2020年河北省石家庄市高考数学一模试卷(理科)

2020年河北省石家庄市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知复数3213i
z i
-+=++，则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．（5分）设集合{|||3}P x x =>，2{|4}Q x x =>，则下列结论正确的是( ) A ．Q
P B ．P Q C ．P Q = D ．P Q R =
3．（5分）若2242(),log 3,log 63
a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c b a <<
D ．b c a <<
4．（5分）若x ，y 满足约束条件026
36,x y x y +⎧⎨-⎩
则2z x y =+的最大值为( )
A ．10
B ．8
C ．5
D ．3
5．（5分）“斗拱”是中国古代建筑中特有的构件，从最初的承重作用，到明清时期集承重与装饰作用于一体．在立柱顶、额枋和檐檩间或构架间，从枋上加的一层层探出成弓形的承重结构叫拱拱与拱之间垫的方形木块叫斗．如图所示，是“散斗”（又名“三才升” )的三视图（三视图中的单位：分米），现计划用一块长方体的海南黄花梨木料加工成该散斗，则长方体木料的最小体积为( )立方分米．
A ．40
B ．
853
C ．30
D ．
733
6．（5分）不透明的袋中装有8个大小质地相同的小球，其中红色的小球6个，白色的小球2个，从袋中任取2个小球，则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为( )
A ．
314
B ．
37
C ．
67
D ．
1328
7．（5分）已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点，M 是C 上一点，MF 的延长线交y 轴于点N ．若2MF FN =，则||MF 的值为( )
A ．8
B ．6
C ．4
D ．2
8．（5分）某函数的部分图象如图，则下列函数中可以作为该函数的解析式的是( )
A ．sin 2sin 2x x
y e = B ．cos2cos2x x
y e = C ．cos2|cos2|
x
x y e =
D ．cos |cos |
x
x y e =
9．（5分）如图，某中学数学兴趣小组要测量底部不能到达的某铁塔AB 的高度（如图），铁塔AB 垂直于水平面，在塔的同一侧且与塔底部B 在同一水平面上选择C ，D 两观测点，且
在C ，D 两点测得塔顶的仰角分别为45︒，30︒并测得120BCD ∠=︒，C ，D 两地相距600m ，
则铁塔AB 的高度是( )
A ．300 m
B ．600 m
C ．3003m
D ．6003m
10．（5分）已知函数()2|cos |sin sin 2f x x x x =+，给出下列三个命题： ①函数()f x 的图象关于直线4
x π
=对称；
②函数()f x 在区间[,]44
ππ
-
上单调递增；
③函数()f x 的最小正周期为π． 其中真命题的个数是( ) A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
11．（5分）已知ABC ∆是由具有公共直角边的两块直角三角板(Rt ACD ∆与Rt BCD)∆组成的
三角形，如左图所示．其中，45CAD ∠=︒，60BCD ∠=︒现将Rt ACD ∆绕斜边AC 旋转至△1D AC 处1(D 不在平面ABC 上）
．若M 为BC 的中点，则在ACD ∆旋转过程中，直线1AD 与DM 所成角(θ )
A ．(0,45)θ∈︒︒
B ．(0θ∈︒，45]︒
C ．(0θ∈︒，60]︒
D ．(0,60)θ∈︒︒
12．（5分）设符号{min x ，y ，}z 表示x ，y ，z 中的最小者，已知函数(){|2|f x min x =-，2x ，|2|}x +则下列结论正确的是( )
A ．[0x ∀∈，)+∞，(2)()f x f x ->
B ．[1x ∀∈，)+∞，(2)()f x f x ->
C ．x R ∀∈，(())()f f x f x
D ．x R ∀∈，(())()f f x f x >
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 13．（5分）函数y x lnx =+在点(1,1)处的切线方程为 ．
14．（5分）已知向量a ，b 满足||2a =，||1b =，若()()a a b b a b ++-的最大值为1，则向量a ，b 的夹角θ的最小值为 ，|2|a b +的取值范围为 ．
15．（5分）飞镖锦标赛的赛制为投掷飞镖3次为一轮，一轮中投掷3次飞镖至少两次投中9环以上，则评定该轮投掷飞镖的成绩为优秀．某选手投掷飞镖每轮成绩为优秀的概率为4
5
，则该选手投掷飞镖共三轮，至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率是
16．（5分）已知双曲线C 的方程为2
2
18
y x -=，右焦点为F ，若点(0,6)N ，M 是双曲线C
的左支上一点，则FMN ∆周长的最小值为
