u的正则性有最后考虑)|,其中线性项的估计由Young不等式和泰勒公式可得其中θ1,θ2,θ3∈(0,1).对于中的非线性项，用泰勒公式、Young不等式以及u的正则性假设可得其中θ5,θ6∈(0,1).于是将(17)、(21)、(22)、(25)式代入(15)式,并取ε=1/20，可得将(26)式从1到n相加，并乘以2k可得当n=0时，取=0，(14)～(27)式的证明中只有三线性项的估计有所不同.事实上，注意到只需要将(21)式的最后一行估计中取η-1=e-1=0即可.因此有由u和p的正则性假设，三角不等式和Gronwall不等式，并综合(27)和(28)式可得(7)式.证毕.本文对非定常Navier-Stokes方程提出了一种非协调有限元投影稳定化方法.速度/压力空间采用非协调有限元NCP1-P1，基本L2投影算子构建速度和压力稳定项,由此构造的有限元方法不仅绕开了inf-sup条件对等阶元的束缚，同时也克服了高雷诺数下对流占优引起的振荡.文中给出了详细的稳定性分析和误差分析,由误差估计可以得到误差精度达到了O(h2+k4).文中结合外推公式，将非线性问题转化为线性格式进行处理，从而减少了计算量提高了计算效率.【相关文献】[1] GIRAULT V, RAVIART P A. Finite element approximation of the Navier-Stokes equations[C]//Lecture Notes in Math,749. Berlin:Springer-Verlag,1974.[2] BREZZI F, FORTIN M. Mixed and Hybrid Finite Element Methods[M]. Berlin:Springer-Verlag,1991.[3] ZHOU T, FENG M. A least squares Petrov-Galerkin finite element method for the stationary Navier-Stokes equations[J]. Math Comput,1993,60(202):531-543.[4] DOUGLAS J, WANG J. An absolutely stabilized finite element method for the Stokes problem[J]. Math Comput,1989,52(186):495-508.[5] BECKER R, BRAACK M. A finite element pressure gradient stabilization for the Stokes equations based on local projections[J]. Calcolo,2001,38(4):173-99.[6] CODINA R. Analysis of a stabilized finite element approximation of the Oseen equations using orthogonal subscales[J]. Appl Numer Math,2008,58(3):264-283.[7] BURMAN E. Pressure projection stabilizations for Galerkin approximations of Stokes’ and Darcy’s problem[J]. Numer Meth PDE,2008,24(1):127-143.[8] FENG M, BAI Y, HE Y, et al. A new stabilized subgrid eddy viscosity method based on pressure projection and extrapolated trapezoidal rule for the transient Navier-Stokesequations[J]. J Comput Math,2011,29(4):415-440.[9] QIN Y, FENG M, LUO K, et al. Local projection stabilized finite element method for Navier-Stokes equations[J]. Appl Math Mech,2010,31(5):651-664.[10] 覃燕梅，冯民富，尹蕾. Navier-Stokes方程的一种等阶稳定化亏量校正有限元法[J]. 计算数学，2010，32(1):1-14.[11] BOCHEV P B, DOHRMAN C R, GUNZBURGER M D. Stabilization of low-order mixed finite elements for the stokes equations[J]. SIAM J Numer Anal,2006,44(1):82-101. [12] LI J, HE Y. A stabilized finite element method based on two local Gauss integrations for the Stokes equations[J]. J Comput Appl Math,2008,214:58-65.[13] DOHRMAN C R, BOCHEV P B. A stabilized finite element method for the stokes problem based on polynomial pressure projections[J]. Inter J Numer MethFluids,2004,46(2):183-201.[14] LI J, HE Y, CHEN Z. A new stabilized finite element method for the transient Navier-Stokes equations[J]. Comput Meth Appl Mech Engine,2007,197(1/2/3/4):22-35.[15] HE Y, LI J. A stabilized finite element method based on local polynomial pressure projection for the stationary Navier-Stokes equations[J]. Appl NumerMath,2008,58(10):1503-1514.[16] 覃燕梅，冯民富，周天孝. 瞬态Navier-Stokes方程的一种新的全离散粘性稳定化方法[J]. 应用数学与力学,2009,30(7):783-798.[17] LI J, CHEN Z. A new local stabilized nonconforming finite element method for the Stokes equations[J]. Computing,2008,82(2/3):157-170.[18] JING F, SU J, ZHANG X, et al. Characteristic stabilized nonconforming finite Element method for the unsteady incompressible Navier-Stokes equations[J]. Chin J Engine Math,2014,315:764-778.2010 MSC：49J20; 49K20; 65M12; 65M60。
5 Navier-Stokes方程的解(课堂PPT)
主要原因有三个：
6
5 Navier-Stokes方程的解
ux 0 x
即：运动速度u与坐标轴x无关，
ux u u( y, z,t)
uy 0 uz 0
10
5.1 平行流动
为方便起见，忽略质量力，X＝Y＝Z＝0，将 此代入N-S方程的y、z方向项：
u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
1
p y
2u y x 2
2u y y 2
②当B>0即时的流动称为顺压强梯度流动， 压强沿流动方向逐渐降低，顺压梯度流动u>0；
③当B<0即时的流动称为逆压强梯度流动， 逆压强梯度流动有可能出现回流；
19
5.1.1 Couette剪切流
④当B＝-1即时的逆压梯度流动是不产生 回流的极限状况；
⑤当B<-1即时的逆压梯度流动开始产生回 流；
⑥当B<-3即时，Q＝0，逆压梯度对流动 的回流作用与上板拖动形成的流量相平衡。
(2) 充分发展的圆管层流流动
流动的N-S方程可写为
1 p 0
r
1 p 0
r
1 p 2u u 0 x r 2 rr
由上述可知，压强p只与x坐标有关而与(r, θ)坐标
无关， p＝p(x)
dp p
dx x
27
5.1.2 Poiseuille流动
Navier-Stokes方程的解
常数
有 积分，得
d
du dy
1
dp dx
dy
du dy
1
dp dx
y
C1
u
1
2
dp dx
y2
C1 y
C2
6.1.1 Couette (库埃特)剪切流
由边界条件y＝0，u＝0，得C2＝0 y＝h，C1 u＝uh U，21 得ddpx h
因此
6.1 平行流动
不可压缩流体的平行流动是最简单的一
类流动，它只有一个不为零的速度分量，所有流
体质点都沿同一个方向运动。在直角坐标系中，
如果把流体运动方向取作x轴，那么，由连续性方
程得
ux 0 x
即：运动速度u与坐标轴x无关，
ux u u( y, z,t)
uy 0 uz 0
6.1 平行流动
uy
u z y
uz
u z z
1
p z
2uz x 2
2uz y 2
2uz z 2
得到
p p 0 y z
6.1 平行流动
可见，压强与坐标轴y、z无关，只是坐 标轴x的函数
dp p dx x
将上述式子代入N-S方程的x方向项，得
6 Navier-Stokes方程的解
Navier-Stokes 方 程 的 精 确 解 仅 限 于层流问题，湍流问题不可能有精确解。
6.1 平行流动
（一）、定常流动
1、平行直线流动
两平行平板间流动 （1）Couette流动，运动平板通过粘性拖曳 （2）Poiseuille流动，压力梯度推动 充分发展的管道流动 （1）圆管（Hagen-Poiseuille流） （2）椭圆管、矩形管、同心环空、偏心环空 2、平行圆周流动 两同轴旋转圆柱体间流动 （二）、非定常流动（两平行平板间，平行直线流动） 1、底部平板突然起动——突然起动平板STOKES第一问题 2、底部平板简谐振动——振动平板STOKES第二问题
解决可压缩流驱问题的有限元和间断galerkin方法
解决可压缩流驱问题的有限元和间断galerkin方法解决可压缩流驱问题的有限元和间断Galerkin方法1. 引言可压缩流驱问题是流体力学中的重要研究领域，涉及到气体、液体等可压缩流体在固体表面运动的过程。
该问题的解决对于工程领域的气动设计、燃烧动力学等具有重要意义。
在本文中，我们将讨论解决可压缩流驱问题的两种数值方法：有限元方法和间断Galerkin方法。
