光滑闭流形上的Lefschetz不动点定理

南开大学
硕士学位论文
光滑闭流形上的Lefschetz不动点定理
姓名：***
申请学位级别：硕士
专业：基础数学
指导教师：***
2012-05
中文摘要
中文摘要
这是一篇读书笔记，参照文献【ｌ】，用热方程的方法证明光滑流形上的Ｌｅｆｓｅｈｅｔｚ不动点定理，并给出计算Ｌｅｆｓｃｈｅｔｚ数的公式。

文章先介绍基本概念，包括傅立叶变换，拟微分算子与象征，椭圆链复形；利用Ｈｏｄｇｅ分解定理将Ｌｅｆｓｃｈｅｔｚ数与椭圆算子的零特征值特征子空间相联系，再联系到固定椭圆算子的所有特征子空间，从而转化为热方程的解的积分核的迹，此热方程有椭圆算子，解由椭圆算子决定，最后利用椭圆算子的象征变形，再积分，得到结果。

关键词：拟微分算子，象征，椭圆算子，热方程，Ｌｅｆｓｃｈｅｔｚ不动点定理
Ａｂｓｔｒａｃｔ
Ａｂｓｔｒａｃｔ
Ｔｈｉｓｐａｓｓａｇｅｉｓａｒｅａｄｉｎｇｎｏｔｅｏｆｔｈｅｂｏｏｋ【１】ｂｙｔｈｅｍｅｔｈｏｄｏｆｈｅａｔ
ｅｑｕｍｉｏｎ，ｇｉｖｅａｐｒｏｏｆｏｆｔｈｅｃｌａｓｓｉｃａｌＬｅｆｓｃｈｅｔｚＦｉｘｅｄＰｏｉｎｔＴｈｅｏｒｅｍ，ａｎｄｇｉｖｅｔｈｅＬｅｆｓｃｈｅｔｚＦｉｘｅｄＰｏｉｎｔ
Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ，Ｐｓｅｕｄｏ．Ｆｏｒｍｕｌａ．Ｆｉｒｓｔｗｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｔｈｅｂａｓｉｃ
ｃｏｎｃｅｐｔｓ，ｉｎｃｌｕｄｉｎｇＦｏｕｒｉｅｒ
ＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＯｐｅｒａｔｏｒａｎｄｓｙｍｂｏｌ，ｅｌｌｉｐｔｉｃｃｏｍｐｌｅｘ；ａｓｓｏｃｉａｔｅＬｅｆｓｃｈｅｔｚｎｕｍｂｅｒｔｏｔｈｅｚｅｒｏｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｅｉｇｅｎｓｐａｃｅｏｆｅｌｌｉｐｔｉｃｏｐｅｒａｔｏｒｓｂｙＨｅｄｇｅＤｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎＴｈｅｒｅｏｍ，
ｍｏｒｅｏｖｅｒ，ｔｏａｌｌｔｈｅｅｉｇｅｎｓｐａｃｅｏｆｅｌｌｉｐｔｉｃｏｐｅｒａｔｏｒｓ，ｔｈｅｎｃｈａｎｇｅｉｎｔｏｔｈｅｔｒａｃｅｏｆｉｎｔｅ－ｇｒａｌｋｅｒｎｅｌｏｆｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｈｅａｔｅｑｕｍｉｏｎ，ｗｈｉｃｈａｒｅｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄｂｙｅｌｌｉｐｔｉｃｏｐｅｒａｔｏｒｓｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ；ａｔｌａｓｔ，ｕｓｅｔｈｅｓｙｍｂｏｌｏｆｔｈｅｅｌｌｉｐｔｉｃｏｐｅｒａｔｏｒ，ｗｈｉｃｈｗｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｅａｎｄｃｏｍｂｉｎｅ，ｔｈｅｎｍｕｔｌｉｐｌｙｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｆａｃｔｏｒａｎｄｉｎｔｅｇｒａｌｔｈｅｍｔｏｇｅｔｔｈｅｒｅｓｕＲ．ＫｅｙＷｏｒｄｓ：Ｐｓｅｕｄｏ－ＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＯｐｅｒａｔｏｒｓ，ｓｙｍｂｏｌ，ｅｌｌｉｐｔｉｃｏｐｅｒａｔｏｒ，ｈｅａｔｅｑｕａｏ
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Ｃｈａｐｔｅｒ１Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ
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ＬｅｔＭｂｅａｃｏｍｐａｃｔｔｏｐｏｌｏｇｙｓｐａｃｅ，ａｓｓｕｍｅＭｈｏｍｅｏｍｏｒｐｈｉｓｍｆｉｎｉｔｅｓｉｍｐｌｅｃｏｍ·ｐｌｅｘｅｓ，ａｍａｐｆ：Ｍ＿÷Ｍｉｎｄｕｃｅｓａｌｉｎｅａｒｍａｐｏｆｔｈｅｈｏｍｏｌｏｇｙｇｒｏｕｐ＾：绋（肘，Ｑ）－－ｔ，炜（肘，Ｑ），ｔｈｅｎＬｅｆｓｃｈｅｔｚｎｕｍｂｅｒｉｓｄｅｆｉｎｅｄｂｙ
Ｌ（，）＝∑（一１）ｐＴｒ（ｙ，ｏｎＨｐ（Ｍ，Ｑ））
Ｐ
ＴｈｅＬｅｆｓｃｈｅｔｚｆｉｘｅｄｐｏｉｎｔｔｈｅｏｒｅｍｉｓ：ｉｆＬ（ｆ）≠０，ｔｈｅｎｆｈａｓｆｉｘｅｄｐｏｉｎｔ．Ｉｎ【７】，ｔｈｅｒｅｉｓａｐｒｏｏｆｂｙｔｏｐｏｌｏｇｙｍｅｔｈｏｄ．
Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ＇ｗｅａｓｓｕｍｅＭｔｏｂｅａｓｍｏｏｔｈｃｌｏｓｅｄｍａｎｉｆｏｌｄ，ｍｅａｎｓａｓｍｏｏｔｈｃｏｍｐａｃｔｍａｎｉｆｏｌｄｗｉｔｈｏｕｔｂｏｕｎｄａｒｙ，ａｎｄｆ：Ｍ－－－｝Ｍｂｅａｓｍｏｏｔｈｍａｐ．广ｄｅｆｉｎｅｓａｍａｐｏｎｔｈｅ
ｃｏｈｏｍｏｌｏｇｙｏｆＭａｎｄｔｈｅＬｅｆｓｃｈｅｔｚｎｕｍｂｅｒｏｆｆｉｓｄｅｆｉｎｅｄ
ｂｙ：Ｌ（，）＝∑，（－］）ＰＴｒ（ｆ＂ｏｎｎｐ（肘；ｃ））
Ｗｅｇｅｔｔｈｅｍａｉｎｒｅｓｕｌｔ
Ｔｈｅｏｒｅｍ１．１．（ＬｅｆｉｃｈｅｔｚＦｉｘｅｄＰｏｉｎｔＴｈｅｏｒｅｍ）
矿己（力≠Ｏ，ｔｈｅｎｆｈａｓｆｏｃｅｄｐｏｉｎｔ．ｉ．ｅｔｈｅｒｅｅｘｉｓｔｘ∈ｍ，ｓｕｃｈｔｈａｔｆ（ｘ）＝工
Ｔｈｅｏｒｅｍ１．２．（ＣｌａｓｓｉｃａｌＬｅｆｓｃｈｅｔｚＦｉｘｅｄＰｏｉｎｔＦｏｒｍｕｌａ）
Ｌｅｔｆ：Ｍ—＋Ｍｂｅｓｍｏｏｔｈｗｉｔｈｉｓｏｌａｔｅｄｎｏｎ－ｄｅｇｅｎｅｒａｔｅｆｉｘｅｄｐｏｉｎｔｓ．Ｔｈｅｎ：
￡（，）＝Ｅ（－１）ｐＴｒ（ｆ。

ｏｎＨｐ∽；ｃ））＝Ｅｓｉｇｎｄｅｔ（１－－ｄｆ）（ｘｉ）
ｐｆ
Ｗｅｃａｎｃｏｎｓｉｄｅｒａｍｏｒｃｇｅｎｅｒａｌｃａｓｅ，ａｎｙｐａｒｔｉａｌｅｌｌ
ｉｐｔｉｃｃｏｍｐｌｅｘ．Ｗｅｇｅｔ：
Ｌｅｍｍａ１．３．Ｌｅｔ僻Ｅ）ｂｅａｎｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｌｌｉｐｔｉｃｃｏｍｐｌｅｘｏｖｅｒＭａｎｄｌｅｔｆ：Ｍ＿ＭｂｅｓｍｏｏｔｈｏＣｉｎｄｕｃｅｔｈｅｍａｐ广：ｒ（ｅ）＿÷ｒ（广陋）），ｗｈｅｒｅ广陋）＝工勘ｂ）×％伍）ｂｅｔｈｅｐｕｌｌ－ｂａｃｋｂｕｎｄｌｅ．Ｔｈａｔ西？仃∈ｒ（Ｅ），（厂ａ）Ｃｘ）＝仃（厂（工））Ｗｅａｓｓｕｍｅｇｉｖｅｎｌｉｎｅａｒｍａｐｓ靠：局，，０）－－＋目加∞ｗｅｄｅｆｉｎｅＦ＝妒ｉｏ广：ｒ（ｅ）－－＋ｒ（Ｅ），ｓｕｃｈｔｈａｔ毋Ｆ＝Ｆ毋ａｂｏｕｔｔｈｅｖｅｃｔｏｒｂｕｎｄｌｅ岛．Ｔｈｅｎｆａｎｄ咖ｉｎｄｕｃｅａｍａｐｏｎＨ‘（只ｙ），ｗｅｄｅｆｉｎｅ
Ｌ（ｆ）ｐ＝∑（一１）‘ｒｒ（Ｆ＋ｏｎＨ‘∽ｙ））
Ｔｈｅｎｗｅｃｏｍｐｕｔｅ
Ｌ（ｆ）ｐ＝∑（一１）‘Ｔｒ（Ｆ＋Ｐ叫令）
ｗｈｅｒｅＡｉ＝芹毋＋毋一ｌ肇ｌｉｓｔｈｅａｓｓｏｃｉａｔｅｄＬａｐｌａｃｉａｎ．
ＷｅｕｓｅｔｈｅｈｅａｔｅｑｕａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｔｏｃｏｍｐｕｔｅｔｈｅＬｅｆｓｃｈｅｔｚｎｕｍｂｅｒ．
１．Ｗｅｃｈａｎｇｅｔｈｅｎｕｍｂｅｒｔｏｂｅｔｈｅｔｒａｃｅｏｆ
ｏｐｅｒａｔｏｒｆ＊ｅ一岱
２．Ｃｏｍｐｕｔｅｔｈｅｔｒａｃｅｏｆｏｐｅｒａｔｏｒｂｙｔｈｅｔｒａｃｅｏｆｔｈｅｋｅｒｎｅｌｏｆｔｈｅｏｐｅｒａｔｏｒ
３．ＵｓｅｔｈｅｉｎｉｔｉａｌｏｐｅｒａｔｏｒＡ＇ｓｓｙｍｂｏｌ，ｔｏｇｅｔｔｈｅｏｐｅｒａｔｏｒ（Ａ一九）－１ｂｙｔｈｅｍｅｔｈｏｄｏｆｐｓｅｏｄｏ－ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｏｐｅｒａｔｏｒｓ，ｔｈｅｎｇｅｔ
Ｐ叫△－一壶上ｅ－ｔＺ（△一Ｚ）－１ｄＺ
Ｗｅｕｓｅｔｈｅ
ｆｏｌｌｏｗｉｎｇｔｈｅｏｒｅｍ：
Ｌｅｍｍａ１．４．ＬｅｔＰｂｅａｎｅｌｌｉｐｔｉｃｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｏｐｅｒａｔｏｒｏｆｏｒｄｅｒｄ＞０ｗ办耙办ｉｓｓｅｌｆ－ａｄｊｏｉｎｔａｎｄｗｈｉｃｈｈａｓａｐｏｓｉｔｉｖｅｄｅｆｉｎｉｔｅｌｅ口ｄｉｎｇｓｙｍｂｏｌｆｏｒ专≠Ｏ．Ｌｅｔｆ：Ｍ＿Ｍｂｅａｓｍｏｏｔｈｎｏｎ－ｄｅｇｅｎｅｒａｔｅｍａｐａｎｄｌｅｔ驴：Ｅ厂仅）－÷晟ｂｅａｓｍｏｏｔｈｖｅｃｔｏｒｂｕｎｄｌｅｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ．ＷｅｄｅｎｏｔｅＦ。