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分. 17．（12分）已知数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22a =，36S a =，数列{}n b 满足：2124b b ==，当3n ，*n N ∈时，1122(22)2n n n a b a b a b n b ++⋯+=-+． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）令*,n
n n
a c n N
b =
∈，证明：122n c c c ++⋯+<． 18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直
角梯形，2
ABC BAD π
∠=∠=，2PA AD ==，1AB BC ==，点M ，E 分别是PA ，PD 的
中点．
（1）求证：//CE 平面BMD ；
（2）点Q 为线段BP 中点，求直线PA 与平面CEQ 所成角的余弦值．
19．（12分）已知椭圆22
22:1(0))x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为A 、B ，且||4AB =，
椭圆C 3
．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知点(1M ，)(0)m m ≠在椭圆C 内，直线AM 与BM 分别与椭圆C 交于E 、F 两点，若AM F ∆面积是BM E ∆面积的5倍，求m 的值．
20．（12分）BMI 指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数值，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准．对于高中男体育特长生而言，当BMI 数值大于或等于20.5时，我们说体重较重，当BMI 数值小于20.5时，我们说体重较轻，身高大于或等于170cm 时，我们说身高较高，身高小于170cm 时，我们说身高较矮．某中小学生成长与发展机构从某市的320名高中男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高()i cm x
166
167
160
173
178
169
158
173
体重()i kg y
57 58 53 61 66 57 50 66
（1）根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程ˆ0.875.9y
x =-．利用已经求得的线性
回归方程，请完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值2R （保留两位有效数字）；
（2）通过残差分析，对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误．已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为58()kg ．请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程．
参考公式：
2
21
1
()1(n
i
i i n i
i y
y R y
==-=-
∑∑．
1
12
221
1
()()
ˆ()
n
n
i
x i y
i i
x y
i i n
n
i
x
i
x
i i x
y x y
n b
x
x
n
-
---==--==---==
--∑∑∑∑，
ˆˆa y bx =-．ˆˆˆi i i
e y bx a =--． 参考数据：81
78880i i i x y ==∑，2
8
1226112i i x ==∑，168x =，58.5y =，8
21
()226i i y y =-=∑．
21．（12分）已知函数()2()f x ln ax b =+，其中a ，b R ∈．
（1）当0a >时，若直线y x =是曲线()y f x =的切线，求ab 的最大值；
（2）设1b =，函数2()(1)(1)()(g x ax a ax f x a R =+++-∈，0)a ≠有两个不同的零点，求a 的最大整数值．（参考数据5:0.223)4
ln ≈
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4--4：坐标系与参数方程]
22．（10分）极坐标系于直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 正半轴为极轴．已知曲线1C 的极坐标方程为4cos()3
π
ρθ=-，曲线2C 的极坐标方程为
cos()3
a πρθ-=，射线6
πθα=-，θα=，3
πθα=+，2
π
θα=+与曲线1C 分别交异于极
点O 的四点A ，B ，C ，D ．
（1）若曲线1C 关于曲线2C 对称，求a 的值，并把曲线1C 和2C 化成直角坐标方程； （2）设()||||||||f OA OB OC OD α=+，当6
3
π
π
α
时，求()f α的值域．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数()|21||1|f x x x =-+-． （Ⅰ）求不等式()4f x 的解集；
（Ⅱ）设函数()f x 的最小值为m ，当a ，b ，c R +∈，且a b c m ++=时，求
