(完整版)人教版七年级数学下册实数试卷培优试卷

一、选择题
1．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的y 值是（ ）
A ．5
B ．5±
C ．5
D ．5±
2．对一组数(),x y 的一次操作变换记为()1,P x y ，定义其变换法则如下：
()()1,,P x y x y x y =+-，且规定()()()11,,n n P
x y P P x y -=（n 为大于1的整数）， 如，()()11
,23,1P =-，()()()()()21111,21,23,12,4P P P P ==-=，()()()()()31211,21,22,46,2P P P P ===-，
则()20171
,1P -=（ ）． A ．()10080,2 B ．()10080,2- C ．()10090,2- D ．()10090,2 3．若225a =，3b =，则a b +所有可能的值为（ ）
A ．8
B ．8或2
C ．8或2-
D ．8±或2± 4．下列说法中，错误的有（ ）
①符号相反的数与为相反数；
②当0a ≠时，0a >；
③如果a b >，那么22a b >；
④数轴上表示两个有理数的点，较大的数表示的点离原点较远；
⑤数轴上的点不都表示有理数．
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
5．下列说法：①所有无理数都能用数轴上的点表示；②若一个数的平方根等于它本身，则这个数是0或1；③任何实数都有立方根；④16的平方根是4±，其中正确的个数有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
6．按照下图所示的操作步骤，若输出y 的值为22，则输入的值x 为（ ）
A ．3
B ．-3
C ．±3
D ．±9
7．对于任意不相等的两个实数a ，b ，定义运算：a ※b ＝a 2﹣b 2+1，例如3※2＝32﹣22+1＝6，那么（﹣5）※4的值为（ ）
A ．﹣40
B ．﹣32
C ．18
D ．10
8．如图，数轴上,A B 两点表示的数分别为1,2--，点B 关于点A 的对称点为点C ，则点C 所表示的数是（ ）
A ．12-
B ．21-
C ．22-
D ．22-
9．任何一个正整数n 都可以进行这样的分解：n=p×q （p ，q 都是正整数，且p≤q ），如果p×q 在n 的所有分解中两个因数之差的绝对值最小，我们就称p×q 是n 的黄金分解，并规定：F(n)=p q ，例如：18可以分解为1×18；2×9；3×6这三种，这时F(18)=3162
=，现给出下列关于F(n)的说法：①F(2) =12
；② F(24)=38；③F(27)=3；④若n 是一个完全平方数，则F(n)=1，其中说法正确的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
10．已知f(1)=2 (取12⨯的末位数字)，f(2)=6 (取2?3的末位数字)，f(3)=2 (取34⨯的末位数字)，…， 则()()()()f 1f 2f 3f 2021+++
+的值为（ ） A ．4036 B ．4038 C ．4042 D ．4044
二、填空题
11．对于任意有理数a ，b ，规定一种新的运算a ⊙b ＝a （a +b ）﹣1，例如，2⊙5＝2×（2+5）﹣1＝13．则（﹣2）⊙6的值为_____
12．对于三个数a ，b ，c ，用M{a ，b ，c}表示这三个数的平均数，用min{a ，b ，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{－1，2，3}＝123433
-++=，min{－1，2，3}＝－1，如果M{3，2x ＋1，4x －1}＝min{2，－x ＋3，5x}，那么x ＝_______.
13．a ※b 是新规定的这样一种运算法则：a ※b=a+2b ，例如3※（﹣2）=3+2×（﹣2）=﹣1．若（﹣2）※x=2+x ，则x 的值是_____．
14．如图，将面积为3的正方形放在数轴上，以表示实数1的点为圆心，正方形的边长为半径，作圆交数轴于点A 、B ，则点A 表示的数为______.