＝咖ｏｆ＊：ｒ（ｅ）－－＋ｒ（广（Ｅ））—÷ｒ（Ｅ）．ＩｆＫ捃ｔｈｅｋｅｒｎｅｌｏｙｅ舯ｔｈｅｎＴｒ（ｆ＊ｅ郇）＝厶Ｔｒ（Ｆ＋Ｋ）（ｆ，工，ｘ）ｄｖｏｌ（ｘ）．
（ａ）ｌｆｆｈａｓｎｏｆｖｃｅｄｐｏｉｎｔｓ，ＩＴｒ（广ｅ－ｔＰ）ｌ≤Ｇｔ万ａｓｙｏ，．ａｎｙｎｙｏ，．０＜ｔ＜ｌ
（ｂ）ｌｆｔｈｅｆｉｘｅｄｐｏｉｎｔｓｅｔｏｆｆｃｏｎｓｉｓｔｓｏｆｓｕｂｍａｎｉｆｏｌｄＭｌｏｆｄｉｍｅｎｓｉｏｎｍｉ．ｗｅｗｉｌｌｃｏｎｓｔｒｕｃｔｓｃａｌａｒｉｎｖａｒｉａｎｔａｎ∽ｗｈｉｃｈｄｅｐｅｎｄｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｕｐｏｎａ加ｉｔｅｎｕｍｂｅｒｏｆｊｅｔｓｏｆｔｈｅｓｙｍｂｏｌａｎｄｏｆｆ．Ｔｈｅａｎｘ）ａｒｅｄｅｆｉｎｅｄｏｖｅｒＭａｎｄ
Ｔｒ（Ｆ＊ｅ－ｔｐ）一军∑ｆ警厶酬ｄｒｏｌ（柚ｆ－÷ｏ＋ｎ＝０ｆ．，』Ｗ
ｄｖｏｌｉ（ｘ）ｄｅｎｏｔｅｓｔｈｅＲｉｍａｎｎｉａｎｍｅａｓｕｒｅｏｎｔｈｅｓｕｂｍａｎｉｆｏｌｄ．
’１．ｈｅｎ
Ｌ（，）＝∑（一Ｉ）ＰＴｒ（Ｆ＊ｅ－ｔＡｐ）一∑∑ｆ竿Ａ一（ｘ）ｄｖｏｌｉ（ｘ）
Ｐｉｎ＝Ｏ
ｗｈｅｒｅＡｎ（ｘ）＝∑ｐ（一１），ａ＾＠，Ａｐ）．Ｓｉｎｃｅｔｈｅｌｅｆｔｈａｎｄｄｏｅｓｎｏｔｄｅｐｅｎｄｏｎｔｈｅｐａｒａｍｅｔｅｒｔ．Ｗｅｊｕｓｔｃｏｎｓｉｄｅｒｔｈｅｔｅｒｍｗｈｅｒｅ九一ｍｆ＝０．
ＷｅｕｓｅｄｅＲｈａｍｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍ，ｔｈａｔｉｓＨＰ（Ｍ，Ｃ）竺ＨＰ（ｄ，人（肘）），ｔｏｃｏｍｐｕｔｅＬ（ｆ）ｏｎ
ｍａｎｉｆｏｌｄｂｙｔｈｅｄｅＲｈａｍｃｏｍｐｌｅｘ，ａｓａｓｐｅｃｉａｌｃａｓｅｏｆｅｌｌｉｐｔｉｃ
ｃｏｍｐｌｅｘ，ａｎｄｕｓｅｔｈｅｉｎｓｔｉｎｃｔｃｈａｒａｃｔｅｒｏｆｔｈｅｏｐｅｒａｔｏｒｄ，ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｆｏｒｍＡ（Ｍ）ｔｏｃｏｍｐｌｅｔｅｔｈｅｐｒｏｏｆ．
２
Ｃｈａｐｔｅｒ２ＳｃｈｗａｒｔｚＣｌａｓｓ，ＦｏｕｒｉｅｒＴｒａｎｓｆｏｒｍ，ＳｏｂｏｌｅｖＳｐａｃｅｓ
Ｃｈａｐｔｅｒ２ＳｃｈｗａｒｔｚＣｌａｓｓ，ＦｏｕｒｉｅｒＴｒａｎｓｆｏｒｍ，Ｓｏｂｏｌｅｖ
Ｓｐａｃｅｓ
Ｌｅｔｘ＝（ＸＩ，…，Ｘｍ）∈Ｒｍ．Ｉｆｘ，Ｙ∈Ｒｍ，ｗｅｄｅｆｉｎｅｘ·ｙ＝ｘｌ－Ｙｉ＋．．Ｊ．ｍ·ＹｍＩＸＩ＝＠·ｘ）主
ａｓｔｈｅＥｕｃｌｉｄｅａｎｉｎｎｅｒｐｒｏｄｕｃｔａｎｄｎｏｒｍ．Ｌｅｔａ＝（Ｏｆｌ，…，‰）ｂｅａｍｕｌｔｉｉｎｄｅｘ．Ｔｈｅａｊａｒｅｎｏｎ·ｎｅｇａｔｉｖｅｉｎｔｅｇｅｒｓ．Ｗｅｄｅｆｉｎｅ：ｌ口ｌ＝Ｏｆｌ＋…＋‰，ａ！＝ａｌ！…‰！，－－Ｘ？１．．．磅
Ｆｉｎａｌｌｙ，ｗｅｄｅｆｉｎｅ：
鳄＝（岳）∞…（毛）‰ａｎｄ磷＝（一ｆ）ｌａｌ砰ａｓａｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔｎｏｔａｔｉｏｎｆｏｒｍｕｌｔｉｐｌｅｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎ．
Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ２。

１．Ｓｃｈｗａｒｔｚｃｌａｓｓｙ
夕＝｛，：Ｒｍ＿Ｃ，ｓｍｏｏｔｈｃｏｍｐｌｅｘｖａｌｕｅｄｆｕｎｃｔｉｏｎｓＪｂｒａｌｉａ，ｆｌｔｈｅｒｅａｒｅｃｏｎｓｔａｎｔｓ％．ｓｕｃｈｔｈａｔｌｘａＤ堂ｘｆＩ≤Ｇ，口）
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ｏｆｔｈｅｆｏｒｍ：
ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｔｏａｓｓｕｍｅｔｈｅｒｅｅｘｉｓｔｅｓｔｉｍａｔｅｓ
ｆＩ≤Ｇ，口（１＋Ｉｘｌ）叫ｆｏｒａｌｌ（行，卢）
Ｔｈｅｆｕｎｃｔｉｏｎｓｉｎｙｈａｖｅａｌｌｔｌｌｅｉｒｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓｄｅｃｒｅａｓｉｎｇｆａｓｔｅｒｔｈａｎｔｈｅｉｎｖｅｒｓｅｏｆａｎｙ
ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｗｈｅｎＩＸＩｉｓｂｉｇｅｎｏｕｇｈ．
Ｗｅｌｅｔｄｘ，ｄｙ，ｅｔｃｄｅｎｏｔｅＬｅｂｅｓｇｕｅｍｅａｓｕｒｅｏｎＲｍｗｉｔｈａｎａｄｄｉｔｉｏｎａｌｎｏｒｍａｌｉｚｉｎｇｆａｃｔｏｒ
ｏｆ（２，ｔ）一’ｎ／２
Ｗｅｄｅｆｉｎｅｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎｐｒｏｄｕｃｔ
（，＋ｇ）ｘ）＝ｆｆＯ－ｙ）ｇ（ｙ）ｄｙ＝，，（ｙ）ｇ＠－ｙ）ｄｙ
Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ２．２．Ｆｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍ
Ｗｅｄｅｆｉｎｅｆ∈５ｐ＿÷，妙，（毒）＝ｆｅ－ｉｘ．喜ｆ（ｘ）ｄｘ
Ｌｅｍｍａ２．３．ＴｈｅＦｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍｉｓａｈｏｍｅｏｍｏｒｐｈｉｓｍ夕ｊ５ｐｓｕｃｈｔｈａｔ：
扛砂，（ｘ）＝ｆｅｈ’｛，（考）ｄ考＝，∥“—），）’｛，◇）ｄ矽毒∥一Ｄｌｆ，？妇，ｉｎｖｅｒｓｉｏｎｆｏｒｍｕｌａ）；
例，嗜＝（死）删，木雪＝（死）（ＴｈｅＦｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍｉｎｔｅｒｃｈａｎｇｅｓｔｈｅｔｗｏｍｕｌｔｉ－
ｐｌｉｃａｔｉｏｎ）
俐玩ＦｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍｅｘｔｅｎｄｓｔＯａｕｎｉｔａｒｙｍａｐｏｆＬ２（Ｒｍ）一Ｌ２（Ｒｍ），ｓｕｃｈｔｈａｔ（ｆ，ｇ）＝（，，季）．（Ｐｌａｎｃｈｅｒｅｌｔｈｏｅｒｅｍ）
（ｄ）Ｄａｆ（ｘ）＝，Ｐ“《回（｛）＝，Ｐ“·毒｛口，（考）ｄ毒
‘ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎｃｈａｎｇｅｓｔＯｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ’
毒ａ，（考）＝，辱ａＰ一及·｛ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆｅ一扛‘考碟，＠）出
‘ｔｈｅｎｏｒｒａｏｆｏｒｄｅｒａｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎｃｈａｎｇｅｓｔＯｔｈｅｎｏｒｍｏｆｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｅ毒ａ’ＰｒｏｏｆｉＳｅｅ【１】Ｐ．５
Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ２．４．ＳｏｂｏｌｅｖｓｐａｃｅＨｓ（Ｒｍ）Ｏｏｍｅａｓｕｒｅｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ砂驴ｎｏｒｍＩ·ｌ∥
ｌ／ｓ∈Ｒａｎｄｆ∈只ｗｅｄｅｆｉｎｅ？
腓＝／（１＋盱）５Ｉ，（考）１２ｄ，ｉ
ＴｈｅＳｏｂｏｌｅｖｓｐａｃｅ风（Ｒｍ）括ｔｈｅｃｏｍｐｌｅｔｉｏｎｏｆｄＰｗｉ砌ｒｅｓｐｅｃｔｔＯｔｈｅｎｏｒｍｌ‘ＩＪ
Ｌｅｍｍａ２．５．霹ｅｘｔｅｎｄｓｔＯｄｅｆｉｎｅａｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｍａｐ碟：凰＿÷皿一…
门口ＩｏｒｄｅｒＬ２ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓｌｏｓｔ）
跏够Ｉ毒ｆ１…考争Ｉ≤（１＋髻｝＋…繇）口－ｔ．．‰
ｍｅａｎｓ：ｌ考口１２（１＋Ｉ引２）ｓ－ｉ口Ｉ≤（１＋Ｉ考１２）５
ｉｍｐｌｉｅｓｔｈａｔ：ｌＯ譬ｆ１２＿…＝们＋盱）ｓ－ｌａｌｌ考口，（考）１２ｄ，ｉ≤ｉ／Ｉ．２ｆｏｒｆＥ夕
ＷｅｇｅｔＩＤ譬＾一磷ｇ小Ｉｌ…ｓＩ厶一Ｓｍｌ２，，ｆｏｒａｎｙ厶，ｇｍ∈Ｓ
Ｓｏｉｆｆ∈％，ｔｈｅｒｅｅｘｉｓｔｓ厶∈墨ｓｕｃｈｔｈａｔＩ厶一厂Ｉｊ．＋０，ａｓｎ－－＇ｔ＋∞
Ｗｅｄｅｆｉｎｅ碟，ｂｙｔｈｅｌｉｍｉｔｏｆＤｘａ．ｆｎｕｎｄｅｒｔｈｅｎｏｒｍｏｆｌ·ｌｓ．Ａｃｏｏｒｄｉｎｇｔｈｅｌａｓｔｉｎｅｑｕａ－ｔｉｏｎ，ｔｈｅｌｉｍｉｔｅｘｉｓｔｉｎ％－Ｉ＝１，ａｎｄｄｏｅｓｎ＇ｔｄｅｐｅｎｄｏｎｔｈｅｃｈｏｉｃｅｏｆ｛ｆｎ｝Ｉ－ＩＷｅｃａｎａｌｓｏｕｓｅｔｈｅｓｕｐｎｏＦｍｔｏｍｅａｓｕｒｅｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ．Ｉｆｋｉｓａｎｎｅｇａｔｉｖｅｉｎｔｅｇｅｒ，ｗｅｄｅｆｉｎｅ：
Ｉ，Ｉ＊＾＝嚣Ｉ逸一碟，Ｉｆｏｒｆ∈Ｓ
ＢｙｔｈｅｆａｃｔｔｈａｔｕｎｉｆｏｒｍｌｉｍｉｔｏｆｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｆｕｎｃｔｉｏｎｓｉＳｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ，ｔｈｅｃｏｍｐｌｅｔｉｏｎｏｆ夕ｗｉｔｈｒｅｓｐｅｃｔｔｈｉｓｎｏｒｍｉｓａｓｕｂｓｅｔｏｆＣ七（渺）【ｔｈｅｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｆｕｎｃｔｉｏｎｓｏｎＩＲｍｗｉｔｈｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｐａｒｔｉａｌｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓｕｐｔｏｏｒｄｅｒｋ）．
Ｌｅｍｍａ２．６．ｋａｎｏｎ－ｎｅｇａｔｉｖｅｉｎｔｅｇｅｒａｎｄｓ＞七＋筹
ｉｄ：ｌ－Ｉｓ（Ｒｍ）ｑ口（Ｒ小）ｗＵｈｔｈｅｅｓｔｉｍａｔｅＩｆｌ。

