内蒙古巴彦淖尔市磴口县诚仁中学八年级数学下学期期中试卷(含解析) 新人教版

2015-2016学年内蒙古巴彦淖尔市磴口县诚仁中学八年级（下）期中
数学试卷
一、选择（每小题4分共40分，请将答案写在答题纸相应位置）
1．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A．x＜1 B．x≥1 C．x≤﹣1 D．x＜﹣1
2．以下列各组线段为边，能构成直角三角形的是（）
A．6，7，8 B．12，13，5 C．2，4，6 D．3，4，6
3．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）
A．B．C．D．
4．图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为（）
A．B．C．D．
5．如图，在▱ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
6．已知一直角三角形的两直角边长分别是6cm和8cm，则斜边上的中线长（）
A．10 B．3 C．4 D．5
7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（）
A．30° B．60° C．90° D．120°
8．如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=3，则菱形ABCD的周长是（）
A．12 B．16 C．20 D．24
9．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）
A．12≤a≤13 B．12≤a≤15 C．5≤a≤12 D．5≤a≤13
10．如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…A n分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（）
A．n B．n﹣1 C．（）n﹣1D． n
二、填空（每小题4分共40分，请将答案写在答题纸相应位置）
11．二次根式是一个整数，那么正整数a最小值是______．
12．如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD，请你添加一个适当的条件______，使ABCD成为菱形（只需添加一个即可）
13．如图，已知OA=OB，那么数轴上点A所表示的数是______．
14．如图，正方形OABC的边长为6，点A、C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（2，0）在OA上，P是OB上一动点，则PA+PD的最小值为______．
15．已知y=+﹣3，则2xy的值为______．
16．直角三角形有两边长为3和4，则斜边长为______．
17．计算：（ +）2015×（﹣）2015=______．
18．已知菱形的两条对角线长为8cm和6cm，那么这个菱形的周长是______cm，面积是
______cm2．
19．﹣ =______．
20．在实数范围内分解因式x3﹣3x=______．
三、解答题
21．计算
（1）
（2）
（3）（7+4）（7﹣4）﹣（3﹣1）2．
（4）先化简，再求值：﹣，其中x=+1，y=﹣1．
22．已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．
（1）四边形EFGH的形状是______．
（2）证明你的结论．
23．某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行？为什么？
四．选做题
24．如图，平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD 上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）①当AE=______cm时，四边形CEDF是矩形；
②当AE=______cm时，四边形CEDF是菱形．
（直接写出答案，不需要说明理由）
25．如图：平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BCD的平分线交AD于F，且AB=3，DE=2，
（1）求平行四边形ABCD的周长．
（2）求证：BE⊥CF
（3）若CF=2，求BE的长．
2015-2016学年内蒙古巴彦淖尔市磴口县诚仁中学八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择（每小题4分共40分，请将答案写在答题纸相应位置）
1．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A．x＜1 B．x≥1 C．x≤﹣1 D．x＜﹣1
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，x﹣1≥0，
解得，x≥1，
故选：B．
2．以下列各组线段为边，能构成直角三角形的是（）
A．6，7，8 B．12，13，5 C．2，4，6 D．3，4，6
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可得出答案．
【解答】解：A、62+72≠82，故本选项错误；
B、52+122=132，故本选项正确；
C、22+42≠62，故本选项错误；
D、32+42≠62，故本选项错误；
故选B．
3．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）
A．B．C．D．
【考点】最简二次根式．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、被开方数含分母，故A错误；
B、被开方数含分母，故B错误；
C、被开方数含能开得尽方的因数，故C错误；