15．我们可以用符号f (a )表示代数式．当a 是正整数时，我们规定如果a 为偶数，f (a )＝0.5a ；如果a 为奇数，f (a )＝5a +1．例如：f (20)＝10，f (5)＝26．设a 1＝6，a 2＝f (a 1)，a 3＝f (a 2)…；依此规律进行下去，得到一列数：a 1，a 2，a 3，a 4…(n 为正整数)，则2a 1﹣a 2+a 3﹣a 4+a 5﹣a 6+…+a 2013﹣a 2014+a 2015＝_____．
16．对于实数x ，y ，定义一种运算“×”如下，x ×y ＝ax －by 2，已知2×3＝10，4×(－3)＝6，那么(－3272＝________；
17．如图，半径为1的圆与数轴的一个公共点与原点重合，若圆在数轴上做无滑动的来回滚动，规定圆向右滚动的周数记为正数，向左滚动周数记为负数，依次滚动的情况如下（单位：周）：﹣3，﹣1，＋2，﹣1，＋3，＋2，则圆与数轴的公共点到原点的距离最远
时，该点所表示的数是_______．
18．若202120212a b -++=，其中a ，b 均为整数，则符合题意的有序数对(),a b 的组数是______．
19．如图所示，直径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A 点，则A 点表示的数是_____．若点B 表示 3.14-，则点B 在点A 的______边（填“左”或“右”）．
20．若[)x 表示大于x 的最小整数，如[)56=，[)1.81-=-，则下列结论中正确的有______（填写所有正确结论的序号）．
①[)01=；②33055
⎡⎫-=⎪⎢⎣⎭；③[)0x x -<；④[)1x x x <≤+；⑤存在有理数x 使[)0.2x x -=成立．
三、解答题
21．规定：求若千个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如
()()()()2223333÷÷-÷-÷-÷-，等，类比有理数的乘方，我们把222÷÷记作()32，读作“2的圈3次方”，()()()()3333-÷-÷-÷-记作()()
43-，读作“3-的圈4次方”，一般地，把n a a a a a
↑÷÷÷⋯⋯÷记作()n a ，读作“a ”的圈n 次方．
（初步探究）（1）直接写出计算结果：()()32=- ；()()42=- ； （2）关于除方，下列说法错误的是（ ）
A ．任何非零数的圈2次方都等于1
B ．对于任何正整数(),1=1n n
C ．()()433=4
D ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 （深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（3）试一试：()()()2446113=5=35⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，依照前面的算式，将()93，()1012⎛⎫- ⎪⎝⎭的运算结果直接写成幂的形式是()93= ，()101=2⎛⎫- ⎪⎝⎭
； （4）想一想：将一个非零有理数a 的圆n 次方写成幂的形式是：()n a = ； （5）算一算：()()()()4652311122333⎛⎫⎛⎫÷-⨯---÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．
22．观察下列各式：21131222-
=⨯；21241333-=⨯；21351444-=⨯；……根据上面的等式所反映的规律，
（1）填空：21150-=______；2
112019-=______； （2）计算：2222111111112342019⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋅⋅⋅- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
23．对任意一个三位数n ，如果n 满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“梦幻数”，将一个“梦幻数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三数，把这三个新三位数的和与111的商记为K （n ），例如123n =，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213321132666++=，6661116÷=，所以()1236K =．
（1）计算：()342K 和()658K ；
（2）若x 是“梦幻数”，说明：()K x 等于x 的各数位上的数字之和；
（3）若x ，y 都是“梦幻数”，且1000x y +=，猜想：()()K x K y +=________，并说明你猜想的正确性．
24．据说，我国著名数学家华罗庚在一次访问途中，看到飞机邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数32768，它是一个正数的立方，希望求它的立方根，华罗庚不假思索给出了答案，邻座乘客非常惊奇，很想得知其中的奥秘，你知道华罗庚是怎样准确计算出的吗？请按照下面的问题试一试：
（1）由33101000,1001000000==，因为1000327681000000<<______位数；
（2）由32768的个位上的数是8________，划去32768
后面的三位数768得到32，因为333=27,4=64_____________；
(3)已知13824和110592-
25．对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果a x =N (a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：x =log a N ，例如：32=9，则log 39=2，其中a =10的对数叫做常用对数，此时log 10N 可记为lgN ．当a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0时，
log a (M •N )=log a M +log a N ．
(I )解方程：log x 4=2；
(Ⅱ)log 28=
(Ⅲ)计算：(lg 2)2+lg 2•1g 5+1g 5﹣2018= (直接写答案)
26．阅读下面文字： 对于5231591736342⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭ 可以如下计算：
原式()()()5231591736342⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣
⎦⎣⎦⎣⎦ ()()()5231591736342⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+-+-++-⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1014⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 114