，史≤Ｃｌｆｌｓ．（ＳｏｂｅｌｅｖＬｅｍｍａ）．
碟，＝／Ｐ硝考ａ艇）ｄ｛
＝／∥（１＋艄。

／２肥）·（１＋艄一，／２毒ａｄ言＜Ｉｆｌ２ｆ（１＋艄一‘考２口
４
ｆｏｒｌａＩ≤Ｊｉ；：，２Ｊ一２１ａＩ≥知一２ｋ≥ｍ，ｔｈｅｌａｓｔｔｅｒｍｉｓｉｎｔｅｇｒａｂｌｅ．Ｂｙｔｈｅｆａｃｔｔｈａｔｕｎｉｆｏｒｍｌｉｍｉｔｏｆｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｆｕｎｃｔｉｏｎｓｉｓｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ，ｆｉｓ萨．口
Ｌｅｍｍａ２．７．ｅｓ＞ｔ
倒ｉｄ：飓ｑ凰ｃｏｎｔｉｎｏｕｓ
例ｅＫｉｓａｆｉｘｅｄｃｏｍｐａｃｔｓｅｔ，ｌｅｔ｛厶）∈ＳｂｅａｓｅｑｕｅｎｃｅｏｆｆｕｎｃｔｉｏｎｓｗｉｔｈｓｕｐｐｏｒｔｉｎＫ，ａｎｄｓｕｐｐｏｓｅＩ厶ＪＪ≤Ｃ（ｃｏｎｓｔａｎｔｆｆ＇ｏ，．ａｌｌ阳．Ｔｈｅｎ，ｔｈｅｒｅｅｘｉｓｔｓａｓｕｂｓｅｑｕｅｎｃｅ厶ｗｈｉｃｈｃｏｎｖｅｒｇｅｓｉｎ日．（Ｒｅｌｌｉｃｈｌｅｍｍａ）
Ｐｒｏｅｌ（ａ）ｆｒｏｍｔｈａｔｉｆｓ＞ｒ，（１＋Ｉ引２）５≥（１＋Ｉ引２）５
（ｂ）ｆｏｒＩ，皆＝ｆｌ／１２（１＋Ｉ｛１２）’ｄ毒，ｗｅｅｓｔｉｍａｔｅ．Ｊ毫（考）
ｃｈｏｏｓｅｇ∈Ｃ芋０（Ｒｍ）ｗｈｉｃｈｉｓｉｄｅｎｔｉｃａｌｌｙ１ｏｎａｎｅｉｇｈｂｏｒｈｏｏｄｏｆＫ．Ｔｈｅｎ柝＝．ｆｎＳＯｂｙｌｅｍｍａ１．３（ｂ）ｆｎ＝营宰五．Ｗｅｌｅｔ西＝毫，ｔｈｅｎ西值木五）ＳＯｔｈａｔ
西五（｛）＝－厂西营（考一＜）·五（ｇ）ｄ‘
ｂｙＣａｕｔｈｙ－Ｓｃｈｗａｒｚｉｎｅｑｕａｌｉｔｙａｎｄｔｈｅｆａｃｔｇ∈Ｃ孑ｃＳ，ｓｏ蜃∈Ｓ
ＩａｊＡ（考）ｔｓＩ厶Ｉ，·｛．厂Ｉ西雪（考一‘）１２（１＋Ｉ善１２）一５ｄ；）１／２ＳＣ．｜Ｉｌ（考）
ｗｈｉｃｈｈｉｓｓｏｍｅｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆ考．ＡｓｉｍｉｌａｒｅｓｔｉｍａｔｅｈｏｌｄｓｆｏｒＩＪｃｌ（｛）Ｉ．Ｔｈｉｓｉｍ－ｐｌｉｅｓｔｈａｔ｛Ａ｝ｆｏｒｍｓａｕｎｉｆｏｒｍｌｙｂｏｕｎｄｅｄｅｑｕｉ—ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｆａｍｉｌｙｏｎｃｏｍｐａｃｔ考ｓｕｂｓｅｔ－ｓ．ＢｙｔｈｅＡｒｚｅｌａ－Ａｓｃｏｌｉｔｈｅｏｒｅｍ，ｆｏｒ…≤１，ｔｈｅｒｅｅｘｉｓｔｓｕｂｓｅｑｕｅｎｃｅｏｆ五，ｄｅｎｏｔｅｄｂｙ］１．ｎｃｏｎｖｅｒｇｅｓｕｎｉｆｏｒｍｌｙｏｎ…≤Ｉ；ｆｏｒ…≤２，ｔｈｅｒｅｅｘｉｓｔｓｕｂｓｅｑｕｅｎｃｅｏｆｙ，Ｊｂｄｅｎｏｔｅｄｂｙｆ２，矗ｃｏｎｖｅｒｇｅｓｕｎｉｆｏｒｍｌｙｏｎ…≤２；ｂｙｄｅｄｕｃｔｉｏｎ，ｆｏｒａｎｙｌ（ｆｏｒｓｉｍｐｌｅ，ｗｅａｓｓｕｍｅｉｔ‘Ｓａｐｏｓｉｔｉｖｅｉｎｔｅｇｅｒ），ｆｏｒｌ｛ｆ≤／，ｔｈｅｒｅｅｘｉｓｔｓｕｂｓｅｑｕｅｎｃｅｏｆ／，一１’，ｌ，ｄｅｎｏｔｅｄｂｙＺ，一ｃｏｎｖｅｒｇｅｓｕｎｉｆｏｒｍｌｙｏｎ…Ｓ／，ｗｅｃｈｏｏｓｅｔｈｅｄｉａｇｏｎａｌｓｅｑｕｅｎｃｅ五．，
ｆｏｒａｎｙ，．＞ｏ’Ｉ毒Ｉ冬ｒ＇五，ｉｃｏｎｖｅｒｇｅｓｕｎｉｆｏｒｍｌｙｏｎＩ喜Ｉ≤，＇
ｌ五，ｌ－Ａ，七仔＝ｆＩ五，ｉ一五，ｋ１２（１＋ｌ引２）‘ｄ考
Ｗｅｄｅｃｏｍｐｏｓｅｔｈｅｉｎｔｅｇｒａｌｉｎｔｏｔｗｏｐａｒｔｓ，考≥ｒａｎｄ考Ｓｒ．
ｏｎ考≥ｒ，ｗｅｅｓｔｉｍａｔｅ（１＋ｌ考１２）’≤（１＋，２）’一５（１＋Ｉ髻１２）ｓＳＯｔｈａｔ：
＾喜Ｉ≥，．ＩＺ，』一五，七１２（１＋Ｉ考１２）‘ｄ考≤（１＋，２）卜５ｆｔ］ｊ一五１２（１＋ｌＥｌ２）５ｄ考
≤２Ｃ（１＋，２）卜５
Ｉｆｅ＞０ｉｓｇｉｖｅｎ，ｗｅｃｈｏｏｓｅｒＳＯｔｈａｔ２Ｃ（１＋ｒ２）ｔ—Ｓ＜￡
Ｏｎ喜≤厂，ｆｏｒｔｈｅｕｎｉｆｏｒｍｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ，ｗｅｃｈｏｏｓｅｌ，ｋｌａｒｇｅｅｎｏｕｇｈｔｏｂｏｕｎｄｔｈｅｉｎｔｅｇｒａｌｂｙｔｈｅｇｉｖｅｎｅ．Ｔｈｉｓｃｏｍｐｌｅｔｅｔｈｅｐｒｏｏｆ．口
５
Ｌｅｍｍａ２．８．ＴｈｅＬ２ｐａｉｒｉｎｇｗｈｉｃｈｍａｐｓｏｑｅｘｙ＿ｃｅｘｔｅｎｄｓｔｏｎｍａｐ可ＨｓｘＨ—ｓ＿ＣｗｈｉｃｈｉｓａｐｅｒｆｅｃｔｐａｉｒｉｎｇａｎｄｗｈｉｃｈｉｄｅｎｔｉｆｉｅｓＨｓｗｉｔｈＨ：。

Ｔｈａｔｉｓ：
心砂Ｉ（，，ｇ）Ｉ≤Ｉｆｌ，ＩｇＩ—ｓｆｏｒｆ，ｇ∈夕
（ｂ）ｇｉｖｅｎｆ∈夕ｔｈｅｒｅｅｘｉｓｔｇ∈夕册（ｆ，ｇ）＝Ｉｆｌ５Ｉｇｌ—ｊａｎｄｗｅｃａｎｄｅｆｉｎｅ
ｆｌｓ＝ｇ∈夕ｓｕ，ｐｇ≠。

百Ｉ（ｆｉ，ｇ）ｌ
ｅ门ｏｏｆ．（ａ）ｊｕｓｔｕｓｅｔｈｅｆａｃｔ（，，ｇ）＝（，，掌）ａｎｄｔｈｅＣａｕｔｈｙ－Ｓｃｈｗａｒｔｚｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ．
（ｂ）ｔａｋｅｇｔｏｂｅｄｅｆｉｎｅｄｂｙ：雪＝夕（１＋ｌ引２）５∈Ｓａｎｄｇ＝蚕（一曲
仃，ｇ）＝驴，雪）＝Ｉ邝ａｎｄＩｇ｜乙＝Ｉ，曙口
Ｒｅｍａｒｋ：ＩｄｅｎｔｉｔｙＨｓｗｉｔｈＨ＝ｓｗｉｌｌｍａｋｅｉｔｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔｔｏｃｏｍｐｕｔｅｔｈｅｎｏｒｍｏｆ％，ｂｙｔｈｅｉｎｎｅｒｐｒｏｄｕｃｔｏｆＬ２
６
Ｃｈａｐｔｅｒ３Ｐｓｅｕｄｏ－ＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＯｐｅｒａｔｏｒｓｏｎＲｍ
Ｃｈａｐｔｅｒ３Ｐｓｅｕｄｏ－－ＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＯｐｅｒａｔｏｒｓｏｎＲｍ
Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ３．１．ｐ（ｘ，考）话ａｓｙｍｂｏｌｏｆｏｒｄｅｒｄａｎｄｗｅｗｒｉｔｅＰ∈铲矿
倒ｐ（工，善）ｉｓｓｍｏｏｔｈｉｎＯ，考）∈Ｒｍ×Ｒｍｗｉｔｈｃｏｍｐａｃｔｘｓｕｐｐｏｒｔ．
（ｂ）ｆｏｒａｌｌ（口，卢）ｔｈｅｒｅａｌｅｃｏｎｓｔａｎｔｓｃａ，口ｓｕｃｈｔｈａｔ
睽噬ｐＯ，毒）Ｉ≤巳，卢（１＋吲）ｄ－Ｉ＃１
ＦｏｒｓｕｃｈａｓｙｍｂｏｌＰ，ｗｅｄｅｆｉｎｅｔｈｅａｓｓｏｃｉａｔｅｏｐｅｒａｔｏｒＰ（ｘ，Ｄ）ｂｙ：
ｐ（ｘ，Ｄ）（，）（ｘ）＝，扩’｛ｐ０，考），（考）ｄ考＝，一似－ｙ）‘｛ｐ０，）ｆ（ｙ）ｄｙｄ｛
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ａｓａｌｉｎｅａｒｏｐｅｒａｔｏｒｍａｐｐｉｎｇ
Ｉｆｐ∈一ｆｏｒａｌｌｄ，ｔｈｅｎｗｅｓａｙｔｈａｔＰ∈Ｓ一。

