2014-2015学年内蒙古包头三十三中高二上学期数学期中试卷带解析(理科)(1)
内蒙古包头市第三十三中学2014-2015学年高二上学期期中二考试数学(理)试题
内蒙古包头市第三十三中学2014-2015学年高二上学期期中二考试数学（理）试题日期：2014年11月27日试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.请把答案写在答题纸上.第Ⅰ卷（共60分）一．选择题（每题5分，共60分）每小题给出的四个答案中，只有一个是正确的.1．若)15(sin ,2cos )(cos 0f x x f 则==（ ）A ．21B ．21-C ．23-D ．23 2. 在3与27之间插入7个数, 使它们成为等差数列,则插入的7个数的第四个数是( )A. 18B. 9C. 12 D . 153．已知1()2(0)f x x x x=+-<，则()f x 有( ) A ．最大值为－4 B ．最大值为0 C ．最小值为0 D ．最小值为－44. 已知Q(5，4),动点),(y x P 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-+≥+-,01,02,022y y x y x 则PQ 的最小值是（ ） A. 5 B.34 C. 2 D . 7 5. 下列命题中正确的是( ) A ．若a b >，则ac bc > B.若a b >，c d >，则a c b d ->-C. 若0ab >，a b >，则11a b <D.若a b >，c d >，则a b c d> 6．在为则角中，若C A B B A ABC ,1cos 3sin 4,6cos 4sin 3=+=+∆（ ）A ． 30B ． 15030或C ． 150D ． 607．若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，104,36139-=-=S S ，则75a a 与的等比中项为（ ） A ．24 B. 24± C .4 D. 4±8. 等比数列{}n a 的前n 项和为=+++-=22221,13n n n a a a S 则 ( ) A ．)13(21-n B ．)13(-n C ．)19(21-n D ．)19(-n 9．为测量某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼顶处测得塔顶A 的仰角为 30，测得塔基B 的俯角为 45，那么塔AB 的高度是( )A ．）（33120+mB ．）（23120+m C ．）（3120+m D ．）（33-120m 10. 已知的取值范围是，则实数的解集是）（a R x a x a 01)1(122<----（ ）A ．153>-<a a 或B ．153<<-aC ．1153-=≤<-a a 或D ．153≤<-a 11.设数列{}n a 的通项公式=∈++=*2014),(,1)21sin(S N n S n n a n n 则项和为前ππ（ ）A. π+2014 B . π-2014 C . π+2013 D . π-2013 12 . 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若===-=+-m S S S m m m 则,3,0,211（ ）A ．3 B. 4 C .5 D. 6第Ⅱ卷（共90分）二．填空题（每小题5分，共20分）13.已知不等式0122>++>-b ax x x 的解集与不等式的解集相同，则b a +的值是 ．14 .已知函数)2(,4)1(2,2)1(1,)(2-≤≤≤-≤+=f f f bx ax x f 则且的取值范围是________.15. 已知，若所对的边分别为的内角C ab b a c c b a C B A ABC 2cos 2,,,,,222++<∆则C 的取值范围为__16. 已知函数，，且为偶数为奇数)1()()(,-)(,)(22++=⎩⎨⎧=n f n f a n n n n n f n 则=+++10021a a a .三．解答题（共6小题，共70分）解答题应写出演算步骤.17. （本题满分10分）已知集合{}2230,x x x x R --≤∈,{}R m R x m mx x x B ∈∈≤-+-=,,04222. (1)若[]3,0=B A ，求实数m 的值；(2)若B C A R ⊆,求实数m 的取值范围。
2014-2015年内蒙古包头市北重三中高二上学期期末数学试卷(理科)与解析
2014-2015学年内蒙古包头市北重三中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案涂在答题卡上）1．（5分）已知命题p：x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0，则命题p 是命题q的（）A．充分不必要B．必要不充分C．既不充分又不必要D．充要2．（5分）以S n表示等差数列{a n}的前n项和，若a2+a7﹣a5=6，则S7=（）A．42B．28C．21D．143．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最大值为（）A．1B．4C．5D．64．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则P的值为（）A．﹣2B．2C．4D．﹣45．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（）A．3×44B．3×44+1C．44D．44+16．（5分）双曲线my2﹣x2=1的一个顶点在抛物线y=x2的准线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．2D．7．（5分）函数y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，则tan∠APB=（）A．10B．8C．D．8．（5分）给出下列说法：①命题“若α=，则sin α=”的否命题是假命题；②命题p：“∃x0∈R，使＞1”，则¬p：“∀x∈R，sin x≤1”；③“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；④命题p：“∃x∈（0，），使sin x+cos x=”，命题q：“在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B”，那么命题￢p∧q为真命题．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．19．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F做倾斜角为30°的直线，与抛物线交于A、B两点（点A在y轴左侧），则的值为（）A．3B．C．1D．11．（5分）已知正项等比数列{a n}满足S8=17S4，若存在两项a m，a n使得=4a1，则+的最小值为（）A．B．1+C．D．12．（5分）如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E、F分别是AD、A′D′的中点，长为2的线段MN的一个端点M在线段EF上运动，另一个端点N 在底面A′B′C′D′上运动，则线段MN的中点P的轨迹（曲面）与二面角A﹣A′D′﹣B′所围成的几何体的体积为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分，请将答案写在答题卡上．）13．（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降2米后水面宽米．14．（5分）过双曲线2x2﹣y2=2的右焦点F的直线交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线有条．15．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则的取值范围是．16．（5分）已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，双曲线的离心率的取值范围为（1，2）．则该椭圆的离心率的取值范围是．三、解答题（共6小题，共70分，要求在答题卡上写出详细的解答过程．）17．（10分）焦点分别为F1，F2的椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（2，1），且△MF2F1的面积为，求椭圆C的方程．18．（12分）△ABC中，A、B、C是三角形的三内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知b2+c2﹣a2=bc．（1）求角A的大小；（2）若a=，且△ABC的面积为，求b+c的值．19．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；q：实数x满足≥0，且￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．20．（12分）（普通文科做）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E、E1分别是棱AD，AA1的中点，F为AB的中点．求：（1）点D到平面EE1C的距离；（2）求三棱锥E1﹣FCC1的体积21．（12分）已知函数f（x）=x2+bx为偶函数，数列{a n}满足a n+1=2f（a n﹣1）+1，且a1=3，a n＞1．（1）设b n=log2（a n﹣1），求证：数列{b n+1}为等比数列；（2）设c n=nb n，求数列{c n}的前n项和S n．22．（12分）如图，已知圆G：x2+y2﹣2x﹣y=0，经过椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点F及上顶点B，过圆外一点M（m，0）（m＞a）倾斜角为的直线l交椭圆于C，D两点，（1）求椭圆的方程；（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围．2014-2015学年内蒙古包头市北重三中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案涂在答题卡上）1．（5分）已知命题p：x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0，则命题p 是命题q的（）A．充分不必要B．必要不充分C．既不充分又不必要D．充要【解答】解：若x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根，则a+b+c=0，若a+b+c=0，则c=﹣a﹣b，则ax2+bx+c=0等价为ax2+bx﹣a﹣b=0，即a（x﹣1）（x+1）+b（x﹣1）=（x﹣1）[a（x+1）+b]=0，则由x﹣1=0，解得x=1，即x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根，故命题p是命题q的充要条件，故选：D．2．（5分）以S n表示等差数列{a n}的前n项和，若a2+a7﹣a5=6，则S7=（）A．42B．28C．21D．14【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2+a7﹣a5=6，∴（a1+d）+（a1+6d）﹣（a1+4d）=6，∴a1+3d=6，即a4=6，∴S7=（a1+a7）=×2a4=7a4=42故选：A．3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最大值为（）A．1B．4C．5D．6【解答】解：作出可行域如图，由z=x+2y知，y=﹣x+z，所以动直线y=﹣x+z的纵截距z取得最大值时，目标函数取得最大值．由得A（1，2.5）．结合可行域可知当动直线经过点A（1，2.5）时，目标函数取得最大值z=1+2×2.5=6．故选：D．4．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则P的值为（）A．﹣2B．2C．4D．﹣4【解答】解：由a2=6、b2=2，可得c2=a2﹣b2=4，∴到椭圆的右焦点为（2，0），∴抛物线y2=2px的焦点（2，0），∴p=4，故选：C．5．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（）A．3×44B．3×44+1C．44D．44+1【解答】解：由a n=3S n，得到a n=3S n﹣1（n≥2），+1﹣a n=3（S n﹣S n﹣1）=3a n，两式相减得：a n+1则a n=4a n（n≥2），又a1=1，a2=3S1=3a1=3，+1得到此数列除去第一项后，为首项是3，公比为4的等比数列，所以a n=a2q n﹣2=3×4n﹣2（n≥2）则a6=3×44．故选：A．6．（5分）双曲线my2﹣x2=1的一个顶点在抛物线y=x2的准线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．2D．【解答】解：抛物线y=x2的准线为y=﹣，即有双曲线的一个顶点为（0，﹣），双曲线my2﹣x2=1即为﹣x2=1，则=，则m=4，则有a=，b=1，c==，则e==．故选：A．7．（5分）函数y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，则tan∠APB=（）A．10B．8C．D．【解答】解：函数y=sin（πx+φ）∴T=，最大值为1，过p作PD⊥x轴于D，则AD是四分之一个周期，有AD=，DB=，DP=1，在直角三角形中有tan∠APD=与tan∠BPD=，所以tan∠APB=tan（∠APD+∠BPD）==8．故选：B．8．（5分）给出下列说法：①命题“若α=，则sin α=”的否命题是假命题；②命题p：“∃x0∈R，使＞1”，则¬p：“∀x∈R，sin x≤1”；③“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；④命题p：“∃x∈（0，），使sin x+cos x=”，命题q：“在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B”，那么命题￢p∧q为真命题．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：①原命题的否命题为“若α≠，则sin α≠”，当α=时，满足α≠，但sin α=，所以原命题的否命题是假命题，所以①的判断正确．②特称命题的否定是全称命题，所以¬p：“∀x∈R，sin x≤1，所以②正确．③若函数y=sin（2x+φ）为偶函数，则φ=+kπ（k∈Z），所以φ=+2kπ（k∈Z）不是“函数y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件，所以③错误．④因为，当x∈（0，）时，，此时，所以命题p为假命题．在△ABC中，若sin A＞sin B，由正弦定理得a＞b，根据大边对大角关系可得，A ＞B，所以命题q为真，所以￢p为真，所以命题￢p∧q为真命题，所以④正确．故选：B．9．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC 的中点为O，连结ON，，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，∵BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===，在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO===．故选：C．10．（5分）过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F做倾斜角为30°的直线，与抛物线交于A、B两点（点A在y轴左侧），则的值为（）A．3B．C．1D．【解答】解：设直线l的方程为：x=（y﹣），设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程代入抛物线方程，消去x可得12y2﹣20py+3p2=0，解方程得y1=，y2=由抛物线的性质知，==故选：B．11．（5分）已知正项等比数列{a n}满足S8=17S4，若存在两项a m，a n使得=4a1，则+的最小值为（）A．B．1+C．D．【解答】解：经验证q=1不成立，∴q＞0且q≠1．∵S8=17S4，∴利用等比数列的求和公式可化为q8﹣17q4+16=0，解得q4=1或16．又q＞0且q≠1，∴q=2．∵存在两项a m，a n使得=4a1，∴=4a1，m+n=6．∴+=（+）（m+n）=（6++）≥1+，当且仅当=时取等号．∵m，n都应该为整数+的最小值是．故选：A．12．（5分）如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E、F分别是AD、A′D′的中点，长为2的线段MN的一个端点M在线段EF上运动，另一个端点N 在底面A′B′C′D′上运动，则线段MN的中点P的轨迹（曲面）与二面角A﹣A′D′﹣B′所围成的几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：依题意可知|FP|=|MN|=1，因此点P的轨迹是以点F为球心、1为半径的球面的．于是所求的体积是×（π×13）=π．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分，请将答案写在答题卡上．）13．（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降2米后水面宽米．【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣4）得x0=2 ，故水面宽为m．故答案为：．14．（5分）过双曲线2x2﹣y2=2的右焦点F的直线交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线有3条．【解答】解：将双曲线化为标准形式可得：x2﹣=1，则a=1，b=；若AB只与双曲线右支相交时，|AB|的最小距离是通径，长度为=4，此时只有一条直线符合条件；若AB与双曲线的两支都相交时，此时|AB|的最小距离是实轴两顶点的距离，长度为2a=2，距离无最大值，结合双曲线的对称性，可得此时有2条直线符合条件；综合可得，有3条直线符合条件；故答案为3．15．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则的取值范围是[0，1] ．【解答】解：以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，以所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系．则D（0，0，0）、C（0，1，0）、A（1，0，0）、B（1，1，0）、D1（0，0，1）．∴=（0，1，0）、（﹣1，﹣1，1）．∵点P在线段BD1上运动，∴=λ•=（﹣λ，﹣λ，λ），且0≤λ≤1．∴=+=+=（﹣λ，1﹣λ，λ），∴=1﹣λ∈[0，1]，故答案为[0，1]．16．（5分）已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，双曲线的离心率的取值范围为（1，2）．则该椭圆的离心率的取值范围是（，1）．【解答】解：如图，设双曲线的半实轴长，半焦距分别为a2，c，∵△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，∴|PF1|=|F1F2|=10，即c=5，|PF2|=10﹣2a2，又由双曲线的离心率的取值范围为（1，2）．故∈（1，2）．∴a2∈（，5），设椭圆的半实轴长为a1，则|PF1|+|PF2|=2a1=20﹣2a2，即a1=10﹣a2∈（5，）故e=∈（，1）故答案为：（，1）三、解答题（共6小题，共70分，要求在答题卡上写出详细的解答过程．）17．（10分）焦点分别为F1，F2的椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（2，1），且△MF2F1的面积为，求椭圆C的方程．【解答】解：∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（2，1），且△MF2F1的面积为，∴，=，∵a2=b2+c2，∴c=，a=，b=，∴椭圆C的方程为．18．（12分）△ABC中，A、B、C是三角形的三内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知b2+c2﹣a2=bc．