2020年河北省石家庄市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知复数3213i
z i
-+=++，则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【解答】解：复数3(13)
2221313i i i z i i i
-++=+=+=+++，则复数z 在复平面内对应的点(2,1)在第一象限． 故选：A ．
2．（5分）设集合{|||3}P x x =>，2{|4}Q x x =>，则下列结论正确的是( ) A ．Q
P B ．P Q C ．P Q = D ．P Q R =
【解答】解：集合{|||3}{|3P x x x x =>=<-或3}x >，2{|4}{|2Q x x x x =>=<-或2}x >，
P Q ∴，
故选：B ．
3．（5分）若2242
(),log 3,log 63
a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c b a <<
D ．b c a <<
【解答】解：由 可得4
9
a =，42log 6log c == 则 可知，1
b
c a >>>， 故选：B ．
4．（5分）若x ，y 满足约束条件026
36,x y x y +⎧⎨-⎩
则2z x y =+的最大值为( )
A ．10
B ．8
C ．5
D ．3
【解答】解：由约束条件026
36,x y x y +⎧⎨-⎩
作出可行域如图，
化目标函数2
z x y
=+为直线方程的斜截式，
1
22
z
y x
=-+，
由图可知，当直线
1
22
z
y x
=-+过(3,0)
A时，直线在y轴上的截距最大，
z有最大值为3．
故选：D．
5．（5分）“斗拱”是中国古代建筑中特有的构件，从最初的承重作用，到明清时期集承重与装饰作用于一体．在立柱顶、额枋和檐檩间或构架间，从枋上加的一层层探出成弓形的承重结构叫拱拱与拱之间垫的方形木块叫斗．如图所示，是“散斗”（又名“三才升”)的三视图（三视图中的单位：分米），现计划用一块长方体的海南黄花梨木料加工成该散斗，则长方体木料的最小体积为()立方分米．
A．40B．85
3
C．30D．
73
3
【解答】解：由三视图还原原几何体如图，
要加工成如图所示散斗，则长方体木料长的最小值为4，宽的最小值为4，高的最小值为52
， 则则长方体木料的最小体积为5
44402
⨯⨯=立方分米． 故选：A ．
6．（5分）不透明的袋中装有8个大小质地相同的小球，其中红色的小球6个，白色的小球2个，从袋中任取2个小球，则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为( ) A ．
3
14
B ．
37
C ．
67
D ．
1328
【解答】解：不透明的袋中装有8个大小质地相同的小球，其中红色的小球6个，白色的小球2个，
从袋中任取2个小球，基本事件总数2828n C ==，
取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球包含的基本事件个数：
11
6212m C C ==，
则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为123
287
m p n ===． 故选：B ．
7．（5分）已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点，M 是C 上一点，MF 的延长线交y 轴于点N ．若2MF FN =，则||MF 的值为( )
A ．8
B ．6
C ．4
D ．2
【解答】解：由抛物线的方程可得焦点(2,0)F ，准线方程为：2x =-，
作MA 垂直于y 轴交于A ，因为2MF FN =，所以可得F 为线段MN 的三等分点，即1
3
NF MN =，
由NFO NMA ∆∆∽，所以1
3
OF MA =，即3326MA OF ==⨯=，
所以||628MF =+=， 故选：A ．
8．（5分）某函数的部分图象如图，则下列函数中可以作为该函数的解析式的是( )
A ．sin 2sin 2x x
y e = B ．cos2cos2x x
y e = C ．cos2|cos2|
x
x y e =
D ．cos |cos |
x
x y e =
【解答】解：由图象可知，当0x =时，0y ≠，故排除选项A ； 又对任意的x ，函数值0y ，故排除选项B ； 对选项D ，当12
x π
=
>时，0y =，这与图象矛盾，
综上，选项C 满足题意． 故选：C ．
9．（5分）如图，某中学数学兴趣小组要测量底部不能到达的某铁塔AB 的高度（如图），铁塔AB 垂直于水平面，在塔的同一侧且与塔底部B 在同一水平面上选择C ，D 两观测点，且
在C ，D 两点测得塔顶的仰角分别为45︒，30︒并测得120BCD ∠=︒，C ，D 两地相距600m ，
则铁塔AB 的高度是( )
A ．300 m
B ．600 m
C ．3003m
D ．6003m
【解答】解：设AB x =，由图利用直角三角形的性质可得：BC AB x ==，3BD x =， 在BCD ∆中，由余弦定理可得：22236002600cos120x x x =+-⨯︒，化为：
23001800000x x --=，
解得600x =． 故选：B ．
10．（5分）已知函数()2|cos |sin sin 2f x x x x =+，给出下列三个命题： ①函数()f x 的图象关于直线4