2. 有限元方法有限元方法是一种常用的数值方法，用于解决偏微分方程问题。
在可压缩流驱问题中，我们将流场分为离散的有限元单元，每个单元上的流场变量可以用插值函数逼近。
通过将偏微分方程离散化为代数方程，在整个流场中求解流场变量的近似解。
2.1 基本原理有限元方法的基本原理是建立变分问题，通过最小化问题的变分形式，求解问题的近似解。
对于可压缩流驱问题，我们可以建立Navier-Stokes方程的变分问题。
通过引入试验函数和权重函数，将原始偏微分方程转化为一组线性方程。
2.2 空间离散化在有限元方法中，将流场分割为小的有限元单元是关键步骤。
常见的有限元形状包括三角形和四边形。
每个单元上的流场变量可以由节点上的值通过插值函数逼近，形成离散化的流场。
2.3 时间积分对于可压缩流驱问题，时间的积分也是必要的。
常见的时间积分方法包括显式和隐式方法。
显式方法根据时间步长逐步迭代，但对于大的时间步长可能会导致不稳定性。
隐式方法更为稳定，但需要解一个非线性方程组。
3. 间断Galerkin方法间断Galerkin方法是一种基于有限元方法的数值方法，用于解决守恒定律形式的偏微分方程问题。
该方法将流场分割为离散的有限元单元，通过在单元之间引入间断，从而提高了数值解的精度和稳定性。
3.1 基本原理间断Galerkin方法的基本原理是建立弱形式的守恒定律方程，并在每个有限元单元上引入间断。
通过在单元之间定义数值通量，将间断条件纳入到方程中。
这样可以提高数值解的精度和稳定性。
navierstokes方程的三种迭代法
navierstokes方程的三种迭代法
Navier-Stokes方程是描述流体运动的基本方程，其解法通常涉及到数值计算。
以下是三种常见的迭代法：
有限差分法（Finite Difference Method）：
有限差分法是一种直接求解Navier-Stokes方程的方法。
它通过将连续的时间和空间离散化，将偏微分方程转化为差分方程，然后通过迭代求解这些差分方程来逼近原方程的解。
这种方法简单直观，但可能对初值敏感，且在处理复杂边界条件时可能遇到困难。
有限元法（Finite Element Method）：
有限元法是一种基于变分原理的数值方法。
它将连续的流体域离散为有限个小的子域（或称为“元”），然后在这些子域上定义近似函数。
通过最小化近似函数与真实解之间的误差，可以得到原方程的近似解。
这种方法能够处理复杂的边界条件，且对初值不敏感，但计算量较大。
有限体积法（Finite Volume Method）：
有限体积法是一种介于有限差分法和有限元法之间的方法。
它将流体域划分为一系列控制体积，并在每个控制体积上定义离散的数值格式。
通过求解这些离散方程，可以
得到原方程的近似解。
这种方法在处理复杂边界条件和流场变化时具有较好的适应性，且计算效率较高。
以上三种迭代法各有优缺点，可以根据具体问题选择适合的方法进行求解。
Navier-Stokes-Navier-Stokes耦合方程的数值解法
Navier-Stokes-Navier-Stokes耦合方程的数值解法Navier-Stokes/Navier-Stokes耦合方程的数值解法导言在流体力学领域中，Navier-Stokes方程是研究流体运动的基本方程。
然而，在某些特定的情况下，这一方程组的数值求解可能会变得相当困难。
针对这一问题，研究人员提出了一种耦合求解Navier-Stokes方程的方法，即Navier-Stokes/Navier-Stokes耦合方程。
本文将介绍该方程的数值解法。
一、方程模型的建立Navier-Stokes方程是一组描述流体连续性、动量守恒和能量守恒的偏微分方程。
在求解流体运动问题时，一般需要将流体领域划分为无限小的控制体，并对每个控制体应用质量、动量和能量守恒方程。
而Navier-Stokes/Navier-Stokes耦合方程则是在不同物理领域的控制体之间建立耦合关系，以实现多物理场的数值求解。
二、数值求解方法针对Navier-Stokes/Navier-Stokes耦合方程的数值求解，常用的方法包括有限元法、有限差分法和有限体积法等。
这些方法各自具有自身的特点和适用范围。
1. 有限元法有限元法是一种广泛应用于流体力学问题的数值求解方法。
在求解Navier-Stokes/Navier-Stokes耦合方程时，有限元法将流体领域离散成有限数量的单元，通过对每个单元内的方程进行近似求解，并通过单元之间的耦合关系得到整个流场的解。
有限元法的优势在于适用于复杂的几何形状和边界条件，并且能够处理非结构化网格。
然而，有限元法的计算量较大，对计算资源的需求较高。
2. 有限差分法有限差分法是一种利用离散化点上的函数值和函数导数之间的关系来近似求解微分方程的方法。
在求解Navier-Stokes/Navier-Stokes耦合方程时，有限差分法将流体领域离散成网格点，并通过有限差分近似来求解偏微分方程。
有限差分法的特点在于简单易懂、计算效率高，特别适用于规则网格和稠密网格的情况。
navier-stokes方程数学基础
navier-stokes方程数学基础下载温馨提示：该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。
文档下载后可定制随意修改，请根据实际需要进行相应的调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种各样类型的实用资料，如教育随笔、日记赏析、句子摘抄、古诗大全、经典美文、话题作文、工作总结、词语解析、文案摘录、其他资料等等，如想了解不同资料格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by the editor. I hope that after you download them, they can help yousolve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!In addition, our shop provides you with various types of practical materials, such as educational essays, diary appreciation, sentence excerpts, ancient poems, classic articles, topic composition, work summary, word parsing, copy excerpts,other materials and so on, want to know different data formats and writing methods, please pay attention!导言在流体力学领域，Navier-Stokes方程是描述流体运动的基本方程之一。
黏性流体动量平衡方程纳维斯托克斯方程(NavierStokes-最全资料PPT
2.3黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
⒍ 动量平衡方程的讨论
v x v x v x x v y v y x v z v z x 2 x v 2 x 2 y v 2 x 2 z v 2 x P x g x
动量蓄积量 对流动量
黏性动量
压重 力力
（1）方程的物理意义：运动的流体能量守恒的表现
动量形式 作用力形式
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
全微分 vv(,x,y,z) d v vd x vd x y vd y v zd z
d dv v x vvx y vvy v zvz
以vx为准：动量通量
vxvx A
vxvx
(vxvx)dx
x
B
动量通量收支差量
(vxvx ) dx
x
xx
x方向的速度、x方向的动量通量
2.3黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
对流动量收支差量为
(vxvx)dxdydz
x
xx
同理，以vx为准，y方向、z方向的对流动量收支差量： (vyvx)dxdydz
a v x vvx y vvy v zvz
ax vx v x xvx v y xvy v z xvz
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
a x 2 x v 2 x 2 y v 2 x 2 z v 2 x P xg x
x方向的总压力为 dxdydz 将以上式子代入下式，整理得：N-S方程
非定常不可压缩Navier-Stokes方程的特征稳定化非协调有限元方法
非定常不可压缩Navier-Stokes方程的特征稳定化非协调有限元方法荆菲菲;苏剑;张晓旭;刘小民【摘要】数值求解非定常不可压缩Navier-Stokes方程的难点之一在于强烈的非线性容易引发非物理震荡，本文结合可以有效减弱此种震荡的特征线离散方法，基于局部Gauss积分之差的稳定化格式，采用最低等阶非协调混合有限元对NCP1-P1，构造出求解非定常不可压缩Navier-Stokes方程的特征稳定化非协调混合有限元方法。
证明了该方法的全离散格式是无条件稳定的，并给出逼近解的相应误差估计。
%One of the difficulties for numerical simulation of the unsteady Navier-Stokes equa-tions is the nonlinearity, when characteristic discretization can effectively weaken the non-physical concussion caused by nonlinear form. Based on the local Gauss quadrature, this paper proposes a characteristic stabilized nonconforming finite ele-ment method to solve the unsteady incompressible Navier-Stokes equations, where the characteristic method and lowest equal-order nonconforming pair NCP1-P1 are employed. We obtain the unconditional stability of its full discrete format and the corresponding error analysis of the approximate solutions.