（1）求角A的大小；（2）若a=，且△ABC的面积为，求b+c的值．【解答】解：（1）∵b2+c2﹣a2=bc，∴cosA===，又A为三角形内角，∴A=；=，（2）∵a=，A=，S△ABC∴由面积公式得：bcsin=，即bc=6①，由余弦定理得：b2+c2﹣2bccos=7，即b2+c2﹣bc=7②，变形得：（b+c）2=25，则b+c=5．19．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；q：实数x满足≥0，且￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．【解答】解：由￢p是￢q的必要不充分条件，转化成它的逆否命题q是p的必要不充分条件，即p 是q的充分不必要条件，也就是p推出q且q不能推出p．…（4分）化简条件p得，A={x|3a＜x＜a，a＜0}，化简条件q得，B={x|x＜﹣4或x≥﹣2}．…（8分）由A⊊B，得或解得a≤﹣4或﹣≤a＜0．…（12分）20．（12分）（普通文科做）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E、E1分别是棱AD，AA1的中点，F为AB的中点．求：（1）点D到平面EE1C的距离；（2）求三棱锥E1﹣FCC1的体积【解答】解：（1）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，由已知得D（0，0，0），E（1，0，0），E1（2，0，1），C（﹣1，，0），=（1，0，1），=（﹣2，，0），设平面EE1C的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（，2，﹣），=（1，0，0），∴点D到平面EE1C的距离：d===．（2）由题意得CC1⊥CF，CC1=CF=2，∴=，∵平面CC1F∥平面DAA1D1，∴平面CC1F的法向量=（0，1，0），∵=（﹣3，，﹣1），∴E1到平面FCC1的距离h===，∴三棱锥E1﹣FCC1的体积V=•h==．21．（12分）已知函数f（x）=x2+bx为偶函数，数列{a n}满足a n+1=2f（a n﹣1）+1，且a1=3，a n＞1．（1）设b n=log2（a n﹣1），求证：数列{b n+1}为等比数列；（2）设c n=nb n，求数列{c n}的前n项和S n．【解答】（1）证明：∵函数f（x）=x2+bx为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴b=0∵a n=2f（a n﹣1）+1，+1﹣1=2（a n﹣1）2，∴a n+1∵b n=log2（a n﹣1），=1+2b n，∴b n+1∴b n+1=2（b n+1）+1∴数列{b n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列（2）解：由（1）可得，b n+1=2n，∴b n=2n﹣1∴c n=nb n=n•2n﹣n，∴S n=1•2+2•22+…+n•2n﹣令T=1•2+2•22+…+n•2n，2T n=1•22+2•23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1两式相减可得，﹣T n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=（1﹣n）•2n+1﹣2∴T n=（n﹣1）•2n+1+2，∴S n=（n﹣1）•2n+1+2﹣．22．（12分）如图，已知圆G：x2+y2﹣2x﹣y=0，经过椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点F及上顶点B，过圆外一点M（m，0）（m＞a）倾斜角为的直线l交椭圆于C，D两点，（1）求椭圆的方程；（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围．【解答】解：（1）过点F、B，∴F（2，0），，故椭圆的方程为（2）直线l：消y得2x2﹣2mx+（m2﹣6）=0由△＞0⇒，又⇒设C （x 1，y 1）、D （x 2，y 2），则x 1+x 2=m ，，，，∴∵F 在圆E 的内部，∴，又⇒．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 yxo()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
2014-2015年内蒙古包头市北重三中高三(上)期中数学试卷及参考答案(理科)
2014-2015学年内蒙古包头市北重三中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）1．（5分）已知复数z满足（1﹣i）=2，则z5=（）A．16 B．﹣4+4i C．﹣16 D．﹣16i2．（5分）若A={x|log2（x﹣4）＜1}，B={y|y=3x+2，﹣4≤x≤3}，则A∩B=（）A．[﹣10，6）B．（4，6） C．（6，11] D．（0，11]3．（5分）已知函数y=sin（2x+φ）向左平移个单位，所得函数图象关于y轴对称，则φ的最小正值为（）A．B．C．D．4．（5分）下列各式中最小值为2的是（）A．B．C．e x+e﹣x（x∈R）D．5．（5分）已知z=2x+y，x，y满足，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）A．B．C．D．6．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．67．（5分）已知Rt△ABC，∠C=90°，CA=3，CB=4，点D、E在AB上，满足，，则=（）A．B．C．D．8．（5分）已知定义域为R的函数f（x）在（﹣∞，﹣4）上为增函数，且函数y=f（x﹣4）为偶函数，则（）A．f（﹣5）＞f（﹣3） B．f（﹣7）＜f（﹣3） C．f（﹣2）＞f（﹣3） D．f（﹣8）＞f（0）9．（5分）若β=α+30°，则sin2α+cos2β+sinαcosβ=（）A．B．C．cos2βD．sin2α10．（5分）已知每项均大于零的数列{a n}中，首项a1=1且前n项的和S n满足=（）（n∈N*，且n≥2），则aA．638 B．639 C．640 D．64111．（5分）对任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．412．（5分）函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为（）A．{x|x＞0}B．{x|x＜0}C．{x|x＜﹣1，或x＞1}D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）函数f（x）=x2+|x﹣a|具有奇偶性，则a=．14．（5分）在△ABC中，若A=，sinB=cosC 则△ABC为（填形状）15．（5分）已知命题p：f（x）=a x为增函数，q：函数q（x）=x+（a＞0）在[2，+∞）上单调递增，若p且q 为假，p或q为真，则a的取值范围为．16．（5分）设数列{a n}中，a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则数列{a n}前12项和等于．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）设函数f（x）=x3+bx2+cx+d（x∈R）已知F（x）=f（x）﹣f′（x）是奇函数，且F（1）=﹣11（1）求b、c、d的值；（2）求F（x）的单调区间与极值．18．（12分）三角形ABC中，内角A，B，C所对边a，b，c成公比小于1的等比数列，且sinB+sin（A﹣C）=2sin2C．（1）求内角B的余弦值；（2）若b=，求△ABC的面积．19．（12分）如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP=θ（0＜θ＜π），C点坐标为（﹣2，0），平行四边形OAQP的面积为S．（1）求•+S的最大值；（2）若CB∥OP，求sin（2θ﹣）的值．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{S n+1}是公比为2的等比数列，a2是a1和a3的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n．21．（12分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）若函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；（Ⅲ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，试求a的取值范围．【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若，求的值．【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】（共1小题，满分0分）23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（α是参数）．以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P 的直角坐标．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）求证：当a=﹣时，不等式lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．2014-2015学年内蒙古包头市北重三中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）1．（5分）已知复数z满足（1﹣i）=2，则z5=（）A．16 B．﹣4+4i C．﹣16 D．﹣16i【解答】解：∵（1﹣i）=2，∴，则z=1﹣i．∴25=（1﹣i）5=（1﹣i）4（1﹣i）=﹣4（1﹣i）=﹣4+4i．故选：B．2．（5分）若A={x|log2（x﹣4）＜1}，B={y|y=3x+2，﹣4≤x≤3}，则A∩B=（）A．[﹣10，6）B．（4，6） C．（6，11] D．（0，11]【解答】解：∵A={x|log2（x﹣4）＜1}={x|0＜x﹣4＜2}={x|4＜x＜6}，B={y|y=3x+2，﹣4≤x≤3}={x|﹣10≤x≤11，∴A∩B=（4，6），故选：B．3．（5分）已知函数y=sin（2x+φ）向左平移个单位，所得函数图象关于y轴对称，则φ的最小正值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵y=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位后得：g（x）=f（x+）=sin（2x+φ+），∵g（x）=sin（2x+φ+）的图象关于y轴对称，∴g（x）=sin（2x+φ+）为偶函数，∴φ+=kπ+，k∈Z，∴φ=kπ+，k∈Z．∵φ＞0，∴φmin=．故选：B．4．（5分）下列各式中最小值为2的是（）A．B．C．e x+e﹣x（x∈R）D．【解答】解：A．∵，∴sinx∈（0，1），∴=2，因此无最小值．B.=+＞2，因此无最小值；C．e x+e﹣x=2，当且仅当x=0时取等号，因此最小值为2．D．x＜0时，＜2，最小值不可能是2．综上可得：只有C满足题意．故选：C．5．（5分）已知z=2x+y，x，y满足，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）A．B．C．D．【解答】解：画出x，y满足的可行域如下图：由，得A（1，1），由，得B（a，a），当直线z=2x+y过点A（1，1）时，目标函数z=2x+y取得最大值，最大值为3；当直线z=2x+y过点B（a，a）时，目标函数z=2x+y取得最小值，最小值为3a；由条件得3=4×3a，∴a=，故选：B．6．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．6【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．7．（5分）已知Rt△ABC，∠C=90°，CA=3，CB=4，点D、E在AB上，满足，，则=（）A．B．C．D．【解答】解：===，其中=0，=4×5×=16，=5×3×（﹣）=﹣9，=25，所以=×16﹣×（﹣9）﹣=；故选：C．8．（5分）已知定义域为R的函数f（x）在（﹣∞，﹣4）上为增函数，且函数y=f（x﹣4）为偶函数，则（）A．f（﹣5）＞f（﹣3） B．f（﹣7）＜f（﹣3） C．f（﹣2）＞f（﹣3） D．f（﹣8）＞f（0）【解答】解：∵y=f（x﹣4）为偶函数；∴f（﹣3）=f（1﹣4）=f（﹣1﹣4）=f（﹣5）；f（﹣2）=f（2﹣4）=f（﹣2﹣4）=f（﹣6）；f（0）=f（4﹣4）=f（﹣4﹣4）=f（﹣8）；又f（x）在（﹣∞，﹣4）为增函数；∴f（﹣5）=f（﹣3）；f（﹣7）＜f（﹣5），即f（﹣7）＜f（﹣3）；f（﹣6）＜f（﹣5），即f（﹣2）＜f（﹣3）；f（﹣8）=f（0）；∴B正确．故选：B．9．（5分）若β=α+30°，则sin2α+cos2β+sinαcosβ=（）A．B．C．cos2βD．sin2α【解答】解：∵β=α+30°，∴cos2β=（cosαcos30°﹣sinαsin30°）2=cos2α﹣sinαcosα+sin2αsinαcosβ=sinαcos（α+30°）=sinα（cosαcos30°﹣sinαsin30°）=sinαcosα﹣sin2α∴sin2α+cos2β+sinαcosβ=sin2α+（cos2α﹣sinαcosα+sin2α）+（sinαcosα﹣sin2α）=sin2α+cos2α+sin2α﹣sin2α=sin2α+cos2α=（sin2α+cos2α）=故选：B．10．（5分）已知每项均大于零的数列{a n}中，首项a1=1且前n项的和S n满足=（）（n∈N*，且n≥2），则aA．638 B．639 C．640 D．641【解答】解：∵，∴=2（n∈N*，且n≥2），∵a 1=1，∴=1∴{}是以1为首项，2为公差的等差数列∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1∴S n=4n2﹣4n+1．∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（4n2﹣4n+1）﹣[4（n﹣1）2﹣4（n﹣1）+1]=8n﹣8．∴a81=8×81﹣8=640故选：C．11．（5分）对任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|=|x﹣1|+|﹣x|+|1﹣y|+|y+1|≥|x﹣1﹣x|+|1﹣y+y+1|=3，当且仅当x∈[0，1]，y∈[﹣1，1]成立．故选：C．12．（5分）函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为（）A．{x|x＞0}B．{x|x＜0}C．{x|x＜﹣1，或x＞1}D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}【解答】解：令g（x）=e x•f（x）﹣e x，则g′（x）=e x•[f（x）+f′（x）﹣1]∵对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，∴g′（x）＞0恒成立即g（x）=e x•f（x）﹣e x在R上为增函数又∵f（0）=2，∴g（0）=1故g（x）=e x•f（x）﹣e x＞1的解集为{x|x＞0}即不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为{x|x＞0}故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）函数f（x）=x2+|x﹣a|具有奇偶性，则a=0．【解答】解：∵f（x）=x2+|x﹣a|具有奇偶性，∴f（x）=f（﹣x）或f（x）+f（﹣x）=0，∴a=0，故答案为：0．14．（5分）在△ABC中，若A=，sinB=cosC 则△ABC为等腰直角三角形（填形状）【解答】解：在△ABC中，sinB=cosCsin（A+C）=cosC若A=，则：tanC=10°＜C＜135°C=45°所以：有三角形内角和定理得：B=90°所以：△ABC为等腰直角三角形故答案为：等腰直角三角形15．（5分）已知命题p：f（x）=a x为增函数，q：函数q（x）=x+（a＞0）在[2，+∞）上单调递增，若p且q 为假，p或q为真，则a的取值范围为（0，1）∪（4，+∞）．【解答】解：∵f（x）=a x为增函数，∴a＞1，∴p：a＞1，∵函数q（x）=x+（a＞0）在[2，+∞）上单调递增，∴，q：0＜a≤4，∵若p且q 为假，p或q为真，∴p，q一真一假，当p真q假时，即a＞4，当p假q真时，，即0＜a＜1，a的取值范围为：a＞4或0＜a＜1，故答案为：（0，1）∪（4，+∞）16．（5分）设数列{a n}中，a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则数列{a n}前12项和等于78．【解答】解：∵a n+（﹣1）n a n=2n﹣1，+1∴a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，a8﹣a7=13，a9+a8=15，a10﹣a9=17，a11+a10=19，a12﹣a11=21，∴从第一项开始，相邻的两个式子作差得：a1+a3=a5+a7=a9+a11=2，即依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，相邻的两个式子相加得：a4+a2=8，a6+a8=24，a12+a10=40，即依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．以上式子相加可得，S12=a1+a2+…+a12=（a1+a3）+（a5+a7）+（a9+a11）+（a2+a4）+（a6+a8）+（a10+a12）=3×2+8+24+40=78故答案为：78．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）设函数f（x）=x3+bx2+cx+d（x∈R）已知F（x）=f（x）﹣f′（x）是奇函数，且F（1）=﹣11（1）求b、c、d的值；（2）求F（x）的单调区间与极值．【解答】解：（1）f'（x）=3x2+2bx+c，∴F（x）=f（x）﹣f′（x）=x3+（b﹣3）x2+（c﹣2b）x+d﹣c，∵F（x）是奇函数，∴b﹣3=0，且d﹣c=0，即b=3，d=c．∴F（x）=x3+（c﹣2b）x．∵F（1）=﹣11，∴F（1）=1+c﹣2b=﹣11，即c﹣2b=﹣12，∴c=2b﹣12=﹣6，又d=c，可得d=﹣6．综上知，b=3，c=﹣6，d=﹣6．（2）由（1）知f（x）=x3+3x2﹣6x﹣6．f'（x）=3x2+6x﹣6，∴F（x）=f（x）﹣f′（x）=x3﹣12x，∴F′（x）=3x2﹣12=3（x+2）（x﹣2），∴当x＜﹣2或x＞2时，F′（x）＞0，当﹣2＜x＜2时，F′（x）＜0，∴F（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣2）和（2，+∞），单调递减区间是（﹣2，2）．∴当x=﹣2时，F（x）=F（﹣2）=（﹣2）3﹣12×（﹣2）=16，极大值=F（2）=23﹣12×2=﹣16．当x=2时，F（x）极小值∴函数单调递增，无极值．即函数F（x）的单调区间是R，无极值．18．（12分）三角形ABC中，内角A，B，C所对边a，b，c成公比小于1的等比数列，且sinB+sin（A﹣C）=2sin2C．（1）求内角B的余弦值；（2）若b=，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）三角形ABC中，∵sinB+sin（A﹣C）=2sin2C，∴sin（A+C）+sin（A﹣C）=4sinCcosC，∴sinA=2sinC，或cosC=0．∴a=2c，或C=90°（不满足a，b，c成公比小于1的等比数列，故舍去）．由边a，b，c成公比小于1的等比数列，可得b2=ac，∴b=c，∴cosB===．（Ⅱ）∵b=，cosB=，∴ac=b2=3，sinB=，∴△ABC的面积S=ac•sinB=．19．（12分）如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP=θ（0＜θ＜π），C点坐标为（﹣2，0），平行四边形OAQP的面积为S．