x π
=对称；
②函数()f x 在区间[,]44
ππ
-
上单调递增；
③函数()f x 的最小正周期为π． 其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1
C ．2
D ．3 【
解
答
】
解
：
332cos sin sin 2,[2,2]0,[2,2]2222
()2|cos |sin sin 2,2cos sin sin 2,[2,2)2sin 2,[2,2)
2222
x x x x k k x k k f x x x x k Z
x x x x k k x x k k ππππππππππππππππ⎧⎧
-+∈++∈++⎪⎪⎪⎪=+==∈⎨⎨⎪⎪+∈-++∈-++⎪⎪⎩⎩，
其大致图象如图所示，
①()f x 的图象不关于直线4
x π
=对称，即①错误；
②()f x 在区间[,]44
ππ
-
上单调递增，即②正确； ③()f x 的最小正周期为2π，即③错误． 所以真命题只有②， 故选：B ．
11．（5分）已知ABC ∆是由具有公共直角边的两块直角三角板(Rt ACD ∆与Rt BCD)∆组成的三角形，如左图所示．其中，45CAD ∠=︒，60BCD ∠=︒现将Rt ACD ∆绕斜边AC 旋转至△1D AC 处1(D 不在平面ABC 上）
．若M 为BC 的中点，则在ACD ∆旋转过程中，直线1AD 与
DM 所成角(θ )
A ．(0,45)θ∈︒︒
B ．(0θ∈︒，45]︒
C ．(0θ∈︒，60]︒
D ．(0,60)θ∈︒︒
【解答】解：作//AP DM ，1AD 可以看成以AC 为轴线，以45︒为平面角的圆锥的母线， 由题意知1AD 与AP 落在同一个轴截面上时， 1PAD ∠取得最大值，则1PAD ∠的最大值为60︒，
此时，1D ∈平面ABC ，
1D 不在平面ABC 上，1(0,60)PAD ∴∠∈︒︒，
∴在ACD ∆旋转过程中，直线1AD 与DM 所成角(0,60)θ∈︒︒．
故选：D ．
12．（5分）设符号{min x ，y ，}z 表示x ，y ，z 中的最小者，已知函数(){|2|f x min x =-，2x ，|2|}x +则下列结论正确的是( )
A ．[0x ∀∈，)+∞，(2)()f x f x ->
B ．[1x ∀∈，)+∞，(2)()f x f x ->
C ．x R ∀∈，(())()f f x f x
D ．x R ∀∈，(())()f f x f x >
【解答】解：如图所示：由题意可得A 中，2,[0,1]()|2|,(1,)x x f x x x ⎧∈=⎨-∈+∞⎩
B 中，当12x 时，120x --，(2)(2)2()f x f x x f x -=--=，
当23x <时，021x <-，(2)2()f x x f x --=，
当34x <时，122x <-，(2)2(2)42()f x x x x f x -=--=--=，当4x ，22x -，恒有(2)()f x f x -<，所以B 不正确，A 也不正确；
C 中，从图象上看，[0x ∈，)+∞，()f x x ，
令()t f x =，则0t ，所以()f t t ，即(())()f f x f x ，故C 正确，D 不正确． 故选：C ．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 13．（5分）函数y x lnx =+在点(1,1)处的切线方程为 210x y --= ． 【解答】解：1y x nx =+，
∴1
1y x
'=+
， 1|112x k y =∴='=+=，
∴函数1y x nx =+在点(1,1)处的切线方程为12(1)y x -=-，
整理，得210x y --=． 故答案为：210x y --=．
14．（5分）已知向量a ，b 满足||2a =，||1b =，若()()a a b b a b ++-的最大值为1，则向量a ，b 的夹角θ的最小值为
23
π
，|2|a b +的取值范围为 ． 【解答】解：设向量a ，b 的夹角为θ，则[0θ∈，]π； 又||2a =，||1b =，
所以22()()421cos 12cos 134cos a a b b a b a a b b a b θθθ++-=++-=+⨯⨯+⨯⨯-=+， 即34cos 1θ+， 解得1cos 2
θ-
； 则向量a ，b 的夹角θ的最小值为23
π； 即2[
3
π
θ∈，]π； 所以222(2)444421cos 488cos a b a a b b θθ+=++=+⨯⨯⨯+=+， 又cos [1θ∈-，1
]2
-，
所以88cos [0θ+∈，4]，
所以|2|a b +的取值范围是[0，2]． 故答案为：
23
π
，[0，2]． 15．（5分）飞镖锦标赛的赛制为投掷飞镖3次为一轮，一轮中投掷3次飞镖至少两次投中9环以上，则评定该轮投掷飞镖的成绩为优秀．某选手投掷飞镖每轮成绩为优秀的概率为45
，则该选手投掷飞镖共三轮，至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率是 124
125
【解答】解：飞镖锦标赛的赛制为投掷飞镖3次为一轮，
一轮中投掷3次飞镖至少两次投中9环以上，则评定该轮投掷飞镖的成绩为优秀． 某选手投掷飞镖每轮成绩为优秀的概率为
4
5
