椭圆的一类轨迹问题(续)

垂 线 ， ｚ 一ｚ ≠ ０ 于 是 ， Ａ、 Ｍ 三 点 共 线 和 故 ． 由 Ｂ、
Ｏ ＿ ＡＢ 知 Ｍ Ｊ ＿ 一 一 一三 ， １ ２ ，．
因为 当 Ｙ一０时 ， ０ “ ＝ ｎ 。 ０ 将 其 ｚ 一ｚ ＞ ， ＝ ＞ ， ＝ 代人 ①式 ， 化得 上 式 ， 以 ， 式 也适 用 于 Ｙ一０的 可 所 ①
一
４ Ｚ ２（ ａ ｂｚ ｚ
—
—
作 为小前 提 的 常数 型 的 附加 条 件 ． 不难 想 象 ， 样 的 这 条 件不 胜枚 举 ． 过 ， 无须 一一 罗 列 ， 过 问题 ｌ和 不 也 通 问题 ２的讨论 ， 以看 到 ： 们 的求 解 大 同小 异 ， 着 可 它 有 许 多共 通 之处 ， 其是解 题 的基 本 观念 和 思路 并 无 差 尤 异 ， 同 的是对 于 知识 、 不 方法 和 技能 的 具体 运 用 ， 以及 具 体解 题 路径 的选 择会 有所 区别 ．
￣ ＃ 、 在 椭 圆 上 ， 以 ＋ 一 １ １ ２ ｊｊ Ｂ Ａ 所 ，一 ’．
因 此 ６ ｚ ＋ （ ＋ 。 一 日 ６ ， ＝１ ２ 一ｚｚ） 。 ＝ ， ． ＝
也 可 写 成
（ ＋ｙ ） Ｚ 一 （ 口 ６ ｐ。 口 ｚ２ ｂ ｙ ） ４ 一 ２ ～ ｚ Ｚ
》 解 题 思 想 方 ！ √ 去
… ％ ％ ％ 一
｜。
的 续） 嫡圆 一 粪 轨 问 题 （
薯簪 豫≯ 罄簪 鬣 ｌ
陈云烽 （ 中山大 学数 计学 院）
≤口 ， ｆ 则 ＯＭ ｌ ｚ 且 — ，
问题 ２ 设动 直线 ｌ 与椭 圆 ＋ ＝ １ 口 ＞０ ＝ （ ＞６ ） ＝
如果 记点 Ｍ 的轨 迹 曲线 为 ， ｍ 是 一 条 ４次 则 曲线 ， 主要 的几何 性质 是 ： 其
（） 称性 ． １对
十 一
珥
一
’
・
Ｘ ２ 一 １Ｘ
一
—
Ｅ ｘ ２ ）一６ 一 － ＋ ！。 — １ —（
一
因为 当（ ． 满 足方程② 时 ， （ － ｙ 、－ｘ， 、 ｚ， ） ｙ 则 ｚ， ） （ ） （ Ｘ， ｙ 也 都满 足方 程② ， 以 ， 迹 曲线 ｍ 关 于 ｚ － － ） 所 轨 轴 和 Ｙ轴 都是 轴对 称 图形 ， 关于 原 点 ０是 中心 对称 图
设 ＝ 。 ： ＋ ， ＝ ａ ｚ ＝ ： ｚ ＋ ｂ Ｙ ， ＞ Ｏ ｂ ｚ ≤ Ｕ ＝ ｚ。ｚ ，
一
一
…
…
＿ ≤ 叠 思 想 方 莞 解
～ ～ 。
形 ， 称 点 ０ 为 曲线 ｉ 的 中心 ． 司 ｎ
（） 点 ． ２顶
方 程② 与 ｙ ＝Ｏ联立 ， 可求 得 曲线 ｍ 与 轴 的交
下面 介绍 问题 ２的一种 方法 ， 参考 ． 供
ＯＭ Ｎ￣ Ｉ Ｉ
－ －
ｌ 。 ＾
