二项式定理 课件
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二项式定理
二项式定理
二项式 (a＋b)n＝ Can＋Can－1b＋…
定理
＋Can－kbk＋…＋Cbn (n∈N*)
二项展开式 公式 右边的式子
二项式系数 C(k∈{0，1，2，…，n})
二项展开式
的通项
Tk＋1＝
Cknan－kbk
通项公式中的注意点 (1)Tk＋1 是展开式中的第 k＋1 项，而不是第 k 项； (2)公式中 a，b 的指数和为 n，且 a，b 不能随便颠倒位置； (3)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题； (4)对二项式(a－b)n 展开式的通项公式要特别注意符号问题．
运用二项式定理的解题策略 (1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开， 展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字 母是升幂．形如(a－b)n 的展开式中会出现正负间隔的情况．对 较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开． (2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求 解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的 系数． [注意] 逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是
【答案】 (1)C (2)－20
(1)两个二项展开式乘积的展开式中的特定项问题 ①分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点． ②找到构成展开式中特定项的组成部分． ③分别求解再相乘，求和即得． (2)三项或三项以上的展开问题 应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为 计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结 合，项与项结合时要注意合理性和简捷性．
n－3
＝－2C1nx 2 ，
依题意得 4C2n＋2C1n＝162，
所以 2C2n＋C1n＝81，
所以 n2＝81，n＝9.
(2)设第 r＋1 项含 x3 项，则 Tr＋1＝Cr9( x)9－r(－2x)r
9－3r
＝(－2)rC9rx 2
，
所以9－23r＝3，r＝1，所以第二项为含 x3 的项：
T2＝－2C19x3＝－18x3.
因为 0≤r≤9，r∈N，所以 r＝1，3，5，7，9，
即展开式中的有理项共 5 项，它们是 T2＝－18x3，T4＝－672，
T6＝－4 x0332，T8＝－4 x6608，T10＝－5x192.
(1)求二项展开式特定项的步骤
(2)正确区分二项式系数与该项的系数 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的 指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式，二项式的指 数及项数均有关．
探究点 1 二项式定理的正用与逆用 (1)用二项式定理展开1＋1x4；
(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．
【解】 (1)法一：1＋1x4＝1＋C141x＋C241x2＋C341x3＋1x4＝1 ＋4x＋x62＋x43＋x14.
法二：1＋1x4＝1x4(x＋1)4＝1x4·(x4＋C14x3＋C24x2＋C34x＋1)＝1 ＋4x＋x62＋x43＋x14. (2)原式＝C05(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C35(x－1)2＋C45(x －1)＋C55(x－1)0－1 ＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
探究点 3 二项式定理的灵活应用
(1)(x2＋x＋y)5 的展开式中，x5y2 的系数为( )
A．10
B．20
C．30
D．60
(2)(2018·三明高二检测)(x－y)(x＋y)8 的展开式中 x2y7 的系数为
________．(用数字填写答案)
【解析】 (1)法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5， 含 y2 的项为 T3＝C25(x2＋x)3·y2. 其中(x2＋x)3 中含 x5 的项为 C13x4·x＝C13x5. 所以 x5y2 的系数为 C25C13＝30.故选 C. 法二：(x2＋x＋y)5 为 5 个 x2＋x＋y 之积，其中有两个取 y，两 个取 x2，一个取 x 即可，所以 x5y2 的系数为 C25C23C11＝30.故选 C.
(a－b)n 的形式．
探究点 2 求二项展开式中的特定项或其系数 已知( x－2x)n 展开式中第三项的系数比第二项的系数
大 162，求： (1)n 的值； (2)展开式中含 x3 的项．
【解】
(1)因为 T3＝C2n(
x)n－2(－2x)2＝4C2nx
n－6 2
，
T2＝C1n( x)n－1(－2x)
1．[变问法]在本例条件下，求二项展开式的常数项．
9－3r
解：因为 Tr＋1＝(－2)rCr9x 2 ，若 Tr＋1 为常数项，则 9－3r
＝0，所以 r＝3，因此常数项为第 4 项(－2)3C39＝－672.
2．[变问法]在本例条件下，求二项展开式的所有有理项．
9－3r
解：wenku.baidu.com为 Tr＋1＝(－2)rCr9x 2 ， 若 Tr＋1 为有理项，当且仅当9－23r为整数．
(2)依题意，(x＋y)8 的二项展开式的通项为 Tk＋1＝Ck8x8－kyk，0≤ k≤8，k∈Z. 当 k＝7 时，T8＝C78xy7＝8xy7； 当 k＝6 时，T7＝C68x2y6＝28x2y6. 所以(x－y)(x＋y)8的展开式中含 x2y7的项为 x·8xy7＋(－y)·28x2y6 ＝－20x2y7，故 x2y7 的系数为－20.
