高数知识点总结公式

高数知识点总结公式
1.极限相关公式：
(1)λ-δ定义:对于任意正实数ε，其中λ和δ为常数，如果当
0<|x-a| <δ时，|f(x)-L|<ε，则称函数f(x)在x趋于a时以L为极限，记为limx→af(x)=L。

（其中ε、δ、λ具有一定联系）
(2)夹逼准则：设f(x)≤g(x)≤h(x) (a<x<a+δ)，且limx→af(x) = limx→ah(x) = L，则有limx→ag(x)=L。

(3)左右极限定义：
右极限limx→+0f(x)=L：对任意ε>0，存在δ>0，当0<x<a时，有|f(x)-L|<ε。

左极限limx→-0f(x)=L：对任意ε>0，存在δ>0，当a<x<0时，有|f(x)-L|<ε。

(4)无穷大定义：对于任意M>0，都存在δ>0，使得当0<|x-
a|<δ时，有f(x)>M或f(x)<-M，称f(x)当x趋于a时趋于正无
穷或负无穷，记为limx→af(x)=+∞或-∞。

(5)无穷小定义：如果在x→a 的极限过程中，函数f(x)的值变
化趋向于0，则称函数f(x)为x→a时的无穷小，记作f(x)=o(1)
或limx→af(x)=0，其中o(1)是第一个震荡频率。

(6)洛必达法则：设函数f(x)，g(x)具有一阶导函数，且存在
limx→a f(x)=limx→ag(x)=0，当x→a时，g'(x)≠0，则limx→a
f(x) / g(x) = limx→a f'(x) / g'(x)。

2.微分相关公式
(1)导数的定义：函数y=f(x)在点x处的导数是指当x沿着x轴
正方向变动一个无穷小量Δx时，函数值f(x)所发生的变化量
Δy与Δx的比值，即：f' (x) = limΔx→0 (f (x+Δx)−f (x)) / Δx。

(2)常见函数的导数：
sin x的导数是cos x
cos x的导数是-sin x
tan x的导数是sec^2 x
cot x的导数是-csc^2 x
ln x的导数是1 / x
e^x的导数是e^x
(3)导数的运算法则
和法则：(u+v)'=u'+v'
差法则：(u-v)'=u'-v'
乘法法则：(uv)'=u'v+uv'
除法法则：(u/v)'=(u'v-uv') / v^2
复合函数求导：设y=f(u)，u=g(x)，则y=f[g(x)]的导数为dy / dx = dy / du * du / dx
(4)高阶导数的定义：
如果函数y=f(x)在某点x0的邻域内存在导数y',则f(x)在x0处有一阶导数；如果f(x)在x0的某邻域内存在一阶导数y'，且y'在x0处也有导数，则称f(x)在x0处存在二阶导数，记为
y''),y''=(y')'；一般地，如果f(x)的n-1阶导数f^(n-1)(x)在x0的邻域内存在，且f^(n-1)(x)可导，则称f(x)在x0处存在n阶导数，记为fn(x0),f^(n)(x0)或(dn / dx^n)f(x0)。

3.微积分及其应用公式
(1)定积分的定义：在区间[a,b]上，将[a,b]分成n个小区间，设xi和xi+1是第i个区间的两个端点，ξi是第i个区间内任意一点，则定积分的极限形式为：
∫abf(x)dx=lim{n→∞}∑i=1nf(ξi)(xi+1−xi)；
定积分中的可积性条件：（1）f(x)在[a,b]上有界。

（2）f(x)在[a,b]上只有有限个间断点。

（3）f(x)在[a,b]上只有有限个可去
和非可去奇点。

（4）f(x)在[a,b]上只有可积或不可积的间断点。

（5）f(x)在[a,b]上具有或没有极值。

(2)基本积分公式
∫xdx=1/2x^2+C
∫1xdx=ln|x|+C
∫ecxdx=1/c ecx+C
(3)分部积分法：∫udv=uv-∫vdu
(4)换元积分法：设函数u=g(x)在区间[a,b]上具有一阶连续偏
导数，则有：∫f(g(x))g'(x)dx=∫f(u)du 从而∫f(x)dx=[∫f[g(t)]g'(t)dt]
/ dx。

(5)微积分基本定理（牛顿莱布尼茨公式）：设f(x)在区间[a,b]
上连续，则∫abf(x)dx=F(b)-F(a)，其中，F(x)是f(x)在[a,b]上的
一个原函数。

(6)用定积分求面积公式：若f(x)在[a,b]上连续，y=k（k>0，即
f(x)≥0）与x轴相交于x=c和x=d(c≤d)，则图形S的面积为：
S=∫dcf(x)dx + ∫cdbf(x)dx.
(7)微小元法：设y=f(x)在x=a处的导数为f(a)，当x在a处增
量Δx很小时，对应于y的增量Δy趋近于直线y=f(a)·Δx，
Δy=dy=f(a)·(x-a)。

（其中，dy表示y的微小增量，a表示x的
固定值）如果此时再取间隔相等的n个x值，
x1=a,x2=a+h,x3=a+2h,…,xn-1=a+(n-1)·h,xn=a+n·h，h=(b-a)/n，
对应的y值为y1,y2,y3,…,yn，将各段长为h的微小矩形组成
的面积加起来，就可以得到函数y=f(x)在[a,b]上的定积分：
∫abf(x)dx=limn→∞∑i=1n f(ai)(xi+1−xi)，其中xi+1−xi=h，记为
ai=e+ih。

(8)微积分中值定理（罗尔定理）：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在区间(a,b)内可导，并且f(a)=f(b)，则在(a,b)内至少存
在一点ξ（a<ξ<b），使得f' (ξ)=0。

(9)拉格朗日中值定理（一阶）：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点ξ
（a<ξ<b），使得：f' (ξ)=(f(b)−f(a)) / (b−a)。

(10)泰勒公式：设函数f(x)在区间[a,b]上k+1次全体导数存在，且在[a,b]的某个点x0处进行展开，则对于f(x)的任意一点
x∈[a,b]，如果将f(x)在x0处展开为f(x)的多项式，即 f(x) =
f(x0) + f'(x0)(x-x0) + f''(x0)(x-x0)^2/2! + ...f(k)(x0)(x-x0)^k/k! +
Rk(x)，其中Rk(x)是泰勒余项，代表f(x)-Tn(x)的修正，有以
下三种类型：
1.拉格朗日余项（泰勒余项）：在a、b两点之间存在某个ξ
使得Rk(x) = (f^(k+1)(ξ)(x-x0)^k+1) / (k+1)!。

2.柯西余项：若存在某个ξ∈(a,b)，使得Rk(x) = (1/(k+1)!) *
(x-ξ)^k+1 * f^(k+1)(x)。

3.佩亚诺余项：若k大于等于2，则有Rk(x) = o((x-x0)^k)。

（其中，o是小o符号）。