同济大学线性代数期末考试试题(多套)

__
⎜⎛ ⎜
3 0
0 3
0 0
⎟⎞ ⎟
_________.
⎜⎝ 0 0 −1⎟⎠
6、 设η0 是非齐次线性方程组 Ax = b 的特解，ξ1,ξ2 ,L,ξs 是齐次方程组 Ax = 0 的 基础解系，则以下命题中错误的是 B .
(A) η0 ,η0 − ξ1,η0 − ξ2 ,L,η0 − ξs 是 Ax = b 的一组线性无关解向量；
R( A*) =
.
3、 设实二次型 f (x1, x2 , x3 ) = kx12 + x22 + kx32 + 2x1x3 为正定二次型，则 k 的取值范围
是
.
⎛ −2 0 k ⎞
4、
设矩阵
A
=
⎜ ⎜⎜⎝
k 1
6 0
−11⎟⎟⎟⎠ 有两重特征值-1，则行列式 A − 5E =
.
5 、 设 A 为 3× 4 阵 ， 非 齐 次 线 性 方 程 组 Ax = b 有 解 ， 其 解 向 量 组 的 秩 为 2 ， 则
同济大学课程考核试卷（A 卷） 2009—2010 学年第一学期
一、填空题（每空 3 分，共 24 分）
1、 设α1 、α 2 、α3 均为 3 维列向量，已知矩阵 A = (α1,α2 ,α3 ) ,
B = (α1 + α2 + α3，3α1 + 9α2 + 27α3, 2α1 + 4α2 + 8α3 ) ，且 A = 1，那么 B =
(B) 向量组 β + α1 ，α2 ，α3 线性无关.
(C) β 由α1 ，α2 ，α3 线性表示的表达式唯一.
(D) 向量组 β − α1 ，α1 + α2 ，α1 + α3 线性相关.
8、设 A 为 n 阶方阵，已知 R( A) = n ，则下面说法不正确的是
.
(A) A 的列向量组一定是线性无关的. (B) A 的特征值一定都不等于零. (C) A 一定有 n 个线性无关的特征向量.
( ) 五、（20 分）已知二次型 f x1, x2 , x3 = x12 + x22 + 4x32 + 4x1x2 − 2x1x3 − 2x2 x3 ,
⎛1⎞
(1). 设矩阵 A 为二次型 f ( x1, x2 , x3 ) 所对应的对称阵, 试证 ⎜⎜1⎟⎟ 为 A 与 A4 共同的特征向
⎜⎝1⎟⎠
⎜⎝ −1 0 2 ⎟⎠
求矩阵 B . 三、（10 分）已知α 1 ，α 2 ，α 3 与 β 1 ，β 2 ，β 3 为所有 3 维实向量构成的线性空间 R3 的两组
⎛ 0 2 −1⎞
基,
α 1 ，α
2，α
3
到
β1
，β
2
，β
3
的过渡矩阵为
P
=
⎜ ⎜
−1
0
⎜⎝ 1 0
2
⎟ ⎟
且
0 ⎟⎠
⎛1⎞
⎛1⎞
量.
(2). 用正交变换将此二次型化为标准型.
六、（12 分）
设 a1, a2 , a3 为 3 维线性空间V 的一组基, V 上的线性变换 T 在 a1, a2 , a3 下的矩阵为
⎛1 2 4⎞
A
=
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
1 2
0 1
⎟ ⎟⎟⎠
(1). 求线性变换 T 在V 的基 a1, a1 + a2 , a1 + a3 下的矩阵; (2). 试证V 中不存在一组基使 T 在该基下的矩阵为对角阵.
(A). A 可逆
数）
(C). A 的列向量组线性无关
时,推理“若 AB = O ， 则 B = O ”可成 (B). A 为列满秩（即 A 的秩等于 A 的列 (D). A ≠ O
7、 设矩阵 A, B 分别为 3 维线性空间V 中的线性变换T 在某两组基下的矩阵，已知1, −2 为
A 的特征值， B 的所有对角元的和为 5 ， 则矩阵 B 的全部特征值为 1,-2,6
R(A) =
.
⎛ 1 0 2⎞
6、
设矩阵
A
=
⎜ ⎜
k
3
3
⎟ ⎟
可对角化，则
k
=
.
⎜⎝ −1 0 4 ⎟⎠
7 、 设 向 量 组 α1 ， α2 ， α3 线 性 相 关 ， 向 量 β = α1 + α2 + α3 ， 则 下 面 说 法 正 确 的
是
.
(A) 向量组 β ，α2 ，α3 线性无关.
化为标准型.
六、（14 分）设V 为所有 2 阶方阵在矩阵的加法和数乘下构成的线性空间.定义V 上的变换 T
如下：
对任意
X
∈V
，T
(X
)
=
AX
−
XT
A ，其中
A
=
⎛1
⎜ ⎝
−2
2 1
⎞ ⎟ ⎠
，
XT
表示
X
的转置矩阵．
(1). (6 分)证明 T 是V 上的一个线性变换；
(2).
