四川省攀枝花市第十二中学高二数学下学期半期调研检测试题理

攀枝花市第十二中学校2015-2016学年度(下)半期调研检测
高2017届数学（理科）试题
注意事项：
1. 本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分.第I 卷1至2页,第II 卷3至6页。

2. 全卷满分150分,考试时间120分钟。

3. 只交答卷（或第II 卷），第I 卷学生带走，以备讲评。

第I 卷（选择题 共60分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.命题“x R ∃∈，使得012
<++x x ”的否定是（ ）
A ．不存在x R ∈，使得012<++x x
B ．x R ∃∈，使得2
10x x ++≥ C ．x R ∀∈，使得012
<++x x
D ．x R ∀∈，使得2
10x x ++≥
2．
2
1
1
dx x
⎰
等于( ) A ．2ln B ．1 C ．2
1
- D ．e
3．函数x x y ln 2
12
-=
的单调递减区间为( ) A ．]1,1(-
B ．]1,0(
C ．),1[+∞
D ．),0(+∞
4．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为( )
A ．280
B ．292
C ．360
D ．372
5．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是( )
A ．①和②
B ．②和③
C ．③和④
D ．②和④ 6．由直线2,21==
x x ，曲线x x
y 及1
=轴所围图形的面积为( ) A.
4
15 B. 417 C. 2ln 21 D ．2ln 2
7．已知n m ,是不同的直线，βα,是不重合的平面，则下列命题中正确的是( )
A ．αα//,//,//n n m m 则若
B ．m n n m ⊥⊥⊥则若,,αα
C ．βαβα⊥⊥则若,//,m m
D ．βαβα⊥⊂⊥m m 则若,,
8．一个水平放置的圆柱形储油桶(如图所示)，桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的1
4
，则油桶直
立时，油的高度与桶的高度的比值是( )
A ．
41 B ．π
2141- C ．π41 D ．π21
9．有下列四个命题：
①“若1=xy ，则y x 、互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若1-≤b ，则方程022
2
=++-b b bx x 有实根”的逆否命题；
④若“B B A = ，则B A =”的逆否命题． 其中的真命题是( )
A ．①② B．②③ C ．①③ D．③④
10.执行如图所示的程序框图，则输出的Z 值为( )
A ．64
B ．6
C ．8
D ．3
11．如图所示，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，
则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )
A ．63
B ．255
C ．155
D ．105
12．已知函数4)(23-+-=ax x x f 在2=x 处取得极值，若]1,1[,-∈n m ，则)()('
n f m f +的
最小值是( )
A ．13-
B ．15-
C ．10
D ．15
攀枝花市第十二中学校2015-2016学年度(下)半期调研检测
高2017届数学（理科）试题答题卷
选择题答案栏
第II 卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）
13．已知Q x x f ∈=αα,)(，若4)1('-=-f ，则=α______.
14．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________． 15．三棱锥D －ABC 的三个侧面分别与底面全等，且AB ＝AC ＝3，
BC ＝2，则二面角A －BC －D 的大小为________． 16．已知函数]2,2[,)(23-∈+++=x c bx ax x x f 表示过原点的曲线，
且在1±=x 处的切线的倾斜角均为π4
3
，有以下命题：
①)(x f 的解析式为]2,2[,4)(3-∈-=x x x x f ． ②)(x f 的极值点有且只有一个．
③)(x f 的最大值与最小值之和等于零．
其中正确命题的序号为________．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 17．设函数86)1(32)(23+++-=ax x a x x f ，其中R a ∈,已知)(x f 在3=x 处取得极值．
(1)求)(x f 的解析式；
(2)求)(x f 在点)161
(，A 处的切线方程．
18．如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在C 1C 上，且C 1E ＝3EC . (1)证明A 1C ⊥平面BED ；
(2)求二面角A 1－DE －B 的余弦值．
19．已知命题0)5)(1(:≤-+x x p ，命题)0(11:>+≤≤-m m x m q ． （1）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；
（2）若5=m ，“q p 或”为真命题，“q p 且”为假命题，求实数x 的取值范围．
20．某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为
6
1
.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。