， 则该选手投掷飞镖共三轮，至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率是： 003
3411241()()55125
P C =-=
． 故答案为：
124
125
．
16．（5分）已知双曲线C 的方程为2
1x =，右焦点为F ，若点(0,6)N ，M 是双曲线C
的左支上一点，则FMN ∆周长的最小值为 2
【解答】解：双曲线的标准方程为2
2
18
y x -=，
设双曲线的左焦点为F '，
由双曲线C 可得(3,0)F ，(3,0)F '-，||NF =
MNF ∆周长为||||||||||MN MF NF MN MF ++=++，
由双曲线的定义可得||||22MF MF a '-==， 即有||||||||2MN MF MN MF '+=++， 当P 在左支上运动到M ，N ，F '共线时，
||||MN MF '+取得最小值||NF '=
则有MNF ∆周长的最小值为22=．
故答案为：2．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分. 17．（12分）已知数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22a =，36S a =，数列{}n b 满足：2124b b ==，当3n ，*n N ∈时，1122(22)2n n n a b a b a b n b ++⋯+=-+． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）令*,n
n n
a c n N
b =
∈，证明：122n c c c ++⋯+<． 【解答】解：（1）数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22a =，36S a =， 设数列的首项为1a ，公差为d ， 则：1112335a d a d a d
+=⎧⎨
+=+⎩，解得：1
1
1
a d =⎧⎨=⎩，
所以1(1)n a n n =+-=．
数列{}n b 满足：2124b b ==，1122(22)2n n n a b a b a b n b ++⋯+=-+．① 所以1122111(24)2n n n a b a b a b n b ---++⋯+=-+．② ①-②得：1(22)(24)n n n n a b n b n b -=---， 由于n a n =， 整理得
1
2n
n b b -=（常数）， 所以数列{}n b 是以12b =为首项，2为公比的等比数列． 所以1222n n n b -=⨯=． 由于首项符合通项公式， 所以2n n b =．
证明：（2）由（1）得2
n n n n a n
c b ==， 所以212222
n n n
T =
++⋯+①， 故2311122222
n n n
T +=++⋯+② ①-②得：211111
(1)
111112
2()112222222212n n n n n n n n n n T +++-=++⋯+-=-=---， 所以1
12222
n n n n
T -=-
-<． 即122n c c c ++⋯+<．
18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2
ABC BAD π
∠=∠=，2PA AD ==，1AB BC ==，点M ，E 分别是PA ，PD 的
中点．
（1）求证：//CE 平面BMD ；
（2）点Q 为线段BP 中点，求直线PA 与平面CEQ 所成角的余弦值．
【解答】（1）证明：连接ME ，因为点M ，E 分别是PA ，PD 的中点，所以1
2
ME AD =
，//ME AD ，
所以//BC ME ，BC ME =，所以四边形BCEM 为平行四边形， 所以//CE BM ．又因为BM ⊂平面BMD ，CE ⊂/平面BMD ， 所以//CE 平面BMD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分）
（2）如图，以A 为坐标原点建立空间坐标系O xyz -，则又1
(2
CQ =-，1-，1)，(1CE =-，0，1)，
设平面CEQ 的法向量为(n x =，y ，)z ，列方程组00
n CQ n CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，
可得：1
20x y z x z ⎧--+=⎪⎨⎪-+=⎩其中一个法向量为(2n =，1，2)，
设直线PA 与平面CEQ 所成角大小为θ，于是2
2sin 3
414
001
θ==++++， 进而求得5
cos θ=
（15分） 19．（12分）已知椭圆22
22:1(0))x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为A 、B ，且||4AB =，
椭圆C 3
．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知点(1M ，)(0)m m ≠在椭圆C 内，直线AM 与BM 分别与椭圆C 交于E 、F 两点，若AM F ∆面积是BM E ∆面积的5倍，求m 的值．
【解答】解：（1）由题意可得：222
24
3a c
a a
b c
=⎧⎪
⎪=⎨⎪=+⎪⎩
，解得213a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，