（1）求•+S的最大值；（2）若CB∥OP，求sin（2θ﹣）的值．【解答】解：（1）由已知，得A（1，0），B（0，1）．P（cos θ，sin θ），因为四边形OAQP是平行四边形，所以=+=（1+cosθ，sinθ）．所以•=1+cosθ．（3分）又平行四边形OAQP的面积为S=|•|sin θ=sin θ，所以•+S=1+cosθ+sin θ=sin（θ+）+1．（5分）又0＜θ＜π，所以当θ=时，•+S的最大值为+1．（7分）（2）由题意，知=（2，1），=（cosθ，sinθ），因为CB∥OP，所以cosθ=2sinθ．又0＜θ＜π，cos2θ+sin2θ=1，解得sin θ=，cos θ=，所以sin2θ=2sin θcosθ=，cos 2θ=cos2θ﹣sin2θ=．所以sin（2θ﹣）=sin 2θcos﹣cos 2θsin=×﹣×=．（13分）20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{S n+1}是公比为2的等比数列，a2是a1和a3的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵数列{a n}的前n项和为S n，数列{S n+1}是公比为2的等比数列，∴S n+1=2n﹣1（S1+1）=2n﹣1（a1+1）①S n﹣1+1=2n﹣2（a1+1）②①﹣②得a n=2n﹣2（a1+1），n≥2a2=a1+1，a3=2（a1+1）a2是a1和a3的等比中项，故a22=a1a3，（a1+1）2=a1•2（a1+1），解得a1=1，（a1=﹣1则a2=0不合题意舍去）故a n=2n﹣1．（2）由a n=2n﹣1，知na n=n×2n﹣1，∴T n=1×20+2×21+3×22+…+n×2n﹣1，①2T n=1×21+2×22+3×23+…+n×2n，②②﹣①得T n=n×2n﹣（20+21+22+23+…+2n﹣1）=n×2n﹣=n×2n﹣2n+1．21．（12分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）若函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；（Ⅲ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，试求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=a x+x2﹣xlna，∴f′（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x ﹣1）lna，由于a＞1，故当x∈（0，+∞）时，lna＞0，a x﹣1＞0，所以f′（x）＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．（Ⅱ）当a＞0，a≠1时，因为f′（0）=0，且f（x）在（0，+∞）上单调递增，故f′（x）=0有唯一解x=0．所以x，f′（x），f（x）的变化情况如下表所示：又函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根，即y=f（x）的图象与两条平行于x轴的两条直线y=t±1共有三个交点．不妨取a＞1，y=f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，极小值f（0）=1也是最小值，当x→±∞时，f（x）→+∞．∵t﹣1＜t+1，∴f（x）=t+1有两个根，f（x）=t﹣1只有一个根．∴t﹣1=f min（x）=f（0）=1，∴t=2．（Ⅲ）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））≥e﹣1，min由（Ⅱ）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而，记，因为（当t=1时取等号），所以在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1），当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）．综合可得，①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1，可得a﹣lna≥e﹣1，求得a ≥e．②当0＜a＜1时，由，综上知，所求a的取值范围为（0，]∪[e，+∞）．【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若，求的值．【解答】（I）证明：连接OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC（2分）∴OD∥AE又AE⊥DE（3分）∴DE⊥OD，又OD为半径∴DE是的⊙O切线（5分）（II）解：过D作DH⊥AB于H，则有∠DOH=∠CAB（6分）设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，∴AH=7x（7分）由△AED≌△AHD可得AE=AH=7x（8分）又由△AEF∽△DOF可得∴【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】（共1小题，满分0分）23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（α是参数）．以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P 的直角坐标．【解答】解：（1）由曲线C1：，可得，两式两边平方相加得：，即曲线C1的普通方程为：．由曲线C2：得：，即ρsinθ+ρcosθ=8，所以x+y﹣8=0，即曲线C2的直角坐标方程为：x+y﹣8=0．（2）由（1）知椭圆C1与直线C2无公共点，椭圆上的点到直线x+y﹣8=0的距离为，∴当时，d的最小值为，此时点P的坐标为．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）求证：当a=﹣时，不等式lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵当a=﹣时，f（x）=|x﹣|+|x+|=的最小值为3，∴lnf（x）最小值为ln3＞lne=1，∴lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得f（x）=|x﹣|+|x﹣a|≥|（x﹣）﹣（x﹣a）|=|a﹣|，再由不等式f（x）≥a在R上恒成立，可得|a﹣|≥a，∴a﹣≥a，或a﹣≤﹣a，解得a≤，故a的最大值为．。
2014-2015年内蒙古省包头三十三中高三(上)期中一考数学试卷及参考答案(理科)
A． D． 10． （5 分）已知 f（
B．
C
．
）=x﹣2
，则 f（x）=（
）
A．f（x）=x2﹣2x﹣2（x≥﹣2） B．f（x）=x2﹣2x﹣2（x≥0） C．f（x）=x2﹣2x+2（x≥﹣2） D．f（x）=x2﹣2x+2（x≥0） 11． （5 分） 在△ABC 中，a， b， c 分别为内角 A， B， C 的对边，且 2asinA=（2b+c） sinB+（2c+b）sinC，则角 A 的大小为（ A． B． C． D． ，则方程 f（x）=ax 恰有两个不同实 ） （注：e 为自然对数的底数）
2． （5 分）已知 i 为虚数单位，若 A．2+i B．﹣2﹣i C．l﹣2iD．1+2i 3． （5 分）下列说法正确的是（
=y+2i，x，y∈R，则复数 x+yi=（
）
A．命题“∃ x∈R 使得 x2+2x+3＜0”的否定是：“∀ x∈R，x2+2x+3＞0” B．a∈R，“ ＜1”是“a＞1”的必要不充分条件 C．“p∧q 为真命题”是“p∨q 为真命题”的必要不充分条件 D．命题 p：“∀ x∈R，sinx+cosx≤ ”，则￢p 是真命题 ）
tan（B﹣10°）]的值．
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20． （12 分）已知函数 （Ⅰ）求 ；
在 x=a 处取得极值．
（Ⅱ）设函数 g（x）=2x3﹣3af′（x）﹣6a3，如果 g（x）在开区间（0，1）上存 在极小值，求实数 a 的取值范围． 21． （12 分）设 f（x）=cosx+ ﹣1．
14． （5 分）函数 f（x）=sin（2x+φ） （|φ|＜ 则函数 f（x）在[0， ]上的最小值为
内蒙古包头三十三中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科2)
内蒙古包头三十三中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）（2）一．选择题（每题5分，共60分）每小题给出的四个答案中，只有一个是正确的.1．（5分）若f（cosx）=cos2x，f（sin15°）=（）A．B．C．D．2．（5分）在3与27之间插入7个数，使它们成为等差数列，则插入的7个数的第四个数是（）A．18 B．9C．12 D．153．（5分）已知f（x）=x+﹣2（x＜0），则f（x）有（）A．最大值为0 B．最小值为0 C．最大值为﹣4 D．最小值为﹣44．（5分）已知Q（5，4），动点P（x，y）满足，则|PQ|的最小值是（）A．5B．C．2D．75．（5分）下列命题中正确的是（）A．若a＞b，则ac＞bc B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣dC．若ab＞0，a＞b，则＜D．若c＞b，a＞d，则＞6．（5分）在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则C等于（）A．30°B．150°C．30°或150°D．60°或120°7．（5分）若S n为等差数列{a n}的前n项和，S9=﹣36，S13=﹣104，则a5与a7的等比中项为（）A．B．C．D．328．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n=3n﹣1，则a12+a22+…+a n2=（）A．（3n﹣1）B．（3n﹣1）C．（9n﹣1）D．（9n﹣1）9．（5分）为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是（）A．20（1+）m B．20（1+）m C．20（1+）m D．20（1﹣）m10．（5分）已知（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1＜0的解集是R，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣或a＞1 B．﹣＜a＜1C．﹣＜a≤1或a=﹣1 D．﹣＜a≤111．（5分）设数列{a n}的通项公式a n=πsin（π）+1，前n项和为S n（n∈N*），则S2014=（）A．2014+πB．2014﹣πC．2013+πD．2013﹣π12．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3B．4C．5D．6二．填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知不等式|x﹣2|＞1的解集与不等式x2+ax+b＞0的解集相等，则a+b的值为．14．（5分）已知函数f（x）=ax2+bx，且1≤f（﹣1）≤2，2≤f（1）≤4，则f（﹣2）的取值范围是．15．（5分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＜a2+b2+2abcos2C，则∠C 的取值范围是．16．（5分）已知函数f（n）=，且a n=f（n）+f（n+1），则a1+a2+…+a100=．三．解答题（共6小题，共70分）解答题应写出演算步骤.17．（10分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，B={x|x2﹣2mx+m2﹣4≤0，x∈R，m∈R}．（1）若A∩B=，求实数m的值；（2）若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．18．（12分）某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．公司如何合理安排生产计划，可使每天生产的甲、乙两种产品，共获得最大利润？19．（12分）已知=（2cosx+2sinx，1），=（cosx，﹣y），且⊥．（1）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调增区间；（2）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C对应的边长，若f（）=3，且a=2，b+c=4，求△ABC的面积．20．（12分）若x，y满足约束条件（1）求目标函数z=x﹣y+的最值；（2）若目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，求a的取值范围．21．（12分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a n+1=2S n+2（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d n的等差数列，设数列{}的前n项和为T n，证明T n＜．22．（12分）数列{a n}满足a1=1，（n∈N*）．（1）求证是等差数列；（要指出首项与公差）；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）若T n=a1a2+a2a3+…+a n a n+1，求证：．内蒙古包头三十三中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）（2）参考答案与试题解析一．选择题（每题5分，共60分）每小题给出的四个答案中，只有一个是正确的.1．（5分）若f（cosx）=cos2x，f（sin15°）=（）A．B．C．D．考点：函数的值；二倍角的余弦．专题：计算题．分析：用三角函数中的诱导公式进行转化，可转化问题回应条件，也可转化条件回应问题．解答：解：f（sin150）=f（cos（900﹣150））=f（cos750）=cos（2×750）=cos1500=故选D点评：本题主要通过求函数值来考查三角函数中的诱导公式，在三角函数中公式的灵活运用是研究三角函数的重要方面．2．（5分）在3与27之间插入7个数，使它们成为等差数列，则插入的7个数的第四个数是（）A．18 B．9C．12 D．15考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：记数列为{a n}，易得a1=3，a9=27，进而可得公差，可得答案．解答：解：在3与27之间插入7个数，使它们成为等差数列记为{a n}，则a1=3，a9=27，∴公差d==3，∴插入的7个数的第四个数a5=3+4×3=15故选：D点评：本题考查等差数列的通项公式，属基础题．3．（5分）已知f（x）=x+﹣2（x＜0），则f（x）有（）A．最大值为0 B．最小值为0 C．最大值为﹣4 D．最小值为﹣4考点：函数的最值及其几何意义．分析：因为x＜0，可得﹣x＞0，然后利用不等式的基本性质进行放缩，从而求解．解答：解：∵x＜0，∴﹣x＞0，∴x+﹣2=﹣（﹣x+）﹣2≤﹣2﹣2=﹣4，等号成立的条件是﹣x=，即x=﹣1．故选C．点评：此题考查函数的最值及其几何的意义，利用不等式的性质进行求解，是一道基础题，主要是符号的变化．4．（5分）已知Q（5，4），动点P（x，y）满足，则|PQ|的最小值是（）A．5B．C．2D．7考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知，当P位于A时，此时|PQ|取得最小值，由，得，即A（1，1），则|PQ|的最小值为=，故选：A点评：本题主要考查两点间距离的求解，利用数形结合以及点到直线的距离公式是解决本题的关键．5．（5分）下列命题中正确的是（）A．若a＞b，则ac＞bc B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣dC．若ab＞0，a＞b，则＜D．若c＞b，a＞d，则＞考点：不等式比较大小．专题：不等式的解法及应用．分析：A．当c≤0时，不成立；B．由a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c；C．由ab＞0，a＞b，可得＜；D．由于c＞b，a＞d，取a=6，b=1，c=2，d=，则=3＜4=，即可判断出不成立．解答：解：A．当c≤0时，不成立；B．∵a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c；C．∵ab＞0，a＞b，∴＜，正确；D．∵c＞b，a＞d，取a=6，b=1，c=2，d=，则=3＜4=，因此不成立．故选：C．点评：本题考查了不等式的性质，考查了推理能力，属于基础题．6．（5分）在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则C等于（）A．30°B．150°C．30°或150°D．60°或120°考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：先把题设中的两个等式平方后相加，根据两角和公式求得sin（A+B）即sinC的值，进而求得C，当C=150°时3sinA+4cosB＜3sin30°+4cos0°与题设矛盾，排除，最后答案可得．解答：解：已知两式两边分别平方相加，得25+24（sinAcosB+cosAsinB）=25+24sin（A+B）=37，∴sin（A+B）=sinC=，∴C=30°或150°．当C=150°时，A+B=30°，此时3sinA+4cosB＜3sin30°+4cos0°=，这与3sinA+4cosB=6相矛盾，∴C=30°．故选A点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数，同角三角函数基本关系的应用．解题最后注意对所求结果进行验证．7．（5分）若S n为等差数列{a n}的前n项和，S9=﹣36，S13=﹣104，则a5与a7的等比中项为（）A．B．C．D．32考点：等差数列的前n项和；等比数列的性质．专题：计算题．分析：利用等差数列的求和公式及S9=﹣36，S13=﹣104可求首项及公差d，进而可求a5与a7，等比中项为A，则A2=a5•a7，代入可求解答：解：设等差数列的首项为a1，公差为d由题意可得，解可得，a1=4，d=﹣2设a5与a7的等比中项为A，则A2=a5•a7=（﹣4）×（﹣8）=32所以，故选：C点评：本题主要考查了等差数列的求和公式的应用，等比中项的应用，属于基础试题．8．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n=3n﹣1，则a12+a22+…+a n2=（）A．（3n﹣1）B．（3n﹣1）C．（9n﹣1）D．（9n﹣1）考点：数列的求和；等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等比数列的前n项和公式，求出数列的通项公式即可得到结论．解答：解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n=3n﹣1，∴a1=S1=31﹣1=2，S2=32﹣1=9﹣1=8，则a2=8﹣2=6，则公比q=，则a n=a1q n﹣1=2•3n﹣1，则a n2=4•9n﹣1，即{a n2}是首项为4，公比q=9的等比数列，则a12+a22+…+a n2==（9n﹣1），故选：C点评：本题主要考查数列的求和的计算，根据条件求出等比数列的通项公式是解决本题的关键．9．（5分）为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是（）A．20（1+）m B．20（1+）m C．20（1+）m D．20（1﹣）m考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；解三角形．分析：设观测点为C，CP为点C与塔AB的距离，可得∠ACP=30°且∠BCP=45°．利用直角三角形中的三角函数的定义求得AP、CP的值，即可求得塔高AB的值．解答：解：如图所示，设观测点为C，CP=20为点C与塔AB的距离，∠ACP=30°，∠BCP=45°．