高考数学总复习 第七章 第十一节轨迹方程的求法课件 理
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第五页，共48页。
(2)求曲线轨迹方程应注意(zhù yì)的问题． ①要注意(zhù yì)一些隐含条件，若轨迹是曲线的一部分，应对方 程注明x的取值范围，或同时注明x，y的取值范围，保证轨迹的纯粹性； ②若轨迹有不同情况，应分别讨论，以保证它的完整性； ③曲线的轨迹和曲线方程是有区别的，求曲线的轨迹不仅要求出 方程，而且要指明曲线的位置、类型．
在直角坐标(zhí jiǎo zuò biāo)系中，如果某曲线C(看作满足 某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)=0的 实数解建立了如下关系：
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲 线．
A. x2+y2=1
4
B. -xy22=1
4 C. x2+y2=1(x¹±2)
D. -yx422=1(x¹±2)
4
4
解析：依题意有 kPA·kPB＝14，即x＋y 2·x－y 2＝14(x≠±2)，整
理得x42－y2＝1(x≠±2)．故选 D.
答案：D
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考点
用定义(dìngyì)法求点的轨迹方程
又因为R是弦AB的中点，依垂径定理： 在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-(x2+y2)，
又|AR|=|PR|= x-42+y2，
所以有(x-4)2+y2=36-(x2+y2)， 即x2+y2-4x-10=0， 因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，点Q即在所求的 轨迹上运动． 设Q(x，y)，R(x1，y1)，因为R是PQ的中点，
点M的轨迹．
第十页，共48页。
解析：设 MN 切圆 C 于 N，则|MN|2＝|MO|2－|ON|2.设
M(x，y)，则 x2＋y2－1＝λ x－22＋y2 ，化简得(λ2－1)(x2 ＋y2)－4λ2x＋(1＋4λ2)＝0.
(1)当 λ＝1 时，方程为 x＝54，表示一条直线． (2)当 λ≠1 时，方程化为x－λ22－λ212＋y2＝1λ＋2－31λ22，表示 一个圆．
第十四页，共48页。
即以 PB 为直径的圆的圆心为Qx0＋2 1，y20，半径为 r1＝1
－14x0，又圆 x2＋y2＝4 的圆心为 O(0,0)，半径 r2＝2，
又|OQ|＝
x0＋2 12＋y202
＝ 14x20＋12x0＋14＋143－43x20
＝
116x20＋12x0＋1 ＝1＋14x0，
故|OQ|＝r2－r1，即两圆内切．
A．双曲线
B．椭圆
C．圆
D．抛物线
解析：已知|MF|＝|MB|.由抛物线定义知，点M的轨迹是以F为 焦点，l为准线(zhǔn xiàn)的抛物线．故选D.
答案：D
第十六页，共48页。
考点
(kǎo diǎn)三
【例3】
用相关(xiāngguān)点代入法求轨迹方程 如图所示，已知P(4,0)是
圆x2+y2=36内的一点，A，B是圆上两动
解析(jiě xī)：由题意知M是PQ是中点，设Q(x，y)，由中点 公式可得P(－2－x,4－y)，代入已知直线方程2x－y＋3＝0得2x －y＋5＝0.故选D.
答案：D
第七页，共48页。
2．(2012·泉州市质检)方程x2+xy=x的曲线是( )
A．一个点
B．一条(yī tiáo)直线
C．两条直线
第十八页，共48页。
所以 x1=x+24，y1=y+20， 代入方程 x2+y2-4x-10=0，得x+242+2y2-4x+24-10=0，
整理得x2+y2=56，这就是所求的轨迹方程． 点评：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于 (yìyú)求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为 相关点，求得轨迹方程．
第十九页，共48页。
变式探究
(tàn3j．iū)设P为圆x2+y2=1上的动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，
若 P→(M其=中M(→qQízhōng)l为正常数)，则点M的轨迹为( )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
解析：设 M(x，y)，P(x0，y0)，则 Q(x0,0)，
由
P→M
＝
λ
M→Q
=xa1 22(+a>byb22>0)
的离心率为e= ，3 以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与
直线x-y+2=0相切3，A，B分别是椭圆的左、右两个(liǎnɡ ɡè)顶点，P为椭
圆C上的动点．
(1)求椭圆的标准方程；
解析：由题意可得圆的方程为 x2+y2=b2，
∵直线 x-y+2=0 与圆相切，∴d= 22=b，即 b= 2，
(kǎo diǎn)【二例2】 如图，在平面直角坐标系中，
N为圆A：(x+1)2+y2=16上的一动点，点B(1,0)，
点M是BN的中点(zhōnɡ diǎn)，点P在线段AN
上，且 M→. PB→N=0
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)试判断以PB为直径的圆与圆x2+y2=4的位置关系，并说明理
由．
第六页，共48页。
基础(jīchǔ) 自测
1．(2012·合肥市月考)已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点，定点
M(-1,2)，Q是线段PM延长线上的一点(yī diǎn)，且|PM|=|MQ|，则点Q
的轨迹方程是( )
A．2x+y+1=0
B．2x-y-5=0
C．2x-y-1=0
D．2x-y+5=0
第二十三页，共48页。
②当 33时，方程变形为
x2 6
+
y2 6
=1，其中
x∈[-
3，
3]，
32-1 32
当 0<< 33时，点 M 的轨迹为中心在原点、实轴在 y 轴上的
双曲线满足- 3≤x≤ 3的部分；
当 33<<1 时，点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的
椭圆满足- 3≤x≤ 3的部分；
=1，即
y20=2-23x20，则
k1=x0+y0
3，k2=x0y- 0
， 3
即 k1k2=xy20-203=2x-2023-x320=23x320--x302=-23，
∴k1k2 为定值-23.