∴椭圆C 的标准方程为：2
214
x y +=；
（2）(1,)M m ，(2,0)A -，(2,0)B ，
∴直线AM 的斜率3
AM m k =
， ∴直线AM 的方程为：(2)3
m
y x =
+， 联立方程22(2)3
14m y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2
1294E m y m =+， 同理可得2
414F m
y m =
+，
5AMF BME S S ∆∆=，即()5()ABF ABM ABE ABM S S S S ∆∆∆∆-=-， 54ABF ABE ABM S S S ∆∆∆∴=-，
∴22
412|
|5||4||1494m m
m m m
=-++，又0m ≠， 42161630m m ∴-+=，解得214m =
或3
4
， 点M 在椭圆内，∴234
m <， ∴214
m =
， 1
2
m ∴=±．
20．（12分）BMI 指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数值，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准．对于高中男体育特长生而言，当BMI 数值大于或等于20.5时，我们说体重较重，当BMI 数值小于20.5时，我们说体重较轻，身高大于或等于170cm 时，我们说身高较高，身高小于170cm 时，我们说身高较矮．某中小学生成长与发展机构从某市的320名高中男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示：
（1）根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程ˆ0.875.9y
x =-．利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值
2R （保留两位有效数字）；
（2）通过残差分析，对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误．已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为58()kg ．请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程．
参考公式：
2
21
2
1
()1()
n
i
i i n i
i y
y R y
y ==-=-
-∑∑．
1
12
221
1
()()
ˆ()
n
n
i
x i y
i i
x y
i i n
n
i
x
i
x
i i x
y x y
n b
x
x
n
-
---==--==---==
--∑∑∑∑，
ˆˆa y bx =-．ˆˆˆi i i
e y bx a =--． 参考数据：81
78880i i i x y ==∑，2
8
1226112i i x ==∑，168x =，58.5y =，8
21
()226i i y y =-=∑．
【解答】解：（1）由题意知线性回归方程为ˆ0.875.9y x =-， 计算
6ˆ570.816975.9 2.3e
=-⨯+=-， 7ˆ500.815875.90.5e
=-⨯+=-， 8ˆ660.817375.9 3.5e
=-⨯+=； 完善下列残差表如下，
计
算
2
21
2
1
()1
11(0.010.090.81 2.250.25 5.290.2512.25)10.090.90226
()n
i
i i n i
i y
y R y
y ==-=-
=-⨯+++++++≈-=-∑∑；
所以解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值20.90R ≈． （2）通过残差分析知，残差的最大（绝对值）的那组数据为第8组，
且858y =，由8
1
78880i i i x y ==∑，计算修订后8
1
78880173661735877496i i i x y ='=-⨯+⨯=∑，
又2
8
1226112i i
x ==∑，168x =，修订后1
(858.56658)57.58y '=⨯⨯-+=，
所以1
2
221
77496816857.5
ˆ0.6752261128168n
i i
x y
i n
i
x
i x y
n b
x
n --=-=--⨯⨯==
=-⨯-∑∑，
ˆˆ57.50.67516855.9a
y bx ='-=-⨯=-； 所以x 关于y 的线性回归方程是ˆ0.67555.9y
x =-． 21．（12分）已知函数()2()f x ln ax b =+，其中a ，b R ∈．
（1）当0a >时，若直线y x =是曲线()y f x =的切线，求ab 的最大值；
（2）设1b =，函数2()(1)(1)()(g x ax a ax f x a R =+++-∈，0)a ≠有两个不同的零点，求a 的最大整数值．（参考数据5
:0.223)4
ln ≈
【解答】解：（1）设直线y x =与()y f x =相切于点0(P x ，02())ln ax b +， 2()a
f x ax b '=
+， 002()1a
f x ax b '∴==+，02ax b a ∴+= (0)a >，
又点P 在切线y x =上，002()ln ax b x ∴+=， 022ln a x ∴=，02222b a ax a aln a ∴=-=-，