=- 上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？
仿照上面的方法，计算：
（1）115112744362⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（2）235120192018201720163462⎛⎫⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ 27．我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n p q =⨯（p ，q 是正整数，且p q ≤），在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q 是n 的完美分解．并规定：()p F n q
=． 例如18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18－1＞9－2＞6－3，所以3×6是18的完美分解，所以F （18）＝3162
=． （1）F （13）＝ ，F （24）＝ ；
（2）如果一个两位正整数t ，其个位数字是a ，十位数字为1b -，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数为“和谐数”，求所有“和谐数”；
（3）在（2）所得“和谐数”中，求F （t ）的最大值．
28．观察下来等式：
12×231＝132×21，
13×341＝143×31，
23×352＝253×32，
34×473＝374×43，
62×286＝682×26，
……
在上面的等式中，等式两边的数字分别是对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．
(1)根据以上各等式反映的规律，使下面等式成为“数字对称等式”：
52×_____＝______×25；
(2)设这类等式左边的两位数中，个位数字为a ，十位数字为b ，且2≤a ＋b≤9，则用含a ，b 的式子表示这类“数字对称等式”的规律是_______．
29．对于实数a ，我们规定：用符号为a 的根整
=，=3．
数，例如：3
(1)仿照以上方法计算：=______；=_____．
=，写出满足题意的x的整数值______．
(2)若1
如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次
=→=1，这时候结果为1．
3
(3)对100连续求根整数，____次之后结果为1．
(4)只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是____．
30．阅读理解：
一个多位数，如果根据它的位数，可以从左到右分成左、中、右三个数位相同的整数，其中a代表这个整数分出来的左边数，b代表的这个整数分出来的中间数，c代表这个整数分出来的右边数，其中a，b，c数位相同，若b﹣a＝c﹣b，我们称这个多位数为等差数．
例如：357分成了三个数3，5，7，并且满足：5﹣3＝7﹣5；
413223分成三个数41，32，23，并且满足：32﹣41＝23﹣32；
所以：357和413223都是等差数．
（1）判断：148 等差数，514335等差数；（用“是”或“不是”填空）
（2）若一个三位数是等差数，试说明它一定能被3整除；
（3）若一个三位数T是等差数，且T是24的倍数，求该等差数T．
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
根据已知进行计算，并判断每一步输出结果即可得到答案．
【详解】
解：∵25的算术平方根是5，5不是无理数，
∴再取5的平方根，而5的平方根为
∴输出值y＝
故选：B．
【点睛】
本题考查实数分类及计算，判断每步计算结果是否为无理数是解题的关键．
2．D
解析：D
【详解】
因为()()11
,10,2P -=，()()()()()21111,11,10,2=2,2P P P P -=-=-,()()()()()31211,11,22,20,4P P P P -=-=-=,()()41,14,4P -=-,()()51
,10,8P -= ()()61
,18,8P -=-,所以()()211,10,2n n P --=,()()21,12,2n n n P -=-,所以 ()()
100920171,10,2P -=,故选D. 3．D
解析：D
【分析】
先求出a 、b 的值，再计算即可．
【详解】
解：∵225a =，
∴a =±5， ∵3b =，
∴b =±3，
当a =5，b =3时，8a b +=；
当a =5，b =-3时，2a b +=；
当a =-5，b =3时，2a b +=-；
当a =-5，b =-3时，8a b +=-；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了绝对值、平方根和有理数加法运算，解题关键是分类讨论，准确计算． 4．D
解析：D
【分析】
根据相反数、绝对值、数轴表示数以及有理数的乘法运算等知识综合进行判断即可．
【详解】
解：符号相反，但绝对值不等的两个数就不是相反数，例如5和-3，因此①不正确； a≠0，即a ＞0或a ＜0，也就是a 是正数或负数，因此|a|＞0，所以②正确；
例如-1＞-3，而（-1）2＜（-3）2，因此③不正确；
例如-5表示的点到原点的距离比1表示的点到原点的距离远，但-5＜1，因此④不正确； 数轴上的点与实数一一对应，而实数包括有理数和无理数，因此⑤正确；
综上所述，错误的结论有：①③④，
故选：D ．
【点睛】
本题考查相反数、绝对值、数轴表示数，对每个选项进行判断是得出正确答案的前提． 5．C
解析：C
【分析】
分别根据相关的知识点对四个选项进行判断即可．
【详解】
解：①所有无理数都能用数轴上的点表示，故①正确；
②若一个数的平方根等于它本身，则这个数是0，故②错误；
③任何实数都有立方根，③说法正确；
2±，故④说法错误；
故其中正确的个数有：2个．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是实数，需要注意掌握实数的概念、平方根以及立方根的相关知识点．6．C
解析：C
【分析】
根据操作步骤列出方程，然后根据平方根的定义计算即可得解.
【详解】
由题意得：2
x-=，
3522
∴29
x=，
∵2
±=，
)
(39
x=±，
∴3
故选：C.
【点睛】
此题考查平方根的定义，求一个数的平方根，利用平方根的定义解方程，正确理解计算的操作步骤得到方程是解题的关键.
7．D
解析：D
【分析】
直接利用题中的新定义给出的运算公式计算得出答案．
【详解】
解：(-5)※4＝(﹣5)2﹣42+1＝10．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了实数运算，以及定义新运算，正确运用新定义给出的运算公式是解题关键．
8．D
解析：D
【分析】
设点C 的坐标是x 1=-，求解即可. 【详解】
解：∵点A 是B ，C 的中点．
∴设点C 的坐标是x ，
则12
x =-，
则2x =-
∴点C 表示的数是2-．
故选：D.