D、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D正确；
故选：D．
4．图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为（）
A．B．C．D．
【考点】勾股定理．
【分析】两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，而边长的平方恰是正方形的面积，从而根据选项提供的面积即可得出答案．
【解答】解：A、A代表的正方形的面积为400﹣225=175；
B、D代表的正方形的面积为400﹣120=280；
C、B代表的正方形的面积为400+225=625；
D、C代表的正方形的面积为256﹣112=144．
故选D．
5．如图，在▱ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【考点】平行四边形的性质．
【分析】由平行四边形的性质和角平分线定义得出∠AEB=∠BAE，证出BE=AB=3cm，得出EC=BC ﹣BE=2cm即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=5cm，AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠AEB=∠BAE，
∴BE=AB=3cm，
∴EC=BC﹣BE=5﹣3=2cm；
故选：B．
6．已知一直角三角形的两直角边长分别是6cm和8cm，则斜边上的中线长（）
A．10 B．3 C．4 D．5
【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线．
【分析】根据勾股定理计算出直角三角形的斜边长，然后再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．
【解答】解：斜边长为=10（cm），
则斜边上的中线长为=5（cm），
故选：D．
7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【考点】矩形的性质．
【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OB=OC，再根据等边对等角可得∠OBC=∠ACB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠ACB=30°，
∴∠AOB=∠OBC+∠ACB=30°+30°=60°．
故选：B．
8．如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=3，则菱形ABCD的周长是（）
A．12 B．16 C．20 D．24
【考点】菱形的性质；三角形中位线定理．
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出BC，再根据菱形的周长公式列式计算即可得解．
【解答】解：∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC=2EF=2×3=6，
∴菱形ABCD的周长=4BC=4×6=24．
故选：D．
9．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）
A．12≤a≤13 B．12≤a≤15 C．5≤a≤12 D．5≤a≤13
【考点】勾股定理的应用．
【分析】最短距离就是饮料罐的高度，最大距离可根据勾股定理解答．
【解答】解：a的最小长度显然是圆柱的高12，最大长度根据勾股定理，得： =13．
即a的取值范围是12≤a≤13．
故选：A．
10．如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…A n分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（）
A．n B．n﹣1 C．（）n﹣1D． n
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为（n﹣1）个阴影部分的和．
【解答】解：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的，即是×4=1，
5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×4，
n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×（n﹣1）=n﹣1．
故选：B．
二、填空（每小题4分共40分，请将答案写在答题纸相应位置）
11．二次根式是一个整数，那么正整数a最小值是 2 ．
【考点】二次根式的定义．
【分析】根据二次根式的乘法，可得答案．
【解答】解：由二次根式是一个整数，那么正整数a最小值是2，
故答案为：2．
12．如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD，请你添加一个适当的条件OA=OC ，使ABCD成为菱形（只需添加一个即可）
【考点】菱形的判定．
【分析】可以添加条件OA=OC，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形可判定出结论．【解答】解：OA=OC，
∵OB=OD，OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故答案为：OA=OC．
13．如图，已知OA=OB，那么数轴上点A所表示的数是﹣．
【考点】勾股定理；实数与数轴．
【分析】首先根据勾股定理得：OB=．即OA=．又点A在数轴的负半轴上，则点A对应的数是﹣．
【解答】解：由图可知，OC=2，作BC⊥OC，垂足为C，取BC=1，
故OB=OA===，
∵A在x的负半轴上，
∴数轴上点A所表示的数是﹣．