【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2014(000)005【总页数】15页(P764-778)【关键词】特征线方法;稳定化;非协调有限元;误差估计;Navier-Stokes方程【作者】荆菲菲;苏剑;张晓旭;刘小民【作者单位】西安交通大学数学与统计学院，西安 710049;西安交通大学数学与统计学院，西安 710049;西北工业大学自动化学院，西安 710072;西安交通大学能源与动力工程学院，西安 710049【正文语种】中文【中图分类】O241.21;O241.821 IntroductionFor the unsteady incompressible Navier-Stokes problemswhereis a bounded convex domain with Lipschitz continuous boundary[1-6].J=(0,T],T is the given f i nal time.u(x,t)and f(x,t)denote the f l ow velocity and the external force,p(x,t)is a scalar function which denotes the pressure,µ＞0 is the viscous coefficient.The existence of the nonlinear term in(1)increases the difficulty for numerical simulation,while characteristic discretization can effectively weaken the non-physical concussion caused by its nonlinearity.The characteristics methods mean to rewrite the governing equations in terms of Lagrangian coordinates def i ned by the particle trajectories associated with the problem under consideration.The Lagrangian treatment in these methods greatly reduces the time truncation error in Eulerian scheme[7-10].That is approximation o fby standard backward difference leads toerrors of the form C‖For problems with signi fi cant convection,the solution changes much less in suitable norms,while characteristic methods give errors of the form rapidly in the characteristic τ direction than in the tdirection[7,9,10].Simultaneously,these methods have been shown to possess remarkable stability properties[10].When f i nite element methods are used to solve the equation(1),the approximations for velocity and pressure must satisfy the inf-sup condition to have a stable solution[11-23].This limits the use of the lowest equal-order pairs P1−P1or Q1−Q1,which do not satisfy inf-supcondition,although they have the practical importance in scientif i c computation for their simplicity and convenience[11,12].To f i ll this gap,a new family of stabilized method based on local Gauss iteration is presented recently with some prominent computational features[13-19].And recent studies have been focused on the stabilization of the lowest equal-order f i nite element pair P1−P1for the Stokes,Navier-Stokes problems[13-15,19].Moreover,nonconforming f i nite element methods for incompressible f l ows are more popular due to their simplicity,small support sets of basis functions,and the superior actual effect of computing to conforming f i nite element methods[18-23].Based on this idea,we adopt the lowest equal-order nonconforming fi nite element pairs with characteristics methods to solve problem(1).The organization of this paper is given as follows:in the next section,we will introduce the characteristic f i nite element method,some function spacesand assumption about regularity of the solution.Section 3 will bring in the nonconforming f i nite pair NCP1−P1,the properties of local Gauss integration,and the full discretization ofequation(1).Furthermore,conclusion shows that our method is unconditionally stable provided the characteristics are transported by divergence-free velocity f i eld.Optimal error estimates for the characteristic stabilized nonconforming f i nite element solution are derived in section 4.2 Functional setting of the Navier-Stokes problemWhen solve equation(1)with characteristic method(u ·∇)u can be written as Dtu,the total derivative of u in the direction of f l ow u. Let ψ=(1+andcan be def i ned as be real numbers from the interval[0,2π]such that cos Then,the characteristic direction of operatorSoWith this def i nition,the f i rst formula of equation(1)turns intoNext we brief l y introduce some notations.Let H10(Ω)be the standard Sobolev space[24]equipped with the usual norm ‖ ·‖1andseminorm|·|1.Let X,Y,M,V and H be def i ned by as followsThe scalar product and norm in M are denoted by the usual L2(Ω)inner product and‖ ·‖0,respectively.For a real Banach spaces A,Lp(A),Hs(A)andC(A)will denote the spaces Lp(0,T;A),Hs(0,T;A)and C(0,T;A).Spaces consisting of vector-valued functions are denoted in boldface and the constant C＞0 is independent of mesh parameter may change anywhere. Assume the solution(u,p)of(1)satisfy the following regularity hypotheses[5]:Hence,an equivalent variational formulation of(1)iswhereFor a characteristic method,the discretization of Dtu hinges on the approximation of the directional derivativeLet M be a positiveinteger,△t=T/M and tm=m△t.In view of this,we denote by X(x,tm+1;t)the characteristic curves associated with the material derivative which is def i ned by the following initial value problemThanks to the Cauchy-Lipschitz Theorem[7],this ODE has a unique solution when u∈C0,1)d,where X(x,tm+1;t)is the departure point and represents the position at time t of a particle which locates at x at the timetm+1.Hence for all(x,t)∈Ω×[tm,tm+1],we haveIf the integral approximation is f i rst order,then yieldsThe backward difference approximation ofis