则AB=AP+CP=PC•tan30°+CP•tan45°=20×+20×1=20（1+），即塔AB的高度是20（1+）m，故选：A．点评：本题给出实际应用问题，求塔AB的高度．着重考查了直角三角形中三角函数的定义和解三角形在实际生活中的应用等知识，属于基础题．10．（5分）已知（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1＜0的解集是R，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣或a＞1 B．﹣＜a＜1C．﹣＜a≤1或a=﹣1 D．﹣＜a≤1考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：首先题目由不等式（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1＜0的解集为R，求实数a的取值范围，考虑转化为函数f（x）=（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1．对任意的x，函数值小于零的问题．再分类讨论a=1或a≠1的情况即可解出答案．解答：解：设函数f（x）=（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1．由题设条件关于x的不等式（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1＜0的解集为R．可得对任意的x属于R，都有f（x）＜0．又当a≠1时，函数f（x）是关于x的抛物线．故抛物线必开口向下，且于x轴无交点，故满足，解得﹣＜a＜1．当a=1时．f（x）=﹣1满足题意．综上，a的取值范围为（﹣，1考点：一元二次不等式的应用；绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：求出不等式|x﹣2|＞1的解集，即得不等式x2+ax+b＞0的解集，利用一元二次方程根与系数的关系求出a和b的值，即可得到a+b的值．解答：解：由不等式|x﹣2|＞1可得x﹣2＞1 或x﹣2＜﹣1，解得x＞3 或x＜1，故不等式|x﹣2|＞1的解集为{x|x＞3 或x＜1 }，即不等式x2+ax+b＞0的解集为{x|x＞3 或x＜1 }．∴3+1=﹣a，3×1=b，∴a+b=﹣4+3=﹣1，故答案为﹣1．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，一元二次方程根与系数的关系，属于中档题．14．（5分）已知函数f（x）=ax2+bx，且1≤f（﹣1）≤2，2≤f（1）≤4，则f（﹣2）的取值范围是．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：根据条件建立不等式组关系，利用线性规划的知识进行求解．解答：解：∵f（x）=ax2+bx，且1≤f（﹣1）≤2，2≤f（1）≤4，∴1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4，则f（﹣2）=4a﹣2b，作出不等式组对应的平面区域如图：设z=f（﹣2）=4a﹣2b，则b=2a﹣，平移b=2a﹣得当直线经过点A时，b=2a﹣的截距最大，此时z最小，当直线经过点C时，b=2a﹣的截距最小，此时z最大，由，解得，即A（，），由，解得，即C（3，1），则z的最大值为4×3﹣2×1=10，z的最小值为4×﹣×2=5，故5≤f（﹣2）≤10，故答案为：点评：本题主要考查线性规划的应用，根据条件建立不等式关系是解决本题的关键．15．（5分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＜a2+b2+2abcos2C，则∠C 的取值范围是（0，）．考点：余弦定理．专题：计算题．分析：根据余弦定理表示出c2，代入已知的不等式中，移项合并后，再利用二倍角的余弦函数公式化为关于cosC的一元二次不等式，求出不等式的解集得到cosC的范围，由C为三角形的内角，根据余弦函数的图象与性质即可得到角C的范围．解答：解：根据余弦定理得：c2=a2+b2﹣2ab•cosC，已知不等式化为：a2+b2﹣2ab•cosC＜a2+b2+2abcos2C，整理得：cos2C+cosC＞0，即2cos2C+cosC﹣1＞0，因式分解得：（2cosC﹣1）（cosC+1）＞0，解得：cosC＞或cosC＜﹣1（舍去），∴cosC，由C为三角形的内角，则∠C的取值范围是（0，）．故答案为：（0，）点评：此题考查了余弦定理，一元二次不等式的解法，二倍角的余弦函数公式，以及余弦函数的图象与性质，利用余弦定理化简已知的不等式是本题的突破点．16．（5分）已知函数f（n）=，且a n=f（n）+f（n+1），则a1+a2+…+a100=100．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得当n为奇数时，a n=n2﹣（n+1）2=﹣2n﹣1，当n为偶数时，a n=（n+1）2﹣n2=2n+1，由此得a1+a2+…+a100=（a2+a4+…+a100）+（a1+a3+…+a99）=2（2+4+…+100）﹣2（1+3+…+99），从而能求出结果．解答：解：∵函数f（n）=，且a n=f（n）+f（n+1），∴当n为奇数时，a n=n2﹣（n+1）2=﹣2n﹣1，当n为偶数时，a n=（n+1）2﹣n2=2n+1，∴a1+a2+…+a100=（a2+a4+…+a100）+（a1+a3+…+a99）=2（2+4+...+100）﹣2（1+3+ (99)=100．故答案为：100．点评：本题考查数列的前100项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．三．解答题（共6小题，共70分）解答题应写出演算步骤.17．（10分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，B={x|x2﹣2mx+m2﹣4≤0，x∈R，m∈R}．（1）若A∩B=，求实数m的值；（2）若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．考点：交、并、补集的混合运算．分析：（1）根据一元二次不等式的解法，对A，B集合中的不等式进行因式分解，从而解出集合A，B，再根据A∩B=，求出实数m的值；（2）由（1）解出的集合A，B，因为A⊆C R B，根据子集的定义和补集的定义，列出等式进行求解．解答：解：由已知得：A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|m﹣2≤x≤m+2}．（4分）（1）∵A∩B=∴（6分）∴，∴m=2；（8分）（2）C R B={x|x＜m﹣2，或x＞m+2}（10分）∵A⊆C R B，∴m﹣2＞3，或m+2＜﹣1，（12分）∴m＞5，或m＜﹣3．（14分）点评：此题主要考查集合的定义及集合的交集及补集运算，一元二次不等式的解法及集合间的交、并、补运算是高考中的常考内容，要认真掌握．18．（12分）某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．公司如何合理安排生产计划，可使每天生产的甲、乙两种产品，共获得最大利润？考点：简单线性规划的应用．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：根据题设中的条件可设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，根据题设条件得出线性约束条件以及目标函数求出利润的最大值即可．解答：解：设生产x桶甲产品，y桶乙产品，总利润为Z，则约束条件为，目标函数为Z=300x+400y，可行域如图当目标函数直线经过点M时z有最大值，联立方程组得M（4，4），代入目标函数得z=2800．故公司每天生产的甲、乙两种产品各4桶，可获得最大利润2800元．点评：本题考查用线性规划知识求利润的最大值，这是简单线性规划的一个重要运用，解题的关键是准确求出目标函数及约束条件．19．（12分）已知=（2cosx+2sinx，1），=（cosx，﹣y），且⊥．（1）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调增区间；（2）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C对应的边长，若f（）=3，且a=2，b+c=4，求△ABC的面积．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；正弦定理；余弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（1）由数量积为0可得方程，由三角函数的公式化简可得f（x），再由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，可得单调递增区间；（2）结合（1）可得f（）=1+2sin（A+）=3，进而可得A=，由余弦定理可得bc=4，代入面积公式S=，计算可得答案．解答：解：（1）由题意可得（2cosx+2sinx）cosx﹣y=0，即y=f（x）=（2cosx+2sinx）cosx=2cos2x+2sinxcosx=1+cos2x+sin2x=1+2sin（2x+），由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，故f（x）的单调增区间为，k∈Z（2）由（1）可知f（x）=1+2sin（2x+），故f（）=1+2sin（A+）=3，解得sin（A+）=1故可得A+=，解得A=，由余弦定理可得22=b2+c2﹣2bccosA，化简可得4=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=16﹣3bc，解得bc=4，故△ABC的面积S===点评：本题考查三角函数的性质和余弦定理的应用，涉及向量的垂直的判断，属基础题．20．（12分）若x，y满足约束条件（1）求目标函数z=x﹣y+的最值；（2）若目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，求a的取值范围．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）作出可行域，利用目标函数的几何意义即可得到结论．（2）若目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，判断目标函数的斜率关系，即可得到结论．解答：解：（1）作出可行域如图，则直线x+y=1，x﹣y=﹣1，2x﹣y=2的交点分别为A（3，4），B（0，1），C（1，0），平移x﹣y+=0，由图象可知过A时，z取得最小值z=×3﹣4+=﹣2，过C点取得最大值z=+=1．∴z的最大值为1，最小值为﹣2．（2）若目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则由图象可知，解得﹣4＜a＜2，即a的取值范围（﹣4，2）．点评：本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义是解决本题的关键．注意使用数形结合．21．（12分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a n+1=2S n+2（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d n的等差数列，设数列{}的前n项和为T n，证明T n＜．考点：数列的求和；等比数列的性质；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知得a n+1﹣a n=2a n，a2=3a1，a2=2a1+2，由此能求出a n=2•3n﹣1．（2）由已知得，由此利用错位相减法能证明T n=＜．解答：（1）解：∵a n+1=2S n+2（n∈N*），∴a n=2S n﹣1+2（n∈N*，n≥2），两式相减，得a n+1﹣a n=2a n，即a n+1=3a n，n≥2，∵等比数列{a n}，∴a2=3a1，又a2=2a1+2，∴a1=2，∴a n=2•3n﹣1．（2）证明：由（1）得，，∵a n+1=a n+（n+1）d n，∴，∴T n=，①=，②①﹣②，得=﹣=﹣=，∴T n=＜．点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．22．（12分）数列{a n}满足a1=1，（n∈N*）．（1）求证是等差数列；（要指出首项与公差）；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）若T n=a1a2+a2a3+…+a n a n+1，求证：．考点：数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由，得：，由此能证明数列是以首项，公差d=2的等差数列．（2）由（1）得，由此能求出数列{a n}的通项公式．（3）由，利用裂项求和法能证明．解答：（1）解：由，得：∴，∴，又a1=1，∴=1，∴数列是以首项，公差d=2的等差数列．（2）解：由（1）得：∴．（3）证明：∵，∴T n===∴．点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．。
内蒙古包头三十三中高二数学上学期期末考试试题 理(含
2013——2014学年度第一学期期末考试高二年级数学试题(理科)一、选择题（共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂到答题卡上．）1．已知向量(1,1,3),(1,1,2)a b ==-r r ，则a b ⋅rr 的值是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8 【答案】B【解析】1166a b ⋅=-++=rr 。
2．抛物线x y 82-=的焦点坐标是（ ）A ．（-2，0） B. （ 2，0） C. （-4，0） D. （4，0） 【答案】A【解析】抛物线x y 82-=的焦点坐标是（-2，0）。
3．等比数列{a n }中，a 2=9，a 5=243，则{a n }的前4项和为( ) A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 【答案】B【解析】因为a 2=9，a 5=243，所以13,3a q ==，所以{a n }的前4项和为120.4. 已知数列}{n a ，那么“对任意的*N n ∈，点),(n n a n P 都在直线12+=x y 上”是“}{n a 为等差数列”的A. 必要而不充分条件B. 充分而不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】“对任意的*N n ∈，点),(n n a n P 都在直线12+=x y 上”是“}{n a 为等差数列”的充分而不必要条件。
5．已知a,b,c ∈R,则下面推理中正确的是( ) A 、a>b ⇒ am 2>bm 2B 、cbc a > ⇒a>b C 、a 3>b 3, ab>0⇒b a 11< D 、a 2>b 2, ab>0⇒ba 11< 【答案】C【解析】A 、a>b ⇒ am 2>bm 2，错误，m=0时不成立；B 、cbc a > ⇒a>b ，错误，c 为负数时不成立；C 、a 3>b 3, ab>0⇒ba 11< ，正确； D 、a 2>b 2, ab>0⇒b a 11<，错误，a 、b 都为负数时不成立。
内蒙古包头三十三中高二数学上学期期中试题2 理(含解
包头市三十三中2012级高二年级数学（理科）第一学期期中Ⅱ考试试卷一、选择题（每题5分）1、已知集合A ＝{(x ，y)|x ，y 为实数，且x2＋y2＝1}，B ＝{(x ，y)|x ，y 为实数，且x ＋y ＝1}，则A ∩B 的元素个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】C【解析】因为圆心到直线的距离为12d r ==<=，所以直线与圆有两个交点，所以A ∩B 的元素个数为2.2、已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥ex ”，命题q ：“∃x ∈R ，x2＋4x ＋a ＝0”， 若命题“p ∧q ”是真命题；则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．[1，4]C ．[e ，4]D ．(－∞，1] 【答案】C【解析】若命题p 为真命题，需满足()[]max(0,1)x a e x ≥∈，所以a e ≥；若命题q 为真命题，需满足2440a ∆=-≥，解得4a ≤，所以命题“p ∧q ”是真命题实数a 的取值范围是[e ，4]。
3、命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( ) A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数 B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数 C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数 D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数 【答案】C【解析】命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是“若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数”。
4、命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( ) A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 【答案】B【解析】命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是任意一个无理数，它的平方不是有理数。
5、下面四个条件中，使a ＞b 成立的充分而不必要的条件是( )A ．a ＞b ＋1B ．a ＞b －1C ．a2＞b2D ．a3＞b3 【答案】A【解析】若a ＞b ＋1，则a ＞b 一定成立，反之若a ＞b ，则a ＞b ＋1不一定成立，所以a ＞b ＋1 是a ＞b 成立的充分而不必要条件。
【精编】2014-2015年内蒙古包头三十三中高二(上)数学期中试卷和参考答案(理科)(1)