(8
分)求 T
在V
的基 E11
(D) 非齐次线性方程组 Ax = β 一定只有唯一解.
二、(12 分)
⎧
设有非齐次线性方程组
⎪ ⎨
x1 (1 − λ)x1
+ +
x2 (1 − λ)x2
+ +
(1 − λ)x3 x3
=1 =1 ，
⎪⎩(5 − 3λ)x1 + (1 − λ)x2 +
x3 = λ
问 λ 取何值时，该方程组有唯一解、无解或有无穷多解？当解不唯一时，求出所有的解.
=
⎛ ⎜ ⎝
1 0
0 0
⎞ ⎟ ⎠
,
E12
=
⎛0
⎜ ⎝
0
1 0
⎞ ⎟ ⎠
,
E21
=
⎛ ⎜ ⎝
0 1
0 0
⎞ ⎟ ⎠
,
E22
=
⎛0
⎜ ⎝
0
0 1
⎞ ⎟ ⎠
下的
矩阵.
七 、 (1). (8 分 ) 已 知 向 量 组 a1, a2 ,L, an 线 性 无 关 , 向 量 组 b1, b2 ,L, bn 满 足 ：
(B) 2η0 + ξ1 + ξ2 +L + ξs 是 Ax = b 的解；
(C) Ax = b 的每个解均可表为η0 ,η0 + ξ1,η0 + ξ2 ,L,η0 + ξs 的线性组合.
7、 设 4 阶矩阵 A 有一个特征值为 −2 且满足 AAT = 5E ， | A | > 0 ，则其伴随矩阵 A∗ 的一
矩阵 P ， X 满足 PA = B , PX = C . 求矩阵 X .
三、（10分）设线性方程组
⎧ ⎪ ⎨
x1 − 3x2 x1 − 4x2
− x3 − ax3
=0 =b
，
⎪⎩2x1 − x2 + 3x3 = 5
问当参数 a, b 取何值时，
(1). 此方程组无解? (2). 此方程组有唯一解? (3).此方程组有无穷多解?
四、（10 分）设 A 为 4 阶方阵，4 维列向量 b ≠ 0 ， R( A) = 2 .若 p1, p2 , p3, p4 都是非齐次
方程组 Ax = b 的解向量，且满足
⎛2⎞
p1
+
p2
=
⎜ ⎜ ⎜
2 0
⎟ ⎟ ⎟
,
⎜⎟ ⎝4⎠
⎛3⎞
p2
+
p3
=
⎜ ⎜ ⎜
0 1
⎟ ⎟ ⎟
,
⎜⎟ ⎝2⎠
⎛2⎞
p3
的特征向量，α3,α4 为 A 相应于 λ2 的两个线性无关的特征向量，证明向量组α1,α2 ,α3,α4 线
性无关.
同济大学课程考核试卷（B 卷） 2009—2010 学年第一学期
一、填空题（每空 3 分，共 24 分）
1 、 已 知 4 阶 方 阵 为 A = (α2 , α1, α3 , β1 ) , B = (α1, 2α2 , α3 , β2 ) , 且 A = −4 ，
B = −2 ，则行列式 A + B = 6
.
1131
1000
2、 设行列式 D = 2
1
0
3 ， Ai j 是 D 中元素 ai j 的代数余子式，则 A41 + A4 2 =
4512
-9 .
⎛a 2 2⎞
3、 已知矩阵
A
=
⎜ ⎜
2
a
2
⎟ ⎟
，伴随矩阵
A∗
≠
0 ，且
A∗ x
=
0 有非零解，则
C
.
⎛1⎞
α1
=
⎜ ⎜
0
⎟ ⎟
,
α
2
=
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
,
α
3
=
⎜⎜1⎟⎟ ,
⎜⎝ 0⎟⎠
⎜⎝ 0⎟⎠
⎜⎝1⎟⎠
试求：(1) 基 β 1 ，β 2 ，β 3 ；(2) 在基 α1,α 2 ,α 3 与 β1 , β 2 , β3 下有相同坐标的全体向量.
四、（10 分）设 A = (α 1，α 2，α 3，α 4 ) 为 4 阶方阵，其中 α 1，α 2，α 3，α 4 是 4 维列向量， 且 α 2，α 3, α 4 线性无关，α 4 = α 1 + α 2 + α 3 .已知向量 β = α 1 + α 2 + α 3 + α 4 ，试求 线性方程组 A x = β 的通解.
七、(14 分) 证明题:
(1). 设 A 为 2 阶实方阵,且 A = −1,试证 A 可对角化.
(2).
设 向 量 组 {a1, a2 , a3 , a4} 线 性 无 关 ，
b1 = a1 + k1a4 , b2 = a2 + k2a4 , b3 = a3 + k3a4 , b4 = a4
证明向量组 b1, b2 , b3 , b4 线性无关．
同济大学课程考核试卷（A 卷）
2009—2010 学年第二学期
一、(24 分) 填空与选择题，其中选择题均为单选题.
