对数函数的图像和性质 第二课时 课件 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

(1)对数函数的图象都过点(0,1)．(
)
(3) 当 0<a<1 时 ， 若 x>1 ， 则 y＝ logax 的 函 数 值 都 大 于
零．( × )
×
(4)函数y＝log2x的定义域和值域都是(0，＋∞)．(
)
2．做一做
(1)函数 y＝log2x 在区间[1,8]上的最大
值为(
)
A．0
B．1
C．3
x
+∞
o (1,0)
-∞
当0<x<1时，y>0;
当x>1时，y<0
x
对数函数 y=logax (a＞0,a≠1) 的图象与性质
a＞1
0＜a＜1
图
象
性
质
y x =1
y log a x(a 1)
O
(1,0)
x
y x =1
(1,0) x
O
y log a x(0 a 1)
定义域 : ( 0,+∞)
D．8
2．做一做(2)函数 y＝logax 的图象如图
所示，则实数 a 的可能取值为(
A．4
1
B．4
1
C．e
1
D．3
)
(3) 若 对 数 函 数 y ＝ log(1 － 3m)x ，
x∈(0，＋∞)是减函数，则m的取值
范围为________.
答案





1
0，3





0 1 3m 1
练习1 函数的 f (x)=loga(x－2)的图象必
经过定点 (3, 0) ．
【解析】令x－2=1，得x = 3，
所以f (3)=loga(3－2)=0，
即函数的 f (x)=loga(x－2的图象必经过
定点(3，0)．
练习2 函数的 f (x)=loga(x－2)－2x的
图象必经过定点 (3, -6) ．
（2） 不是每一个函数都有反函数；一个函数有
反函数的充要条件是它相应的映射是一一映射；
（3）原函数与反函数的定义域与值域互换；
（4）原函数与反函数的图象关于直线y=x对称。
（5）原函数与反函数的单调性相同。
练习
求下列函数的反函数：
(1 ) y 3 x 1 ( x R )
(2) y x 1 ( x R )
所以y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)．
题型四 对数函数值域与单调性 大本128页
例 3 求下列函数的值域与单调性：
2
(1)y＝log2(x ＋4)；
2
(2)y＝log1(3＋2x－x )．
2
[解] (1)y＝log2(x2＋4)的定义域是R.
因为x2＋4≥4，
所以log2(x2＋4)≥log24＝2.
(2)log30.2，log40.2；
(3)log23，log0.32；
(4)logaπ，loga3.14(a＞0，且a≠1)．
解
(2020安徽淮北模拟)已知
1
a log 5 3, b 2 log 5 2,
2
1
c log 7 3, 比较a, b, c大小 log a b log a
∴f(x)＝log5|x|.
∴f(x)是偶函数，
其图象如图所示．
题型四 对数函数值域与单调性 大本128页
例 3 求下列函数的值域与单调性：
(1)y＝log2(x2＋4)；
(2)y＝log1(3＋2x－x2)．
[解] 2 (1)y＝log2(x2＋4)的定义域是R.
因为x2＋4≥4，
所以log2(x2＋4)≥log24＝2.



数，且 ＜ ，所以log5 ＜




log5 .

解法二：(中间值法)因为


log5 >0，所以log5


＜

log5 .