ｌ
ｐ ０ 所 以 ， 得 ＞ ， 即
４ 。 －Ｚ ） ≠Ｏ ． ａ ｂＰ （ ：“ （ ）
①
（ ） Ｙ一０时 ， Ｍ 的 坐标 为 （ ０ ， ｌ Ｍ ｉ当 ｉ 点 ｚ， ） 由 Ｉ Ｏ
ａ ｏ
ｌ 。 （ － Ｘ ） ＋（ －ｙ ） ＡＢｌ一 ｌ ２ ｌ ２
相交 于 Ａ、 两点 ， ０是 坐标 原点 ， ０作 ｏ 上ｚ Ｂ 点 过 Ｍ ， Ｍ 是垂 足 ． 当
… Ｕ ｌ 一
一ｐ ｏ为常 数 时 ， 点 Ｍ 的轨 迹 ＞ 求
（ ） 一。 Ｈ手 ） ２
即（ 。 ｚ ） ２ ｚ ＋ Ｙ ） ｆ （ 口ｚ ＋ｂ ｚ 一 ａ ｚ（ ｚ ＋口 ［ ｚ ＋ ） －ｂ 。 一１ １ ２ 。 ］ ， ，．
应 用二 次方 程 的根与 系数 的关 系公 式 ， 得
．
・
（。 ｚ ＋ ≠ Ｏ ． ）
②
２ ． ＋ 、 ） 口 ｚ（ ｚ ， ０
一 ＞ ０知 ＋ ＞ Ｏ （ 一ｚ ） ＋（ —Ｙ ）＞ Ｏ ， １ ２ ｌ ２ 。 ． （） Ｙ ｉ当 ≠０时 ， Ｍ 不 在 ｚ 轴上 ， 不 是 ． 轴 的 点 ｚ ２ ７
ＮＩ ＩＢＩ一（１ Ｙ）￣ ａ－ｘ） Ａ ： Ａ 。 ２－ ２。 － － ｚ． （
由 一 得 ４ （
［ ＋ｚ ） － ４ ・ ］ （ ｚ ｘ ｚ
（ ２ ２Байду номын сангаасＵ ＋ ｂ ｙ ｕ ａ， － ） ｚ Ｚ２ ￣ ．
Ｍ２ Ｚ ． － ４）
一
方 程 ， 讨 论 轨 迹 的性 质 ． 并
这个 问题 与 问题 １ 归为 同类 ． 可 它们 有 着相 同 的 架构 ， 着相 同的背 景 ， 前提 都 是直 线 与 椭 圆相 交 ， 有 大 并讨论 原 点在 直线 上 的正投 影 的轨 迹 问 题． 同 的是 不
一户ｆ ＡＢ｝ ＞Ｏ知 ｚ≠０ 由 Ｏ ． Ｍ上ＡＢ， 足 为 Ｍ 知 垂 一 ｚ — ， 故 满 足 一１ 一１ 一 一 ，一 １ ２ ，． 则 ． 一± ｙ ，
设 （，） （，） （ ．由 Ａ Ｙ、 Ｙ、 ｚ ） ｛ １Ｂ ：ｚＭ ， 则
・
ｆ
Ｉ
点 的横 坐标 为 ｚ一± ；
∈号 ） 当 ＜＜ 时有 异 两 根 『，． 乏 ｐ ，相 的 个 和 即 ０ 当 时只 一 根 ：； 一 时 ｓ ４ ｐ麦 ，有 个 巩：当 ， ； 而 ＝ ｏ
和 重 ，等 号 是 根都 于 ．
综合 可得 Ｐ一Ｏ在［ ， ） 的根 为 ： ０７上 ｃ
情形 ．
则 詈ｚ 专ｚ 一 ， — ＋ （ ） （＋ ｚ） — ｚ
一 １， ． ２
综合 （） ｉ ， ｉ（ ） 得到 点 Ｍ 的轨 迹方 程为 ｉ ４ 。 ａ ｚ ａ ｂＰ ［ ２ ＋ ｂＹ ２ 一 （７ Ｙ ） ＝ ａ ｚ ． ２ 。＋ ］＝ ：（ ２
＋ Ｙ 。， ）