第二十二页，共48页。
(3)M为过P且垂直于x轴的直线(zhíxiàn)上的点，|O若P| |OM|
求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
得
x－x0＝λx0－x， y－y0＝－λy
(λ ＞ 0) ，
∴xy00＝ ＝xλ，＋1y， ∵P(x0，y0)在圆上，∴x20＋y20＝1，∴x2＋(λ＋1)2y2＝1，
∴M 的轨迹为椭圆．故选 B.
答案：B
第二十页，共48页。
考点(kǎo
用待定系数法求点的轨迹(guǐjì)方程
diǎn)四
【例4】 (2011·佛山市一模)已知椭圆C：
它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程， 常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知 轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法 外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型 的轨迹方程．因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点 坐暧泄氐姆匠(等量关系)，侧重于数的运算，一是寻找与动点有 关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用.
第三页，共48页。
二、求曲线的(轨迹)方程
求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题(wèntí)之 一．求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中 的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系．这类 问题(wèntí)除了考查学生对圆锥曲线的定义、性质等基础知识的 掌握外，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运 算能力．
第十三页，共48页。
解析：(1)由点 M 是 BN 的中点，又M→P·B→N＝0，可知 PM 垂 直平分 BN，所以|PN|＝|PB|，又|PA|＋|PN|＝|AN|，
所以|PA|＋|PB|＝4＞|AB|， 由椭圆定义知，点 P 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆． 设椭圆方程为xa22＋by22＝1，其中 2a＝4，2c＝2，可得 a2＝4， b2＝a2－c2＝3.可知动点 P 的轨迹方程为x42＋y32＝1. (2)设点 P(x0，y0)，PB 的中点为 Q，则 Qx0＋2 1，y20， |PB|＝ x0－12＋y20＝ x20－2x0＋1＋3－34x20 ＝ 14x02－2x0＋4＝2－12x0，
解析：提示(tíshì)：用定义法求轨迹方程． 答案：(x＋1)2＋y2＝16
第九页，共48页。
考点探究
考点
(kǎo diǎn)一
【例1】
用直接(zhíjiē)法求点的轨迹
已知直角坐标系中，点Q(2,0)，圆C的方程(fāngchéng)
为x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数l(l>0形
(jǔxíng)APBQ的顶点Q的轨迹方程．
思路点拨：本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹
方程．利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB中 点的轨迹方程．
第十七页，共48页。
解析：设AB的中点为R，坐标(zuòbiāo)为(x，y)，则在 Rt△ABP中，|AR|=|PR|.
D．一个点和一条(yī tiáo)直线
解析(jiě xī)：方程变为x(x＋y－1)＝0，∴x＝0或x＋y－1＝0. 表示两条直线．故选C.
答案：C
第八页，共48页。
3．已知椭圆 x42+y32=1的左、右两个焦点分别(fēnbié)是F1，F2，
P是这个椭圆上的一个动点，延长F1P到Q，使得|PQ|=|F2P|，则Q的轨 迹方程是__________________．
点评：(1)求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要 求出方程，而且(ér qiě)要说明轨迹是什么．(2)当轨迹方程中含有参数 时，应对参数进行分类讨论．
第十一页，共48页。
变式探究
(tànjiū)
1．(2012·襄阳市调研(diào yán))平面内动点P(x，y)与A(-2，0)，
B(2,0)两点连线的斜率之积为 ，1 则动点P的轨迹方程为( )
点评：本题考查求曲线方程的基本方法——定义法及两圆间的 位置(wèi zhi)关系．
第十五页，共48页。
变式探究
(tànjiū)
2．(2012·厦门市模拟)已知点F
14，，0直 线(zhíxiàn)l：14x=- ，
点B是l上的动点．若过B垂直于y轴的直线(zhíxiàn)与线段BF的垂
直平分线交于点M，则点M的轨迹是( )
当≥1 时，点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭
圆．
第二十四页，共48页。
变式探究
(tànjiū)
4.
