新版高中数学北师大版必修3课件:第一章统计 1.8

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答案:A
反思与以往的直线方程y=ax+b不同,在线性回归方程中,参数a,b 的位置正好相反.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 已知x,y之间的一组数据如下表:
x23456 y34689
对于表中数据,现给出如下拟合直线:①y=x+1;②y=2x-1;③y=
8 5
������

2 5
;
④������
������
=
85,
∴a= ������ − ������������ = − 25.
∴y=
8 5
������

2 5
,
故填③.
答案:③
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
线性回归方程及其简单应用
【例3】 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程
中记录的产量x(单位:t)与相应的生产能耗y(单位:吨标准煤)的几组
������
,
������ = ������-������������.
a,b是线性回归方程的系数.
知识梳理
【做一做1】 在最小二乘法中,用来刻画各样本点到直线 y=a+bx“距离”的量是( )
A.|yi−������| B. (������������ − ������)2 C.|yi-(a+bxi)| D.[yi-(a+bxi)]2 解析:最小二乘法的定义明确给出,用[yi-(a+bxi)]2来刻画各个样本 点与这条直线之间的“距离”(即二者之间的接近程度),用它们的和 表示这些点与这条直线的接近程度. 答案:D
答案:A
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
求线性回归方程
【例 2】某化工厂为预测某产品的回收率 y,需要研究它和原料
有效成分含量之间的相关关系.现取了
8
对观测值,计算得:
8

���������2���
=
������=1
8
8
8
52,
i∑=1yi
=
228,
∑ ���������2���
������=1
=
12345
随堂演练
1.若有一个回归方程为y=2-1.5x,则变量x每增加1个单位长度时,变 量y( ) A.平均增加1.5个单位长度 B.平均增加2个单位长度 C.平均减少1.5个单位长度 D.平均减少2个单位长度 答案:C
12345
2.已知下表是x与y之间的一组数据,则y关于x的回归直线必经过点 ()
知识梳理
(2)求线性回归方程的步骤
①分别计算������, ������, ������1������1 + ������2������2 + ⋯ + ������������������������, ������12 + ������22 + ⋯ + ���������2��� ;
②分别计算b,a; ③代入y=a+bx即得线性回归方程.
二乘法.其中a,b的值由以下公式给出:
������
=
������1������1 + ������2������2 + … + ������������������������-������������ ������12 + ������22 + … + ���������2���-������������2
知识梳理
【做一做2-1】 由一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)得到线性 回归方程y=bx+a,下面说法不正确的是 ( )
答案:B
知识梳理
【做一做2-2】 已知某工厂在某年里每月生产产品的总成本y(单
位:万元)与该月产量x(单位:万件)之间的线性回归方程为
y=0.974+1.215x,计算当x=2时,总成本y的估计值为
8
然后利用线性回归方程的计算公式得b=
������=∑1xiyi-8x y i=∑81���������2��� -8������2
=
1 84497-88-×8×6.65.×5228.5≈2.62,a= ������ − ������������≈11.47,因此线性回归方程为
y=11.47+2.62x.
知识梳理
2.线性回归方程
(1)线性回归方程的概念

n
个样本点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),则������
=
������1+������2+…+������������ ������
,
������
=
������1+������2+…+������������ ������
,