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Ｌｅｍｍａ３．２．ＬｅｔＰ∈ｓｄ，ｔｈｅｎｌⅣＩ暑一ｄ≤Ｃｌｆｌｓｆｏｒａｌｌｆ∈Ｓ尸ｅｘｔｅｎｄｓｔｏａｃｏｎｔｉｎｕｏｕ￥ｍａｐＰ：Ｈｓ－－＇ｔＨｓ—ｄｆｏｒｏｎｓ．
口ＷｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅａｎｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅｒｅｌａｔｉｏｎｏｎｔｈｅｃｌａｓｓｏｆｓｙｍｂｏｌｓｂｙｄｅｆｉｎｉｎｇＰ—ｑｉｆｐ—ｑ∈Ｓ－＇．Ｗｅｎｏｔｅｔｈａｔｉｆｐ∈Ｓ－＊＊，ｔｈｅｎＰ：飓＿埔ｆｏｒａｌｌＳａｎｄｔｂｙＬｅｍｍａ３．１．Ｓｏｔｃａｎｂｅｃｈｏｓｅｎｖｅｒｙｂｉｇ．ＣｏｎｓｅｑｕｅｎｔｌｙｂｙＬｅｍｍａ２．６（ＳｏｂｏｌｅｖＬｅｍｍａ），Ｐ：皿寸ＧｆｏｒａｌｌＳ，ＳＯｔｈａｔＰｉｓｉｎｆｉｎｉｔｅｌｙｓｍｏｏｔｈｉｎｇｉｎｔｈｉｓｃａｓｅ．Ｔｈｕｓｗｅｍｏｄｏｕｔｂｙｉｎｆｉｎｉｔｅｌｙｓｍｏｏｔｈｉｎｇｏｐｅｒａｔｏｒｓ．
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Ｐ一矸Ｐｊ
ｉｆｆｏｒｅｖｅｒｙｄｔｈｅｒｅｉｓａｎｉｎｔｅｇｅｒｋ（ｄ）ｓｕｃｈｔｈａｔｋ≥ｋ（ｄ）ｉｍｐｌｉｅｓｔｈａｔＰ一∑｛∈∥．Ｗｅｅｍｐｈａｓｉｚｅｔｈａｔｔｈｉｓｓｕｍｄｏｅｓｎｏｔｉｎｆａｃｔｎｅｅｄｔｏｃｏｎｖｅｒｇｅ．ＴｈｅｒｅｌａｔｉｏｎＰ—Ｙ＇．ｐｊｓｉｍｐｌｙｍｅａｎｓｔｈａｔｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｂｅｔｗｅｅｎＰａｎｄｔｈｅｐａｒｔｉａｌｓｕｍｓｏｆｔｈｅＰｊｉｓａｓｓｍｏｏｔｈｉｎｇａｓｗｅｌｉｋｅ．
ＬｅｔＵｂｅａｏｐｅｎｓｕｂｓｅｔｏｆＲｍｗｉｔｈｃｏｍｐａｃｔｃｌｏｓｕｒｅ．Ｌｅｔｐ（ｘ，｛）∈ｓｄｈａｖｅＸｓｕｐｐｏｒｔｉｎＵ．ＷｅｒｅｓｔｒｉｃｔｔｈｅｄｏｍａｉｎｏｆｔｈｅｏｐｅｒａｔｏｒＰｏｎ曰（ｕ）ＳＯＰ：Ｇ（ｕ）－÷Ｇ（ｕ）．Ｌｅｔ甲ｄ（ｕ）ｄｅｎｏｔｅｔｈｅｓｐａｃｅｏｆａｌｌｓｕｃｈｏｐｅｒａｔｏｒｓ．Ｆｏｒｄ≤ｔ，ｔｈｅｎ甲ｄ（ｕ）≤哪（ｕ）．（１ｉｋｅｔｈｅ
７
Ｃｈａｐｔｅｒ３Ｐｓｅｕｄｏ－ＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＯｐｅｒａｔｏｒｓ０１１Ｒ州
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Ｉｆｔｈｅｎｕｍｂｅｒｏｆｃｏｌｕｍｎｓｏｆｍａｔｒｉｘｐ＝ｔｈｅｎｕｍｂｅｒｏｆｒｏｗｓｏｆｍａｔｒｉｘｑ，ｗｅｄｅｆｉｎｅＰ·ｑｂｙｍａｔｒｉｘｐｒｏｄｕｃｔ，ａｎｄｔｈｅｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｏｐｅｒａｔｏｒ尸·Ｑｂｙｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ．ＷｅａｌｓｏｄｅｆｉｎｅＰ·
ｔｏｂｅｔｈｅｍａｔｒｉｘａｄｊｏｉｎｔ，ａｎｄＰ·ｔｏｂｅｔｈｅｏｐｅｒａｔｏｒａｄｊｏｉｎｔｓｏｔｈａｔ（Ｐｅｇ）２（ｅＰ·ｇ），ｗｈｅｒｅｆａｎｄｇａｒｅｖｅｃｔｏｒｖａｌｕｅｄａｎｄｏｆｃｏｍｐａｃｔｓｕｐｐｏｒｔ．
ＡｓｓｕｍｅＰ：／－／，—｝Ｈ．ＬｅｔＩＰＩ蹦ｄｅｎｏｔｅｔｈｅｏｐｅｒａｔｏｒｎｏｒｍｓｏｌＰ，Ｉ，≤Ｉ尸Ｉ蹦Ｉ，Ｉｆｆｏｒａｎｙ
ｉ∈ＳＬｅｍｍａ３．３．ＬｅｔＫ０，Ｙ）ｂｅａｓｍｏｏｔｈｋｅｒｎｅｌｗｉｔｈｃｏｍｐａｃｔｘ，ｙｓｕｐｐｏｒｔｉｎＵ．ＬｅｔＰ＝Ｐ（Ｋ）
６Ｐｔｈｅｏｐｅｒａｔｏｒｄｅｆｉｎｅｄ砂Ｋ．Ｉｆｋｉｓａｎｏｎ－ｎｅｇａｔｉｖｅｉｎｔｅｇｅｃｔｈｅｎｔｈｅｒｅｅｘｕｔｊ（ｋ），ｓｕｃｈｔｈａｔＩＫＩ一，七ＳＣ（ｋ）ＩＰＩ一．『（１｜Ｉ），一．，（七）
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Ｃｈａｐｔｅｒ３Ｐｓｅｕｄｏ·ＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＯｐｅｒａｔｏｒｓｏｎＲｍ
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Ｉｆｌａｌ≤ｋ，恻≤ｋ，，ｔｈｅｎ：～Ｏ僻ＫＣｘ，），）＝ｌｉｍ万＿＋。

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Ｂｙｌｅｍｍａ２．８．
（碟厶，叫踟）＝Ｉ霹厶ｌ—ｊｌｅｌ一＾ｊｌＤ卢ｙｇ—Ｉ一．，
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９
Ｃｈａｐｔｅｒ４ＥｌｌｉｐｔｉｃｉｔｙａｎｄＰｓｅｕｄｏ－ＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＯｐｅｒａｔｏｒｓｏｎｍａｎｉｆｏｌｄ
Ｃｈａｐｔｅｒ４ＥｌｌｉｐｔｉｃｉｔｙａｎｄＰｓｅｕｄｏ－－ＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＯｐｅｒａｔｏｒｓ０１１
ｍａｎｉｆｏｌｄ
Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ４．１．ＬｅｔＰ∈ｓｄ（Ｕ）ｂｅａｓｑｕａｒｅｍａｔｒｉｘａｎｄｌｅｔＵｌｂｅａＹＩｏｐｅｎｓｅｔｗｉｔｈＵ１ｃＵ．ＷｅｓａｙｔｈａｔｐｉｓｅＨ勿ｔｗｏｎＵＩｉｆｔｈｅｒｅｅｘｉｓｔｑ∈Ｓ—ｄｓｕｃｈｔｈａｔＰｑ—ｌ｝讯铲．ａｎｄｑｐ一
１／ｉｎＳ＊＊ｏｖｅｒ沈（Ｗｅｓａｙｔｈａｔ，．∈Ｓ一“ｏｖｅｒ沈，ｍｅａｎｓｅｒ∈Ｓ一”ｆｏ，．ｅｖｅｒｙ妒∈ｃ孑（ｕｒ２沙
ＷｅｓａｙＰｓｅｕｄｏ—ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｏｐｅｒａｔｏｒＰｉｓｅｌｌｉｐｔｉｃ。

ｉｆｉｔｓｌｅａｄｉｎｇｓｙｍｂｏｌｉｓｅｆｌｉｐｔ缸．
Ｌｅｍｍａ４．２．ＬｅｔＰ∈甲ｄ（ｕ）ｂｅｅ却ｆｆｃｏｖｅｒＵＩ，ｔｈｅｎ：
倒ＴｈｅｒｅｅｘｉｓｔｓＱ∈甲－ｄ（ｕ）ｓｕｃｈｔｈａｔＰＱ－Ｉ—ａｎｄＱｐ－Ｉ一００ｖｅｒＵｌ（ｉ．ｅ．妒（ＰＱ－Ｉ）
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０）Ｐｉｓｈｙｐｏ·ｅｍｐｔｊｃｏｖｅｒＵｌ。

ｉ．ｅ．。

ｉｆｆ∈ＨｓａｎｄｉｆｅｆｉｓｓｍｏｏｔｈｏｖｅｒＵＩ。

ｔｈｅｎｆｉｓｓｍｏｏｔｈ
ｏｖｅｒＵｌ．
纠ＴｈｅｒｅｅｘｉｓｔａｃｏｎｓｔａｎｔＣｓｕｃｈｔｈａｔＩ，Ｉｄ≤ｃ（Ｉｆｌｏ＋ＩⅣＩｏ）力，．，∈ｃ芋（【，１）（ｗｈｉｃｈｉｍ－
ｐｌｉｅｓｔｈｅｇｒａｐｈｎｏｒｍｉｓａｎｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ疗ｏｒｍｆｏｒＨｄ）
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ＷｅｎＯＷｃｏｎｓｉｄｅｒｔｈｅｅｆｆｅｃｔｏｆｃｈａｎｇｅｓｏｆｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｏｎｏｕｒｃｌａｓｓｏｆｐｓｅｕｄｏ。

ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ
ｈ：Ｕ＿０ｂｅａｄｉｆｆｅｏｍｏｒｐｈｉｓｍ．ＷｅｄｅｆｉｎｅＪＩｌ弗：ｃ啊（Ｄ）＿ｒ（ｕ），ｂｙｏｐｅｒａｔｏｒｓ．Ｌｅｔ
ｈ·ｆｉ［ｘ）＝ｆｉ（ｈ（ｘ））．ＩｆＰｉｓａｌｉｎｅａｒｏｐｅｒａｔｏｒｏｎｃｏｏ（ｖ），ｗｅｄｅｆｉｎｅＩ｝ｌ。

Ｐａｃｔｉｎｇｏｎ（●（ｕｂｙ（｜｝ｌ。

Ｐ）ｆ＝（ｈ一１）’Ｐ（ｈ‘，）．Ｔｈｅｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｌｅｍｍａｗｅｓｈａｌｌｎｅｅｄｉｓｔｈｅｆｏｌｌｏｗｉｎｇ：
Ｌｅｍｍａ４．３．Ｌｅｔｈ：Ｕ＿÷０ｂｅａｄｉｆｆｅｏｍｏｒｐｈｉｓｍ．Ｔｈｅｎ７
（ａ）Ｉｆｅ∈、壬’ｄ（ｕ），ｔｈｅｎｈ，Ｐ∈、壬’ｄ（Ｄ）．ＬｅｔＰ＝ｏ（ｅ）ａｎｄｄｅｆｉｎｅｈ（ｘ）＝工ｌ，ａｎｄｄｈ（ｘ）’毒ｌ＝考．ＬｅｔＰｌ（Ｘｌ，毒１）＝ｐ（ｘ，毒），ｔｈｅｎｏ（ｈ。