【点睛】
此题考查数轴上两点的中点的计算公式：两点的中点所表示的数等于两点所表示的数的平均数，正确掌握计算公式是解题的关键.
9．B
解析：B
【分析】
将2，24，27，n 分解为两个正整数的积的形式，再找到相差最少的两个数，让较小的数除以较大的数进行排除即可．
【详解】
解：∵2=1×2，
∴F （2）=12
，故①正确； ∵24=1×24=2×12=3×8=4×6，且4和6的差绝对值最小
∴F （24）= 42=63
，故②是错误的； ∵27=1×27=3×9，且3和9的绝对值差最小
∴F （27）=31=93
，故③错误；
∵n 是一个完全平方数，
∴n 能分解成两个相等的数的积，则F （n ）=1，故④是正确的.
正确的共有2个．
故答案为B ．
【点睛】
本题考查有理数的混合运算与信息获取能力，解决本题的关键是弄清题意、理解黄金分解的定义． 10．C
解析：C
【分析】
先计算部分数的乘积，观察运算结果，发相规律，每运算5次后结果重复出现，求出
f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)和，再求2021次运算重复的次数，用除数5，商和余数表示2021=5×404+1，说明重复404次和f(2021)=2的结果，（f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)）×10+2计算结果即可．
【详解】
解：f(1)=2，f(2)=6，f(3)=2，f(4)=0，f(5)=0，f(6)=2，f(7)=6，f(8)=2，f(9)=0，
f(10)=0，f(11)=2，
每5次运算一循环，
f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=2+6+2+0+0=10，
2021=5×404+1，
()()()()
++++=10×404+2=4040+2=4042．
f1f2f3f2021
故选：C．
【点睛】
本题考查新定义运算，读懂题目的含义与要求，掌握运算的方法，观察部分运算结果，从中找出规律，用规律解决问题是解题关键．
二、填空题
11．-9
【分析】
直接利用已知运算法则计算得出答案．
【详解】
（﹣2）⊙6
＝﹣2×（﹣2+6）﹣1
＝﹣2×4﹣1
＝﹣8﹣1
＝﹣9．
故答案为﹣9．
【点睛】
此题考察新定义形式的有理数计算，
解析：-9
【分析】
直接利用已知运算法则计算得出答案．
【详解】
（﹣2）⊙6
＝﹣2×（﹣2+6）﹣1
＝﹣2×4﹣1
＝﹣8﹣1
＝﹣9．
故答案为﹣9．
【点睛】
此题考察新定义形式的有理数计算，正确理解题意是解题的关键，依据题意正确列代数式计算即可.
12．或
【详解】
【分析】根据题中的运算规则得到M{3，2x＋1，4x－1}=1+2x，然后再根据min{2，－x＋3，5x}的规则分情况讨论即可得.
【详解】M{3，2x＋1，4x－1}==2x+1
解析：1
2或
1
3
【详解】
【分析】根据题中的运算规则得到M{3，2x＋1，4x－1}=1+2x，然后再根据min{2，－x＋3，5x}的规则分情况讨论即可得.
【详解】M{3，2x＋1，4x－1}=32141
3
x x
+++-
=2x+1，
∵M{3，2x＋1，4x－1}＝min{2，－x＋3，5x}，∴有如下三种情况：
①2x+1=2，x=1
2，此时min{2，－x＋3，5x}= min{2，
5
2
，
5
2
}=2，成立；
②2x+1=-x+3，x=2
3
，此时min{2，－x＋3，5x}= min{2，
7
3
，
10
3
}=2，不成立；
③2x+1=5x，x=1
3
，此时min{2，－x＋3，5x}= min{2，
8
3
，
5
3
}=
5
3
，成立，
∴x=1
2或
1
3
，
故答案为1
2
或
1
3
.
【点睛】本题考查了阅读理解题，一元一次方程的应用，分类讨论思想的运用等，解决问题的关键是读懂题意，依题意分情况列出一元一次方程进行求解．
13．4
【解析】根据题意可得（﹣2）※x=﹣2+2x，进而可得方程﹣2+2x=2+x，解得：x=4.
故答案为：4．
点睛：此题是一个阅读理解型的新运算法则题，解题关键是明确新运算法则的特点，然后直接根
解析：4
【解析】根据题意可得（﹣2）※x=﹣2+2x，进而可得方程﹣2+2x=2+x，解得：x=4.
故答案为：4．
点睛：此题是一个阅读理解型的新运算法则题，解题关键是明确新运算法则的特点，然后直接根据新定义的代数式计算即可.
14．.
【分析】
利用正方形的面积公式求出正方形的边长，再求出原点到点A的距离（即点A 的绝对值），然后根据数轴上原点左边的数为负数即可求出点A表示的数. 【详解】
∵正方形的面积为3，
∴正方形的边长为
解析：1
【分析】
利用正方形的面积公式求出正方形的边长，再求出原点到点A的距离（即点A的绝对值），然后根据数轴上原点左边的数为负数即可求出点A表示的数.