（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；
（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望E ξ.
21．设函数2()ln(23)f x x x =++
（Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）求()f x 在区间3144
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，的最大值和最小值．
22．如图，四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点． (1)证明：PB ∥平面AEC ；
(2)设二面角D ­AE ­C 为60°，AP ＝1，AD ＝3，求三棱锥E ­ACD 的体积．
攀枝花市第十二中学校2015-2016学年度(下)半期调研检测 高2017届数学（理科）参考答案
14. 10
3
解析：该几何体是上面是底面边长为2的正四棱锥，下面是底面边长为1、高为2的
正四棱柱的组合体，其体积为V ＝1×1×2＋13×22
×1＝103
．
15．90°解析：由题意画出图形，数据如图，取BC 的中点E ，连接AE 、DE ，
易知∠AED 为二面角A —BC —D 的平面角．可求得AE ＝DE ＝2，
由此得AE 2＋DE 2＝AD 2
．故∠AED＝90°．
16．①③解析：f′(x)＝3x 2
＋2ax ＋b ，
由题意得f(0)＝0，f′(－1)＝f′(1)＝tan 3π
4
＝－1.
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
c ＝03－2a ＋b ＝－13＋2a ＋b ＝－1
，∴a＝0，b ＝－4，c ＝0.
∴f(x)＝x 3
－4x ，x∈[－2,2]．故①正确．
由f′(x)＝3x 2
－4＝0得x 1＝－233，x 2＝233
.
－
Z
]
Z
∴x＝－233是极大值点也是最大值点．x ＝23
3
是极小值点也是最小值点．
f(x)min ＋f(x)max ＝0.∴②错，③正确．
17．解：(1)f′(x)＝6x 2
－6(a ＋1)x ＋6a.
∵f(x)在x ＝3处取得极值，
∴f′(3)＝6×9－6(a ＋1)×3＋6a ＝0， 解得a ＝3.
∴f(x)＝2x 3－12x 2
＋18x ＋8. (2)A 点在f(x)上，
由(1)可知f′(x)＝6x 2
－24x ＋18，
f′(1)＝6－24＋18＝0，∴切线方程为y ＝16. 18．解：（1）解出p ：﹣1≤x≤5， ∵p 是q 的充分条件，
∴[﹣1，5]是[1﹣m ，1+m]的子集
∴，得m≥4，
∴实数m 的取值范围为[4，+∞） （2）当m=5时，q ：﹣4≤x≤6． 依题意，p 与q 一真一假， p 真q 假时，由
，得x∈∅
p 假q 真时，由，得﹣4≤x＜﹣1或5＜x≤6
∴实数m 的取值范围为[﹣4，﹣1）∪（5，6]
19．解 以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，
建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz .依题设B (2,2,0)，C (0,2,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,4)． DE →
＝(0,2,1)，DB →
＝(2,2,0)，A 1C →
＝(－2,2，－4)，DA 1→
＝(2,0,4)．
(1)∵A 1C →
·DB →
＝0，A 1C →
·DE →
＝0， ∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE . 又DB ∩DE ＝D ， ∴A 1C ⊥平面DBE .
(2)设向量n ＝(x ，y ，z )是平面DA 1E 的法向量，则n ⊥DE →
，n ⊥DA 1→
.
∴2y ＋z ＝0,
2x ＋4z ＝0. 令y ＝1，则z ＝－2，x ＝4， ∴n ＝(4,1，－2)．
∴cos〈n ，A 1C →
〉＝
n ·A 1C
→
|n ||A 1C →
|
＝
1442
. ∵〈n ，A 1C →
〉等于二面角A 1－DE －B 的平面角，∴二面角A 1－DE －B 的余弦值为14
42
. 20．解：（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A 、B 、C ，那么
P (A )=P (B )=P (C )=16
P (A B C )=P (A )P (B )P (C )=
15252()6216
= 答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为25
216
（2）ξ的可能值为0,1,2,3
P (ξ=k )=3315()()66
k k k C -(k =0,1,2,3)
E ξ=0×
125216+1×2572+2×572+3×1
216=2
21．解：()f x 的定义域为3
2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
，．
（Ⅰ）224622(21)(1)
()2232323
x x x x f x x x x x ++++'=+==+++． 当312x -
<<-时，()0f x '>；当1
12
x -<<-时，()0f x '<；当12x >-时，()0f x '>．
从而，()f x 分别在区间3
12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，12⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调增加，在区间112⎛⎫
--
⎪⎝⎭
，单调减少． （Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 在区间3144⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦，的最小值为11
ln 224f ⎛⎫
-=+ ⎪⎝⎭
．
又31397131149ln
ln ln 1ln 442162167229f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
--=+--=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
0<．
所以()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最大值为117
ln 4162f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．
22．解：(1)证明：连接BD 交AC 于点O ，连接EO . 因为平面ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．
又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB . 因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， 所以PB ∥平面AEC .
(2)因为PA ⊥平面ABCD ，平面ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．
如图，以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴的正方向，|AP |为单位长，建立空间直角坐标系A ­xyz ， 则D (0，3，0)，E ⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，
32，12，AE ＝⎝
⎛
⎭⎪⎫0，32，12.
设B (m,0,0)(m >0)，则C (m ，3，0)，AC ＝(m ，3，0)． 设n 1＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，
则⎩⎨
⎧
n 1·AC ＝0，
n 1·AE ＝0，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
mx ＋3y ＝0，32
y ＋1
2z ＝0，
可取n 1＝⎝
⎛⎭
⎪⎫
3m ，－1，3. 又n 2＝(1,0,0)为平面DAE 的法向量， 由题设|cos 〈n 1，n 2〉|＝1
2，
即
33＋4m 2
＝12，解得m ＝3
2
. 因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E ­ACD 的高为12.三棱锥E ­ACD 的体积V ＝13×12×3×32×12＝3
8
.。