described astogether with(5)and(6),yieldsThe approximation of the material derivative combined with a spatial discretization by a mixed f i nite element method is described in the next section.3 Stabilized noncon for ming f i nite element approximationLet h＞0 be a parameter,Thbe a regular triangulatio n of Ω into elements Kj:=∪.Denote the boundary segment and an interior boundary byΓj=∂Ω∩∂Kj,Γjk=Γkj= ∂Kj ∩ ∂Kk,and the centers of Γkand Γjkare ξkandξjk,respectively.Then the nonconforming f i nite element space for the velocity and the conforming space for pressure areAs is known NCP1X.For any v∈NCP1,hold the compatibility conditions for all j and k:where[v]=v|Γjk − v|Γkjindicates the jump of the function v across the interface Γjk.The two f i nite element spaces NCP1and P1satisfy the following approx imation property:for all(v,q)∈(H2(Ω)∩X,H1(Ω)∩M),exists(vI,qI)∈ (NCP1,P1)holdswhere ‖ ·‖1,hdenotes the energy normAs noted earlier,this choose of the f i nite element pair NCP1−P1does not satisfy the inf-sup conditions uniformly in h:For error estimates of the mixed f i nite element solution and f i lter the unstable factors,we employ the local stabilized form based on Gauss integrationand∫K,ig(x,y)dxdy indicates the Gauss integration over K and is exact for i(i=1,2),g(x)is a polynomial of degree not greater than two[14].Let Πh:L2(Ω)→ W0be the standard L2projection operator satisfying the follow-ing properties[14]Where W0 ⊂ L2(Ω)denotes the piecewise constant on set Kj,for the operator Πh,it is introduced to counteract the lack of inf-supstability,which acts on C0pressure and has a discontinuous range,andΠhq=qh ∈ W0if and only ifSois the element average of q.Then,we can rewrite G(ph,qh)asBased on the above description,a new scheme can be described as follows[9]:suppose that ,are approximations of velocity and pressure at the point(x,tm),respectively,f i ndfor all vh∈Xh,qh∈Mhholdswhereandis the solution ofAlong with the stabilized bilinear termwhereGh(ph,qh)is def i ned as above anddenote the L2-inner products on Kjand∂Kj,respectiv ely.About the bilinear form Bh,the following stability lemma is established.Lemma 1 Let(NCP1,P1)be def i ned as above,then there exists a positive constant β independent of h,for all(uh,ph),(vh,qh)∈ (NCP1,P1),such that[19]The linear system of(12)is symmetric and the presented method is unconditionally stable provided the characteristics are transported by divergence-free f i eld.Indeed,as in[6],choosingin(12)givesUsing the Young’s inequality can obtainThat isnamelyso the stability is proved.4 Error estimatesTo derive optimal error estimates for the f i nite elementsolution(uh,ph),we introduce the Galerkin projectionoperator(Rh,Qh):(X,M)−→ (NCP1,P1)byletwhich is well def i ned and have the following approximation properties. Lemma 2 For all(u,p)∈(X,M),there holds[15]and for all(u,p)∈ (H2(Ω)∩X,H1(Ω)∩ M),also holdsTheorem 1 Under assumption 1)–3),we have the following error estimateProofLetSubtractfrom both side of(12),givesUsing Green’s formula and(2),we havewhere ν is the outward unit normal to ∂K.ChoosingyieldsHenceWe use the conclusions in[8]and by a scaling argument to estimate Ii(i=1,2,···,8),Substituting the above estimates into(20),multiplying the resulting inequality by 2△t,from 0 to n for index m,and choosing we obtain the recursion relationBy the equation(8)and triangle inequality can obtainFinally by the discrete version of Gronwall’s Lemma and Lemma 2,Theorem 1 holds.Theorem 2 Under assumption 1)–3)andholds thatProofTakingin equation(18)getMoreover,we know thatand based on the conclusion in[11],the term can be changed toso let the left of equation(22)is L,and L can be transformed byNoting thatthus there isForchoosingtogether with equation(22),yieldsNext we estimate IIi,respectively,by the similar argument to[8,11]can obtainwhereSubstituting the above estimates into equation(22),and multiplying by 2△t,then summing from 0 to n,for index m,and choosingwe obtainSincetogether with the discrete Gronwall’s Lemma and Lemma 2 imply that By Poincare-Friedrichs inequality and the discrete Gronwall’sLemma,Theorem 2 holds.Next,the error ‖will be estimated.Theorem 3 Under the assumption 1)–3),the following L2error estimate holdsHere just we do a simple explanation to this theorem.From the def i nition Bhand equation(18)givesfrom the Theorem 2,yieldsFurthermore,we haveBy the similar argument with the proof of Theorem 2,together with Theorem 1 and equation(18),we can obtain the conclusion of Theorem 3. References:[1]Brezzi F.Mixed and Hybrid Finite Element Methods[M].NewYork:Springer-Verlag,1991[2]Ciarlet P G.The Finite Element Method for EllipticProblems[M].Amsterdam:North-Holland,1978[3]Quarteroni A.Numerical Approximation of Partial Differential Equations[M].New