因此22222ab a a ln a =-(0)a >，
设g （a ）22222a a ln a =-，0a >，
g '∴（a ）2422(122)a aln a a ln a =-=-，
令g '（a ）0>
得，0a <<
g '（a ）o <
得，a > g ∴（a
）在
上单调递增，在，)+∞上单调递减， g ∴（a
）的最大值为4e g =， ab ∴的最大值为4
e ； （2）函数2()(1)(1)()(g x ax a ax
f x a R =+++-∈，0)a ≠有两个不同的零点，
等价于方程22(1)(1)(1)ln ax ax a ax +=+++有两个不相等的实根，
设1t ax =+，则等价于方程220lnt t at --= (0)t >有两个不同的解，
即关于t 的方程2
2lnt t a t
-= (0)t >有两个不同的解， 设22()lnt t h t t -=，则22
22()t lnt h t t --'=， 设2()22m t t lnt =--，由0t >
可知()m t '=-， ()m t ∴在(0,)+∞上单调递减，又m （1）10=>，575()204164
m ln =-<， ∴存在05(1,)4
t ∈使得0()0m t =，即200220t lnt --=，∴20022lnt t +=， ∴当0(0,)t t ∈时，
()0m t >，()0h t '>，函数()h t 单调递增；当0(t t ∈，)+∞时，()0m t <，()0h t '<，函数()h t 单调递减，
∴函数()h t 的极大值为220000000022229()2(,0)10
lnt t t h t t t t t --===-∈-， 要使得关于t 的方程2
2lnt t a t
-= (0)t >有两个不同的解，则0()a h t <， 当1a =-时，设2()2p t lnt t t =-+， 则2()21p t t t
'=
-+，可知()p t
在
上单调递增，在，)+∞上单调递减， 又p （1）0=
，0p >，p （e ）220e e =-+<， ()p t ∴有两个不同的零点，符合题意，
a ∴的最大整数值为1-．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4--4：坐标系与参数方程]
22．（10分）极坐标系于直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 正半轴
为极轴．已知曲线1C 的极坐标方程为4cos()3π
ρθ=-，曲线2C 的极坐标方程为cos()3a πρθ-=，射线6πθα=-，θα=，3πθα=+，2
πθα=+与曲线1C 分别交异于极点O 的四点A ，B ，C ，D ．
（1）若曲线1C 关于曲线2C 对称，求a 的值，并把曲线1C 和2C 化成直角坐标方程；
（2）设()||||||||f OA OB OC OD α=+，当63π
π
α时，求()f α的值域．
【解答】解：（1）1:4cos()3
C πρθ=-，即22cos sin ρρθθ=+，
化为直角坐标方程为22(1)(4x y -+=
把2C 的方程化为直角坐标方程为20x a -=，
因为曲线1C 关于曲线2C 对称，故直线20a =经过圆心(1，
解得2a =，故2C 的直角坐标方程为0x =．
（2）由题意可得，当63ππ
α时，
||4sin OA α=；||4cos()3OB πα=-；||4cos OC α=；||4sin()3
OD πα=-， ∴设
2
()||||||||16sin cos 16cos()sin()8sin 28sin(2)12sin 2)3336f OA OB OC OD ππππαααααααααα=+=+--=--=+=+，
当63ππα时，52266
π
π
πα+， 383sin(2)836π
α+，
故()f α的值域为
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数()|21||1|f x x x =-+-．
（Ⅰ）求不等式()4f x 的解集；
（Ⅱ）设函数()f x 的最小值为m ，当a ，b ，c R +∈，且a b c m ++=时，
求
【解答】解：（Ⅰ）1()42324x f x x ⎧<⎪⇔⎨⎪-+⎩或1124
x x ⎧<⎪⎨⎪⎩或1324x x ⎧⎨-⎩， 解得223
x -， 故不等式()4f x 的解集为2{|2}3x x -
（Ⅱ）132,21(),1232,1x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=<⎨⎪-⎪⎪⎩，1()2min f x ∴=，即12m =， 又a ，
b ，
c R +∈且12a b c ++=，z 则2221a b c ++=，
设x =
y
z =， 222x y xy +，2222121222xy x y a b a b +=+++=++，
同理：2222yz a c ++，2222xz c a ++，
2222222222228xy yz xz a b b c c a ∴++++++++++=，
2222()222212121812x y z x y z xy yz xz a b c ∴++=+++++++++++=， 23x y z ∴
++
，即123，
当且仅当16
a b c ===
时，取得最大值．。