尸）一Ｐｌ∈一一１．
（ｂ）ＬｅｔＵ１ｂｅａｎｏｐｅｎｓｕｂｓｅｔｗｉｔｈＵｌ∈Ｕ．ＴｈｅｒｅｅｘｉｓｔａｃｏｎｓｔａｎｔＣｓｕｃｈｔｈａｔＩｈ奉ｆｌｄ≤
Ｃｌｆｌｄｆｏｒａｌｌｆ∈ｃ孑（＾（ｕ１））．（ｔｈｅｓｏｂｏｌｅｖｓｐａｃｅｓａｒｅｉｎｖａｒｉａｎ０
口Ｗｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｔｈｅｑｕｏｔｉｅｎｔｓｐａｃｅｓ一／一一１ａｎｄｄｅｆｉｎｅｔｈｅｌｅａｄｉｎｇｓｙｍｂｏｌ吮（Ｐ）ｔｏ
ｂｅｎａｔｕｒａｌｑｕｏｔｉｅｎｔｅｌｅｍｅｎｔｏｆｏ（Ｐ）
Ｉｆｗｅｄｅｆｉｎｅ伍，｛）ａｓｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓｆｏｒＴ＋（胪）ｂｙｒｅｐｒｅｓｅｎｔｉｎｇａｃｏｔａｎｇｅｎｔｖｅｃｔｏｒａｔａ
ｌＯ
ｍａｎｉｆｏｌｄ
Ｃｈａｐｔｅｒ４ＥｌｌｉｐｔｉｃｉｔｙａｎｄＰｓｅｕｄｏ－ＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＯｐｅｒａｔｏｒｓｏｎ
ｐｏｉｎｔｘｉｎｔｈｅｆｏｒｍＥ刍妣，ｔｈｅａｂｏｖｅｌｅｍｍａｉｍｐｌｉｅｓａＬ（Ｐ）ｉｓｉｎｖａｒｉａｎｔｌｙｄｅｆｉｎｅｄｏｎ丁’（秽）．Ｍｅａｎｓ，ｉｆｙｏｕｃｈａｎｇｅｔｈｅｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ，ｔｈｅｌｅａｄｉｎｇｓｙｍｂｏｌｄｏｅｓｎ’ｔｃｈａｎｇｅ，ａｌｔｈｏｕｇｈｔｈｅｓｙｍｂｏｌｏｆｃｏｕｒｓｅｍａｙｃｈａｎｇｅ．
Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ４．４．Ｐｓｅｕｄｏ－ＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＯｐｅｒａｔｏｒｓＯｎｍａｎｉｆｏｌｄ
ＬｅｔＭｂｅａｓｍｏｏｔｈｃｏｍｐａｃｔＲｉｅｍａｎｎｉａｎｍａｎｉｆｏｌｄｗｉｔｈｏｕｔｂｏｕｎｄａｒｙ．Ｌｅｔ，竹ｂｅｔｈｅｄｉ－ｍｅｎＭｏｎｏｆＭａｎｄｌｅｔｄｖｏｌｏｒｓｏｍｅｔｉｍｅｓｓｉｍｐｌｙｄｘｄｅｎｏｔｅＲｉｅｍａｎｎｉａｎｍｅａｓｕｒｅｏｎＭ．Ｌｅｔｒ∽）如ｔｈｅｓｐａｃｅｏｆｓｍｏｏｔｈｆｕｎｃｔｉｏｎｓｏｎＭａｎｄｌｅｔＰ：Ｃ＊＊（Ｍ）ｏ尸似）ｂｅａｌｉｎｅａｒｏｐ－ｅｒａｔｏｒＷｅｓａｙｔｈａｔＰｉｓａｐｓｅｕｄｏ－ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｏｐｅｒａｔｏｒｏｆｏｒｄｅｒｄａｎｄｗｒｉｔｅＰ∈％（Ｍ）？ｉｆｅｖｅｒｙｏｐｅｎｃｈａｒｔＵｏｎＭａｎｄｆｏｒｅｖｅｒｙ妒，ｙ∈ｃ－（ｖ），ｔｈｅｌｏｃａｌｉｚｅｄｏｐｅｒａｔｏｒ妒尸ｌｆ，∈％（ｕ）
Ｔｈａｔ括ｆｏ，ｔｈｅｃｈａｒｔ（Ｕ，脚，ｔｈｅｈｏｍｅｏｍｏｒｐｈｉｓｍｈ：ＵｏＤ，ｗｈｅｒｅ０ｉｓｏｐｅｎｓｕｂｓｅｔｏｆＲｍｗｉｔｈｃｏｍｐａｃｔｃｌｏｓｕｒｅ．（ｈ－１）’妒尸帅‘∈Ｔｄ（Ｄ）．
Ｒｅｍａｒｋ：ＢｙＬｅｍｍａ４．３，ｉｆ（Ｖ，ｇ）ｉｓａｎｏｔｈｅｒｃｈａｒｔｓｕｃｈｔｈａｔＵｔ＇ｌｖｉｓｎｏｔｅｍｐｔｙ，ｔｈｅｌｅａｄｉｎｇｓｙｍｂｏｌｏｎｈ（ＶＮｖ）ａｎｄｇ（ＵＮＶ）ｉｓｉｎｖａｒｉａｎｔ，ＳＯｔｈｅｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｄｏｅｓｎ’ｔｄｅｐｅｎｄｏｎｔｈｅｃｈｏｉｃｅｏｆｃｈａｒｔ．
Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ４．５．Ｐｓｅｕｄｏ－ＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＯｐｅｒａｔｏｒｓｏｎｖｅｃｔｏｒｂｕｎｄｌｅ
Ｌｅｔ（Ｅ，Ｍ，砸，口）ａｎｄ（Ｆ，Ｍ，和，∥）ｂｅｔｗｏｓｍｏｏｔｈｖｅｃｔｏｒｂｕｎｄｌｅｏｖｅｒＭ，．ＬａＹ（Ｅ），Ｆ（Ｆ）ｂｅｔｈｅｓｍｏｏｔｈｓｅｃｔｉｏｎｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｔｈｅｎｗｅｄｅｆｉｎｅｐｓｅｕｄｏ－ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｏｐｅｒａｔｏｒｓｏｎｖｅｃ－ｔｏｔｂｕｎｄｌｅａｓｔｈａｔ：Ｐ：ｒ（Ｅ）—◆ｒ（Ｆ），ｓｕｃｈｔｈａｔＶｘ∈Ｍ，ｔｈｅｒｅｅｘｉｓｔａｎｅｉｇｈｂｏｒｈｏｏｄＵｏｆＰｉｎＭ，ａｎｄｈｏｍｅｏｍｏｒｐｈｉｓｍｈｅ：石一１（￡，）＿Ｕ×ｃｋ，ｈＦ：万一１（Ｕ）＿Ｕ×ｄ，
ｈＦｌｙＰｅｈ云１∈Ｔｄ（Ｕ）ｄｏ，．Ｖ９，ｌｆ，∈ｃ＇Ｔ０（（，）．
ＷｅｈａｖｅｄｉｓｃｕｓｓｅｄｔｈａｔｔｈｅｌｅａｄｉｎｇｓｙｍｂｏｌｏｆＰ，ｏＬ（Ｐ），ｉｓｉｎｖａｒｉａｎｔｕｎｄｅｒｔｈｅｃｈａｎｇｅｏｆｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｃｈａｒｔｏｎＭ．Ｎｏｗｗｅｄｉｓｃｕｓｓｉｆｗｅｃｈａｎｇｅｔｈｅｌｏｃａｌｔｒｉｖｉａｌｉｚａｔｉｏｎ．Ｗｅｃｏｎ－ｓｉｄｅｒｔｈｅｓｉｔｕａｔｉｏｎｔｈａｔＥ＝Ｆ．ＩｆｕｎＶ＝Ｏ，ａｎｄｈｏｍｅｏｍｏｒｐｈｉｓｍｈｕ：万－１（Ｕ）＿Ｕ×口，ｈｖ：１［－１（ｙ）＿÷Ｖ×萨，ｇ∈Ｆｏ（ｕｎｖ，ｅ）ｉｓａｌｏｃａｌｓｅｃｔｉｏｎｏｎｕｆ）ｖ，ｈｕ（ｘ－１（ｘ））＝扛，Ｕ１）－．－＇１矿），ｈｖ（Ｔｔ－１０））＝０，＇，１’．．．，伊），ＳＯｔｈｅｒｅｗｉｌｌｂｅａｔｒａｎｓｉｔｉｏｎｍａｔｒｉｘｇｖ，ｕ：Ｍ＿ＯＬ（ｋ，ｃ），ｓｕｃｈｔｈａｔ
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１…ｘ，考）ｇＫｃ，
，ＳＯｉｆｐｖｉｓｅｌｌｉｐｔｉｃ，ｔｈｅｎＳＯｄｏｅｓＰｕ，ＳＯｅｌｌｉｐｔｉｃｏｐｅｒａｔｏｒｉｓｉｎｖａｒｉａｎｔｏｎｔｈｅｂｕｎｄｌｅ．
１２
Ｃｈａｐｔｅｒ５ＨｅａｔＥｑｕａｔｉｏｎ，ＥｌｌｉｐｔｉｃＣｏｍｐｌｅｘ，ＨｏｄｇｅＤｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ
Ｃｈａｐｔｅｒ５ＨｅａｔＥｑｕａｔｉｏｎ，ＥｌｌｉｐｔｉｃＣｏｍｐｌｅｘ，Ｈｏｄｇｅ
Ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ
ＬｅｔＥｂｅａｓｍｏｏｔｈｖｅｃｔｏｒｂｕｎｄｌｅｏｖｅｒＭ，ｄｅｎｏｔｅｒ饵）ｔｏｂｅｖｅｃｔｏｒｓｐａｃｅｏｆｔｈｅｓｍｏｏｔｈｓｅｃｔｉｏｎｏｆＥ．ＣｈｏｏｓｅａｆｉｘｅｄＨｅｒｍｉｔｉａｎｉｎｎｅｒｐｒｏｄｕｃｔｏｎｔｈｅｆｉｂｒｅｓｏｆＥ．ＷｅｕｓｅｔｈｉｓｉｎｎｅｒｐｒｏｄｕｃｔａｎｄＲｉｅｍａｎｎｉａｎｍｅｔｒｉｃｏｎＭｔＯｄｅｆｉｎｅＬ２（Ｅ）
Ｌｅｍｍａ５．１．ＬｅｔＰ：ｒ（Ｅ）－÷ｒ（Ｅ）ｂｅａｎｅｌｌｉｐｔｉｃｓｅｌｆ－ａｄｊｏｉｎｔｕ／ＤＯｏｆｏｒｄｅｒｄ＞０．（ａ）Ｗｅｃａｎｆｉｎｄａｃｏｍｐｌｅｔｅｏｒｔｈｏｎｏｒｍａｌｂａｓｉｓ｛籼）暑ｆｏｒＬ２（Ｅ）ｏｆｅｉｇｅｎｖｅｃｔｏｒｓｏｆＰ尸籼＝Ａ籼
（ｂ）ＴｈｅｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｓｏｆＰｉｓａｔｍｏｓｔｃｏｕｎｔａｂｌｅ．Ｔｈｅｅｉｇｅｎｖｅｃｔｏｒｓｐｈｉｎａｒｃｓｍｏｏｔｈａｎｄｌｉｍｎ．÷。

ｌ厶Ｉ＝∞．
（ｃ）ＩｆｗｅｏｒｄｅｒｔｈｅｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｓｌＡｍＩ≤ｌ赴Ｉ≤…ｔｈｅｎｔｈｅｒｅｅｘｉｓｔａｃｏｎｓｔａｎｔＣ＞０ａｎｄ６＞０ｓｕｃｈｔｈａｔＩ厶Ｉ≥Ｃｎ６ｉｆｎ＞ｎｏｌａｒｇｅ
口
Ｌｅｍｍａ５．２．Ｌｅｔ尸：ｒ（ｅ）＿ｒ（ｅ）ｂｅａｎｅｌｌｉｐｔｉｃｓｅｌｆ－ａｄｊｏｉｎｔＬＰＤＯｏｆｏｒｄｅｒｄ＞０ｗｉｔｈｐｏｓｉｔｉｖｅｄｅｆｉｎｉｔｅｌｅａｄｉｎｇｓｙｍｂ０１．Ｔｈｅｎｓｐｅｃ（Ｐ）ｉｓｃｏｎｔａｉｎｅｄｉｎ【一Ｃ，∞）ｆｏｒｓｏｍｅｃｏｎｓｔａｎｔＣ．
口
ＷｅｕｓｅｔｈｅＲｉｅｍａｎｎｉｎｔｅｇｒａｌｗｉｔｈｖａｌｕｅｓｉｎｔｈｅＢａｎａｃｈ
ｓｐａｃｅＥＮＤ（Ｌ２（Ｅ））ｔｏｄｅｆｉｎｅ：
ｅ－ｔＰ＝一芴１厶ｆｆ－０，～，Ｐ一九）一１以
ｗｈｅｒｅｙｉｓｔｈｅｐａｔｈａｂｏｕｔ【－Ｃ，∞）ｏｆｔｈｅｓｔｒａｉｇｈｔｌｉｎｅｓＲｅ（Ａ＋ｃ＋１）＝士Ｉｍ（Ａ）ｗｉｔｈｔｈｅｃｏｕｎｔｅｒｃｌｏｃｋｗｉｓｅｏｒｉｅｎｔａｔｉｏｎ．ＷｅｌｅｔＨｂｅｔｈｅｃｌｏｓｅｄｒｅｇｉｏｎｏｆＣｃｏｎｓｉｓｔｉｎｇｏｆｙｔｏｇｅｔｈｅｒｗｉｔｈｔｈａｔｃｏｍｐｏｎｅｎｔｏｆＣ－ｙｗｈｉｃｈｄｏｅｓｎｏｔｃｏｎｔａｉｎ【－Ｃ，∞）
ＷｅｆｉｘｓｕｃｈａＰｈｅｎｃｅｆｏｒｔｈ．Ｔｈｅｈｅａｔ
ｅｑｕａｔｉｏｎｉｓｔｈｅｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎ：
（岳＋Ｐ）ｇ（ｘ，ｆ）＝ｏ，ｆｏｒｔ≥０ｗｉｔｈｇ（ｘ，ｏ）＝ｇ（工）
Ｗｅｄｅｆｉｎｅ：
Ｋ（ｔ，Ｘ，ｙ）＝Ｅｅ－ｔＺ＂籼∽圆“（），）：马一晟
ＷｅｒｅｇａｒｄＫ（ｔ，ｘ，ｙ）ａｓａｌｌ
ｅｎｄｏｍｏｒｐｈｉｓｍｆｒｏｍｔｈｅｆｉｂｒｅｏｒｅｏｖｅｒｙｔＯｔｈｅｆｉｂｒｅｏｆＥｏｖｅｒｘ．ａｎｄ
Ｐ－，Ｐ删＝厶脚，剐）酬加㈦＝Ｅ万ｅ－ｔ九，忡）厶酬制），）删０，）
ＳＯｅ－ｔＰｇ（ｘ）ｉｓｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｈｅａｔｅｑｕａｔｉｏｎ．
Ｓｉｎｃｅ＜籼０）ｏ牵Ｊｎ（ｙ）ｅｉ，ｅｉ＞－－－＜ｅｉ，籼（），）＞＜锄＠），ｅｉ＞ｗｅｇｅｔ
Ｔｒ（锄∽ｏ籼０））＝＜籼（ｘ），锄（工）＞
／ＭＴｒＥｘＫ（，，ｘ，石）ｄ阳，＠）＝；Ｐ—ｆ砧厶＜籼（ｘ），锄（ｘ）＞ｄ阳ｚ（甸
＝Ｅｅ一‘ｋ＝ＴｒＬ２ｅ一’Ｐ
Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ５．３．
ｑ（ｘ，毒，Ａ）∈铲（Ａ）（ｕ）ｉｓａｓｙｍｂｏｌｏｆｏｒｄｅｒｋｄｅｐｅｎｄｉｎｇｏｎｔｈｅｃｏｍｐｌｅｘｐａｒａｍｅｔｅｒ九∈ＨＳＣｉｆ
（ａ）口Ｏ，考，九）ｉｓｓｍｏｏｔｈｉｎ＠，考，九）∈Ｒｍ×Ｒｍ×日，ｈａｓｃｏｍｐａｃｔｘ－ｓｕｐｐｏｒｔｉｎＵａｎｄｉｓｈｏｌｏｍｏｒｐｈｉｃｉｎ．；Ｌ
（ｂ）Ｆｏｒａｌｌ（口，卢，们，ｔｈｅｒｅｅｘｉｓｔｃｏｎｓｔａｎｔｓｃａ，卢，＇，ｓｕｃｈｔｈａｔ：
［ＤａｘＤ拿Ｄｒｘｑ（ｘ，专，九）Ｉｓ巳，届，＇，（１＋ｌ考ｌ＋ｌ；ｔ１１／ｄ）七一阶棚卅
Ｗｅｓａｙｔｈａｔｑ（ｘ，毒，九）ｉｓｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓｏｆｏｒｄｅｒｋｉｎ（考，Ａ）ｉｆ
ｑ（ｘ，ｆ考，ｔｄ九）＝ｔｋｑ（ｘ，喜，九）ｆｏｒｔ≥１
ＷｅｔｈｉｎｋｏｆｔｈｅｐａｒａｍｅｔｅｒＡａｓ
ｂｅｉｎｇｏｆｏｒｄｅｒｄ．
Ｌｅｍｍａ５．４．
（ａ）ＬｅｔＰ∈掣ｉ七一。