York:Springer,1997[4]Chen Z X.Finite Element Methods and Their Application[M].New York:Springer-Verlag,2005[5]Girault V,Raviart P.Finite Element Methods for Navier-StokesEquations[M].Berlin:Springer,1986[6]Pironneau O.On the transport-diffusion algorithm and its application to the Navier-Stokes equations[J].Numerische Mathematik,1982,38(3):309-332[7]Achdou Y,Guermond J L.Analysis of a f i nite elementprojection/Lagrange-Galerkin method for the incompressible Navier-Stokes equations[J].SIAM Journal on Numerical Analysis,2000,37(3):799-826[8]S¨uli E.Convergence and nonlinear stability of the Lagrange-Galerkin method for the Navier-Stokes equations[J].NumerischeMathematik,1998,53(4):459-483[9]Jia H E,Li K T,Liu S H.Characteristic stabilized f i nite element method for the transient Navier-Stokes equations[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,2010,199(45-48):2996-3004[10]Morton K W,Priestley A,S¨uli E.Convergence Analysis of the Lagrange-Galerkin Method with Non-exact Integration[M].Oxford:Oxford University Press,1986[11]Bochev P B,Dohrmann C R,Gunzburger M D.Stabilized of low-order mixed f i nite element for the stokes equations[J].SIAM Journal on Numerical Analysis,2006,44(1):82-101[12]Dohrmann C R,Bochev P B.A stabilized f i nite element method for the Stokes problem based on polynomial pressure projections[J].International Journal for Numerical Methods in Fluids,2004,46(2):183-201[13]He Y N,Li J.A stabilized f i nite element method based on localpolynomial pressure projection for the stationary Navier-Stokes equations[J].Applied Numerical Mathematic,2008,58(10):1503-1514 [14]Li J,He Y N.A stabilized f i nite element method based on two local Gauss integrations for the Stokes equations[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2008,214(1):58-65[15]Li J,He Y N,Chen Z X.A new stabilized f i nite element method for the transient Navier-Stokes equations[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,2007,197(1-4):22-35[16]Shi F,Yu J P,Li K T.A new mixed f i nite element scheme for elliptic equations[J].Chinese Journal of Engineering Mathematics,2011,28(2):231-237[17]Shi F,Yu J P,Li K T.A new stabilized mixed f i nite-element method for Poisson equation based on two local Gauss integrations for linearpair[J].International Journal of ComputationMathematics,2011,88(11):2293-2305[18]Jing F F,Su J,Chen H.A new stabilized nonconforming-mixed f i nite element method for the second order elliptic boundary valueproblem[J].Chinese Journal of Engineering Mathematics,2013,30(6):846-854[19]Li J,Chen Z X.A new local stabilized nonconforming f i nite element method for the Stokes equations[J].Computing,2008,82(2-3):157-170 [20]Zhu L P,Li J,Chen Z X.A new local stabilized nonconforming f i nite element method for solving stationary Navier-Stokes equations[J].Journal of Computation and Applied Mathematics,2011,35(8):2821-2831[21]Feng X L,Kim Z,Nam H,et al.Locally stabilized P1-nonconforming quadrilateral and hexahedral f i nite element methods for the Stokes equations[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2011,236(5):714-727[22]Huang P Z,Feng X L,Liu D M.A stabilised nonconforming f i nite element method for steady incompressiblefl ows[J].International Journal of Computational FluidDynamics,2012,26(2):133-144[23]Karakashian O A,Jureidini W N.A nonconforming f i nite element method for the stationary Navier-Stokes equations[J].SIAM Journal on Numerical Analysis,1988,35(1):93-120[24]Adams R A.Sobolev Spaces[M].New York:Academic Press,1975。
定常Navier-Stokes方程的一种高效稳定有限元方法
方法得 到的解具有 同阶的收敛性， 两层稳定有限元方法节省 了大量的工作时 间． 但 关键词 ： ｖｅ—ｔｋｓ Ｎａ ｉ Ｓｏ ｅ方程： 定有 限元方 法； ｒ 稳 局部 高斯 积分 方法；ｎ－ｕ 条件； ｉｆ ｐ ｓ 两层
有 限元 方 法：
中图 分 类 号 ： ４ ． Ｏ２ １１
文献标识码： Ａ
格上的精度 ， 而且大大降低 了问题的复杂性， 节省 了大量的工作时 间．
§ 定常Ｎ Ｓ ２ —方程 的基 本 问题
设 是Ｒ 上的有界区域， 其边 界ｒ 满足Ｌｐｅ ｉ ￣续条件且进一步满足后面（ ） ｉｓｈｔ ｚ Ａ１的条件． 定
常Ｎ Ｓ — 方程 如 下 ：
一
ｕｕ ｐ （・）＋￣ ｉ ）＝ ， 力 ， Ａ ＋ ＋ ｕ （ｖ ｕ ｆ在 中 ｄｕ
收稿 日期： ０ ９０ — ８ ２ ０ —９ ２
基 金项 目：国家 自 科学基金（０ ００ １； 然 １７ １０） 陕西省 自然科 学基础研究基金（Ｊ ８ ４； Ｓ ０ Ａ１） 宝鸡文理学院重 点科研 项 目
基金（ Ｋ０ １ ） Ｚ ９１
１２ ８
高 校 应 用 数 学 学 报
第２卷第２ ５ 期
常Ｎ Ｓ —方程（－ 】 最近， １ １． ３４ 两层 简单格式 的有限元方法取得 了一些好 的结果［９． ６］ －
对于定常Ｎ Ｓ —方程， 本文提 出的两层稳定有限元方法 的主要思想如下： 第一步： 在粗 网格上用稳 定有限元方法（ 局部高斯积分稳定 化算法） 求解 定常Ｎ Ｓ — 方程（ 元 选 方便简单１ ． 第二步： 在细网格上利用粗网格 的解对原 问题线性化ｆ 非线性复杂性得 以缓解１ ． 本文的数值结果表明： 采用两 层稳定有限元方法 求解Ｎ Ｓ —方程 ， 不仅保持稳定化方法在细 网
三维定常Navier-Stokes方程的有限元计算
摘要 ： 将Ｎ ｅ ｗ ｔ ｏ ｎ 、 Ｏ ｓ ｅ ｅ ｎ和 Ｓ ｔ ｏ ｋ ｅ ｓ ３种 有限元迭代算法用于求解三维定 常 Ｎ ａ ｖ ｉ ｅ ｒ － Ｓ ｔ ｏ ｋ ｅ ｓ 方程 ， 给出了这 ３种迭代算
ｉ ｔ ｙ ｄ ｒ ｉ ｖ ｅ ｎ ｌｏ ｆ ｗ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ ，ｔ ｈ ｅ ｂｉ ｇ ｇ ｅ ｓ ｔ Ｒｅ ｙ ｎ ｏ ｌ ｄｓ ｎ ｕ ｍｂ ｅ ｒ ｗｉ ｔ ｈ ｗｈ ｉ ｃ ｈ ｔ ｈｅ ｍｅ ｔ ｈｏ ｄｓ ｃ ａ ｎ ｗｏ ｒ ｋ ｉ ｓ ｔ ｅ ｓ ｔ ｅ ｄ ． Ｋｅ ｙ ｗｏｒ ｄｓ ：ｆ ｉ ｎ ｉ ｔ ｅ ｅ ｌ ｅ ｍｅ ｎ ｔ ，Ｎａ ｖ ｉ ｅ ｒ — Ｓ ｔ ｏ ｋ ｅ ｓ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ，ｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ ｍｅ ｔ ｈｏ ｄ，ｅ ｒｏ ｒ ｅ ｓ ｔ ｉ ｍａ ｔ ｅ，Ｒｅ ｙ ｎ ｏ ｌ ｄ ｓ Ｂ ｕ ｍ— ｂ ｅ ｔ