【详解】
∵正方形的面积为3，
∴，
∴A点距离01
∴点A表示的数为1
【点睛】
本题考查实数与数轴，解决本题时需注意圆的半径即是点A到1的距离，而求A点表示的数时，需求出A点到原点的距离即A点的绝对值，再根据绝对值的性质和数轴上点的特征求解.
15．7
【分析】
本题可以根据代数式f（a）的运算求出a1，a2，a3，a4，a5，a6 ，a7的值，根据规律找出部分an的值，进而发现数列每7个数一循环，根据数的变化找出变化规律，依照规律即可得出结论
解析：7
【分析】
本题可以根据代数式f（a）的运算求出a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7的值，根据规律找出部分a n的值，进而发现数列每7个数一循环，根据数的变化找出变化规律，依照规律即可得出结论．
【详解】
解：观察，发现规律：a1=6，a2=f（a1）=3，a3=f（a2）=16，a4=f（a3）=8，a5=f（a4）=4，a6=f（a5）=2，a7=f（a6）=1，a8=f（a7）=6，…，
∴数列a1，a2，a3，a4…（n为正整数）每7个数一循环，
∴a1-a2+a3-a4+…+a13-a14=0，
∵2015=2016-1=144×14-1，
∴2a 1-a 2+a 3-a 4+a 5-a 6+…+a 2013-a 2014+a 2015=a 1+a 2016+（a 1-a 2+a 3-a 4+a 5-a 6+…+a 2015-a 2016）=a 1+a 7=6+1=7．
故答案为7．
【点睛】
本题考查了规律型中的数字的变化类以及代数式求值，解题的关键是根据数的变化找出变换规律，并且巧妙的借助了a 1-a 2+a 3-a 4+…+a 13-a 14=0来解决问题．
16．130
【解析】
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，求出a 与b 的值，即可确定出原式的值．
【详解】根据题中的新定义得：
解得 ,
所以，
=
=130
故答案为：130
【点睛】本
解析：130
【解析】
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，求出a 与b 的值，即可确定出原式的值．
【详解】根据题中的新定义得：
2910496
a b a b -=⎧⎨-=⎩ 解得2149a b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩
, 所以，(
)(
)2
2222a b ⎡⎤-⨯=--⎣⎦ =(
)22142(2)()9
⎡⎤-⨯---
⨯⎣⎦ =130
故答案为：130 【点睛】本题考核知识点：实数运算. 解题关键点：理解新定义运算规则，根据法则列出方程组，解出a,b 的值，再次应用规则，求出式子的值.
17．﹣8π．
【分析】
根据每次滚动后，所对应数的绝对值进行解答即可．
【详解】
解：半径为1圆的周长为2π，
滚动第1次，所对应的周数为0﹣3＝﹣3（周），
滚动第2次，所对应的周数为0﹣3﹣1＝﹣4
解析：﹣8π．
【分析】
根据每次滚动后，所对应数的绝对值进行解答即可．
【详解】
解：半径为1圆的周长为2π，
滚动第1次，所对应的周数为0﹣3＝﹣3（周），
滚动第2次，所对应的周数为0﹣3﹣1＝﹣4（周），
滚动第3次，所对应的周数为0﹣3﹣1＋2＝﹣2（周），
滚动第4次，所对应的周数为0﹣3﹣1＋2﹣1＝﹣3（周），
滚动第5次，所对应的周数为0﹣3﹣1＋2﹣1＋3＝0（周），
滚动第6次，所对应的周数为0﹣3﹣1＋2﹣1＋3＋2＝2（周），
所以圆与数轴的公共点到原点的距离最远是﹣4周，即该点所表示的数是﹣8π，
故答案为：﹣8π．
【点睛】
题目主要考察数轴上的点及圆的滚动周长问题，确定相应滚动周数是解题关键．18．5
【分析】
由绝对值和算术平方根的非负性，求出a、b所有的可能值，即可得到答案．【详解】
解：∵，且，均为整数，
又∵，，
∴可分为以下几种情况：
①，，
解得：，；
②，，
解得：或，；
③，
解析：5
【分析】
由绝对值和算术平方根的非负性，求出a、b所有的可能值，即可得到答案．
【详解】
解：∵20212a -=，且a ，b 均为整数，
又∵20210a -≥0≥，
∴可分为以下几种情况：
①20210a -=2，
解得：2021a =，2017b =-；
②20211a -=1=，
解得：2020a =或2022a =，2020b =-；
③20212a -=0
解得：2019a =或2023a =，2021b =-；
∴符合题意的有序数对(),a b 共由5组；
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，解题的关键是掌握非负的性质进行解题．
19．-π 右
【分析】
因为圆从原点沿数轴向左滚动一周，可知OA=π，再根据数轴的特点及π的值即可解答．
【详解】
解：∵直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向左滚动一周，
∴OA 之间的距离
解析：-π 右
【分析】
因为圆从原点沿数轴向左滚动一周，可知OA=π，再根据数轴的特点及π的值即可解答．
【详解】
解：∵直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向左滚动一周，
∴OA 之间的距离为圆的周长=π，A 点在原点的左边．
∴A 点对应的数是-π．
∵π＞3.14，
∴-π＜-3.14．