(2012
三
明
市
期
末
)
椭
圆
x2 a2
+
y2 b2
=1(a>b>0)
第七章 平面(píngmiàn)解析几何 第十一节 轨迹(guǐjì)方程的求法
第一页，共48页。
考纲要求
1．了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系． 2．能根据所给条件(tiáojiàn)求出点的轨迹方程．
第二页，共48页。
课前自修
知识(zhī shi) 梳理
一、“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念
第四页，共48页。
(1)用直接法求曲线(轨迹)方程的基本(jīběn)步骤． ①建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐 标M(x，y)； ②列几何等式：写出适合条件的点的集合P={M|P(M)}，关 键是根据条件列出适合条件的等式； ③化为代数等式：用坐标代换几何等式，列出方程； ④化简：把方程f(x，y)=0化成最简形式； ⑤证明：证明化简后的方程就是所求曲线的方程． 除个别情况外，化简过程都是同解变形，所以步骤⑤可以 省略不写．如有特殊情况，可适当加以说明，步骤②也可省略．
又
c e=a=
33，即
a=
3c，a2=b2+c2，解得 a=
3，c=1，
∴椭圆的标准方程为x32+y22=1.
第二十一页，共48页。
(2)若P与A，B均不重合(chónghé)，设直线PA与PB的斜率分别为k1，
k2，证明：k1×k2为定值；
证明：设 P(x0，y0)(y00)，A(- 3，0)，B( 3，0)，则x302+y220
= l，
设 M(x，y)，其中 x∈[- 3， 3]．
由已知||OOMP||22=2 及点 P 在椭圆 C 上可得
x2x+22+-y232x2=3xx22++6y2=2， 整理得(32-1)x2+32y2=6，其中 x∈[- 3， 3]．
① 当= 33时，化简得 y2=6，
所以点 M 的轨迹方程为 y= 6(- 3≤x≤ 3)，轨迹是两 条平行于 x 轴的线段．
(2)求曲线轨迹方程应注意(zhù yì)的问题． ①要注意(zhù yì)一些隐含条件，若轨迹是曲线的一部分，应对方 程注明x的取值范围，或同时注明x，y的取值范围，保证轨迹的纯粹性； ②若轨迹有不同情况，应分别讨论，以保证它的完整性； ③曲线的轨迹和曲线方程是有区别的，求曲线的轨迹不仅要求出 方程，而且要指明曲线的位置、类型．
在直角坐标(zhí jiǎo zuò biāo)系中，如果某曲线C(看作满足 某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)=0的 实数解建立了如下关系：
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲 线．
A. x2+y2=1
4
B. -xy22=1
4 C. x2+y2=1(x¹±2)
D. -yx422=1(x¹±2)
4
4
解析：依题意有 kPA·kPB＝14，即x＋y 2·x－y 2＝14(x≠±2)，整
理得x42－y2＝1(x≠±2)．故选 D.
答案：D
第十二页，共48页。
考点
用定义(dìngyì)法求点的轨迹方程
又因为R是弦AB的中点，依垂径定理： 在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-(x2+y2)，
又|AR|=|PR|= x-42+y2，
所以有(x-4)2+y2=36-(x2+y2)， 即x2+y2-4x-10=0， 因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，点Q即在所求的 轨迹上运动． 设Q(x，y)，R(x1，y1)，因为R是PQ的中点，
点M的轨迹．
第十页，共48页。
解析：设 MN 切圆 C 于 N，则|MN|2＝|MO|2－|ON|2.设
M(x，y)，则 x2＋y2－1＝λ x－22＋y2 ，化简得(λ2－1)(x2 ＋y2)－4λ2x＋(1＋4λ2)＝0.