ｖ ａ ｎ ｔ ａ ｇ ｅ ｓ ａ ｎ ｄ ｄ ｉ ｓ ａ ｄ ｖ ａ ｎ ｔ ａ ｇ ｅ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｔ ｈ ｒ ｅ ｅ ｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｓ ａ ｒ ｅ ａ ｌ ｓ ｏ ｃ ｏ ｍｐ ａ ｒ ｅ ｄ ．Ｆ ｏ ｒ ｔ ｈ ｅ ３ Ｄ ｌ ｉ ｄ — ｄ ｒ ｉ ｖ ｅ ｎ ｃ ａ ｖ —
（ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｓ ａ ｎ ｄ Ｃ ｏ ｍ ｐ ｕ ｔ ｅ ｒ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ， Ｇ ｕ ｉ ｚ ｈ ｏ ｕ Ｎ ｏ ｍａ ｒ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ， Ｇ ｕ ｉ ｙ ｎｇ ａ ， Ｇ ｕ ｉ ｚ ｈ ｏ ｕ ５ ５ ０ ０ ０ １ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ） Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ｎｅ ｗｔ ｏ ｎ， Ｏｓ ｅ ｅ ｎ ａ ｎ ｄ Ｓ ｔ ｏ ｋ ｅ ｓ ｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ ｉ ｆ ｎ ｉ ｔ ｅ ｅ ｌ ｅ ｍｅ ｎ ｔ ａ ｌ ｇ ｏ ｉ ｒ ｔ ｈ ｍｓ ａ ｒ ｅ ｕ ｓ ｅ ｄ ｆ ｏ ｒ ｓ ｏ ｌ ｖ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ ３ Ｄ
高雷诺数Navier-Stokes方程的稳定化方法
诺数 。
目前 ， Ｂ ｕ ｎ ｎ ａ ｎ针 对 Ｎ ａ ｖ ｉ ｅ ｒ —Ｓ ｔ ｏ ｋ ｅ ｓ 方程 提 出 了一
本文采用空间
Ｖ：（ （ Ｑ） ）
高 雷诺 数 Ｎ ａ ｖ ｉ ｅ ｒ —Ｓ ｔ ｏ ｋ ｅ ｓ 方 程 的 稳定 化 方 法
谢 春 梅 熊 敏
（ １ ． ２ ． 成 都航 空 职业技 术 学 院 ， 成都 ６ １ ０ １ ０ ０ ） 摘 要： 本 文针 对 高雷诺数 的 瞬 态 Ｎ ａ ｖ ｉ ｅ ｒ —Ｓ ｔ ｏ ｋ ｅ ｓ 方程 提 出一种 稳 定化 有 限元 法 。此 方 法增 加 了线性 内
ｎ ｉ ｔ ｅ ｅ ｌ ｅ ｍｅ ｎ ｔ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ． Ｔ ｈ ｅ ｓ ｔ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｚ ｅ ｄ ｍｅ ｔ ｈ ｄ ｏ ｉ ｓ ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ａ ｄ ｄ ｉ ｎ ｇ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｉ ｎ ｔ ｅ ｉ ｒ ｏ ｒ ｐ ｅ ｎ ａ ｌ ｔ ｙ ｔ ｅ ｒ ｍｓ ａ ｎ ｄ ｉ ｔ ｓ ｅ ｌ Ｔ ｏ ｒ ｅ ｓ ｔ ｉ ｍａ ｔ ｅ ｓ ｄ ｏ ｎ ｔ
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ Ｆｏ ｒ ｔ ｈ ｅ ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｉ ｅ ｎ ｔ Ｎａ ｖ ｉ ｅ ｒ —Ｓ ｔ ｏ ｋ ｅ ｓ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｗｉ ｔ ｈ ｈ ｉ ｇ ｈ Ｒｅ ｙ ｎ ｏ ｌ ｄ ｓ ｎ ｕ ｍｂ ｅ ｒ ， ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ｐ ｒ ｏ ｐ ｏ ｓ ｅ ｓ ａ ｓ ｔ ａ ｂｉ ｌ ｉ ｚ ｅ ｄ ｉ＿ ｆ
， ，
为雷诺 数 ； 厂 （ ｔ ， ） 和初值 。 （ ） 都是给定 的。
．
本 文采 用 标 准 的 Ｌ ｅ ｂ ｅ ｇ ｕ ｅ和 Ｓ 。 ｂ ｏ ｌ ｅ ｖ空 间 的 记 号
可压缩Navier-Stokes方程平面Couette-Poiseuille流的线性不稳定性
首 先，假 设流 体是 由沿着 １方 向运动速 度为 的上板 和外 力 官所驱 动，其 中 Ｖ ＞０为
常 数 ．假 设无滑 移 的边界 条件
＝ Ｖｅ１，在 ∑ 上 ，
ｆ１．２）
＝ ０，在 ∑ｂ上 ，
（１．３）
Ｅｈ＝｛童３＝ ）表示 Ｑ 的上边界， Ｅｂ＝｛ ３＝０）是下边界． 方程 （１．１）一（１．３）具有形如 ＝（ ， ）的稳态解
７２＜ 丽１
，
２ ｚ］２－￣－ｂ，ｂ／＜３ （ 一７。），
Ｋａｇｅｉ［。】证 明了可 压 Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方 程平 面 Ｐｏｉｓｅｕｉｌｌｅ流 的线性 不 稳定性 ．本文 的主要 目的 是 找到适 当的马赫 数 和雷诺 数 使得平 面 Ｃｏｕｅｔｔｅ—Ｐｏｉｓｅｕｉｌｌｅ流是 不稳 定 的．
２ 预备知识和主要结果
（１＋３）２ｐ，ｇｈ２
’
／￣ｅ （－ ３＋ ２ｖ／２，１），
＝
（ 铜 ∈ 一 ｏ。 ， 一 ３＋ ２ Ｕ（１７＋。。）．
则当 ∈（一。。，一３＋２铜 ｕ［１，＋∞）或 ∈（一３＋２ ，１）时，问题 （１．１）在区域 Ｑ＝
［＿ ， ）×［一 ， ）×（０，１）上分别具有如下形式
Ｏｔｐ＋ ｄｉｖ（ｐｖ）＝ ０，
，
． ｖ…
一 …
： ，
３２４ 或
数 学 物 理 学 报
、厂０１．３８Ａ
（ ＋ ）Ｖｄｉｖｖ＝ ￣，ｐｅ１ ．
（２·２）
边界 条件
却 以
件
Ｖ
＝
在 ∑＾上 ， ｖ＝Ｏ 在 ∑６上 ，
叭
且 在新 坐标 下稳态平 面 Ｃｏｕｅｔｔｅ．Ｐｏｉｓｅｕｉｌｌｅ流变 成
可压缩navier-stokes方程组
可压缩navier-stokes方程组
可压缩Navier-Stokes方程组是描述流体力学中可压缩流体运动的方程组。
它由连续性方程、动量方程和能量方程三个方程组成。
连续性方程描述了质量守恒。
它表明，在任意给定的时刻和位置，质量的流入等于流出。
这可以用密度和速度的局部变化来表示。
具体而言，连续性方程可以写为：
∂ρ/∂t + ∇·(ρu) = 0
其中，ρ是流体的密度，u是速度矢量，∂/∂t表示时间导数，∇·表示散度。
动量方程描述了流体的运动。
它包含了流体加速度和各种力的作用。
具体而言，动量方程可以写为：
ρ(∂u/∂t + u·∇u) = -∇p + ∇·(μ∇u) + f
其中，p是压力，μ是流体的动态粘度，f是外力矢量。
能量方程描述了流体的热力学性质，包括热传递和热扩散。
它可以写为：
ρCv(∂T/∂t + u·∇T) = ∇·(k∇T) + q
其中，Cv是比热容，T是温度，k是热传导率，q是热源项。
这些方程组成了可压缩Navier-Stokes方程组。
解这个方程组的难点在于非线性项和耗散项的复杂性以及边界条件的处理。
在实际应用中，通常需要借助数值方法进行求解。
含真空的三维可压缩navier-stokes方程组的一类爆破准则
含真空的三维可压缩navier-stokes方程组的一类爆破准则引言1.1 概述本研究旨在探讨含真空的三维可压缩Navier-Stokes方程组的爆破准则。
Navier-Stokes方程组是描述流体运动行为的基本方程，其应用广泛且具有重要理论价值。
然而，在实际问题中，如航空航天领域和气动力学模拟中，会遇到含有真空区域的情况，而这导致传统的Navier-Stokes方程组不再适用。
因此，为了解决这一困难性问题并提高流体仿真的准确性与精度，我们将利用爆破准则来揭示该特殊情况下的流体行为，并研究其在实践中的应用。
1.2 文章结构本文将按以下结构进行叙述和分析：首先，在第2节我们将简要介绍可压缩Navier-Stokes方程组以及它们在各个领域中的常见应用和数学特性；接着，在第3节我们将详细介绍含真空的三维可压缩Navier-Stokes方程组模型，并讨论其中涉及到的特殊情况和建模方法；然后，在第4节中，我们将探讨爆破准则的理论基础以及其在这一问题中的应用研究；最后，在第5节我们将总结本文的主要成果并展望未来的研究方向与应用前景。
1.3 目的本文的目标在于深入理解含真空的三维可压缩Navier-Stokes方程组，并尝试寻找适用于该模型的爆破准则。
通过探讨和分析这一特殊情况下流体行为的数学特性和建模挑战，我们希望能够提供对该问题深入认识和解决思路。
同时，我们将回顾已有研究成果并评述其优缺点，以促进相关领域的学术交流和未来研究的发展。
最终，我们希望为利用爆破准则解决含真空三维可压缩Navier-Stokes方程组困难性问题提供一种新颖且行之有效的方法，并对实际工程和科学计算等领域产生实质性影响。
2. 可压缩Navier-Stokes方程组简介2.1 方程组描述可压缩Navier-Stokes方程组是描述流体运动的基本数学模型。
该方程组由连续性方程和动量守恒方程两部分组成。
连续性方程用于描述质量守恒，而动量守恒方程用于描述动量守恒。
高雷诺数Navier-Stokes方程的稳定化方法
高雷诺数Navier-Stokes方程的稳定化方法
谢春梅;熊敏
【期刊名称】《成都航空职业技术学院学报》
【年(卷),期】2015(031)004
【摘要】本文针对高雷诺数的瞬态Navier-Stokes方程提出一种稳定化有限元法.此方法增加了线性内罚项,其误差估计与粘性系数无关.
【总页数】2页(P54-55)
【作者】谢春梅;熊敏
【作者单位】成都航空职业技术学院,成都610100;成都航空职业技术学院,成都610100
【正文语种】中文
【中图分类】O242.21
【相关文献】
1.定常Navier-Stokes方程基于速度投影的等阶元稳定化方法 [J], 张百驹;李辉
2.非定常Navier-Stokes方程的一种非协调有限元投影稳定化方法 [J], 张莉;王彦朝;宋卫平
3.求解Navier-Stokes/Darcy方程的时间异步稳定化特征线方法 [J], 贾晓峰;贾宏恩
4.非定常Navier-Stokes方程的一种非线性局部投影稳定化有限元方法 [J], 李西;罗加福;冯民富
5.大雷诺数Navier-Stokes方程的两水平亚格子模型稳定化方法 [J], 杨晓成;尚月强
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
定常Navier-Stokes方程的一种高效稳定有限元方法