2014-2015学年内蒙古包头三十三中高二（上）期中数学试卷（理科）（1）一.选择题：（每题5分，共60分）每小题给出的四个答案中，只有一个是正确的.1．（5分）sin（﹣π）=（）A．﹣B．C．﹣ D．2．（5分）已知向量=（x，2），=（﹣2，﹣x），若两向量方向相反，则x=（）A．﹣5 B．5 C．﹣2 D．23．（5分）化简的结果为（）A．﹣2 B．C．﹣1 D．14．（5分）在△ABC中，若，，B=120°，则a等于（）A．B．2 C．D．5．（5分）若α∈（0，），且sin2α+cos2α=，则tanα的值等于（）A．B．C．D．6．（5分）已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则∠C的大小为（）A．60°B．90°C．120° D．150°7．（5分）已知α，β都是锐角，若sinα=，sinβ=，则α+β=（）A．B． C．和D．﹣和﹣8．（5分）若α∈（0，2π），且sinα+cosα=﹣，则tanα=（）A．± B．或C．D．±9．（5分）已知向量，满足||=5，||=4，|﹣|=，则与的夹角θ=（）A．150°B．120°C．60°D．30°10．（5分）已知函数f（x）=cosxsinx（x∈R），给出下列四个命题：①若f（x1）=﹣f（x2），则x1=﹣x2②f（x）的最小正周期是2π③在区间[]上是增函数；④f（x）的图象关于直线x=对称．其中真命题是（）A．①②④B．①③C．②③D．③④11．（5分）函数向左平移个单位后是奇函数，则函数f（x）在上的最小值为（）A．B．C．D．12．（5分）在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，则△ABC该的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．正三角形D．等腰或直角三角形二．填空题（每题5分，共20分）13．（5分）若数列{a n}满足：a1=1，a n=a n﹣1+3n﹣2（n≥2），则a3=．14．（5分）求值：tan20°+tan40°+tan20°tan40°=．15．（5分）在△ABC中，AB=3，AC=2，=，则•=．16．（5分）已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为．三．解答题（共6小题，共70分）解答题应写出演算步骤.17．（10分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．18．（12分）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|﹣|=．（1）求cos（α﹣β）的值；（2）若0＜α＜，﹣＜β＜0，且sinβ=﹣，求sinα．19．（12分）如图，在某港口A处获悉，其正东方向20海里B处有一艘渔船遇险等待营救，此时救援船在港口的南偏西30°据港口10海里的C处，救援船接到救援命令立即从C处沿直线前往B处营救渔船．（Ⅰ）求接到救援命令时救援船据渔船的距离；（Ⅱ）试问救援船在C处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？（已知cos49°=）．20．（12分）叙述并证明正弦定理．21．（12分）已知函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx（ω＞0）的周期为．（1）求ω的值和f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC的三边a，b，c成等比数列，且边b所对的角为x，求此时函数f （x）的值域．22．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n（n∈N*），试求数列{a n}的通项公式a n．2014-2015学年内蒙古包头三十三中高二（上）期中数学试卷（理科）（1）参考答案与试题解析一.选择题：（每题5分，共60分）每小题给出的四个答案中，只有一个是正确的.1．（5分）sin（﹣π）=（）A．﹣B．C．﹣ D．【解答】解：sin（﹣π）=sin（10π﹣π）=sin=．故选：B．2．（5分）已知向量=（x，2），=（﹣2，﹣x），若两向量方向相反，则x=（）A．﹣5 B．5 C．﹣2 D．2【解答】解：向量=（x，2），=（﹣2，﹣x），若两向量方向相反，所以=（x，2）=﹣=﹣（﹣2，﹣x），所以x=2．故选：D．3．（5分）化简的结果为（）A．﹣2 B．C．﹣1 D．1【解答】解：==﹣=﹣1故选：C．4．（5分）在△ABC中，若，，B=120°，则a等于（）A．B．2 C．D．【解答】解：在△ABC中，若，，B=120°，则由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2ac•cosB，即6=a2+2﹣2a•（﹣），解得a=，或a=﹣2（舍去），故选：D．5．（5分）若α∈（0，），且sin2α+cos2α=，则tanα的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：由cos2α=1﹣2sin2α，得到sin2α+cos2α=1﹣sin2α=，则sin2α=，又α∈（0，），所以sinα=，则α=，所以tanα=tan=．故选：D．6．（5分）已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则∠C的大小为（）A．60°B．90°C．120° D．150°【解答】解：∵（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，∴c2=a2+b2+ab，由余弦定理可得，cosC====，∵0°＜C＜180°，∴C=120°，故选：C．7．（5分）已知α，β都是锐角，若sinα=，sinβ=，则α+β=（）A．B． C．和D．﹣和﹣【解答】解：∵α、β为锐角，sinα=，sinβ=，∴cosα==cosβ==∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=∴α+β=故选：A．8．（5分）若α∈（0，2π），且sinα+cosα=﹣，则tanα=（）A．± B．或C．D．±【解答】解：把sinα+cosα=﹣①＜0，两边平方得：（sinα+c osα）2=1+2sinαcosα=，即2sinαcosα=＞0，∵α∈（0，2π），∴sinα＜0，cosα＜0，∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=，即sinα﹣cosα=或﹣②，联立①②，解得：sinα=﹣，cosα=﹣；sinα=﹣，cosα=﹣，则tanα==或，故选：B．9．（5分）已知向量，满足||=5，||=4，|﹣|=，则与的夹角θ=（）A．150°B．120°C．60°D．30°【解答】解：∵|﹣|=，∴=，又||=5，||=4，∴52+42﹣2×5×4cosθ=61，化为cosθ=﹣，∴θ=120°．故选：B．10．（5分）已知函数f（x）=cosxsinx（x∈R），给出下列四个命题：①若f（x1）=﹣f（x2），则x1=﹣x2②f（x）的最小正周期是2π③在区间[]上是增函数；④f（x）的图象关于直线x=对称．其中真命题是（）A．①②④B．①③C．②③D．③④【解答】解：∵f（x）=cosxsinx=sin2x若f（x 1）=﹣f（x2），则sin2x1=﹣sin2x2=sin（﹣2x2）∴2x1=﹣2x2+2kπ时满足条件，即x1+x2=kπ可以，故①不正确；由函数f（x）=sin2x知周期T=，故②不正确；令，得﹣，当k=0时，x∈[﹣，]，f（x）是增函数，故③正确；将x=代入函数f（x）得，f（）=﹣为最小值，故f（x）的图象关于直线x=对称，④正确．故选：D．11．（5分）函数向左平移个单位后是奇函数，则函数f（x）在上的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：把函数y=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位得到函数y=sin （2x++φ）的图象，因为函数y=sin（2x++φ）为奇函数，故+φ=kπ，因为，故φ的最小值是﹣．所以函数为y=sin（2x﹣）．x∈，所以2x﹣∈[﹣，]，x=0时，函数取得最小值为．故选：A．12．（5分）在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，则△ABC该的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．正三角形D．等腰或直角三角形【解答】解：∵△ABC中，b2tanA=a2tanB，∴由正弦定理得：，在三角形中，sinA≠0，sinB≠0，∴，∴sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，则sin2B=sin2A，∴A=B或2A=π﹣2B，∴A=B或A+B=，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选：D．二．填空题（每题5分，共20分）13．（5分）若数列{a n}满足：a1=1，a n=a n﹣1+3n﹣2（n≥2），则a3=12．【解答】解：∵数列{a n}满足：a1=1，a n=a n﹣1+3n﹣2（n≥2），∴a2=1+6﹣2=5，a3=5+9﹣2=12．故答案为：12．14．（5分）求值：tan20°+tan40°+tan20°tan40°=．【解答】解：tan60°=tan（20°+40°）==tan20°+tan40°+tan20°tan40故答案为：15．（5分）在△ABC中，AB=3，AC=2，=，则•=．【解答】解：如图所示，∵==，∴，∴•===﹣．故答案为：．16．（5分）已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为15．【解答】解：设三角形的三边分别为x﹣4，x，x+4，则cos120°==﹣，化简得：x﹣16=4﹣x，解得x=10，所以三角形的三边分别为：6，10，14则△ABC的面积S=×6×10sin120°=15．故答案为：15三．解答题（共6小题，共70分）解答题应写出演算步骤.17．（10分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，∵sinB≠0，∴sinA=，又A为锐角，则A=；（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，∴bc=，又sinA=，=bcsinA=．则S△ABC18．（12分）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|﹣|=．（1）求cos（α﹣β）的值；（2）若0＜α＜，﹣＜β＜0，且sinβ=﹣，求sinα．【解答】解：（1）=1，同理=1．∵|﹣|=，∴=，化为2﹣2（cosαcosβ+sinαsinβ）=，∴cos（α﹣β）=．（2）∵0＜α＜，﹣＜β＜0，且sinβ=﹣，∴0＜α﹣β＜π，=．∴sin（α﹣β）==．∴sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ==．19．（12分）如图，在某港口A处获悉，其正东方向20海里B处有一艘渔船遇险等待营救，此时救援船在港口的南偏西30°据港口10海里的C处，救援船接到救援命令立即从C处沿直线前往B处营救渔船．（Ⅰ）求接到救援命令时救援船据渔船的距离；（Ⅱ）试问救援船在C处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？（已知cos49°=）．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：△ABC中，AB=20，AC=10，∠CAB=120°，∴CB2=AB2+AC2﹣2AB•ACcos∠CAB…（3分）即CB2=202+102﹣2×20×10cos120°=700，，所以接到救援命令时救援船据渔船的距离为海里．…（6分）（Ⅱ）△ABC中，AB=20，，∠CAB=120°，由正弦定理得即∴…（9分）∵，∴∠ACB=41°，故救援船应沿北偏东710的方向救援．…（12分）20．（12分）叙述并证明正弦定理．【解答】正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即（2R三角形外接圆的直径）证明：在△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c．作CH⊥AB垂足为点HCH=a•sinBCH=b•sinA∴a•sinB=b•sinA得到同理，在△ABC中，，因为同弧所对的圆周角相等，所以，．21．（12分）已知函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx（ω＞0）的周期为．（1）求ω的值和f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC的三边a，b，c成等比数列，且边b所对的角为x，求此时函数f （x）的值域．【解答】解：（1）∵f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx=sin2ωx﹣=sin （2ωx﹣）﹣，其周期T==，∴ω=2，∴f（x）=sin（4x﹣）﹣；由﹣+2kπ≤4x﹣≤+2kπ（k∈Z）得：﹣≤x≤+（k∈Z），∴f（x）的单调递增区间为[﹣，+]（k∈Z）；（2）∵△ABC的三边a，b，c成等比数列，且边b所对的角为x，∴b2=ac，又由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosx≥2ac﹣2accosx（当且仅当a=c时取等号），∴ac≥2ac﹣2accosx，∴cosx≥，由x∈（0，π），∴0＜x≤，﹣＜4x﹣≤，∴﹣sin（4x﹣）≤1，﹣1≤sin（4x﹣）﹣≤；∴函数f（x）的值域为[﹣1，]．22．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n（n∈N*），试求数列{a n}的通项公式a n．【解答】解：∵a1=1，a n+1=a n（n∈N*），∴=，∴=1×=．a1=1适合上式，故．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
内蒙古包头三十三中2014届高三上学期期中2考试数学(理)试题Word版含答案
包头市第三十三中学2013-2014学年度第一学期试卷高三年级期中（Ⅱ）理科数学命题人：周环在 审题：教科室 2013-11-14一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．复数 z 满足 z(1 + i) = 1 - 2i （ i 为虚数单位），则复数 z 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限 C.第三象限 D ．第四象限 2．设全集U=R ，(-2){|2<1},B={x|y=ln(1-x)},x x A x =则右图中阴影．．部分 表示的集合为 ( )A ．{x|x 1}≥B ．{x|12}x ≤< C. {x|0<1}x ≤ D ．{x|1}x ≤ 3. 已知m 、n 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,给出下列命题: ①若,//m αβα⊥,则m β⊥;②若,m n αβ⊥⊥,且,m n ⊥则αβ⊥; ③若,m β⊥//m α,则αβ⊥;④若//m α,//n β,且//m n ,则//αβ. 其中正确命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44. 定义在R 上的可导函数()f x ，已知()f x y e '=的图象如图所示，则()y f x =的增区间是（ ）A ．(,1)-∞B ．(,2)-∞C ．(0,1)D ．(1,2) 5. 已知数列{}n a 满足12430,3n n a a a ++==-,则{}n a 的前10项和等于（ ） A ．()10613--- B 。
()101139-- C. ()10313-- D ．()1031+3- 6. 若等差数列{}n a 满足234a S +=，3512a S +=，则47a S +的值是 （ ） A ．20 B ．24 C. 36 D ．727. △ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2OA AB AC ++=0， ||||OA AB =，则CA CB ⋅等于 ( )A ．32BC. 3 D．8. 若函数,,cos 3sin )(R x x x x f ∈+=ωω又,0)(,2)(=-=βαf f 且||βα-的最小值为,43π则正数ω的值为（ ） A.31 B. 32 C. 34 D. 23 9.某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是（ ） A．BC.10.已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+,若存在两项,m n a a使得1144,a m n=+则的最小值为 （ ） A ．32 B ． 53 C. 94D ．911．设,x y 满足约束条件04312x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则x y 的取值范围是（ ）A ．[]1,5B ．[]2,6C ．[]3,10D ．[]3,1112. 已知函数()f x =22,0ln(1),0x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩,若|()f x |≥ax ,则a 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞ B.(,1]-∞ C. [2,1]- D ．[2,0]- 二、填空题（每题5分，共20分。
内蒙古包头三十三中2014-2014学年高二上学期期中2考试物理(理)试题Word版含答案.pdf
包头市第三十三中学2013-2014学年第二学期 期中II试卷高二年级（理科综合） 物理部分 14．在5分钟内通过导体横截面积电荷量为1200 C，若导体的电阻为10 Ω，这时导体两端加的电压为( ) A．240 V B．120 V C．40 V D．50 V 15.如图所示，平行板电容器与电动势为E的直流电源（内阻不计）连接，下极板接地。
一带电油滴位于容器中的P点且恰好处于平衡状态。
现将平行板电容器的上极板竖直向上移动一小段距离（ ） A.带点油滴将沿竖直方向向上运动 B.P点的电势将降低 C.带点油滴的电势能将减少 D.若电容器的电容减小，则极板带电量将增大. 16．电动自行车因轻便、价格相对低廉、污染和噪音小而受到市民喜爱．某国产品牌电动自行车的铭牌如下，则此车所配电机的内阻为( ) 规格后轮驱动直流永磁电机车型：20′′电动自行车电机输出功率：175 W电源输出电压：≥36 V额定工作电压/电流：36 V/5 A整车质量：40 kg额定转速：240 r/min A.7.2 Ω B．7.0 Ω C．0.2 Ω D．7.4 Ω 17．三个相同的金属小球1、2、3分别置于绝缘支架上，各球之间的距离远大于小球的直径。
球1的带电量为q，球2的带电量为nq，球3不带电且离球1和球2很远，此时球1、2之间作用力的大小为F。
现使球3先与球2接触，再与球1接触，然后将球3移至远处，此时1、2之间作用力的大小仍为F，方向不变。
由此可知( ) A.n=6 B．n=5 C．n=4 D．n=3 18. 如图，E为内阻不能忽略的电池，R1、R2、R3为定值电阻，S0、S为开关，V与A分别为电压表与电流表。
初始时S0与S均闭合，现将S断开，( ) A. V的读数变大，A的读数变小 B. V的读数变大，A的读数变大 C. V的读数变小，A的读数变小 D. V的读数变小，A的读数变大 19．如右图所示，三个质量相同，带电荷量分别为+q、-q和0的小液滴a、b、c，从竖直放置的两板中间上方由静止释放，最后从两板间穿过，则在穿过极板的过程中( ) A．电场力对液滴a、b做的功相同 B．此过程中三者运动时间相同，a、b离开电场时速度的偏角相同和三者动能的增量也相同。
(全优试卷)内蒙古包头三十三中高二上学期期中考试理数试卷Word版含答案
包33中2017-2018学年度第一学期中Ⅰ考试高二年级数学（理）试卷命题人： 周环在2017.10.20一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