故A 点表示的数是-π．若点B 表示-3.14，则点B 在点A 的右边．
故答案为：-π，右．
【点睛】
本题考查数轴、圆的周长公式、利用数轴比较数的大小．需记住两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
20．①④⑤
【分析】
根据题意表示大于x 的最小整数，结合各项进行判断即可得出答案．
【详解】
解：①，根据表示大于x 的最小整数，故正确；
②，应该等于，故错误；
③，当x=0.5时，，故错误；
④，根据
解析：①④⑤
【分析】
根据题意[)x 表示大于x 的最小整数，结合各项进行判断即可得出答案．
【详解】
解：①[)01=，根据[)x 表示大于x 的最小整数，故正确； ②33055
⎡⎫-=⎪⎢⎣⎭，应该等于333215555⎡⎫-=-=⎪⎢⎣⎭，故错误； ③[)0x x -<，当x=0.5时，[)10.5=0.50x x -=-＞，故错误；
④[)1x x x <≤+，根据定义可知[)x x <，但[)x 不会超过x+1，所以[)1x x x <≤+成立，故正确；
⑤当x=0.8时，[)1-0.8=0.2x x -=，故正确．
故答案为：①④⑤．
【点睛】
本题主要考查了对题意的理解，准确的理解题意是解决本题的关键．
三、解答题
21．（1）12-，14；（2）C ；（3）71()3，82；（4）21n a -⎛⎫ ⎪⎝⎭；（5）-5．
【分析】
概念学习：（1）分别按公式进行计算即可；
（2）根据定义依次判定即可；
深入思考：
（3）由幂的乘方和除方的定义进行变形，即可得到答案；
（4）把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，结果第一个数不变为a ，第二个数及后面的数变为1
a ，则()(1)(2)11()()n n n a a a a
--=⨯=； （5）将第二问的规律代入计算，注意运算顺序．
【详解】
解：（1）()()312=(2)(2)(2)2
--÷-÷-=-；
()()412=(2)(2)(2)(2)=4
--÷-÷-÷-； 故答案为：12-，14
； （2）A 、任何非零数的圈2次方都等于1；所以选项A 正确；
B 、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n ，1ⓝ都等于1； 所以选项B 正确；
C 、()413=3333=9÷÷÷，()3144444
=÷÷=， 则()()4334≠；故选项C 错误；
D 、负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，故D 正确； 故选：C ；
（3）根据题意，
()977113=333333333=()33
÷÷÷÷÷÷÷÷=， 由上述可知：()1010281=(2)22-⎛⎫--= ⎪⎝⎭
； （4）根据题意，
由（3）可知，()21n n a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭； 故答案为：21n a -⎛⎫ ⎪⎝⎭
（5）()()()()4652311122333⎛⎫⎛⎫÷-⨯---÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
234311443()332
=÷⨯--÷ 116()38
=⨯-- 5=-．
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时也要注意分数的乘方要加括号，对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序．
22．（1）
49515050⨯；2018202020192019⨯；（2）10102019
. 【分析】
（1）根据已知数据得出规律，2111111n n n ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，进而求出即可； （2）利用规律拆分，再进一步交错约分得出答案即可．
【详解】
解：（1）21150-=49515050⨯； 2112019
-=2018202020192019⨯； （2）2222111111112342019⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋅⋅⋅- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
=1324352018202022334420192019
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯…… =1202022019
⨯ =10102019
. 【点睛】
此题主要考查了实数运算中的规律探索，根据已知运算得出数字之间的变化规律是解决问题的关键．
23．（1）(342)9,(658)19K K ==;（2）见解析；（3）28
【分析】
（1）根据K 的定义，可以直接计算得出；
（2）设x abc =，得到新的三个数分别是：acb cba bac ，，，这三个新三位数的和为100()10()()111()a b c a b c a b c a b c ++++++++=++，可以得到：()K x a b c =++； （3）根据（2）中的结论，猜想：()()28K x K y +=．
【详解】
解：（1）已知342n =，所以新的三个数分别是：324,243,432，