(1)当 λ＝1 时，方程为 x＝54，表示一条直线． (2)当 λ≠1 时，方程化为x－λ22－λ212＋y2＝1λ＋2－31λ22，表示 一个圆．
第十四页，共48页。
即以 PB 为直径的圆的圆心为Qx0＋2 1，y20，半径为 r1＝1
－14x0，又圆 x2＋y2＝4 的圆心为 O(0,0)，半径 r2＝2，
又|OQ|＝
x0＋2 12＋y202
＝ 14x20＋12x0＋14＋143－43x20
＝
116x20＋12x0＋1 ＝1＋14x0，
故|OQ|＝r2－r1，即两圆内切．
A．双曲线
B．椭圆
C．圆
D．抛物线
解析：已知|MF|＝|MB|.由抛物线定义知，点M的轨迹是以F为 焦点，l为准线(zhǔn xiàn)的抛物线．故选D.
答案：D
第十六页，共48页。
考点
(kǎo diǎn)三
【例3】
用相关(xiāngguān)点代入法求轨迹方程 如图所示，已知P(4,0)是
圆x2+y2=36内的一点，A，B是圆上两动
解析(jiě xī)：由题意知M是PQ是中点，设Q(x，y)，由中点 公式可得P(－2－x,4－y)，代入已知直线方程2x－y＋3＝0得2x －y＋5＝0.故选D.
答案：D
第七页，共48页。
2．(2012·泉州市质检)方程x2+xy=x的曲线是( )
A．一个点
B．一条(yī tiáo)直线
C．两条直线
第十八页，共48页。
所以 x1=x+24，y1=y+20， 代入方程 x2+y2-4x-10=0，得x+242+2y2-4x+24-10=0，
整理得x2+y2=56，这就是所求的轨迹方程． 点评：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于 (yìyú)求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为 相关点，求得轨迹方程．
第十九页，共48页。
变式探究
(tàn3j．iū)设P为圆x2+y2=1上的动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，
若 P→(M其=中M(→qQízhōng)l为正常数)，则点M的轨迹为( )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
解析：设 M(x，y)，P(x0，y0)，则 Q(x0,0)，
由
P→M
＝
λ
M→Q
=xa1 22(+a>byb22>0)
的离心率为e= ，3 以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与
直线x-y+2=0相切3，A，B分别是椭圆的左、右两个(liǎnɡ ɡè)顶点，P为椭
圆C上的动点．
(1)求椭圆的标准方程；
解析：由题意可得圆的方程为 x2+y2=b2，
∵直线 x-y+2=0 与圆相切，∴d= 22=b，即 b= 2，
(kǎo diǎn)【二例2】 如图，在平面直角坐标系中，
N为圆A：(x+1)2+y2=16上的一动点，点B(1,0)，
点M是BN的中点(zhōnɡ diǎn)，点P在线段AN
上，且 M→. PB→N=0
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)试判断以PB为直径的圆与圆x2+y2=4的位置关系，并说明理
由．
第六页，共48页。
基础(jīchǔ) 自测
1．(2012·合肥市月考)已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点，定点
M(-1,2)，Q是线段PM延长线上的一点(yī diǎn)，且|PM|=|MQ|，则点Q
的轨迹方程是( )
A．2x+y+1=0
B．2x-y-5=0
C．2x-y-1=0
D．2x-y+5=0
第二十三页，共48页。
②当 33时，方程变形为
x2 6
+
y2 6
=1，其中
x∈[-
3，
3]，
32-1 32
当 0<< 33时，点 M 的轨迹为中心在原点、实轴在 y 轴上的
双曲线满足- 3≤x≤ 3的部分；
当 33<<1 时，点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的
椭圆满足- 3≤x≤ 3的部分；
=1，即
y20=2-23x20，则
k1=x0+y0
3，k2=x0y- 0
， 3
即 k1k2=xy20-203=2x-2023-x320=23x320--x302=-23，
∴k1k2 为定值-23.
第二十二页，共48页。
(3)M为过P且垂直于x轴的直线(zhíxiàn)上的点，|O若P| |OM|
求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
得
x－x0＝λx0－x， y－y0＝－λy
(λ ＞ 0) ，
∴xy00＝ ＝xλ，＋1y， ∵P(x0，y0)在圆上，∴x20＋y20＝1，∴x2＋(λ＋1)2y2＝1，
∴M 的轨迹为椭圆．故选 B.
答案：B
第二十页，共48页。
考点(kǎo
用待定系数法求点的轨迹(guǐjì)方程
diǎn)四
【例4】 (2011·佛山市一模)已知椭圆C：
它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程， 常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知 轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法 外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型 的轨迹方程．因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点 坐暧泄氐姆匠(等量关系)，侧重于数的运算，一是寻找与动点有 关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用.