每题只有一个正确答案) 1．下列命题中正确的是( )A ．若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题B ．“x ＝5”是“x 2－4x －5＝0”的充分不必要条件C ．命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否定为：“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”D ．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋x －1<0，则p ⌝：∃x ∈R ，x 2＋x －1≥0 2．设x ，y ∈R ，则“x 2＋y 2≥4”是“x ≥2且y ≥2”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．下列命题中，真命题是( )A ．∀m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数B ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．∀m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数D ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数 4．下列命题错误的是( )A ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题为：“若方程x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤0”B ．“x ＝2”是“x 2－5x ＋6＝0”的充分不必要条件C ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题D ．对于命题：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则⌝p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0 5．若直线l 1：kx －y －3＝0和l 2：x ＋(2k ＋3)y －2＝0互相垂直，则k 等于( )A ．－3B ．－2C ．－12或－1D.12或1 6．直线x －y ＋5＝0与圆C ：x 2＋y 2－2x －4y －4＝0相交所截得的弦长等于( )A ．1B ．2C ．3D ．47．若双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝( )A. 3 B ．2 C ．3D ．68．若曲线ax 2＋by 2＝1为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ，b 满足( )A ．a 2>b 2 B.1a >1b C ．0<a <bD ．0<b <a9．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则P 到F 2的距离为( )A.32B. 3C.72D. 410．抛物线y ＝x 2上到直线2x －y ＝4距离最近的点的坐标是( )A ．(32，54)B ．(1，1)C ．(32，94)D ．(2，4)11．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2a －y 2b ＝1(a >b >0)有相同的左、右焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是( )A ．m －a B.12(m －a )C ．m 2－a 2 D.m －a12．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上的点A 满足AF 2⊥F 1F 2，若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P →·F 2A →的最大值为( )A.32B.332C.94D.154二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.14.已知对任意k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 25＋y 2m ＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围是___________15．已知点F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，在此椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝60°，且|PF 1|＝2|PF 2|，则此椭圆的离心率为_______________16．过点(2，0)引直线l与曲线y＝1－x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于________．三、简答题(共70分),写出必要的解题过程.17. (本小题满分10分) 已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有实根，q：不等式x2－2x＋m>0的解集为R.若命题“p∨q”是假命题，求实数m的取值范围．18. (本小题满分12分)已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝410.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程．19．(本小题满分12分)过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被Q所平分．(1)求AB所在直线方程；(2)求|AB|的长．20.(本小题满分12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2且过点P (4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2) 若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0；21．(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(－2，1)，长轴长为25，过点C (－1,0)且斜率为k 的直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B .(1)求椭圆的方程；(2)若线段AB 中点的横坐标是－12，求直线l 的斜率．22．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的一个顶点A(2，0)，离心率为22，直线y ＝k(x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N. (1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求实数k 的值．包33中2017-2018学年度第一学期中Ⅰ考试高二年级数学（理）试卷答案一、（每题5分，共60分）BADCA BACCB DB二、 （每题5分，共20分） 13: 4±15 14：[1，5)∪(5，＋∞) 15：33 16：－33三、简答题（满分70分）17：（满分10分） 若方程x 2＋mx ＋1＝0有实根，则m 2－4≥0.∴m ≤－2或m ≥2. 若不等式x 2－2x ＋m>0的解集为R ，则4－4m<0.∴m>1.又“p ∨q ”是假命题，∴p ，q 都是假命题．∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<m<2，m ≤1.∴－2<m ≤1.所以实数m 的取值范围为{m|－2<m ≤1}．18：（满分12分）答案 (1)x ＋y －3＝0(2)(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40 18解析 (1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)，∴直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. (2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又直径|CD |＝410，∴|P A |＝210.∴(a ＋1)2＋b 2＝40.由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)．∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40. 19：（满分12分）19.解 (1)方法一：设以Q 为中点的弦AB 端点的坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有 y 21＝8x 1，①y 22＝8x 2，②x 1＋x 2＝8，③y 1＋y 2＝2，④k ＝y 1－y 2x 1－x 2.⑤ 将③，④代入①－②，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)． ∴y 1－y 2＝4(x 1－x 2)，∴4＝y 1－y 2x 1－x 2.∴k ＝4.∴所求弦AB 所在直线方程为y －1＝4(x －4)， 即4x －y －15＝0.方法二：设弦AB 所在直线方程为y ＝k (x －4)＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k (x －4)＋1消去x ，得ky 2－8y－32k ＋8＝0.此方程的两根就是线段端点A ，B 两点的纵坐标，由韦达定理，得y 1＋y 2＝8k.又由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝8k .y 1＋y 2＝2，解得k ＝4.∴所求弦AB 所在直线方程为4x －y －15＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，4x －y －15＝0消去x ，得y 2－2y －30＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋1k 2·|y 1－y 2|＝1＋116·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝174·124＝527220：（满分12分） 解析 (1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．∵过点P (4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x 2－y 2＝6. (2)方法一：由(1)可知，在双曲线中，a ＝b ＝6，∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)．∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23.∴kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3.故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→＝0.方法二：∵MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2.∵M (3，m )在双曲线上， ∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0.∴MF 1→·MF 2→＝0.21．(本小题满分12分)解析 (1)∵椭圆长轴长为25，∴2a ＝2 5.∴a ＝ 5.又∵椭圆过点(－2，1)，代入椭圆方程，得(－2)25＋1b 2＝1.∴b 2＝53.∴椭圆方程为x 25＋y 253＝1，即x 2＋3y 2＝5.(2)∵直线l 过点C (－1,0)且斜率为k ，∴设直线方程为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝5，y ＝k (x ＋1)，得(3k 2＋1)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0.∵直线与椭圆相交， ∴Δ＝36k 4－4(3k 2＋1)(3k 2－5)>0，即12k 2＋5>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵线段AB 中点的横坐标是－12，则x 1＋x 2＝2×(－12)＝－1.即x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1＝－1，解得k ＝±33.22．(本小题满分12分)解析 (1)∵a ＝2，e ＝c a ＝22，∴c ＝2，b ＝ 2.椭圆C ：x 24＋y 22＝1.(2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 22＝1，消y ，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.∵直线y ＝k(x －1)恒过椭圆内一点(1，0)，∴Δ>0恒成立．由题意得x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k2.S △AMN ＝12×1×|y 1－y 2|＝12×|kx 1－kx 2|＝|k|2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝|k|216＋24k 21＋2k 2＝103.即7k 4－2k 2－5＝0，解得k ＝±1.。
【真题】15年内蒙古省包头三十三中高三(上)期中二考数学试卷含答案(理科)
2014-2015学年内蒙古省包头三十三中高三（上）期中二考数学试卷（理科）一、选择题（每题5分）1．（5分）设a，b∈R，集合{1，a+b，a}={0，，b}，则b﹣a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣22．（5分）如图所示的韦恩图中，A、B是非空集合，定义A*B表示阴影部分集合．若x，y∈R，，B={y|y=3x，x＞0}，则A*B=（）A．（2，+∞）B．[0，1）∪（2，+∞）C．[0，1]∪（2，+∞）D．[0，1]∪[2，+∞）3．（5分）下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，≤0 B．∀x∈R，2x＞x2C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件4．（5分）一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）A．B．（4+π）C．D．5．（5分）已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x在R 为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（）A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q46．（5分）若f（x）=，则f（x）的定义域为（）A．（，0）B．（，0]C．（，+∞）D．（0，+∞）7．（5分）设a=log3π，b=log2，c=log3，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a8．（5分）已知f（x）=是R上的增函数，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．9．（5分）函数f（x）=ln的图象只可能是（）A．B．C．D．10．（5分）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）B．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（1）C．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（﹣2）D．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（2）11．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位12．（5分）已知函数f（x）=x n+1（n∈N*）的图象与直线x=1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为x n，则log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012的值为（）A．1﹣log20132012 B．﹣1C．﹣log20132012 D．1二、填空题（每题5分）13．（5分）设变量x，y满足约束条件，且目标函数z1=2x+3y的最大值为a，目标函数z2=3x﹣2y的最小值为b，则a+b=．14．（5分）下列几个命题：①不等式＜x+1的解集为{x|x＜﹣2，或x＞2}；②已知a，b均为正数，且=1，则a+b的最小值为9；③已知x，y均为正数，且x+3y﹣2=0，则3x+27y+1的最小值为7；其中正确的有．（以序号作答）15．（5分）设a、b满足．16．（5分）若，，，则=．三、解答题17．（10分）已知函数f（x）=cos（+x）cos（﹣x），g（x）=sin2x﹣（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当x∈[，π]时，求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的最大值和最小值．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2c﹣a）cosB﹣bcosA=0．（Ⅰ）若b=7，a+c=13求此三角形的面积；（Ⅱ）求sinA+sin（C﹣）的取值范围．19．（12分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n=a n﹣1+n，（n≥2，n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．20．（12分）设f（x）=ae x++b（a＞0）（I）设曲线y=f（x）在点（2，f（2））的切线方程为y=x；求a，b的值．（II）求f（x）在[0，+∞）上的最小值．21．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．22．（12分）设函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（I）如果存在x1、x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；（II）如果对于任意的s、t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围..2014-2015学年内蒙古省包头三十三中高三（上）期中二考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分）1．（5分）设a，b∈R，集合{1，a+b，a}={0，，b}，则b﹣a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解：根据题意，集合，又∵a≠0，∴a+b=0，即a=﹣b，∴，b=1；故a=﹣1，b=1，则b﹣a=2，故选：C．2．（5分）如图所示的韦恩图中，A、B是非空集合，定义A*B表示阴影部分集合．若x，y∈R，，B={y|y=3x，x＞0}，则A*B=（）A．（2，+∞）B．[0，1）∪（2，+∞）C．[0，1]∪（2，+∞）D．[0，1]∪[2，+∞）【解答】解：A={x|y=}=[0，2]B={y|y=3x，x＞0}=[1，+∞）根据A*B表示阴影部分的集合可知A*B={x|x∈A或x∈B且x∉A∩B}∴A*B={x|0≤x≤1或x＞2}故选：C．3．（5分）下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，≤0 B．∀x∈R，2x＞x2C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件【解答】解：因为y=e x＞0，x∈R恒成立，所以A不正确；因为x=﹣5时2﹣5＜（﹣5）2，所以∀x∈R，2x＞x2不成立．a=b=0时a+b=0，但是没有意义，所以C不正确；a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件，显然正确．故选：D．4．（5分）一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）A．B．（4+π）C．D．【解答】解：由三视图知，几何体是一个组合体，是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体，圆柱的底面直径和母线长都是2，四棱锥的底面是一个边长是2的正方形，四棱锥的高与圆锥的高相同，高是=，∴几何体的体积是=，故选：D．5．（5分）已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x在R 为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（）A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q4【解答】解：易知p1是真命题，而对p2：y′=2x ln2﹣ln2=ln2（），当x∈[0，+∞）时，，又ln2＞0，所以y′≥0，函数单调递增；同理得当x∈（﹣∞，0）时，函数单调递减，故p 2是假命题．由此可知，q1真，q2假，q3假，q4真．故选：C．6．（5分）若f（x）=，则f（x）的定义域为（）A．（，0）B．（，0]C．（，+∞）D．（0，+∞）【解答】解：要使函数的解析式有意义自变量x须满足：即0＜2x+1＜1解得故选：A．7．（5分）设a=log3π，b=log2，c=log3，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【解答】解：∵∵，故选A8．