这三个新三位数的和为324243342999++=，
(342)9K ∴=；
同样658n =，所以新的三个数分别是：685,568,856，
这三个新三位数的和为6855688562109++=，
(658)19K ∴=．
（2）设x abc =，得到新的三个数分别是：acb cba bac ，，，
这三个新三位数的和为100()10()()111()a b c a b c a b c a b c ++++++++=++，
可得到：()K x a b c =++，即()K x 等于x 的各数位上的数字之和．
（3）设,x abc y mnp ==，由（2）的结论可以得到：
()()()()K x K y a b c m n P +=+++++，
1000x y +=，
100()10()()1000a m b n c p ∴+++++=，
根据三位数的特点，可知必然有：
10,9,9c p b n a m +=+=+=，
()()()()28K x K y a b c m n p ∴+=+++++=，
故答案是：28．
【点睛】
此题考查了多位数的数字特征，每个数字是10以内的自然数且不为0，解题的关键是：结合新定义，可以计算出问题的解，注意把握每个数字都会出现一次的特点，区别数字与多为数的不同．
24．（1）两；（2）2，3；（3）24，﹣48；
【分析】
（1）由题意可得10100<，进而可得答案；
（2）由只有个位数是2的数的立方的个位数是8
333=27,4=64可得27＜32＜64，进而可确定3040<上的数，进而可得答案；
（3）仿照（1）（2）两小题中的方法解答即可．
【详解】
解：（1）因为1000327681000000<<，所以10100<，
故答案为：两；
（2）因为只有个位数是2的数的立方的个位数是8，
2，
划去32768后面的三位数768得到32，因为333=27,4=64，27＜32＜64，
所以3040<，
3；
故答案为：2，3；
（3）由103=1000，1003=1000000，1000＜13824＜1000000，
∴10
100， ∴
∵只有个位数是4的数的立方的个位数是4， ∴
4， 划去13824后面的三位数824得到13，
∵8＜13＜27，∴20
30． ∴
；
由103=1000，1003=1000000，1000＜110592＜1000000，
∴10
100， ∴
∵只有个位数是8的数的立方的个位数是2， ∴
8， 划去110592后面的三位数592得到110，
∵64＜110＜125，
∴40
50，
∴
48=； ∴
﹣48．
【点睛】
本题考查了立方根和立方数的规律探求，具有一定的难度，正确理解题意、确定所求的数的个位数字和十位数字是解题的关键．
25．(I ) x=2；(Ⅱ) 3； (Ⅲ) -2017.
【分析】
(I )根据对数的定义，得出x 2=4，求解即可；
(Ⅱ)根据对数的定义求解即；；
(Ⅲ)根据log a (M •N )=log a M +log a N 求解即可．
【详解】
(I )解：∵log x 4=2，
∴x 2=4,
∴x=2或x=-2(舍去)
(Ⅱ)解：∵8=23，
∴log 28=3,
故答案为3；
(Ⅲ)解：(lg 2)2+lg 2•1g 5+1g 5﹣2018
= lg 2•( lg 2+1g 5) +1g 5﹣2018
= lg 2 +1g 5﹣2018
=1-2018
=-2017
故答案为-2017.
【点睛】
本题主要考查同底数幂的乘法，有理数的乘方，是一道关于新定义运算的题目，解答本题的关键是理解给出的对数的定义．
26．（1）14
-（2）124- 【分析】
（1）根据例子将每项的整数部分相加，分数部分相加即可解答；
（2）根据例子将每项的整数部分相加，分数部分相加即可解答.
【详解】
（1）115112744362⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()115112744362⎛⎫=--+-+--+- ⎪⎝⎭ 104⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 14=-
（2）原式()235120192018201720163462⎛⎫=-+-++-+-+ ⎪⎝⎭ 124⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭ 124
=- 【点睛】
此题考察新计算方法，正确理解题意是解题的关键，根据例子即可仿照计算.
27．（1）
113，23（2）所以和谐数为15，26，37，48，59；（3）F （t ）的最大值是34． 【分析】
(1)根据题意,按照新定义的法则计算即可.
(2)根据新定义的”和谐数”定义,将数用a,b 表示列出式子解出即可.
(3)根据(2)中计算的结果求出最大即可.
【详解】
解：（1）F （13）＝113
，F （24）＝23; （2）原两位数可表示为10(1)b a -+
新两位数可表示为101a b +-
∴10110(1)36a b b a +----=
∴101101036a b b a +--+-=
∴9927a b -=
∴3a b -=
∴3a b =+ （16b <≤且b 为正整数 ）
∴b=2,a=5; b=3,a=6, b=4,a=7,
b=5,a=8 b=6,a=9
所以和谐数为15，26，37，48，59
(3)所有“和谐数”中，F （t ）的最大值是34
． 【点睛】
本题为新定义的题型,关键在于读懂题意,按照规定解题.