log5

<0，
题型一 对数函数单调性的应用
例 2 比较下列各组值的大小：
1
大本128页
1
3
4 (2)由于 log12＝
，log
，又
12＝
1
1
(1)log54，log53；
x
a 与函数g(x)＝－logbx的图象可能是(
)
跟1(2)函数y＝logax(a>0，且a≠1)与函数
y＝(a－1)x2－2x－1在同一坐标系中的图象
可能是(
)
跟2(3)已知函数f(x)＝loga|x|，且满足f(－5)＝1，
试画出函数f(x)的图象．
解 ∵f(x)＝loga|x|，
∴f(－5)＝loga5＝1，即a＝5.
1
3
1
5
(3) 底真均不同，找中间量．
log23与log54
题型一 对数函数单调性的应用
大本128页
例 2 比较下列各组值的大小：
3
4
(1)log54，log53；
(2)log12，log12；
3
5
(3)log23，log54.
[解]
(1)解法一：(单调性法)因为
对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上是增函
lg 4
3、底真均不同：比较下列各组中两个值的大小:
(4)log 67 , log 7 6 ;
(5)log 3π , log 2 0.8 .
提示 : log aa＝1
提示: log a1＝0
解: ⑴∵log67＞log66＝1 ⑵ ∵log3π＞log31＝0
log76＜log77＝1
log20.8＜log21＝0
增大
y = log 3 x
11
42
1
2
3 4
x
y = log 1 x
y = log 1 x
0<a<1
3
2
结论：x =1右侧，底大图底
增大
函数取值分布特征：同区间为正 异区间为负
y＝logax(a＞1)
y＝logax(0<a<1)
+∞
+∞
y
o
y
+∞
(1,0)
∞
当x>1时，y>0;
当0<x<1时，y<0
四、归纳小结:
1.对数函数的定义
2.对数函数的图象和性质;
3.比较两个对数值的大小.
作业: 1、0号作业：大本126页知识导学
2、 2号作业：大本129页跟3，随堂
反函数
课本134页
在指数函数 y 2 中 ，以y为自变量， x为因
变量，可以得到一个新的函数吗？若可以，它的对
应关系是什么？它们之间有什么关系？
1 3m 0
0 3m 1
1
0m
3
题型一 对数函数单调性的应用
1、同底不同真：课本133页例3 ：
(1)log23.4与 log28.5
<
(2) log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7
比较两个同底对数值的大小时:
>
１.观察底数是大于1还是小于1
步 （ a>1时为增函数0<a<1时为减函数）
＝loga(x＋1)－2＝－2，所以函数y＝loga(x＋1)
－2(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2)．
[答案] (0，－2)
[跟踪训练 1] (1)对 a(a＞0，且 a≠1)取不同的值，
x＋1
函数 y＝loga
的图象恒过定点 P，则点 P 的坐标为
3x－1
(
)
A．(1,0)
B．(－2,0)
２.比较真数值的大小；
骤
３.根据单调性得出结果。
题型一 对数函数单调性的应用
log 2 4 log 2 3
2、同真不同底：
log32与 log42
1
1
即

0，
log 3 2 log 4 2
log 3 2 log 4 2 .
lg 2
lg 2
log 3 2
, log 4 2
lg 3
的关系是什么?
函数y＝f(x) 反函数y＝f－1(x)
定义域
A
B
值域
B
A
函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函
数是什么？它们的图象之间有什么特
征？它们的单调性怎么样？
它们的图象关于直线y=x对称。
它们的单调性相同。
对反函数定义的理解
（1） 原函数与反函数的法则互逆，它们互为
反函数，反函数也是函数；
∴ log67＞log76
∴ log3π＞log20.8
注意:利用对数函数的增减性比较两个对数的大
小.当不能直接进行比较时,可在两个对数
中间插入一个已知数(如1或0等),间接比
较上述两个对数的大小。
比较两对数值的大小 一般有三种方法：
(1)同底不同真，利用单调性.
(2) 同真不同底，求倒或换底
log 2 与 log 2
所以y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)．
题型四 对数函数值域与单调性 大本128页
例 3 求下列函数的值域与单调性：
(1)y＝log2(x2＋4)；
2
(2)y＝log1(3＋2x－x )．
2
[解] (1)y＝log2(x2＋4)的定义域是R.
因为x2＋4≥4，
所以log2(x2＋4)≥log24＝2.