定常Navier-Stokes方程的一种高效稳定有限元方法杨建宏; 欧阳洁【期刊名称】《《高校应用数学学报A辑》》【年(卷),期】2010(025)002【总页数】6页(P181-186)【关键词】Navier-Stokes方程; 稳定有限元方法; 局部高斯积分方法; inf-sup条件; 两层有限元方法【作者】杨建宏; 欧阳洁【作者单位】宝鸡文理学院数学系陕西宝鸡 721013; 西北工业大学应用数学系陕西西安 710072【正文语种】中文【中图分类】O241.1构造高效率、高精度又便于计算机实现的数值计算方法是科学计算工作的核心内容. N-S方程是不可压缩流体的控制方程,对它的求解方法的研究一直受到国内外众多有限元专家学者的关注.众所周知,利用有限元求解N-S方程,关于速度和压力的有限元必须满足in f-sup条件,即要求速度分片多项式次数比压力多项式次数高,在具体计算中需要采用不同的两套网格,显然,这使得计算的难度和工作量都大大增加了.而低次等阶有限元在并行实现和多重网格计算等方面具有较大的优越性.但它却不满足inf-sup条件,导致有限元方法不稳定.为了解决上述矛盾,充分利用不满足inf-sup条件的低次等阶有限元,常用的策略是采用稳定化技术避开或改善容许性条件.在过去的三十多年中,在这方面已经作了许多的工作[1-9].然而,稳定化的过程也存在许多困难.如很多方法依赖于稳定化参数[5],即参数选择得合适,计算结果较好;否则效果较差.所以,构造避开或改善容许性条件,而又能达到稳定化效果的有限元方法成为研究的热点.基于局部高斯积分技术的稳定有限元方法的思想源于文献[1-3,6-7].这种稳定有限元方法,无须对函数求导,不需计算边界积分,并且不含稳定化参数,在每个单元上完全局部化,所以计算简单方便. 两层算法最早由Xu教授[10-11]提出并应用在一系列半线性问题上.随后,由Niem isto在他的毕业论文[12]中推广到非定常鞍点问题.两层或多层方法最早被Layton 和Lenferink等人应用到定常N-S方程[13-14].最近,两层简单格式的有限元方法取得了一些好的结果[6-9].对于定常N-S方程,本文提出的两层稳定有限元方法的主要思想如下:第一步:在粗网格上用稳定有限元方法(局部高斯积分稳定化算法)求解定常N-S方程(选元方便简单).第二步:在细网格上利用粗网格的解对原问题线性化(非线性复杂性得以缓解).本文的数值结果表明:采用两层稳定有限元方法求解N-S方程,不仅保持稳定化方法在细网格上的精度,而且大大降低了问题的复杂性,节省了大量的工作时间.设Ω是R2上的有界区域,其边界Γ满足Lipschitz连续条件且进一步满足后面(A 1)的条件.定常N-S方程如下:其中u=(u1,u2)是速度向量,p=p(x)是压力,f=f(x)是体外力,ν＞0是粘性系数.关于变分问题的一些基本空间:定义‖·‖i是Sobolev空间Hi(Ω)或Hi(Ω)2,i=0,1,2的通常范数.用(·,·)和(|·|)分别定义空间L2(Ω)或L2(Ω)2上的内积和范数.空间和X的内积和范数分别为:显然,∀υ∈X满足如下不等式:其中γ是仅依赖于区域Ω的正常数.关于边界的(A 1)假设:(A 1)假设Ω是正则的,定常Stokes方程对于给定的g∈Y存在唯一解(υ,q)∈(X,M),并且它满足其中c是依赖于区域Ω的正常数.空间X×X和X×M上的双线性形式a(·,·)和d(·,·)分别定义如下:由它们生成空间(X,M)×(X,M)的双线性项为:三线性项定义为:由上知,方程(2.1)-(2.3)的变分问题为:求(u,p)∈(X,M),使得∀(υ,q)∈X×M满足方程变分问题(7)解的存在性,唯一性已经在文献[4-6]中给以证明.用有限元方法求解N-S方程,为了保证算法的稳定性要求有限元空间(Xh,Mh)必须满足如下条件即∀u∈D(A),P∈H1(Ω),存在Ihu∈Xh和Jhp∈Mh,使得成立.其中β是不依赖于h的正常数.本文采用速度-压力低次等阶有限元对(Xh,Mh),对定常N-S方程进行数值逼近:其中R1(K)表示K上的线性或双线性多项式.Xh是连续分片的线性或双线性空间. 众所周知,等阶有限元对不满足inf-sup条件,所以,上述有限元对构造的有限元方法是不稳定的.为了利用这种速度-压力构成的有限元配对求解不可压缩问题,本文定义稳定化双线性形式如下:其中双线性项G(ph,qh)=(Shp,Shq)是有界算子.采用局部高斯积分技术[2,3,7]得到Sh=I−Π,在此,Π:L2(Ω)→R0是局部压力投影算子.R0是分片常数空间.这样,(7)的变分问题即为:求解(uh,ph)∈(Xh,Mh),使得对于所有(vh,qh)∈(Xh,Mh)满足方程:该稳定有限元方法有如下先验误差估计[2]:其中κ是依赖于(υ,Ω,f)的正常数.设H和h≪ H是趋于0的正实参数.τH(Ω)和τh(Ω)分别表示区域Ω上的粗、细三角剖分. (Xh,Mh)和(XH,MH)⊂(Xh,Mh)分别是基于τH(Ω)和τh(Ω)的有限元空间配对.两层稳定有限元方法步骤如下:考虑定常N-S方程(1)-(3).其中求解区域取Ω:{0≤x,y≤1}；ν=0.1.假设:u(x,y)=(u1(x,y),u2(x,y)),p(x,y)=10(2x−1)(2y−1).u1(x,y)=10x2(x−1)2y(y−1)(2y−1),u2(x,y)=−10x(x−1)(2x−1)y2(y−1)2是上述问题的解析解.下面分别用传统稳定有限元方法和两层稳定有限元方法对问题进行数值计算.算法以有限元程序软件为平台,在HP6130,1G内存的微机上进行实现.数值计算结果如下:在图1中将传统有限元方法与两层稳定有限元方法的速度的H1误差收敛速度进行了比较;在图2中将它们的压力的L2误差收敛速度进行了比较.图中取对数坐标,横轴表示细网格尺度h,从左向右,数值变大,表示网格尺度由细变粗;纵轴表示相对误差,从下向上,数值变大,表示误差愈来愈大.其中′′−′′表示:理论误差;′′−◦−′′表示:传统有限元方法误差;′′−∗−′′表示:两层稳定有限元方法误差.由图可见:传统有限元方法和两层稳定有限元方法在速度和压力的计算误差上非常接近,而且随着网格尺度h的变小而更加接近.说明两种方法具有几乎相同的数值精度.表1给出了细网格尺度h分别取1/9,1/16,1/25,1/36,1/49,1/64,1/81,粗网格尺度取H=h1/2时,传统方法和两层方法的CPU工作时间;速度的H1范数相对误差、压力的L2范数相对误差、速度的H1范数收敛阶、压力的L2范数收敛阶.由表1中数据可见,传统稳定有限元方法和本文两层稳定有限元方法的速度和压力在相对误差和收敛阶方面都非常接近,而且随着网格剖分的细化,它们的相对误差愈来愈小,收敛阶趋于1.在CPU工作时间上,两层方法大约为传统方法CPU工作时间的1/2.随着网格尺度细化,两层方法比传统方法会节约更多的CPU时间.以上充分表明,两层稳定有限元方法在保持较高精度的同时提高了计算效率.由两种方法的误差估计公式:(1)传统方法:‖u−uh‖1+‖p−ph‖0≤ch(2)两层稳定化方法:‖u−uh‖1+‖p−ph‖0≤c(h+H2)可知，当h=O(H2)时,有c(h+H2)～ch.即两种方法具有相同精度的解.由于两层方法只需在粗网格解定常N-S方程,在细网格解Stokes方程(线性问题).从而节约了大量的工作时间.数值结果进一步证明了结论的正确性.【相关文献】[1] He Yinnian,Li Jian.A stabilized finite elementmethod based on local polynom ial p ressure p rojection for the stationary Navier-Stokes equations[J].App l NumerMath,2008,58:1503-1514.[2] Li Jian.Investigations on two kinds of two-level stabilized finite elem ent m ethods for the stationary Navier-Stokes equations[J].App l M ath Com put,2006,182:1470-1481. [3] Bochev P B,Dohrm ann C R,Gunzburger M D.Stabilization of low-order m ixed finite elem ents for the stokes equations[J].SIAM J Num er Anal,2006,44:82-101.[4] Tem am R.Navier-Stokes Equations,Theory and Num erical Analysis[M].third ed,Am sterdam:North-Holland,1983.[5] Girau lt V,Raviart P A.Finite Elem ent M ethod for Navier-Stokes Equations:Theory andA lgorithm s[M].Berlin,Heidelberg:Springer-Verlag,1987.[6] He Yinnian,Wang Aiwen,Mei Liquan.A stabilized finite elementmethod for the stationary Navier-Stokes equations[J].Eng Math,2005,51:367-380.[7] Li Jian,He Yinnian.A stabilized finite element method based on local Gauss integral technique for the stationary Navier-Stokes equations[J].J Com p App l Math,2008,214: 58-65.[8] Li Jian,He Yinnian,Chen Zhangxin.A new stabilized finite elem entm ethod for the transient Navier-Stokes equations[J].Com p M eth App l M ech Eng,2007,197:22-35. [9] He Y innian,Li Kaitai.Two-level stabilized finite elem ent m ethods for the steady Navier-Stokes problem,Com puting,2005,74:337-351.[10]Xu Jinchao.A novel two-grid m ethod for sem ilinear elliptic equations[J].SIAM J Sci Comput,1994,15:231-237.[11]Xu Jinchao. Two-grid finite element discretization techniques for linear and nonlinear PDE[J].SIAM J Num er Anal,1996,33:1759-1777.[12]Niem isto A.FE-app roximation of unconstrained optimal contral like prob lems[R].University of Jyvaskyla,Report 70,1995.[13]Layton W,Tobiska L.A two-Levelm ethod w ith backtraking for Navier-Stokes equations[J]. SIAM J Numer Anal,1998,35:2035-2054.[14]Layton W,Len ferink W.Two-level Picard-defect corrections for the Navier-Stokes equations[J].SIAM J Num er Anal,1996,33:17-30.。