二项式定理
二项式 (a＋b)n＝ Can＋Can－1b＋…
定理
＋Can－kbk＋…＋Cbn (n∈N*)
二项展开式 公式 右边的式子
二项式系数 C(k∈{0，1，2，…，n})
二项展开式
的通项
Tk＋1＝
Cknan－kbk
通项公式中的注意点 (1)Tk＋1 是展开式中的第 k＋1 项，而不是第 k 项； (2)公式中 a，b 的指数和为 n，且 a，b 不能随便颠倒位置； (3)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题； (4)对二项式(a－b)n 展开式的通项公式要特别注意符号问题．
运用二项式定理的解题策略 (1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开， 展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字 母是升幂．形如(a－b)n 的展开式中会出现正负间隔的情况．对 较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开． (2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求 解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的 系数． [注意] 逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是
【答案】 (1)C (2)－20
(1)两个二项展开式乘积的展开式中的特定项问题 ①分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点． ②找到构成展开式中特定项的组成部分． ③分别求解再相乘，求和即得． (2)三项或三项以上的展开问题 应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为 计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结 合，项与项结合时要注意合理性和简捷性．
n－3
＝－2C1nx 2 ，
依题意得 4C2n＋2C1n＝162，
所以 2C2n＋C1n＝81，
所以 n2＝81，n＝9.
(2)设第 r＋1 项含 x3 项，则 Tr＋1＝Cr9( x)9－r(－2x)r
9－3r
＝(－2)rC9rx 2
，
所以9－23r＝3，r＝1，所以第二项为含 x3 的项：
T2＝－2C19x3＝－18x3.
因为 0≤r≤9，r∈N，所以 r＝1，3，5，7，9，
即展开式中的有理项共 5 项，它们是 T2＝－18x3，T4＝－672，
T6＝－4 x0332，T8＝－4 x6608，T10＝－5x192.
(1)求二项展开式特定项的步骤
(2)正确区分二项式系数与该项的系数 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的 指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式，二项式的指 数及项数均有关．
探究点 1 二项式定理的正用与逆用 (1)用二项式定理展开1＋1x4；
(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．
【解】 (1)法一：1＋1x4＝1＋C141x＋C241x2＋C341x3＋1x4＝1 ＋4x＋x62＋x43＋x14.
法二：1＋1x4＝1x4(x＋1)4＝1x4·(x4＋C14x3＋C24x2＋C34x＋1)＝1 ＋4x＋x62＋x43＋x14. (2)原式＝C05(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C35(x－1)2＋C45(x －1)＋C55(x－1)0－1 ＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
探究点 3 二项式定理的灵活应用
(1)(x2＋x＋y)5 的展开式中，x5y2 的系数为( )
A．10
B．20
C．30
D．60
(2)(2018·三明高二检测)(x－y)(x＋y)8 的展开式中 x2y7 的系数为
________．(用数字填写答案)
【解析】 (1)法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5， 含 y2 的项为 T3＝C25(x2＋x)3·y2. 其中(x2＋x)3 中含 x5 的项为 C13x4·x＝C13x5. 所以 x5y2 的系数为 C25C13＝30.故选 C. 法二：(x2＋x＋y)5 为 5 个 x2＋x＋y 之积，其中有两个取 y，两 个取 x2，一个取 x 即可，所以 x5y2 的系数为 C25C23C11＝30.故选 C.
(a－b)n 的形式．
探究点 2 求二项展开式中的特定项或其系数 已知( x－2x)n 展开式中第三项的系数比第二项的系数
大 162，求： (1)n 的值； (2)展开式中含 x3 的项．
【解】
(1)因为 T3＝C2n(
x)n－2(－2x)2＝4C2nx
n－6 2
，
T2＝C1n( x)n－1(－2x)
1．[变问法]在本例条件下，求二项展开式的常数项．
9－3r
解：因为 Tr＋1＝(－2)rCr9x 2 ，若 Tr＋1 为常数项，则 9－3r
＝0，所以 r＝3，因此常数项为第 4 项(－2)3C39＝－672.
2．[变问法]在本例条件下，求二项展开式的所有有理项．
9－3r
解：wenku.baidu.com为 Tr＋1＝(－2)rCr9x 2 ， 若 Tr＋1 为有理项，当且仅当9－23r为整数．
(2)依题意，(x＋y)8 的二项展开式的通项为 Tk＋1＝Ck8x8－kyk，0≤ k≤8，k∈Z. 当 k＝7 时，T8＝C78xy7＝8xy7； 当 k＝6 时，T7＝C68x2y6＝28x2y6. 所以(x－y)(x＋y)8的展开式中含 x2y7的项为 x·8xy7＋(－y)·28x2y6 ＝－20x2y7，故 x2y7 的系数为－20.