（5分）已知f（x）=是R上的增函数，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得，解得≤a＜，故选：D．9．（5分）函数f（x）=ln的图象只可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由于函数f（﹣x）=ln =﹣ln=﹣f（x），故函数是奇函数，图象关于原点对称．由＞0 可得＜0，解得﹣1＜x＜1，故函数的定义域为（﹣1，1）．再由函数f（x）=ln=ln[]，函数在（﹣1，1）上是减函数，故函数f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，故选：A．10．（5分）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）B．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（1）C．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（﹣2）D．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（2）【解答】解：由函数的图象可知，f′（﹣2）=0，f′（2）=0，并且当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜1，f′（x）＜0，函数f（x）有极大值f（﹣2）．又当1＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，故函数f（x）有极小值f （2）．故选：D．11．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位【解答】解：由已知中函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象，过（，0）点，（）点，易得：A=1，T=4（）=π，即ω=2即f（x）=sin（2x+φ），将（）点代入得：+φ=+2kπ，k∈Z又由∴φ=∴f（x）=sin（2x+），设将函数f（x）的图象向左平移a个单位得到函数g（x）=sin2x的图象，则2（x+a）+=2x解得a=﹣故将函数f（x）的图象向右平移个长度单位得到函数g（x）=sin2x的图象，故选：A．12．（5分）已知函数f（x）=x n+1（n∈N*）的图象与直线x=1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为x n，则log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012的值为（）A．1﹣log20132012 B．﹣1C．﹣log20132012 D．1【解答】解：∵函数f（x）=x n+1（n∈N*）的图象与直线x=1交于点P，∴P（1，1），∵y=x n+1，∴y′=（n+1）x n，当x=1时，y′=n+1，即切线的斜率为：n+1，故y=x n+1在（1，1）处的切线方程为y﹣1=（n+1）（x﹣1），令y=0可得x=，即该切线与x轴的交点的横坐标为x n=，所以log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012=log2013×××…×==﹣1，故选：B．二、填空题（每题5分）13．（5分）设变量x，y满足约束条件，且目标函数z1=2x+3y的最大值为a，目标函数z2=3x﹣2y的最小值为b，则a+b=6．【解答】解：由约束条件得如图所示的阴影区域，由目标函数z1=2x+3y可得：y=﹣x+z1，显然当平行直线过点A，即的交点A（1，2）时，z1取得最大值为8；由目标函数z2=3x﹣2y可得：y=x﹣z2，显然当平行直线过点B（0，1）时，z2取得最小值为﹣2；a+b=6，故答案为：6．14．（5分）下列几个命题：①不等式＜x+1的解集为{x|x＜﹣2，或x＞2}；②已知a，b均为正数，且=1，则a+b的最小值为9；③已知x，y均为正数，且x+3y﹣2=0，则3x+27y+1的最小值为7；其中正确的有②③．（以序号作答）【解答】解：①不等式＜x+1化为（x+2）（x﹣1）（x﹣2）＞0，解得x＞2或﹣2＜x＜1，因此解集为{x|﹣2＜x＜1，或x＞2}，故不正确；②∵a，b均为正数，且=1，∴a+b=（a+b）=5+=9，当且仅当b=2a=6时取等号，因此最小值为9，正确；③∵x，y均为正数，且x+3y﹣2=0，∴3x+27y+1+1=+1=7，当且仅当x=3y=1时取等号，因此其最小值为7，正确．综上可得：其中正确的有②③．故答案为：②③．15．（5分）设a、b满足．【解答】解：设a＞0，b＞0，且2a+3b=6，则==≥，当且仅当即时，取得等号，故的最小值为，故答案为．16．（5分）若，，，则=．【解答】解：∵∴∵，∴，∴===故答案为：三、解答题17．（10分）已知函数f（x）=cos（+x）cos（﹣x），g（x）=sin2x﹣（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当x∈[，π]时，求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=cos（+x）cos（﹣x）=（cosx﹣sinx）（）=cos2x﹣sin2x=﹣=cos2x﹣，…4分函数f（x）的最小正周期为…5分（Ⅱ）h（x）=f（x）﹣g（x）==，…6分∵x∈[，π]，∴，∴，…8分∴≤≤，∴函数h（x）=f（x）﹣g（x）的最大值为，最小值为…10分18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2c﹣a）cosB﹣bcosA=0．（Ⅰ）若b=7，a+c=13求此三角形的面积；（Ⅱ）求sinA+sin（C﹣）的取值范围．【解答】解：由已知及正弦定理得：（2sinC﹣sinA）cosB﹣sinBcosA=0，即2sinCcosB﹣sin（A+B）=0，在△ABC中，由sin（A+B）=sinC故sinC（2cosB﹣1）=0，∵C∈（0，π），∴sinC≠0，∴2cosB﹣1=0，所以B=60°（3分）（Ⅰ）由b2=a2+c2﹣2accos60°=（a+c）2﹣3ac，即72=132﹣3ac，得ac=40（5分）所以△ABC的面积；（6分）（Ⅱ）因为==，（10分）又A∈（0，），∴，则sinA+sin（C﹣）=2sin（A+）∈（1，2]．19．（12分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n=a n﹣1+n，（n≥2，n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）a n﹣a n=n（n≥2，n∈N*）﹣1∴a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）=当n=1时满足上式，∴．（Ⅱ）∴S n=b1+b2+…+b n==20．（12分）设f（x）=ae x++b（a＞0）（I）设曲线y=f（x）在点（2，f（2））的切线方程为y=x；求a，b的值．（II）求f（x）在[0，+∞）上的最小值．【解答】解：（I）由题意得，，则，因为在点（2，f（2））的切线方程为y=x，所以，即，解得…（6分）（Ⅱ）设t=e x（t≥1），则原函数化为：，所以=，令y′=0，解得t=，（1）当a≥1时，则y′＞0在[1，+∞）上成立，所以函数在[1，+∞）上是增函数，则当t=1（x=0）时，函数f（x）取到最小值是；（2）当0＜a＜1时，≥2+b，当且仅当at=1（t=e x=＞1，则x=﹣lna）时，取等号，此时函数f（x）取到最小值是b+2，综上可得，当a≥1时，函数f（x）的最小值是；当0＜a＜1时，函数f（x）的最小值是b+2．…（12分）21．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，知a1=2满足该式，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n．（2分）（Ⅱ）∵（n≥1）①∴②（4分）②﹣①得：，b n+1=2（3n+1+1），故b n=2（3n+1）（n∈N*）．（6分）（Ⅲ）=n（3n+1）=n•3n+n，∴T n=c1+c2+c3+…+c n=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n）（8分）令H n=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，①则3H n=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1②①﹣②得：﹣2H n=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=∴，…（10分）∴数列{c n}的前n项和…（12分）22．（12分）设函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（I）如果存在x1、x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；（II）如果对于任意的s、t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取【解答】解：（I）存在x1、x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立等价于g（x）max﹣g（x）min≥M∵g（x）=x3﹣x2﹣3，∴∴g（x）在（0，）上单调递减，在（，2）上单调递增∴g（x）min=g （）=﹣，g（x）max=g（2）=1∴g（x）max﹣g（x）min =∴满足的最大整数M为4；（II）对于任意的s、t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立等价于f（x）≥g（x）．max由（I）知，在[，2]上，g（x）max=g（2）=1∴在[，2]上，f（x）=+xlnx≥1恒成立，等价于a≥x﹣x2lnx恒成立记h（x）=x﹣x2lnx，则h′（x）=1﹣2xlnx﹣x且h′（1）=0∴当时，h′（x）＞0；当1＜x＜2时，h′（x）＜0∴函数h（x ）在（，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，∴h（x）max=h（1）=1∴a≥1赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的xI ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性yxo①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
内蒙古包头三十三中2013-高二上学期期中2考试数学(理)
包头市三十三中2012级高二年级数学（理科）第一学期期中Ⅱ考试试卷命题人：李保宝 审题：教科室 2013-11-16一、选择题（每题5分）1、已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x ＋y ＝1}，则A ∩B 的元素个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】C【解析】因为圆心到直线的距离为12d r ==<=，所以直线与圆有两个交点，所以A ∩B 的元素个数为2.2、已知命题p ：“∀x ∈，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”， 若命题“p ∧q ”是真命题；则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．C ．D ．(－∞，1e ，4hslx3y3h 。
3、命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( ) A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数 B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数 C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数 D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数 【答案】C【解析】命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是“若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数”。
4、命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( ) A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 【答案】B【解析】命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是任意一个无理数，它的平方不是有理数。
5、下面四个条件中，使a ＞b 成立的充分而不必要的条件是( )A ．a ＞b ＋1B ．a ＞b －1C ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 3 【答案】A【解析】若a ＞b ＋1，则a ＞b 一定成立，反之若a ＞b ，则a ＞b ＋1不一定成立，所以a ＞b ＋1 是a ＞b 成立的充分而不必要条件。
内蒙古包头三十三中2014-高二上学期期中2考试数学(理)试题
包头市三十三中2012级高二年级数学（理科）第一学期期中Ⅱ考试试卷命题人：李保宝 审题：教科室 2013-11-16一、选择题（每题5分）1、已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x ＋y ＝1}，则A ∩B 的元素个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 2、已知命题p ：“∀x ∈，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”， 若命题“p ∧q ”是真命题；则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．C ．D ．(－∞，1hslx3y3h 3、命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( ) A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数 B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数 C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数 D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数4、命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( ) A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数5、下面四个条件中，使a ＞b 成立的充分而不必要的条件是( )A ．a ＞b ＋1B ．a ＞b －1C ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 3 6、“－3<m <5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7、已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．在△AF 1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )A ．6B ．5C ．4D ．3 8、在下列函数中，当x 取正数时，最小值为2的是( ) A ．y ＝－x －1x B ．y ＝lg x ＋1lg xC ．y ＝x 2＋1＋1x 2＋1D ．y ＝x 2－2x ＋39、函数y ＝x 2＋2x －1(x ＞1)的最小值是( )A ．23＋2 B ．23－2 C ．23D ．210、设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，x －y ≥－1，x ≥0，y ≥0且目标函数z1＝2x＋3y 的最大值为a ，目标函数z 2＝3x －2y 的最小值为b ，则a ＋b＝( )A ．10B ．－2C ．8D ．6 11、设a ，b 满足2a ＋3b ＝6，a ＞0，b ＞0，则2a ＋3b 的最小值为( )A.256 B. 83 C. 113D ．4 12、设m ＞1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为( )A ．(1，1＋2)B ．(1，2，＋∞)C ．(1，3)D ．(3，＋∞)二、填空题（每题5分）13、设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为________．14、在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B ＝15、椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为________．(离心率c e a=) 16、△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B ＝________．三、解答题17、（本小题满分10分）如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |，当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程。
内蒙古包头三十三中2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试卷
包33中2015～2016学年度第一学期期中Ⅱ考试高二年级数学（理）试卷2015年11月20日一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