⎛6 y 5⎞
1、
设
A
=
⎜ ⎜⎜⎝
1 x
0 2
4 3
⎟ ⎟⎟⎠
，则
A
中元素
y
的代数余子式的值为
.
⎛1 0 0⎞
2、
设
3
阶方阵
A
与对角阵
⎜ ⎜
0
2
0
⎟ ⎟
相似，则
A
的伴随矩阵
A*
的秩
⎜⎝ 0 0 0⎟⎠
.
8、 设 Jn 是所有元素均为 1 的 n 阶方阵( n ≥ 2 )，则 Jn 的互不相同的特征值的个数为
2.
⎛2 0 0⎞
⎛1 0 0⎞
⎛1 1 2 ⎞
二、（10
分）已知矩阵
A
=
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
1 3
1 1
⎟ ⎟⎟⎠
，
B
=
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
5 2
2 1
⎟ ⎟⎟⎠
,
C
=
⎜ ⎜⎜⎝
1 0
0 3
−01⎟⎟⎠⎟ .
2 3 41
3 4 51
3、 设 D =
，则 D 的第一列上所有元素的代数余子式之和为 0
.
4 5 61
7 8 91
4、 设向量组(I):α1,α2 ,L,αr 可由向量组(II): β1, β2 ,L, βs 线性表示，则
D
成立.(注：此题单选)
(A)．当 r < s 时，向量组（II）必线性相关
关
(C)．当 r < s 时，向量组（I）必线性相关
关
(B)．当 r > s 时，向量组（II）必线性相 (D)．当 r > s 时，向量组（I）必线性相
5、 已知方阵 A 满足 2 A2 + 3A = O , 则 ( A + E )−1 = E+2A
.
6、 当矩阵 A 满足下面条件中的 ABC
立. （注：此题可多Leabharlann Baidu）
个特征值为
− 25
.
2
8、 已知实二次型 f (x1, x2 , x3 ) = x12 + 2x22 + 6x32 + 2ax1x3 + 4x2 x3 正定,则常数 a 的取值
范围为 (-2,2)
.
⎛ 1 −1 0 ⎞
二、（10
分）设矩阵
A 的伴随矩阵
A*
=
⎜ ⎜
0
1 −1⎟⎟ ，且 A > 0 ，ABA−1 = BA−1 + 3E ，
三、(10 分)
设
X
⎛0
⎜ ⎝
B
矩阵 X .
⎛1
A 0
⎞ ⎟ ⎠
+
p4
=
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
⎜0⎟
⎜⎟ ⎝1⎠
(1).(6 分) 求齐次方程组 Ax = 0 的一个基础解系. (2).(4 分) 求 Ax = b 的通解.
五、（16 分）将二次型 f (x1, x2 , x3 ) = x12 + 4x22 + 6x32 + 4x1x2 + 4x1x3 + 8x2 x3 用正交变换
⎜⎝ 2 2 a ⎟⎠
(A) a = 2 ； (C) a = −4 ；
(B) a = 2 或 a = −4 ； (D) a ≠ 2 且 a ≠ −4 .
4、 向量组α 1 ，α
2 ，L，α
s
(s
≥2)
线性无关，且可由向量组 β 1 ，β
2 ，L，β
线性表示，
s
则以下结论中不能成立的是 B .
(A) 向量组 β 1 ，β 2 ，L，β s 线性无关；
⎧b1 = a1 + a2
⎪⎪⎪b2 ⎨
=
a2 M
+
a3
，
⎪⎪bn−1 = an−1 + an
⎪⎩bn = an + a1
分别讨论当 n = 4 和 n = 5 时，向量组 b1, b2 ,L, bn 是否线性相关？
(2). (8 分)设 λ1, λ2 为方阵 A 的两个不同的特征值， α1,α2 为 A 相应于 λ1 的两个线性无关
-12 .
2、
设分块矩阵 C
=
⎛ ⎜ ⎝
A O
O B
⎞ ⎟ ⎠
,
A, B 均为方阵，则下列命题中正确的个数为
4
.
(A).若 A, B 均可逆, 则 C 也可逆.
(B).若 A, B 均为对称阵, 则 C 也为对称阵.
(C).若 A, B 均为正交阵, 则 C 也为正交阵. (D).若 A, B 均可对角化, 则 C 也可对角化.
(B) 对任一个α j (1≤ j ≤ s ) ，向量组α j ，β 2 ，L，β s 线性相关；
(C) 向量组α 1 ，α 2 ，L，α s 与向量组 β 1 ，β 2 ，L，β s 等价.
5、
⎛ 0 −1 0 ⎞
已知
3
阶矩阵
A
与
B
相似且
A
=
⎜ ⎜
1
0
0
⎟ ⎟
,
则
⎜⎝ 0 0 −1⎟⎠
B2012 − 2 A2 =___