（ｕ，Ｈ）ｆｏｒｋ，Ｚ∈Ｎ．ＴｈｅｎｆｏｒａｌｌＪ∈Ｒ，ｔｈｅｒｅｅｘｉｓｔｓＣ，
ｓｏｆＰ（允）Ｉ，，，＋七≤ｃ（１＋ｆＡＩ；）一，
１４
（ｂ）ＬｅｔＰＥ心（Ｕ，Ｈ）锄ｄｌｃｔＱ∈甲２（ｕ，日）．ＴｈｅｒｅｅｘｉｓｔｓＲＥ鹄＋６（【，，厅），ｓｏ
ｔｈａｔＲｆ＝ＰＱｆ。

ｆｏｒａｌｌｌ∈ｒｏ娜、．Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ
Ｐｒｏｏｆｓｅｅ【２】ｐａｇｅ
５９．仃（尺）一∑謦ｐ碟ｇ／口！ａ
口ＬｅｔＰｂｅａｎｅｌｌｉｐｔｉｃｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｏｐｅｒａｔｏｒｏｆｏｒｄｅｒ
ｄ＞０ｗｈｉｃｈｉｓｓｅｌｆ－ａｄｊｏｉｎｔａｎｄｗｈｉｃｈｈａｓａｐｏｓｉｔｉｖｅｄｅｆｉｎｉｔｅｌｅａｄｉｎｇｓｙｍｂｏｌｆｏｒ毒≠０．Ｆｏｒ九∈Ｃ—ｓｐｅｃ（Ｐ），Ｗｅｗｉｓｈ
ｔｏｓｏｌｖｅｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎ：
仃（Ｒ（九）（Ｐ一九）一Ｊ一０
ＩｎｄｕｃｔｉｖｅｌｙＷＣｄｅｆｉｎｅＲ（Ａ）ｗｉｔｈｓｙｍｂｏｌｒｏ＋ｒｌ＋…‰ｗｈｅｒｅｒｊ∈ｓ－ｄ－ｊ（允），ａｎｄ
ｎｏｉｓｃｈｏｓｅｎｔＯｂｅｖｅｒｙｌａｒｇｅＷｅｄｅｆｉｎｅＥ（ｆ）＝一南ｌｙｅ叫ＡＲ（Ｘ）ｄＸ，ｗｅ
ｕｓｅＥ（ｔ）ｔｏｓｔｕｄｙＰ叫尸ＦｏｒｓｔｕｄｙｔｈｅＥ（ｔ），ｗｅｓｔｕｄｙｉｔｓｓｙｍｂｏｌ，ＳＯｗｅｄｅｆｉｎｅ
Ｐ＾（ｆ，五｛）＝一４２１ｉ
Ｚｅ－ｔＸｒｎ（Ｘ，｛，Ａ）ｄ九，ｔｈｅｎＥ（ｔ）ｉｓａ甲ＤＤｗｉｔｈｓｙｍｂｏｌｅｏ＋ｅｌ＋…ｅ一．Ｉｆｗｅｉｎｔｅｇｒａｔｅｂｙｐａｒｔｓ
ｉｎ九础＾泸一点壶Ｚｅ－ｔｇ未如¨ｍ
Ｓｉｎｃｅ刃ｄｋ
ｈｉｓｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓｏｆｄｅｇｒｅｅ—ｄ一刀一ｋｉｎ（考，九），ＳＯｅｎ（ｔ，ｘ，考）∈ｒ”，ｆｏｒ锄ｙｔ＞０
ＳｉｎｃｅＥ（ｔ）ｉｓａｎｉｎｆｉｎｉｔｅｌｙｓｍｏｏｔｈｉｎｇｍａｐ，ｔｈｅｎｉｔｈａｓａｓｍｏｏｔｈｋｅｒｎｅｌＫ，（ｆ，工，ｙ）Ｌｅｍｍａ５．５．Ｌｅｔｋ＞０ｂｅｇｉｖｅｎ．Ｗｅｃａｎｃｈｏｏｓｅｎｏ＝ｎｏ（ｋ）ＳＯｔｈａｔｌ｛（Ｐ一九）一１一Ｒ（Ｘ）｝ｆｈ≤Ｃｋ（１＋ＩＸｌ）一七Ｉｆｌ一七ｆｏｎ∈Ｈｐｒｏｏｆ：ｓｅｅ【１】１ｐａｇｅ５２
Ｌｅｍｍａ５．６．
Ｌｅｔｋｂｅｇｉｖｅｎ．Ｉｆｎｏｉｓｌａｒｇｅｅｎｏｕｇｈ，ＷＣＣａｎｅｓｔｉｍａｔｅ：ｌＸ（ｔ，工，），）一Ｋ’（ｆ，工，），）ｌ。

，七ＳＣｋｔ七ｆｏｒ
０＜ｔ＜１
ＨｅａｔＥｑｕａｔｉｏｎ，ＥｌｌｉｐｔｉｃＣｏｍｐｌｅｘ，ＨｏｄｇｅＤｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ
Ｃｈａｐｔｅｒ５
即）一Ｐ－ｒＰ＝一刍Ｚｅ－ｔｘ（尺（Ａ）一（Ｐ—Ａ）。

１）ｄＡ
Ｗｅａｓｓｕｍｅ０＜ｔ＜１ａｎｄｒｅｐｌａｃｅｔＸｂｙＡ．ＷｅｕｓｅＣａｕｃｈｙ’ＳｔｈｅｏｒｅｍｔｏｓｈｉｆｔｔｈｅｒｅｓｕｌｔｉｎｇｐａｔｈｔｙｉｎｓｉｄｅＨｂａｃｋｔｏｔｈｅｏｒｉｇｉｎａｌｐａｔｈ？＇．Ｔｈｉｓｅｘｐｒｅｓｓ：
Ｅ（ｆ）＿ｅ－ｔＰ＿－－＿一２７ｒｌｆ．，［ｖｅ－Ｘ（尺（ｆ一１九）一（Ｐ－ｔ－！Ａ）一１）ｔ－ｌｄ九
Ｂｙｌｅｍｍａ５．４ＩＥ（ｔ）一ｅ－ｔＰＩ一七．七≤ｃ．七ｔｋ～，ｔｈｅｎｂｙｌｅｍｍａ３．３，ｗｅｃａｒｌｇｅｔｔｈｅｒｅｓｕｌｔ．口Ｗｅｃｏｎｃｌｕｄｅ晶（ｆ）ｗｈｉｃｈｈａｓｓｙｍｂｏｌｅｎ（ｆ）ｉｓｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄｂｙａｋｅｒｎｅｌｆｕｎｃｔｉｏｎ
ｄｅｆｉｎｅｄｂｙ：
畅ｏ，工，ｙ）＝ｆｅｉ（ｘ－Ｙ）·｛％（ｆ，ｘ，毒）ｄ｛
Ｄｅｆｔｎｉｔｉｏｎ５．７．
ＬｅｔＥｂｅａｇｒａｄｅｄｖｅｃｔｏｒｂｕｎｄｌｅ．Ｅｉｓａｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎｏｆｖｅｃｔｏｒｂｕｎｄｌｅｓ｛句）．｜ｆ∈ｚｓｕｃｈｔｈａｔ弓≠｛Ｏ）ｆｏｒｏｎｌｙａｆｉｎｉｔｅｎｕｍｂｅｒｏｆｉｎｄｉｃｅｓｊ．ＷｅｌｅｔＰｂｅａｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎｏｆｄｔ．Ｉｌｏｒｄｅｒｄｉｆ－
ｆｅｒｅｎｔｉａｌｏｐｅｒａｔｏｒｓ弓：ｒ（毋）．÷ｒ（弓＋１）
Ｗｅｓａｙ（ＢＥ）ｉｓａ
ｅｌｌｉｐｔｉｃｃｏｍｐｌｅｘｉｆ
（ａ）弓＋ｌ弓＝０
（ｂ）Ｎ（ａＬＰｊ）０，考）＝Ｒ（ａＬＰｊ—１）（五｛），ｆｏｒ考≠０．
Ｗｅｄｅｆｉｎｅｔｈｅｃｏｈｏｍｏｌｏｇｙｏｆｔｈｅ
ｃｏｍｐｌｅｘｂｙ：
日’陋，尸）＝Ⅳ（弓）ＩＲ（Ｐｊ一１）
ＣｈｏｏｓｅａｆｉｘｅｄＨｅｒｍｉｔｉａｎｉｎｎｅｒｐｒｏｄｕｃｔｏｎｔｈｅｆｉｂｒｅｓｏｆＥ．Ｗｅｕｓｅｔｈａｔｉｎｎｅｒｐｒｏｄｕｃｔ
ＭｔＯｄｅｆｉｎｅＦ（Ｅ）．ＷｅｄｅｆｉｎｅａｄｊｏｉｎｔｓＰｗｉｔｈｔｏｇｅｔｈｅｒｗｉｔｈｔｈｅＲｉｅｍａｎｎｉａｎｍｅｔｒｉｃｏｎ
ｒｅｓｐｅｃｔｔｏｔｈｉｓｓｔｒｕｃｔｕｒｅ．ＷｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｔｈｅａｓｓｏｃｉａｔｅｄｓｅｌｆｏａｄｊｏｉｎｔＬａｐｌａｃｉａｎ：
Ａｊ＝弓乃＋弓一ｌ曩ｌ：ｒ（目）＿ｒ（弓）
Ｔｈｅｏｒｅｍ５．８．（ＨｏｄｇｅＤｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎＴｈｅｏｒｅｍ）
１６
Ｌｅｔ（Ｐ，Ｅ）ｂｅａｄ‘ｈｏｒｄｅｒｅｌｌｉｐｔｉｃｃｏｍｐｌｅｘ．Ｔｈｅｎ：
（ａ）ｒ（Ｅｊ）＝Ⅳ（Ａｊ）ｏ弓一ｌｒ（句一１）０碍ｒ（毋＋１）ａｓａｎｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｄｉｒｅｃｔｓｕｍ．ｒ（毋）ｄｅ—
ｎｏｔｅｓｔｈｅｓｍｏｏｔｈｓｅｃｔｉｏｎ．
（ｂ）Ｎ（分）ｉｓａｆｉｎｉｔｅｄｉｍｅｎｓｉｏｎｖｅｃｔｏｒｓｐａｃｅａｎｄｔｈｅｒｅｉｓａｎａｔｕｒａｌｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍｏｆＨＪ（Ｐ，Ｅ）皇Ⅳ（～）．ＴｈｅｅｌｅｍｅｎｔｓｏｆＮ（Ａｊ）ａｒｅｓｍｏｏｔｈｓｅｃｔｉｏｎｓｔｏＥｊ
ｐｒｏｏｆ：ｓｅｅ【６】ｐａｇｅ２２３
１７
Ｃｈａｐｔｅｒ６ＬｅｆｓｃｈｅｔｚＦｉｘｅｄＰｏｉｎｔＴｈｅｏｒｅｍｓ
Ｃｈａｐｔｅｒ６ＬｅｆｓｃｈｅｔｚＦｉｘｅｄＰｏｉｎｔＴｈｅｏｒｅｍｓ
Ｌｅｔｆ：Ｍ＿÷Ｍｂｅａｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｍａｐ．ｆ＇ＩｄｅｆｉｎｅｓａｍａｐｏｎｔｈｅｃｏｈｏｍｏｌｏｇｙｏｆＭａｎｄｔｈｅＬｅｆｓｃｈｅｔｚｎｕｍｂｅｒｏｆｆｉｓｄｅｆｉｎｅｄｂｙ：
￡（，）＝∑（一１）ｐＴｒ（广Ｄ甩片Ｐ（肘；ｃ））
Ｈｅｒｅ，ｗｅａｓｓｕｍｅｆｉｓｓｍｏｏｔｈ，ｕｓｉｎｇｔｈｅｄｅＲｈａｍｉｓｏｍｏｒｐｈｉｓｍｆｒｏｍＨＰ（Ｍ；Ｃ）ｔｏＨＰ（Ａ，ｄ）（ｔｈｅｃｏｈｏｍｏｌｏｇｙｏｆｔｈｅｅｌｌｉｐｔｉｃｃｏｍｐｌｅｘ：ｄｅＲｈａｍｃｏｍｐｌｅｘ）
ＦｏｒｓｍｏｏｔｈｍａｎｉｆｏｌｄＭ，ｔｈｅｓｕｂｓｅｔｏｆＴ七Ｍｃｏｎｓｉｓｔｉｎｇｏｆａｌｔｅｒｎａｔｉｎｇｔｅｎｓｏｒｓｉｓｄｅｎｏｔｅｄ
ｂｙＡｋＭ＝ｘ２ＭＡｋ（ＴｘＭ），心ＭｉｓａｓｍｏｏｔｈｓｕｂｂｕｎｄｌｅｏｆＴｋＭ，ａｓｅｃｔｉｏｎｏｆＡｋＭｉｓｃａｌｌｅｄａｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｋ－ｆｏｒｍ．ＤｅｎｏｔｅＡ正（肘）ｔｏｂｅｖｅｃｔｏｒｓｐａｃｅｏｆｔｈｅｓｍｏｏｔｈｓｅｃｔｉｏｎｏｆＡｋＭ．ＴｈｅｄｅＲｈａｍｃｏｍｐｌｅｘｉｓ：
办：ＡＰ（Ｍ）－÷Ａｐ＋１（Ｍ）
尸：ＡＰ（Ｍ）一ＡＰ（Ｍ）ｂｅｔｈｅｐｕｌｌ－ｂａｃｋｏｐｅｒａｔｉｏｎ．Ｉｔ’Ｓａｍａｐｆｒｏｍｔｈｅｆｉｂｒｅｏｖｅｒ足ｘ）ｔｏｔｈｅｆｉｂｒｅｏｖｅｒｘ．Ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ，ｆｏｒ卢∈Ａｐ（肘），（广ＪＢｋ仪ｒ）＝办（Ｊ）（∽ｘ），ｏ））
ｗｈｅｒｅＸ＝（Ｘｌ＇．．．，而）Ⅸ∈彤∽）．
Ｓｉｎｃｅｄｆ＊＝ｆ’．ｄ，ｆ＇ＩｉｎｄｕｃｅｓａｍａｐｏｎＨＰ（Ｍ，Ｃ）笺妇ｒ（而）／ｉｍａｇｅ（ｄｐ—１）．
ＤｅｆｉｎｅｔｈｅＨｅｒｍｉｔｉａｎｉｎｎｅｒｐｒｏｄｕｃｔｏｎｔｈｅｆｉｂｒｅｓｏｆＡ７（肘）ｂｙ＜，＞，ａｎｄｔｈｅｉｎｎｅｒｐｒｏｄ－ｕｃｔｏｎＡ７（肘）ｔｏｂｅ（，）＝如＜，＞ｄｖ０１．ＳｏｗｅｃａｎｄｅｆｉｎｅＬ２（Ａｐ（肘））ｔｏｂｅｔｈｅｃｏｍ－ｐｌｅｔｉｏｎｏｆＡ７（肘）ｕｎｄｅｒｔｈｉｓｎｏｒｍ．Ｌｅｔ８：ＡＰ＋１（Ｍ）＿ＡＰ（Ｍ）ｉｓｔｈｅａｄｊｏｉｎｔｏｆｄ．Ａｐ＝由一ｌ昂一１＋昂而：ＡＰ（Ｍ）一Ａｐ（肘）ｂｅｔｈｅａｓｓｏｃｉａｔｅｄＬａｐｌａｃｉａｎ，ｗｈｉｃｈｉｓａｌｌｅｌｌｉｐｔｉｃＷＤＯｏｆｏｒｄｅｒ２ａｎｄｓｅｌｆ－ａｄｊｏｉｎｔｗｉｔｈｐｏｓｉｔｉｖｅｄｅｆｉｎｉｔｅｌｅａｄｉｎｇｓｙｍｂｏｌＩ喜１２
Ｔｒ（ｆ＊ｅ叫～）＝Ｌｆ＜Ｐ叫如广籼０），籼＠）＞ｄｘ
ＷｅＣａｎｏｎｌｙｃｏｎｓｉｄｅｒｊＬ＞Ｏ，ａｎｄｂｙｌｅｍｍａ５．１
九＞ＣｒｌＳ，ｅ一‘ｈ≤Ｃｅ一。