28．（1）275，572；（2）（10b+a ）[100a+10（a+b ）+b]=（10a+b[100b+10（a+b ）+a].
【分析】
（1）观察等式，发现规律，等式的左边：两位数所乘的数是这个两位数的个位数字变为百位数字，十位数字变为个位数字，两个数字的和放在十位；等式的右边：三位数与左边的三位数字百位与个位数字交换，两位数与左边的两位数十位与个位数字交换然后相乘，根据此规律进行填空即可；
（2）按照（1）中对称等式的方法写出，然后利用多项式的乘法进行写出即可．
【详解】
解：（1）∵5+2=7，
∴左边的三位数是275，右边的三位数是572，
∴52×275=572×25，
（2）左边的两位数是10b+a，三位数是100a+10（a+b）+b；
右边的两位数是10a+b，三位数是100b+10（a+b）+a；
“数字对称等式”为：（10b+a）[100a+10（a+b）+b]=（10a+b[100b+10（a+b）+a]．
故答案为275，572；（10b+a）[100a+10（a+b）+b]=（10a+b[100b+10（a+b）+a]．
【点睛】
本题是对数字变化规律的考查，根据已知信息，理清利用左边的两位数的十位数字与个位数字变化得到其它的三个数字是解题的关键．
29．（1）2；5；（2）1，2，3；（3）3；（4）255
【分析】
（1
（2）根据定义可知x＜4，可得满足题意的x的整数值；
（3）根据定义对120进行连续求根整数，可得3次之后结果为1；
（4）最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案．
【详解】
解：（1）∵22=4， 62=36，52=25,
∴56，
∴
，，
故答案为2，5；
（2）∵12=1，22=4，且＝1，
∴x=1，2，3，
故答案为1，2，3；
（3）第一次：，
第二次：，
第三次：，
故答案为3；
（4）最大的正整数是255，
理由是：∵，，，
∴对255只需进行3次操作后变为1，
∵，，
，，
∴对256只需进行4次操作后变为1，
∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255，
故答案为255．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的平方数的计算能力．
30．（1）不是，是；（2）见解析；（3）432或456或840或864或888
【分析】
（1）根据等差数的定义判定即可；
（2）设这个三位数是M ，10010M a b c =++，根据等差数的定义可知2
a c
b +=
，进而得出()3352M a c =+即可． （3）根据等差数的定义以及24的倍数的数的特征可先求出a 的值，再根据是8的倍数可确定c 的值，又因为2
a c
b +=，所以可确定a 、
c 为偶数时b 才可取整数有意义，排除不符合条件的a 、c 值，再将符合条件的a 、c 代入2a c b +=
求出b 的值，即可求解． 【详解】
解：（1）∵4184-≠- ，
∴148不是等差数，
∵435135438-=-=- ，
∴514335是等差数；
（2）设这个三位数是M ，10010M a b c =++，
∵b a c b -=- ， ∴2
a c
b += ， ∵()10010105633522
a c M a c a c a c +=+⨯+=+=+ ， ∴这个等差数是3的倍数；
（3）由（2）知()3352,2a c T a c b +=+=
， ∵T 是24的倍数，
∴352a c + 是8的倍数，
∵2c 是偶数，
∴只有当35a 也是偶数时352a c +才有可能是8的倍数，
∴2a =或4或6或8，
当2a =时，3570a = ，此时若1c =，则35272a c += ，若5c = ，则35+280a c = ，若9c = ，则35+288a c =，大于70又是8的倍数的最小数是72，之后是80,88当35+296a c =时10c > 不符合题意；
当4a =时，35140a =，此时若2c =，则352144a c +=，若6c =，则352152a c +=，（144、152是8的倍数），
当6a =时，35210a =，此时若3c =，则352216a c +=，若7c =，则352224a c +=， （216、244是8的倍数），
当8a =时，35280a =，此时若0c ，则352280a c +=，若4c =，则352288a c +=， 若8c =，则352296a c +=，（280,288,296是8的倍数）， ∵2
a c
b +=，
∴若a 是偶数，则c 也是偶数时b 才有意义，
∴2a =和6a =是c 是奇数均不符合题意，
当4,2a c ==时，423,4322b T +=
== ， 当4,6a c ==时，465,4562b T +=
==， 当8,0a c ==时，804,8402b T +=
==， 当8,4a c ==时，846,8642b T +=
==， 当8,8a c ==时，888,8882
b T +===， 综上，T 为432或456或840或864或888．
【点睛】
本题考查新定义下的实数运算、有理数混合运算，整式的加减运算，能够结合倍数的特点及熟练掌握整数的奇偶性是解题关键．。