每题只有一个正确答案) 1 集合A=｛0，2，a ｝,B=｛1,a 2｝.若A B=｛0，1，2，4，16｝，则a 的值为 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）42．函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为( )A ．(－4，－1)B ．(－4,1)C ．(－1,1)D ．(－1,1] 3．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( )A ．a 2>b 2B ．a |c |>b |c |C .1a <1bD.a c 2＋1>bc 2＋14．下列命题中正确的是( )A ．函数y ＝x ＋1x 的最小值为2 B ．函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值为2C ．函数y ＝2－3x －4x (x >0)的最小值为2－4 3D ．函数y ＝2－3x －4x (x >0)的最大值为2－4 35．设命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1>0，则⌝p 为( )A ．∃x 0∈R ，x 20＋1>0B ．∃x 0∈R ，x 20＋1≤0C ．∃x 0∈R ，x 20＋1<0D ．∀x ∈R ，x 2＋1≤06．下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是 （ ）A ．1a b +＞B ．1a b -＞C ．22a b ＞D ．33a b ＞7．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为( )A ．{x |－1<x <12}B ．{x |x <－1或x >12}C ．{x |－2<x <1}D ．{x |x <－2或x >1}8．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0，对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－2,2]C ．(－2,2)D ．(－∞，2)（ 第1页，共4页）9．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．510设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若63S S =3 ，则 69S S = （ ）（A ） 2 （B ）73 （C ） 83（D ）3 11．设直线nx ＋(n ＋1)y ＝2(n ∈N *)与两坐标轴围成的三角形面积为S n ，则S 1＋S 2＋…＋S 2 013的值为( )A.2 0102 011B.2 0112 012C.2 0122 013D.2 0132 01412 设,x y 满足约束条件360,20,0,0,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩若目标函数(0,z ax by a b =+＞＞0)的最大值为12，则23a b +的最小值为 （ ） （A ）256 (B) 83 (C) 113(D) 4二、填空题 （共4小题，每题5分，共20分） 13已知关于x 的不等式101ax x -<+的解集是()1,1,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭，则a = ； 14.若x>1，则22222-+-x x x 的最小值是 ，此时x ＝ ；15若不等式210x ax ++≥对任意的10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的最小值为 ；16．若f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，∀x 1∈[－1,2]，∃x 0∈[－1,2]，使g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是________．第2页，共4页 三 简答题(共70分),写出必要的解题过程.17．(本小题满分10分)已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立．若p 且q 为假，p 或q 为真，求实数a 的取值范围．18．(本小题满分12分)已知命题：“∃x ∈{x |－1<x <1}，使等式x 2－x －m ＝0成立”是真命题． (1)求实数m 的取值集合M ；(2)设不等式(x －a )(x ＋a －2)<0的解集为N ，若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，求实数a 的取值范围．19(本小题满分12分)已知()[)22,1,x x af x x x++=∈+∞。
内蒙古包头市第三十三中学14—15学年上学期高一期中一考试数学(理)(附答案)
内蒙古包头市第三十三中学14—15学年上学期高一期中一考试数学（理）试题一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
每题只有一个正确答案) 1. 已知集合}18|{<=x x M ，23=m ，则下列关系式中正确的是（ ）． A ．m ∈M B ．{m }∈M C ．M m ∉ D ． {m } M 2. 已知集合M={x|x ≥-1},N={x|2-x 2≥0},则MUN=( )A.[-1,+∞）B. [-∞) C. [-1 D.(- ∞,- ∞)3.下列函数是同一函数的是（ ）A. y x =和2x y x= B.y x =和2y =C. y x =和y =D. ||y x =和y =4 函数2()21f x x x =--的定义域 ( ) A.[1,1]- B. 11[1,)(,1]22--⋃- C. 11(1,)(,1)22--⋃- D. 11[1,)(,1)22--⋃-5设集合A={x|x+1>0},B={x|x≤a},若A∩B=φ,则实数a 的取值范围是（ ） A.a<-1 B. a≤-1 C. a>-1 D. a 》-16. 函数y ＝a x 在［0，1］上的最大值与最小值的和为3，则a ＝（ ） A 0.5 B 2 C 2.5 D 37. 若奇函数f （x ）在[a ，b]上是增函数，且最小值为1，则f （x ）在[-b ，-a]上是（ ） A.增函数且最小值是-1 B.增函数且最大值是-1 C.减函数且最小值是-1 D.减函数且最大值是-18. 已知()f x 是定义在 R 上的奇函数，当x>0时，2()231f x x x =+-，则当x<0时，()f x =（ ）A ．2x 2+3x-1B ．2-231x x +-C ．22-31x x -D ．2-2+3+1x x9 . 若函数y=a x +m-1(a>0)的图像在第一、三、四象限，则（ ）．A ．a >1且m<0B ．a >1C ．0＜a ＜1且m ＝0D ．0＜a ＜110. 已知函数y ＝-x 2＋4ax 在区间［1，+∞］上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A.1{|}2a a < B. 1{|}2a a ≤ C. 1{|}2a a > D. 1{|}2a a ≥ 11. 若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得xf(x)<0的x 的取值范围是( )A.(- 2,0)U （2, +∞) B 、(- ∞,- 2)U （0,2） C. (- ∞,- 2)U （2，+∞） D. (- 2,0)U （0, 2) 12. ()()2121x F x f x ⎛⎫=+∙ ⎪-⎝⎭，()0x ≠是偶函数，且()f x 不恒等于0，则()f x 是 （ ） A.是奇函数B.是偶函数C.可能是奇函数也可能是偶函数D.不是奇函数也不是偶函数二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分)13. 已知2{|210}M x ax x =-+=是单元素集合，则实数a 的值是 14 . 已知函数的单调增区间为 。
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2014-2015学年内蒙古包头三十三中高二（上）期中数学试卷（理科）（1）一.选择题：（每题5分，共60分）每小题给出的四个答案中，只有一个是正确的.1．（5分）sin（﹣π）=（）A．﹣B．C．﹣ D．2．（5分）已知向量=（x，2），=（﹣2，﹣x），若两向量方向相反，则x=（）A．﹣5 B．5 C．﹣2 D．23．（5分）化简的结果为（）A．﹣2 B．C．﹣1 D．14．（5分）在△ABC中，若，，B=120°，则a等于（）A．B．2 C．D．5．（5分）若α∈（0，），且sin2α+cos2α=，则tanα的值等于（）A．B．C．D．6．（5分）已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则∠C的大小为（）A．60°B．90°C．120° D．150°7．（5分）已知α，β都是锐角，若sinα=，sinβ=，则α+β=（）A．B． C．和D．﹣和﹣8．（5分）若α∈（0，2π），且sinα+cosα=﹣，则tanα=（）A．± B．或C．D．±9．（5分）已知向量，满足||=5，||=4，|﹣|=，则与的夹角θ=（）A．150°B．120°C．60°D．30°10．（5分）已知函数f（x）=cosxsinx（x∈R），给出下列四个命题：①若f（x1）=﹣f（x2），则x1=﹣x2②f（x）的最小正周期是2π③在区间[]上是增函数；④f（x）的图象关于直线x=对称．其中真命题是（）A．①②④B．①③C．②③D．③④11．（5分）函数向左平移个单位后是奇函数，则函数f（x）在上的最小值为（）A．B．C．D．12．（5分）在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，则△ABC该的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．正三角形D．等腰或直角三角形二．填空题（每题5分，共20分）13．（5分）若数列{a n}满足：a1=1，a n=a n﹣1+3n﹣2（n≥2），则a3=．14．（5分）求值：tan20°+tan40°+tan20°tan40°=．15．（5分）在△ABC中，AB=3，AC=2，=，则•=．16．（5分）已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为．三．解答题（共6小题，共70分）解答题应写出演算步骤.17．（10分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．18．（12分）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|﹣|=．（1）求cos（α﹣β）的值；（2）若0＜α＜，﹣＜β＜0，且sinβ=﹣，求sinα．19．（12分）如图，在某港口A处获悉，其正东方向20海里B处有一艘渔船遇险等待营救，此时救援船在港口的南偏西30°据港口10海里的C处，救援船接到救援命令立即从C处沿直线前往B处营救渔船．（Ⅰ）求接到救援命令时救援船据渔船的距离；（Ⅱ）试问救援船在C处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？（已知cos49°=）．20．（12分）叙述并证明正弦定理．21．（12分）已知函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx（ω＞0）的周期为．（1）求ω的值和f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC的三边a，b，c成等比数列，且边b所对的角为x，求此时函数f （x）的值域．22．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n（n∈N*），试求数列{a n}的通项公式a n．2014-2015学年内蒙古包头三十三中高二（上）期中数学试卷（理科）（1）参考答案与试题解析一.选择题：（每题5分，共60分）每小题给出的四个答案中，只有一个是正确的.1．（5分）sin（﹣π）=（）A．﹣B．C．﹣ D．【解答】解：sin（﹣π）=sin（10π﹣π）=sin=．故选：B．2．（5分）已知向量=（x，2），=（﹣2，﹣x），若两向量方向相反，则x=（）A．﹣5 B．5 C．﹣2 D．2【解答】解：向量=（x，2），=（﹣2，﹣x），若两向量方向相反，所以=（x，2）=﹣=﹣（﹣2，﹣x），所以x=2．故选：D．3．（5分）化简的结果为（）A．﹣2 B．C．﹣1 D．1【解答】解：==﹣=﹣1故选：C．4．（5分）在△ABC中，若，，B=120°，则a等于（）A．B．2 C．D．【解答】解：在△ABC中，若，，B=120°，则由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2ac•cosB，即6=a2+2﹣2a•（﹣），解得a=，或a=﹣2（舍去），故选：D．5．（5分）若α∈（0，），且sin2α+cos2α=，则tanα的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：由cos2α=1﹣2sin2α，得到sin2α+cos2α=1﹣sin2α=，则sin2α=，又α∈（0，），所以sinα=，则α=，所以tanα=tan=．故选：D．6．（5分）已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则∠C的大小为（）A．60°B．90°C．120° D．150°【解答】解：∵（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，∴c2=a2+b2+ab，由余弦定理可得，cosC====，∵0°＜C＜180°，∴C=120°，故选：C．7．（5分）已知α，β都是锐角，若sinα=，sinβ=，则α+β=（）A．B． C．和D．﹣和﹣【解答】解：∵α、β为锐角，sinα=，sinβ=，∴cosα==cosβ==∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=∴α+β=故选：A．8．（5分）若α∈（0，2π），且sinα+cosα=﹣，则tanα=（）A．± B．或C．D．±【解答】解：把sinα+cosα=﹣①＜0，两边平方得：（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，即2sinαcosα=＞0，∵α∈（0，2π），∴sinα＜0，cosα＜0，∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=，即sinα﹣cosα=或﹣②，联立①②，解得：sinα=﹣，cosα=﹣；sinα=﹣，cosα=﹣，则tanα==或，故选：B．9．（5分）已知向量，满足||=5，||=4，|﹣|=，则与的夹角θ=（）A．150°B．120°C．60°D．30°【解答】解：∵|﹣|=，∴=，又||=5，||=4，∴52+42﹣2×5×4cosθ=61，化为cosθ=﹣，∴θ=120°．故选：B．10．（5分）已知函数f（x）=cosxsinx（x∈R），给出下列四个命题：①若f（x 1）=﹣f（x2），则x1=﹣x2②f（x）的最小正周期是2π③在区间[]上是增函数；④f（x）的图象关于直线x=对称．其中真命题是（）A．①②④B．①③C．②③D．③④【解答】解：∵f（x）=cosxsinx=sin2x若f（x1）=﹣f（x2），则sin2x1=﹣sin2x2=sin（﹣2x2）∴2x1=﹣2x2+2kπ时满足条件，即x1+x2=kπ可以，故①不正确；由函数f（x）=sin2x知周期T=，故②不正确；令，得﹣，当k=0时，x∈[﹣，]，f（x）是增函数，故③正确；将x=代入函数f（x）得，f（）=﹣为最小值，故f（x）的图象关于直线x=对称，④正确．故选：D．11．（5分）函数向左平移个单位后是奇函数，则函数f（x）在上的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：把函数y=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位得到函数y=sin （2x++φ）的图象，因为函数y=sin（2x++φ）为奇函数，故+φ=kπ，因为，故φ的最小值是﹣．所以函数为y=sin（2x﹣）．x∈，所以2x﹣∈[﹣，]，x=0时，函数取得最小值为．故选：A．12．（5分）在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，则△ABC该的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．正三角形D．等腰或直角三角形【解答】解：∵△ABC中，b2tanA=a2tanB，∴由正弦定理得：，在三角形中，sinA≠0，sinB≠0，∴，∴sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，则sin2B=sin2A，∴A=B或2A=π﹣2B，∴A=B或A+B=，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选：D．二．填空题（每题5分，共20分）13．（5分）若数列{a n}满足：a1=1，a n=a n﹣1+3n﹣2（n≥2），则a3=12．【解答】解：∵数列{a n}满足：a1=1，a n=a n﹣1+3n﹣2（n≥2），∴a2=1+6﹣2=5，a3=5+9﹣2=12．故答案为：12．14．（5分）求值：tan20°+tan40°+tan20°tan40°=．【解答】解：tan60°=tan（20°+40°）==tan20°+tan40°+tan20°tan40故答案为：15．（5分）在△ABC中，AB=3，AC=2，=，则•=．【解答】解：如图所示，∵==，∴，∴•===﹣．故答案为：．16．（5分）已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为15．【解答】解：设三角形的三边分别为x﹣4，x，x+4，则cos120°==﹣，化简得：x﹣16=4﹣x，解得x=10，所以三角形的三边分别为：6，10，14则△ABC的面积S=×6×10sin120°=15．故答案为：15三．解答题（共6小题，共70分）解答题应写出演算步骤.17．（10分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，∵sinB≠0，∴sinA=，又A为锐角，则A=；（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，∴bc=，又sinA=，=bcsinA=．则S△ABC18．（12分）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|﹣|=．（1）求cos（α﹣β）的值；（2）若0＜α＜，﹣＜β＜0，且sinβ=﹣，求sinα．【解答】解：（1）=1，同理=1．∵|﹣|=，∴=，化为2﹣2（cosαcosβ+sinαsinβ）=，∴cos（α﹣β）=．（2）∵0＜α＜，﹣＜β＜0，且sinβ=﹣，∴0＜α﹣β＜π，=．∴sin（α﹣β）==．∴sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ==．19．（12分）如图，在某港口A处获悉，其正东方向20海里B处有一艘渔船遇险等待营救，此时救援船在港口的南偏西30°据港口10海里的C处，救援船接到救援命令立即从C处沿直线前往B处营救渔船．（Ⅰ）求接到救援命令时救援船据渔船的距离；（Ⅱ）试问救援船在C处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？（已知cos49°=）．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：△ABC中，AB=20，AC=10，∠CAB=120°，∴CB2=AB2+AC2﹣2AB•ACcos∠CAB…（3分）即CB2=202+102﹣2×20×10cos120°=700，，所以接到救援命令时救援船据渔船的距离为海里．…（6分）（Ⅱ）△ABC中，AB=20，，∠CAB=120°，由正弦定理得即∴…（9分）∵，∴∠ACB=41°，故救援船应沿北偏东710的方向救援．…（12分）20．（12分）叙述并证明正弦定理．【解答】正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即（2R三角形外接圆的直径）证明：在△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c．作CH⊥AB垂足为点HCH=a•sinBCH=b•sinA∴a•sinB=b•sinA得到同理，在△ABC中，，因为同弧所对的圆周角相等，所以，．21．（12分）已知函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx（ω＞0）的周期为．（1）求ω的值和f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC的三边a，b，c成等比数列，且边b所对的角为x，求此时函数f （x）的值域．【解答】解：（1）∵f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx=sin2ωx﹣=sin （2ωx﹣）﹣，其周期T==，∴ω=2，∴f（x）=sin（4x﹣）﹣；由﹣+2kπ≤4x﹣≤+2kπ（k∈Z）得：﹣≤x≤+（k∈Z），∴f（x）的单调递增区间为[﹣，+]（k∈Z）；（2）∵△ABC的三边a，b，c成等比数列，且边b所对的角为x，∴b2=ac，又由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosx≥2ac﹣2accosx（当且仅当a=c时取等号），∴ac≥2ac﹣2accosx，∴cosx≥，由x∈（0，π），∴0＜x≤，﹣＜4x﹣≤，∴﹣sin（4x﹣）≤1，﹣1≤sin（4x﹣）﹣≤；∴函数f（x）的值域为[﹣1，]．22．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n（n∈N*），试求数列{a n}的通项公式a n．【解答】解：∵a1=1，a n+1=a n（n∈N*），∴=，∴=1×=．a1=1适合上式，故．。