可压Navier-Stokes-Korteweg方程组强稀疏波的稳定性
可压Navier-Stokes-Korteweg方程组强稀疏波的稳定性陈卿;王莉;甄新【摘要】We study the asymptotic stability of strong rarefaction waves for the one-dimensional compressible Navier-Stokes-Korteweg equations. Assume that the corresponding Riemann problem to the compressible Euler equations can be solved by rarefaction waves (VR,UR,SR)(t,x) . If the initial data is a small perturbation of an approximate rarefaction wave, we show via the energy method that the Cauchy problem admits a unique global smooth solution which tends to (VR,UR,SR)(t,x) as t tends to infinity.%研究了一维可压Korteweg型流体模型强稀疏波的渐近稳定性问题。
假设相应的可压Euler方程的黎曼问题存在稀疏波解( VR ,UR ,SR )( t,x),如果Navier-Stokes-Korteweg系统的初值是近似稀疏波的小扰动,利用能量方法,可以证明其柯西问题存在一个唯一的整体光滑解,并随着时间渐近趋于( VR ,UR , SR )( t,x)。
【期刊名称】《厦门理工学院学报》【年(卷),期】2014(000)005【总页数】5页(P93-97)【关键词】Navier-Stokes-Korteweg方程组;可压;稀疏波;整体解【作者】陈卿;王莉;甄新【作者单位】厦门理工学院应用数学学院，福建厦门361024;厦门理工学院应用数学学院，福建厦门361024;厦门理工学院应用数学学院，福建厦门361024【正文语种】中文【中图分类】O354.5可压毛细管流模型可由可压Navier－Stokes－Korteweg 方程组来刻画.近年来，该方程组的研究结果不少［1－4］，这些结果大多考虑初值在无穷远处相等的情形.而我们感兴趣的是当初值在正负无穷远处不相等时，该方程组的柯西问题.在这种情况下，解的大时间行为可以由非线性基本波来描述.1 模型介绍本文考虑拉格朗日坐标下的一维可压Navier－Stokes－Korteweg 方程组:其中v，u 和θ 分别代表单位容积，速度和温度.p 和e 分别是压强和内能，它们可视作关于v 和θ 的函数.μ，k 和κ 分别是粘性系数，毛细管系数和热传导系数.由方程(1b)，(1c)，容易推得关于θ的方程:另外，根据热力学第一定律，可以得到关于熵s 的方程:本文考虑的是包含理想气体在内的一般流体，因此假设压强p(v，θ)和e(v，θ)满足以下条件:2 黎曼问题光滑逼近解的性质容易验证，方程(1c)，(2)和(3)等价.现在对系统(1a)，(1b)和(3)补充以下的初值条件:其中v±＞0，u±和s±都是常数.这里假设对扩张波，方程组(1)右端衰减速度比左端更快.因此，(1)的解可以由带黎曼初值的可压Euler 方程.的解来逼近.这里将(v，s)看做独立变量，并记压强.当有需要时，记.为简便起见，只考虑1－稀疏波(VR，UR，SR)(t，x)给定一个适当小的正数ε，令w(t，x)是柯西问题的解［5］，那么V (t，x)，U(t，x)，S(t，x)和Θ(t，x)可以定义如下:因此，(V，U，S)(t，x)是1－稀疏波(VR，UR，SR)(t，x)的光滑逼近.由此可以构造单位化的熵现在考虑Burgers 方程的黎曼问题:其中w－＜w+＜0.我们知道，方程(11)具有弱解wR(x/t)并且，wR(x/t)可以由柯西问题(8)的解w(t，x)来逼近.容易验证，V，U，S 和Θ 满足且根据wR(x/t)的性质和式(13)，其光滑解具有以下性质:引理1 记，式(13)的光滑解V(t，x)，U(t，x)，S(t，x)和Θ(t，x)满足:(ⅰ)Vt(t，x)=Ux(t，x)＞0 对所有的(t，x)∈R+× R 成立.(ⅱ)任给p ∈［1+∞］，存在一个仅和p 有关的常数C(p)，使得(ⅲ).(ⅳ).3 强稀疏波的稳定性在第一部分的假设条件下，可以得出一般气体的局部稳定性结果:定理1 假设(VR，UR，SR)(t，x)是可压Euler 系统(5)～(6)的1－稀疏波解，且可压Navier－Stokes－Korteweg 系统组(1a)，(1b)和(3)的初值(v0，u0，s0)(x)满足式(4)和其中为常数，并且充分小.则柯西问题(1a)，(1b)，(3)和(4)存在一个唯一的整体光滑解(v，u，s)(t，x)，并满足现令由方程组(1)和(13)可知，其初值根据定理1 的假设条件，利用文献［3］中的对偶方法和迭代技巧，不难得到局部存在性结果.为了将局部解延拓为整体解，只需对解进行先验估计.为此，假设式(16)中的已被延拓到时刻t=T ＞t1，且满足其中η ＞0 .由此，结合标准连续性方法，只需证明估计式成立，即可得到定理1.4 先验估计由Sobolev 插值不等式和Cauchy 不等式，只需对的L2－模进行估计.利用引理1 和Sobolev 不等式，可以得到以下结果:引理2 在定理1 的假设条件下，如果式(19)对任意小的η 都成立，则(ⅰ)(ⅱ)证明这里只证明(ⅰ)式.(ⅱ)式可以通过类似方法得到.首先由式(17)，(13)和(10)，有对式(23)关于(t，x)在［0，t］× R 上求积分，可得下面对右端各项进行估计.首先类似有以及结合式(25)～(29)，由式(24)可得这里用到了N(t)和ε 充分小的条件.现在估计.由式(16)～(17)可知现对式(31)关于(t，x)在［0，t］× R 上求积分，用类似式(30)中的估计方法，可得结合式(30)和式(32)即可得式(21).5 结论本文考虑了一维可压的，非等熵的Navier－Stokes－Korteweg 方程组，推广了文献［6］中一维可压Korteweg 型的流体模型柯西问题光滑解的整体存在性结果.由于没有要求稀疏波的尺度小，因此，这个结果揭示了强稀疏波解的非线性稳定性. ［参考文献］［1］BRESH D，DESJARDINS B，LIN C K.On some compressible fluid models:Korteweg，lubrication and shallow water systems［J］.Comm Partial Differential Equations，2003，28:843-868.［2］HASPOT B.Existence of global weak solution for compressible fluid models of Korteweg type［J］.J Math Fluid Mech，2011，13:223-249. ［3］HATTORI H，LI D.Solutions for two dimensional systems for materials of Korteweg type［J］.SIAM J Math Anal，1994，25:85-98.［4］WANG Y J，TAN Z.Optimal decay rates for the compressible fluid models of Korteweg type［J］.J Math Anal Appl，2011，379:256-271. ［5］NISHIHARA K，YANG T，ZHAO H J.Nonlinear stability of strongrarefaction waves for compressible Navier－Stokes equations［J］.SIAM J Math Anal，2004，35:1561-1597.［6］CHEN Z Z.Asymptotic stability of strong rarefaction waves for the compressible fluid models of Kortweg type［J］.J Math Anal Appl，2012，394:438-448.。
定常Navier-Stokes方程的Newton两层稳定化有限元方法
定常Navier-Stokes方程的Newton两层稳定化有限元方法王爱文;黄静静【期刊名称】《北京信息科技大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(026)005【摘要】针对低阶协调有限元对Q1 -P0,P1- P0,对二维定常不可压缩Navier-Stokes方程,提出了建立在局部压力投影上的一类Newton两层稳定化有限元方法.在网格尺度为H的粗网格上,求解一个小型的非线性Navier-Stokes问题,在网格尺度为h的细网格上,求解一个大型的Stokes问题,如果选取h=0(｜1g(1/h)｜(1/2)H3),则Newton两层稳定化有限元方法和通常在细网格上求解大型Navier-Stokes方程的稳定化有限元方法有着相同的收敛精度,但是Newton两层稳定化方法更简单.【总页数】5页(P25-29)【作者】王爱文;黄静静【作者单位】北京信息科技大学理学院,北京100192;北京信息科技大学理学院,北京100192【正文语种】中文【中图分类】O241.82【相关文献】1.非定常不可压缩Navier-Stokes方程的特征稳定化非协调有限元方法 [J], 荆菲菲;苏剑;张晓旭;刘小民2.定常Navier-Stokes方程基于速度投影的等阶元稳定化方法 [J], 张百驹;李辉3.非定常Navier-Stokes方程的一种非协调有限元投影稳定化方法 [J], 张莉;王彦朝;宋卫平4.非定常Navier-Stokes方程的一种非线性局部投影稳定化有限元方法 [J], 李西;罗加福;冯民富5.定常Navier-Stokes方程的三个梯度-散度稳定化Taylor-Hood有限元 [J], 王炷霖;敬璐如;冯民富因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。