圹，Ｃ＞０ａｎｄｗｉｔｈＣａｕｔｈｙ－Ｓｃｈｗａｒｚｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ，ｔｈｅｃｏｍｐａｃｔｏｆ
ｉｎｔｅｇｒａｌｄｏｍａｉｎａｎｄｔｈｅｓｍｏｏｔｈｙｆ，ｗｅｃａｎｇｅｔＴｒ（广ｅ叫Ａｐ）＜∞
ＷｅｄｅｃｏｍｐｏｓｅＬ２（Ａ（Ｍ））＝ｏｊＬ易（九）ｗｈｅｒｅ昂（九）＝｛驴∈Ｚ２１△Ｊｐ妒＝九妒｝
Ｌｅｔ万（ｐ，Ａ）：Ｌ２似ｐ（肘））＿昂（九）ｂｅｔｈｅｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ，ｗｅｒｅｓｔｒｉｃｔｆ’ｏｎ易（九），
１８
Ｃｈａｐｔｅｒ６ＬｅｆｓｃｈｅｔｚＦｉｘｅｄＰｏｉｎｔＴｈｅｏｒｅｍｓ
ａｎｄｄｅｆｉｎｅ广（ｐ，Ａ）＝万（ｐ，九）广：昂（．；Ｌ）＿÷昂（Ａ）
Ｕｓｉｎｇｔｈｅｆａｃｔｔｈｅｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ巧（ｐ，ｊＬ）ｉｓｓｅｌｆ－ａｄｊｏｉｎｔ，ｗｅｇｅｔ
Ｔｒ（ｆ‘ｅ一７～）＝Ｌｅ一‘ｋ（广锄，妒ｈ）＝Ｅ—ｅ一‘ｋ（广“，ｘ（ｐ，厶）籼）
＝∑－，ｎｅ一‰（万（ｐ，九），’籼，ｘ（ｐ，厶）籼）＝砀Ｐ—ＭＴｒ（ｆ＇（ｐ，Ａ））
Ｌｅｍｍａ６．１ｄＴｒ＝ｘｄ
ＰＲＯＯＦ：ＵｓｅｔｈｅｆａｃｔｄＡ＝Ａｄ．艿Ａ＝△６
Ｗｅｊｕｓｔｃｏｎｓｉｄｅｒ办万（ｐ，Ａ）＝ｘ（ｐ＋１，Ａ）彩
Ｉｆ妒∈三≥（Ａ），万妒＝妒，△ｄ≯＝ｄ△妒＝Ａｄ△妒，ＳＯ万ｄ妒＝ｄｅ＝ｄ万驴
Ｉｆ妒∈Ｅ０（九）上，万妒＝Ｏ，（ｄｅ，ｙ）＝（妒，６ｌｆ，）ｆｏｒａｎｙｌｆ，∈Ｅ＿＋ｌ（Ａ），
△６ｙ＝６△Ｖ，＝ｇＳＷ，ｓｏＳＷ∈昂（Ａ）ＳＯ（ｄｅ，ｙ）＝（妒，６ｙ）＝ｏ，兀ｄ妒＝０＝ｄ万妒
Ｆｒｏｍｘｆ＊ｄ＝ｘｄｆ＊＝ｄｘｆ＊，ｗｅｇｅｔ厂（ｐ，Ａ）ｄ＝ｄｆ＊（ｅ，Ａ），Ｓｏ
Ｌｅｍｍａ６．２∑ｐ（一１）ｐＴｒ（广（ｐ，九））＝０ｆｏｒ允≠０
ＰＲＯＯＦ：Ｆｉｒｓｔｗｅｓｈｏｗｔｈａｔｗｈｅｎ九≠ｏ，ｋｅｒ（ｄｐｌ昂（九））＝ｉｍａｇｅ（ｄｐ一１Ｉ易一ｌ（九））
ｆｏｒｄ２＝Ｏ，ｗｅｊＵＳｔｓｈｏｗｎｅｅｄｔｏｓｈｏｗｋｅｒ（ｄｐＩ岛（九））∈ｉｍａｇｅ（ｄｐ一１Ｉ昂一ｌ（ｊＬ））
Ｆｏｒ妒∈ｋｅｒ（ｄｐｌ￡＿（Ａ）），△驴＝０，ｄｅ＝０，ＳＯｄ６妒＝九妒，妒＝ｌ／九ｄ６妒，
ｆｂｒ△６妒＝６△妒＝Ａ６驴，ＳＯ６妒∈Ｅ＿一１
ＦｏｒｆｉｘｅｄＡ≠０，ｗｅｊｕｓｔｕｓｅ矗ｒｅｐｒｅｓｅｎｔ广（ｐ，Ａ）ｆｏｒｓｉｍｐｌｅｎｏｔａｔｉｏｎ．
而：妇纬＿＋妇纬，ＳＯＴｄｅｄｕｃｅｔｈｅｑｕｏｔｉｅｎｔｓｐａｃｅｍａｐ，ｓｔｉｌｌｄｅｎｏｔｅｄｂｙｆｐ：Ｅｐ／ｋｅ，＇ｅｐ＿
ＥｐＩｋｅｒｄ，，
Ｆｏｒ昂＝ｋｅｒ（ｄｐＩ昂）ｏＦ，ｗｈｅｒｅＦ２ｅ／妇ｒｄｐ竺ｉｍａｓｅ（ｄｐＩ易），
ｆｏｒｆｐｄ＝ｄｆｐ，ｉｍａｇｅ（ｄｐＩ酃）ｉｓａｌｓｏｔｈｅｉｎｖａｒｉａｎｔｓｕｂｓｐａｃｅｏｆ昂．Ａｌｔｈｏｕｇｈ，Ｆｏｆｃｏｕｒｓｅ
ｍａｙｎｏｔｂｅｉｎｖａｒｉａｎｔｕｎｄｅｒ易，ｂｕｔｗｅｈａｖｅ：ｆｏｒｄｉｍ（Ｅｐ（九））＜∞，ｆｏｒａｎｙｆｉｘＡ≠Ｏ，ｃｈｏｏｓｅｂａｓｅｓｏｆｋｅｒ（ｄｐＩ易）ｄｅｎｏｔｅｄｂｙ｛ｅｌ＇．．．锹），ｅｎｌａｒｇｅｔｈｅｍｉｎｔｏｔｈｅｂａｓｅｓｏｆＥｐ，ｄｅｎｏｔｅｄｂｙ｛ｅｌ，…ｅｋ，ｇｌ，…，勘），ＳＯｗｅｇｅｔ：
厶ｃｅ－，…寥七，ｇ·，…，ｇ，，＝ｃＰ－，…锹，ｇ－，…，ｇ，，Ａ三）
而ｃｇ－，…，ｇ，，＝ｃ舌·，…Ｐ七，ｇ－，…，ｇ，，（三）
Ｗｈｅｎｇ／ｉｎｅｐ，ｗｅｄｅｎｏｔｅ【ｇ】ｉｓｔｈｅｎａｔｕｒａｌｉｍａｇｅｉｎＥｐ／妇ｒｄｐ，ａｎｄ｛【ｇｌ】＇．．．，【ｇｔ］｝ｉｓａｌｓｏｔｈｅｂａｓｅｓｏｆＥｐ／ｋｅｒｄｐ，ａｎｄ
易（［ｇｌ】，…，ｋｆ】）＝（ｋｌ】，…，【ｇ，】）Ｄ
ＳＯｗｅｇｅｔ
Ｔｒｆｐ＝ＴｒＡ＋ＴｒＤ＝Ｔｒ（ｆｐｌｋｅｒｄｐ）＋Ｔｒ（厶ｌｅｐ／妇，．ｄｐ）＝ｒｒ（Ａｌ妇啡）＋Ｔｒ（易ｌｉｍａｇｅ（ｄｐ））Ｓｉｎｃｅｋｅｒ（ｄｐＩ易（Ａ））＝ｉｍａｇｅ（ｄｐ一１Ｉ昂一１（九））ｆｏｒ九≠ｏ，
ｗｅｇｅｔＩ：ｐ（－１）ｐＴｒ（Ａ）＝０
ＦｏｒＡ＝ｏ，ｅｐ（ｏ）＝ｋｅｒＡｐ竺ｋｅｒ（ｄｐ）／ｉｍａｇｅ（ａｌｐ一１）ｂｙＨｏｄｇｅｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎｔｈｅｏｒｅｍ，Ｅｐ（－１）ＰＴｒ（ｆ＇（ｐ，ｏ））＝∑ｐ（－－１）ＰＴｒ（ｆ＊ｏｎＨＰ∽，ｃ））＝￡（丁）
ＳｉｎｃｅＥｐ（一１）ｐＴｒ（ｆ＇（ｐ，Ａ））ｉｓａｆｉｎｉｔｅｓｕｍａｎｄｔｈｅａｂｏｖｅｌｅｍｍａ，ｗｅｇｅｔ
Ｌ（，）＝∑ｅ叫Ａ
ＡＥｌ－１）ｐｒｒ（ｆ＊（ｐ，ｊＬ））Ｐ
＝Ｅ（－１）ｐＥｅ—ＭＴｒ（ｆ（ｐ，九））
ＰＡ
＝∑（一１）ＰＴｒ（．ｆ＊ｅ叫～）
Ｐ
Ｒｅｍａｒｋ：
Ｆｒｏｍｔｈｅａｂｏｖｅｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ，ｗｅｃａｒｌｃｏｍｐｕｔｅＬ（Ｄｂｙｔｈｅｍｅｔｈｏｄｏｆｈｅａｔｅｑｕａｔｉｏｎ．
ＴｈｉｓｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｂｏｖｅｗａｓｐｕｒｅｌｙｆｏｒｍａｌａｎｄｄｉｄｎｏｔｄｅｐｅｎｄｔｈｅｆａｃｔｗｅｗｅｒｅｄｅａｌｉｎｇｗｉｔｈｔｈｅｄｅＲｈａｍｃｏｍｐｌｅｘ．Ｓｏｗｅｃａｎｇｅｔｍｏｒｅ．
Ｌｅｍｍａ６．３Ｌｅｔ（ＥＥ）ｂｅａｎｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｌｌｉｐｔｉｃｃｏｍｐｌｅｘｏｖｅｒＭａｎｄｌｅｔｆ：Ｍ＿Ｍ
ｂｅｓｍｏｏｔｈ，ｆｉｎｄｕｃｅｔｈｅｍａｐｆ＊：ｒ（Ｅ）一÷ｒ（广（Ｅ）），ｗｈｅｒｅｆ＊（Ｅ）＝工勘｛工）×毋“）ｂｅｔｈｅｐｕｌｌ－ｂａｃｋｂｕｎｄｌｅ．Ｔｈａｔｉｓ：ａ∈ｒ（Ｅ），（，’口）＠）＝ｔｒ（ｆ（ｘ））Ｗｅａｓｓｕｍｅｇｉｖｅｎｌｉｎｅａｒ
ｍａｐｓ咖：Ｅｉ，，伍）＿Ｅｉ，ｘ，ＳＯｗｅｄｅｆｉｎｅＥ＋＝咖。