b
478,
������∑=1xiyi
=
1
849,
则������对������的线性回归方程是( )
A.y=11.47+2.62x B.y=-11.47+2.62x C.y=2.62+11.47x D.y=11.47-2.62x
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
解析:利用题目中的已知条件可以求出������ = 6.5, ������ = 28.5,
对照数据:
x3
456
y 2.5 3 4 4.5
(1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归 方程y=bx+a; (3)已知该厂技术改造前100 t甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试 根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100 t甲产品的生产能耗比 技术改造前降低多少吨标准煤.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
【变式训练1】 为了考察两个变量x和y之间的线性相关性,甲、 乙两位同学各自独立地做10次和15次试验,并且利用线性回归法, 求得线性回归直线分别为l1和l2,已知两个人在试验中发现对变量x 的观测数据的平均值都是s,对变量y的观测数据的平均值都是t,则 下列说法正确的是( )
=
知识梳理
注意:①线性回归直线是与n个样本点距离最近的直线; ②线性回归方程的系数是用最小二乘法思想求出来的,虽然求的
过程中主要用二次函数最值的求法,但运算较繁,教材上不作要求;
③a,b的值被n个样本点唯一确定,n个样本点坐标给定后,应用公
式即可计算出a,b,得到线性回归方程;
④在写线性回归方程时,切勿写成y=ax+b,应写成y=a+bx.
所以当广告费为7百万元时,销售额约为63百万元.
典例透析
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
易错辨析
易错点:不判断相关性就求线性回归方程而致错 【例4】 假设关于某设备的使用年限和所支出的维修费用如下
表中统计资料所示:
使用年限 x/年
1
2
3
4
5
6
维修费用 y/万元 5.0 0.8 0.5 6.5 7.0 1.2
求y对x的线性回归方程,并检验能否用线性回归模型描述两个变 量间的关系.
错解:求出相关的数据直接代入公式求b,a,得出线性回归方程为
y=0.16x+2.94. 错因分析:没有先判断两个变量是否具有相关关系.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
正解:画出散点图,如图所示,从散点图上看,这些点的分布几乎没 有什么规则,虽然也可求出线性回归方程,但这时不能用线性回归 模型描述两个变量之间的关系.
.
解析:由线性回归直线方程y=0.974+1.215x,得当x=2时,总成本y
的估计值为y=0.974+1.215×2=3.404.
答案:3.404
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
线性回归方程的意义 【例1】 已知一个线性回归方程y=2+1.2x,则变量x增加一个单位 长度时( ) A.y平均增加1.2个单位长度 B.y平均减少1.2个单位长度 C.y平均增加2个单位长度 D.y平均减少2个单位长度 解析:在线性回归方程y=bx+a中,b是线性回归方程的斜率,a是截 距.b代表x每增加一个单位长度,y平均增加的单位长度数.当b>0时, 若x每增加一个单位长度,y就增加b个单位长度;当b<0时,若x每增加 一个单位长度,y就减少|b|个单位长度. 答案: A
=
(������1-������)(������1-������)+(������2-������)(������2-������)+…+(������������-������)(������������-������) (������1-������)2+(������2-������)2+…+(������������-������)2
A.l1和l2有交点(s,t) B.l1与l2有交点,但交点不一定是(s,t) C.l1与l2必定平行 D.l1与l2必定重合
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
解析:由 a= ������ − ������������, 可知������ = ������ + ������������, 即点(������, ������)一定在回归直线上. 在本题中 s= ������, ������ = ������, 所以(s,t)一定在线性回归直线上,故选 A.
3+4+5+6
2.5 + 3 + 4 + 4.5
������ =
4
= 4.5, ������ =
4
= 3.5,
4
∑ xi2 = 32 + 42 + 52 + 62 = 86,
������=1
所以
b=
66.5-4×4.5×3.5 86-4×4.52
=
66.5-63 86-81
=
0.7,
a= y − ������x = 3.5 − 0.7 × 4.5 = 0.35.
x1y1+x2y2+x3y3+x4y4+x5y5=1 380
于是可得
b=
1
380-5×5×50 145-5×52
=
6.5,
a= ������ − ������������ = 50 − 6.5 × 5 = 17.5.
所以所求的线性回归方程是y=17.5+6.5x.
(3)当x=7时,y=6.5×7+17.5=63,
=
3 2
������.
根据最小二乘法的思想求得拟合程度最好的直线是______. (填序号)
解析:由题意知������ = 4, ������ = 6,
∴b=
������1������1+������2������2+������3������3+������4������4+������5������5-5������ ������12+������22+������32+������42+������52-5������2
§8 最小二乘估计
-1-
目标导航
1.了解最小二乘法的思想. 2.能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.
知识梳理
1.最小二乘法
如果有n个点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),可以用下面的表达式来刻画 这些点与直线y=a+bx的接近程度:
[y1-(a+bx1)]2+[y2-(a+bx2)]2+…+[yn-(a+bxn)]2.使得上式达到 最小值的直线y=a+bx就是我们所要求的直线,这种方法称为最小
故线性回归方程为 y=0.7x+0.35.
(3)根据回归方程可预测,现在生产100 t甲产品的生产能耗为
0.7×100+0.35=70.35(吨标准煤),
故预测生产100 t甲产品的生产能耗比技术改造前减少了
90-70.35=19.65(吨标准煤).
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
【变式训练3】 某种产品的广告费支出额x(单位:百万元)与销售 额y(单位:百万元)之间有如下对应数据:
题型一
题型二
题型三
题型四
(2)设线性回归方程为y=a+bx.
列出下表,并用科学计算器进行有关计算.
i
12
3
4
5
xi
2
4
5
6
8
yi 30 40 60 50 70
xiyi 60 160 300 300 560
x = 5, y = 50 x12 + x22 + x32 + x42 + x52 = 145,
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
分析:(1)以产量为横坐标,以生产能耗对应的测量值为纵坐标在 平面直角坐标系内画散点图;(2)应用计算公式求得线性相关系数 b,a的值;(3)实际上就是求出当x=100时,对应的y的值.
解:(1)散点图如图所示.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
(2)由题意,
得 x1y1+x2y2+x3y3+x4y4=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5,
x/百万元 2 4 5 6 8 y/百万元 30 40 60 50 70
(1)画出散点图,判断变量x与y是否具有线性相关关系; (2)如果x与y具有线性相关关系,求线性回归方程; (3)预测当广告费用为7百万元时的销售额.
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)散点图如图所示.
典例透析
由图可以看出,各点都在一条直线附近,所以广告费支出额x与销 售额y之间具有线性相关关系.
x0123 y1357
随堂演练
中心点(������, ������),
12345
3.已知x,y的取值如下表所示:
x234
线性相关,且线性回归方程为
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