2
所以y＝log(3＋2x－x )的值域为[－2，＋∞)．
(2020安徽淮北模拟)已知
1
a log 5 3, b 2 log 5 2,
2
1
c log 7 3, 比较a, b, c大小 log a b log a
b
底真互换，对数倒变；
log an b log a b
n
底真同方，对数一样。
3
4
(1)log54，log53；
(2)log12，log12；
3ห้องสมุดไป่ตู้
5
大本128页
(3)取中间值 1，
因为 log23＞log22＝1＝log55＞
log54，
(3)log23，log54.
所以 log23＞log54.
大本128页[跟踪训练2]
比较下列各
组中两个值的大小：
(1)log31.99，log32；
得定点为(0 ，m)．
大本127页 例1
(2)(2022·甘肃兰州第一中学
高 一 上 期 末 ) 函 数 y ＝ loga(x ＋ 1) － 2(a ＞ 0 ， 且
a≠1)的图象恒过点________.
[解析] 因为函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的
图象恒过点(1,0)，令x＋1＝1，得x＝0，此时y
值域: R
过点(1 ,0), 即当x ＝1时,y＝0
在(0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)上是减函数
当x>1时，y>0
当x=1时，y=0
当0<x<1时，y<0
当x>1时，y<0
当x=1时，y=0
当0<x<1时，y>0
大本126页
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
×)
(2)对数函数的图象一定在y轴右侧．( √
一的 x A 与之对应），那么就称函数 x ( y )
1
是函数y=f(x)的反函数，记作：x f ( y ) 。
习惯上，用x表示自变量，y表示函数，
1
1
因此反函数x f ( y ) 通常改写成： y f ( x )
探究
所有函数都有反函数吗？为什么？
探究
互为反函数的两个函数的定义域、值域
所以y＝log2
2
(x ＋4)的值域为[2，＋∞)．
例 3 求下列函数的值域与单调性：
(2)y＝log1(3＋2x－x2)．
2
(2)设u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4.
因为u>0，所以0<u≤4.
又y＝lo u在(0,4]上为减函数，

所以lo u ≥ lo 4 ＝－2，
x
x lo g 2 y
改写成
它们的图象关于直线
y lo g 2 x
yx
对称。
我们把具有上述特征的两个函数互称
为反函数。请给出反函数的定义。
反函数的概念
设A,B分别为函数y=f(x)的定义域和值
域，如果由函数y=f(x)所解得 x ( y ) 也
是一个函数（即对任意一个 y B ，都有唯
b
底真互换，对数倒变；
log an b log a b
n
底真同方，对数一样。
题型二 图像恒过定点问题
探究 ：指数函数y= 过哪个定点？
定点：即底数a变化时，函数值不受影响的点。
根据loga1=0，知无论a(a>0，
且a≠1)取何值，对数函数y=logax
的图象恒过定点(1，0).
C．(2,0)
D．(－1,0)
题型二 图像恒过定点问题
探究 ：指数函数y= 过哪个定点？
定点：即底数a变化时，函数值不受影响的点。
根据loga1=0，知无论a(a>0，
且a≠1)取何值，对数函数y=logax
的图象恒过定点(1，0).
题型三 对数函数图像应用
例1
(1)已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝
log23
log25
3
5
(2)log12，log12；对数函数 y＝log2x 在(0，＋∞)上是增函数，
3
5
1 1
1
1
(3)log23，log54. 且3＞5，所以 0＞log23＞log25，
所以
1
1
＜
，所以
log
12＜log12.
1
1
log23 log25
3
5
题型一 对数函数单调性的应用
例 2 比较下列各组值的大小：
【解析】令x－2=1，得x = 3，
所以f (3)=loga(3－2)－2×3=－6，
即函数的 f (x)=loga(x－2)－2x的图象必经过
定点(3，－6)．
大本127页 1．对数型函数的图象过定点
问题
求函数y＝m＋logaf(x)(a＞0，且a≠1)的
图象过的定点时，只需令f(x)＝1求出0 ，即
课本132页，大本126页、
双色笔、直尺.演草纸、课堂笔记
4.4.2 对数函数的图像与性质
y
o
第二课时
x
【合作探究】学生以小组为单位合作完成： 在同一坐标系内，
利用“描点法”作函数 = log 3 和 = log 1 的图像，并总结
图象的特点。
3
y = log 2 x
y
2
1
O
-1
-2
a>1