广：ｒ（ｅ）＿ｒ（Ｅ），ｓｕｃｈｔｈａｔＰ／Ｆ／＋＝Ｆ毋
Ｃｈａｐｔｅｒ６ＬｅｆｓｃｈｅｔｚＦｉｘｅｄＰｏｉｎｔＴｈｅｏｒｅｍｓ
ａｂｏｕｔｔｈｅｖｅｃｔｏｒｂｕｎｄｌｅ局．Ｔｈｅｎｌａｎｄ咖ｉｎｄｕｃｅａｍａｐｏｎＨ‘（只Ｅ），Ｗｅｄｅｆｉｎｅ
Ｌ（ｆ）ｐ＝∑（一１）‘Ｔｒ（Ｆ‘ｏｎＨ‘∽Ｅ））
．ＴｈｅｎｗｅｃｏｍｐｕｔｅＬ（ｆ）ｐ＝∑ｆ（一１）‘Ｔｒ（ｒ＋ｅ一’Ａ‘），ｗｈｅｒｅＡｉ＝芹毋＋毋一ｌ肇ｌｉｓｔｈｅａｓ－ｓｏｃｉａｔｅｄＬａｐｌａｃｉａｎ．
ＴｏｇｅｔａｌｏｃａｌｆｏｒｍｕｌａｆｏｒＬ（ｆ），ｗｅｍｕｓｔｐｌａｃｅｓｏｍｅｒｅｓｔｒｉｃｔｉｏｎｓｏｎｆＷｅａｓｓｕｍｅｔｈｅｆｉｘｅｄｐｏｉｎｔｓｅｔｏｆｆｃｏｎｓｉｓｔｓｔｈｅｆｉｎｉｔｅｄｉｓｊｏｉｎｔｕｎｉｏｎｏｆｓｍｏｏｔｈｅｍｂｅｄｄｅｄｓｕｂｍａｎｉｆｏｌｄ＾毛．Ｔｈａｔｉｓｆｉｘ（ｆ）＝｛工∈ＭＩｆ（ｘ）＝工）＝Ｕ；：ｌ＾霸，ｗｈｅｒｅＭ／ｎ＾乃＝ｏ，ｆｏｒｉ≠ｊ，ａｎｄｌｉｓ
ａｆｉｎｉｔｅｉｎｔｅｇｅｒ．ｉｄ：尬ｑＭ．Ｗｃｉｄｅｎｔｉｆｙ瓦晒ａｎｄｉｄ。

瓦Ｍ，ＳＯｆｏｒ坛∈Ｍ／，瓦尬Ｃ瓦Ｍ淞ｖｅｃｔｏｒｓｕｂ－ｓｐａｃｅ．Ｗｅｄｅｎｏｔｅｔｈｅｑｕｏｔｉｅｎｔｓｐａｃｅ硒Ｎｘ尬＝ＴｘＭ／ＴｘＭｉ．＾：瓦Ｍ－－－９巧（曲爿肘．Ｓｉｎｃｅ＾＝ｉｄ。

ｏｎ了≥尬，ＳＯ五：瓦慨－÷瓦尬舔ｉｎｖａｒｉａｎｔｓｕｂｓｐａｃｃ，ａｎｄｉｔｉｎ－ｄｕｃｅｓａｍａｐＡＮｏｎＭ．Ｗｅｓｕｐｐｏｓｅｄｅｔ（１一＾Ⅳ）≠０私ａｎｏｎ－ｄｅｇｅｎｅｒａｃｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎ．
ＩｆＫｉｓｔｈｅｋｅｒｎｅｌｏｆｅ－ｔＰ，ｍｅａｎｓｅ－ｔＰｇ（ｘ）＝ｆＫ（ｔ，ｘ，ｙ）ｇ（ｙ）ｄｖｏｌ（ｙ），
Ｆ。

ｅ一‘Ｐ９０）＝ｆＯｘＫ（ｔ，，（工），ｙ）ｇ（ｙ）ｄｖｏｌ（ｙ），ｗｈｅｒｅ以：Ｅ’（工）—｝最ｉｓｌｉｎｅａｒｍａｐｄｅｆｉｎｅｄａｂｏｖｅ．ＷｅｕｓｅＦ‘ＫｔｏｄｅｆｉｎｅｔｈｅｋｅｒｎｅｌｏｆＦ＊ｅ—ｔＰ．
Ｌｅｍｍａ６．４ＬｅｔＰｂｅａｎｅｌｌｉｐｔｉｃｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｏｐｅｒａｔｏｒｏｆｏｒｄｅｒｄ＞０ｗｈｉｃｈｉｓｓｅｌｆ－ａｄｊｏｉｎｔａｎｄｗｈｉｃｈｈａｓａｐｏｓｉｔｉｖｅｄｅｆｉｎｉｔｅｌｅａｄｉｎｇｓｙｍｂｏｌｆｏｒ考≠０．Ｌｅｔｆ：Ｍ—Ｍｂｅａｓｍｏｏｔｈｎｏｎ－ｄｅｇｅｎｅｒａｔｅｍａｐａｎｄｌｅｔ妒：辱厂（ｊ）－－＋最ｂｅａｓｍｏｏｔｈｖｅｃｔｏｒｂｕｎｄｌｅｈｏ－ｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ．ＷｅｄｅｎｏｔｅＦ’＝币ｏｆ：ｒ（ｅ）－－－９ｒ（广（￡））－－｝ｒ（￡）．ＩｆＫｉｓｔｈｅｋｅｒｎｅｌｏｆｅ一俨ｔｈｅｎｒｒ（Ｆ＋ｅ一沪）＝如Ｔｒ（Ｆ‘Ｋ）（ｆ，ｊ【，ｘ）ｄｖｏｌ（ｘ）．
（ａ）Ｉｆｆｈａｓｎｏｆｉｘｅｄｐｏｉｎｔｓ，ＩＴｒ（Ｆ‘ｅ－ｔＰ）Ｉ≤Ｇ，ａｓｆｏｒａｎｙｎ，ｆｏｒ０＜ｔ＜１
（ｂ）ＩｆｔｈｅｆｉｘｅｄｐｏｉｎｔｓｅｔｏｆｆｃｏｎｓｉｓｔｓｏｆｓｕｂｍａｎｉｆｏｌｄＭｉｏｆｄｉｍｅｎｓｉｏｎｍｉ，ｗｅｗｉｌｌｃｏｎ－ｓｔｒｕｃｔｓｃａｌａｒｉｎｖａｒｉａｎｔａ—ｘ）ｗｈｉｃｈｄｅｐｅｎｄｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｕｐｏｎａｆｉｎｉｔｅｎｕｍｂｅｒｏｆｊｅｔｓｏｆｔｈｅｓｙｍｂｏｌａｎｄｏｆｆ．Ｔｈｅａｎ０）ａｒｅｄｅｆｉｎｅｄｏｖｅｒＭａｎｄ
Ｔｒ（Ｆ＋已－，Ｐ）“军ｎ∑＝Ｏｆ！字厶锄。

）ｄ阳ｆｆ＠），甜ｆ－÷ｏ＋
ｆ一』Ｗ
ｄｖｏｌｉＯ）ｄｅｎｏｔｅｓｔｈｅＲｉｍａｎｎｉａｎｍｅａｓｕｒｅｏｎｔｈｅｓｕｂｍａｎｉｆｏｌｄ．
Ｉｔｆｏｌｌｏｗｓｆｒｏｍ（ａ）ｔｈａｔｉｆｆｈａｓｎｏｆｉｘｅｄｐｏｉｎｔｓ，ｔｈｅｎＬ（ｆ）ｖ＝０
２ｌ
Ｃｈａｐｔｅｒ６ＬｅｆｓｃｈｅｔｚＦｉｘｅｄＰｏｉｎｔＴｈｅｏｒｅｍｓ
ＰＲｏｏＦ’：
Ｆ＋ｅ叫尸：ｒ（ｅ）一ｒ（ｅ）ｉｓｓｍｏｏｔｈｌｉｎｅａｒｏｐｅｒａｔｏｒ．ＦｏｒａｎｙｃｈａｒｔＵｏｆｍａｎｉｆｏｌｄＭ。

ａｎｙ９，ｌｆ，∈Ｃ孑（ｕ），ｗｅｈａｖｅｅｅ一俨ｖ／ｇ（ｘ）＝ｆｅ‘ｏ—ｙ）‘言ｐ＠，｛）ｇ（），）州考ｗｈｅｒｅｇ∈Ｉ＇（Ｅ），ａｎｄｐ（ｘ，考）∈ｒ（ｕ，Ｅ）ａｂｏｕｔ）【＇ａｎｄＦ＋ａｐｅ一泸惦０）＝ｆｅ‘（厂（善）＿）。

｛识ｐ（，（ｘ），考）ｇ◇）ｄ妒考，Ｆｏｒ｛Ｊ∈Ｖｌｆ（ｘ）ｇ∥），ｐ（厂（ｚ），考）－－ｏ，ｓｏｗｅｊｕｓｔｃｏｎｓｉｄｅｒ（ｘｌｆ（ｘ）∈∥），ｓｏｆ（ｘ），ｙＥＵ，ａｎｄ，０）－ｙｃａｎｈａｖｅｉｔｓｍｅａｎｉｎｇｉｎｔｈｅａｂｏｖｅｉｎｔｅｇｒａｌ．
ＦｒｏｍｔｈｅａｔｌａｓｏｆｃｏｍｐａｃｔｍａｎｉｆｏｌｄＭ（ａｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎｏｆｃｈａｎｓｗｈｏｓｅｄｏｍａｉｎｓｃｏｖｅｒＭ），ｗｅｃｈｏｏｓｅｆｉｎｉｔｅｏｐｅｎｓｕｂ·ｃｏｖｅｒ，ｄｅｎｏｔｅｄｂｙ｛％），Ａｎｄｌｅｔ｛｜｝ｌ口：Ｍ＿÷尺）ｂｅｔｈｅｕｎｉｔｙｐａｒｔｉａｌｏｆ｛Ｕａ｝，Ｆ’ｅ一俨＝蜀．ｊｈｉＦ。

ｅ一护ｈｊａｎｄｗｅｌｏｃａｔｅｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｏｎｔｈｅＵ－－ｔｈｅｓｕｐ－ｐｏｒｔｏｆｈｉｈｊ
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Ｗ＝Ｔ’Ｄ（Ｍ１）ｂｅｔｈｅｃｏｔａｎｇｅｎｔｂｕｎｄｌｅｏｆｔｈｅｄｉｓｋｂｕｎｄｌｅ．ＷｅｃａｎｕｓｅｔｈｅｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓｏｆＤ（Ｍ１）ａｓｌｏｃａｌｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓｏｎＭ．ＷｃｐａｒａｍｅｔｒｉｚｅＷｂｙ｛仅ｚ，考ｌ，考２）：…Ｚ＜ｅｏ｝
Ｍ＝Ｏ（ＭＩ）Ｕ（肘＼）Ｄ（肘】），ｗｈｉｃｈＯ（Ｍ１）ｉｓａｎｅｉｇｈｂｏｒｈｏｏｄｏｆ肘１ｗｈｉｃｈｄｉｆｆｅｏｍｏｒｐｈｉｓ－ｍｔｏＤ（ＭＩ）＝｛（口，Ｗ）：ｑ∈Ｍｌ，ＩＷｌ＜６Ｄ｝，ａｎｄｆｏｎＭ（ＭＩ）ｈａｓｎｏｆｉｘｅｄｐｉｎｔｓｗｈｉｃｈｉｓｔｈｅ。