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二、求曲线的(轨迹)方程
求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题(wèntí)之 一．求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中 的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系．这类 问题(wèntí)除了考查学生对圆锥曲线的定义、性质等基础知识的 掌握外，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运 算能力．
第十三页，共48页。
解析：(1)由点 M 是 BN 的中点，又M→P·B→N＝0，可知 PM 垂 直平分 BN，所以|PN|＝|PB|，又|PA|＋|PN|＝|AN|，
所以|PA|＋|PB|＝4＞|AB|， 由椭圆定义知，点 P 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆． 设椭圆方程为xa22＋by22＝1，其中 2a＝4，2c＝2，可得 a2＝4， b2＝a2－c2＝3.可知动点 P 的轨迹方程为x42＋y32＝1. (2)设点 P(x0，y0)，PB 的中点为 Q，则 Qx0＋2 1，y20， |PB|＝ x0－12＋y20＝ x20－2x0＋1＋3－34x20 ＝ 14x02－2x0＋4＝2－12x0，
解析：提示(tíshì)：用定义法求轨迹方程． 答案：(x＋1)2＋y2＝16
第九页，共48页。
考点探究
考点
(kǎo diǎn)一
【例1】
用直接(zhíjiē)法求点的轨迹
已知直角坐标系中，点Q(2,0)，圆C的方程(fāngchéng)
为x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数l(l>0形
(jǔxíng)APBQ的顶点Q的轨迹方程．
思路点拨：本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹
方程．利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB中 点的轨迹方程．
第十七页，共48页。
解析：设AB的中点为R，坐标(zuòbiāo)为(x，y)，则在 Rt△ABP中，|AR|=|PR|.
D．一个点和一条(yī tiáo)直线
解析(jiě xī)：方程变为x(x＋y－1)＝0，∴x＝0或x＋y－1＝0. 表示两条直线．故选C.
答案：C
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3．已知椭圆 x42+y32=1的左、右两个焦点分别(fēnbié)是F1，F2，
P是这个椭圆上的一个动点，延长F1P到Q，使得|PQ|=|F2P|，则Q的轨 迹方程是__________________．
点评：(1)求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要 求出方程，而且(ér qiě)要说明轨迹是什么．(2)当轨迹方程中含有参数 时，应对参数进行分类讨论．
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变式探究
(tànjiū)
1．(2012·襄阳市调研(diào yán))平面内动点P(x，y)与A(-2，0)，
B(2,0)两点连线的斜率之积为 ，1 则动点P的轨迹方程为( )
点评：本题考查求曲线方程的基本方法——定义法及两圆间的 位置(wèi zhi)关系．
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变式探究
(tànjiū)
2．(2012·厦门市模拟)已知点F
14，，0直 线(zhíxiàn)l：14x=- ，
点B是l上的动点．若过B垂直于y轴的直线(zhíxiàn)与线段BF的垂
直平分线交于点M，则点M的轨迹是( )
当≥1 时，点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭
圆．
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变式探究
(tànjiū)
4.
(2012
三
明
市
期
末
)
椭
圆
x2 a2
+
y2 b2
=1(a>b>0)
第七章 平面(píngmiàn)解析几何 第十一节 轨迹(guǐjì)方程的求法
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考纲要求
1．了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系． 2．能根据所给条件(tiáojiàn)求出点的轨迹方程．
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课前自修
知识(zhī shi) 梳理
一、“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念
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(1)用直接法求曲线(轨迹)方程的基本(jīběn)步骤． ①建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐 标M(x，y)； ②列几何等式：写出适合条件的点的集合P={M|P(M)}，关 键是根据条件列出适合条件的等式； ③化为代数等式：用坐标代换几何等式，列出方程； ④化简：把方程f(x，y)=0化成最简形式； ⑤证明：证明化简后的方程就是所求曲线的方程． 除个别情况外，化简过程都是同解变形，所以步骤⑤可以 省略不写．如有特殊情况，可适当加以说明，步骤②也可省略．
又
c e=a=
33，即
a=
3c，a2=b2+c2，解得 a=
3，c=1，
∴椭圆的标准方程为x32+y22=1.
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(2)若P与A，B均不重合(chónghé)，设直线PA与PB的斜率分别为k1，
k2，证明：k1×k2为定值；
证明：设 P(x0，y0)(y00)，A(- 3，0)，B( 3，0)，则x302+y220
= l，
设 M(x，y)，其中 x∈[- 3， 3]．
由已知||OOMP||22=2 及点 P 在椭圆 C 上可得
x2x+22+-y232x2=3xx22++6y2=2， 整理得(32-1)x2+32y2=6，其中 x∈[- 3， 3]．
① 当= 33时，化简得 y2=6，
所以点 M 的轨迹方程为 y= 6(- 3≤x≤ 3)，轨迹是两 条平行于 x 轴的线段．