故答案为：﹣．
14．如图，正方形OABC的边长为6，点A、C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（2，0）在OA上，P是OB上一动点，则PA+PD的最小值为2．
【考点】轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．
【分析】过D点作关于OB的对称点D′，连接D′A交OB于点P，由两点之间线段最短可知D′A即为PA+PD的最小值，由正方形的性质可求出D′点的坐标，再根据OA=6可求出A点的坐标，利用两点间的距离公式即可求出D′A的值．
【解答】解：过D点作关于OB的对称点D′，连接D′A交OB于点P，由两点之间线段最短可知D′A即为PA+PD的最小值，
∵D（2，0），四边形OABC是正方形，
∴D′点的坐标为（0，2），A点坐标为（6，0），
∴D′A==2，即PA+PD的最小值为2．
故答案为2．
15．已知y=+﹣3，则2xy的值为﹣15 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据非负数的性质列式求出x的值，再求出y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，2x﹣5≥0且5﹣2x≥0，
解得x≥且x≤，
所以，x=，
y=﹣3，
所以，2xy=2××（﹣3）=﹣15．
故答案为：﹣15．
16．直角三角形有两边长为3和4，则斜边长为4或5 ．
【考点】勾股定理．
【分析】直角三角形中斜边为最长边，无法确定边长为4的边是否为斜边，所以要讨论（1）边长为4的边为斜边；（2）边长为4的边为直角边．
【解答】解：（1）当边长为4的边为斜边时，该直角三角形中斜边长为4；
（2）当边长为4的边为直角边时，则根据勾股定理得斜边长为=5，
故该直角三角形斜边长为4cm或5cm，
故答案为 4或5．
17．计算：（ +）2015×（﹣）2015= 1 ．
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．
【解答】解：原式=[（+）（﹣）]2015
=1．
故答案为：1．
18．已知菱形的两条对角线长为8cm和6cm，那么这个菱形的周长是20 cm，面积是24 cm2．
【考点】菱形的性质；勾股定理．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出两对角线长的一半，然后利用勾股定理求出菱形的边长，再根据周长公式计算即可得解；
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
【解答】解：∵菱形的两条对角线长为8cm和6cm，
∴菱形的两条对角线长的一半分别为4cm和3cm，
根据勾股定理，边长==5cm，
所以，这个菱形的周长是5×4=20cm，
面积=×8×6=24cm2．
故答案为：20，24．
19．﹣ = ﹣3 ．
【考点】二次根式的性质与化简．
【分析】根据二次根式的性质化简，根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：﹣ =﹣|﹣3|=﹣3，
故答案为：﹣3．
20．在实数范围内分解因式x3﹣3x= x（x+）（x﹣）．
【考点】实数范围内分解因式．
【分析】先提取公因式x，再把3写成（）2的形式，然后利用平方差公式继续分解因式．【解答】解：x3﹣3x=x（x2﹣3），
=x[x2﹣（）2]，
=x（x+）（x﹣）．
故答案为：x（x+）（x﹣）．
三、解答题
21．计算
（1）
（2）
（3）（7+4）（7﹣4）﹣（3﹣1）2．
（4）先化简，再求值：﹣，其中x=+1，y=﹣1．
【考点】二次根式的混合运算；分式的化简求值．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）根据二次根式的乘除法则运算；
（3）利用完全平方公式和平方差公式计算；
（4）先通分，再化简得到原式=，然后把x、y的值代入计算即可．
【解答】解：（1）原式=4+2﹣﹣
=2；
（2）原式=
=；
（3）原式=49﹣48﹣（45﹣6+1）
=1﹣46+6
=6﹣45；
（4）原式=
=
=，
当x=+1，y=﹣1，原式==2．
22．已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．
（1）四边形EFGH的形状是平行四边形．
（2）证明你的结论．
【考点】中点四边形．
【分析】连接BD，根据三角形的中位线定理得到EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG═BD，推
出，EH∥FG，EH=FG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EFGH是平行四边形；
【解答】解：（1）四边形EFGH的形状是平行四边形．
（2）证明：
如图，连结BD．
∵E、H分别是AB、AD中点，
∴EH∥BD，EH=BD，
同理FG∥BD，FG=BD，
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形；
23．某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行？为什么？
【考点】勾股定理的应用；方向角．
【分析】根据路程=速度×时间分别求得PQ、PR的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形PQR是直角三角形，从而求解．
【解答】解：根据题意，得
PQ=16×1.5=24（海里），PR=12×1.5=18（海里），QR=30（海里）．
∵242+182=302，
即PQ2+PR2=QR2，
∴∠QPR=90°．
由“远航号”沿东北方向航行可知，∠QPS=45°，则∠SPR=45°，即“海天”号沿西北方向航行．
四．选做题
24．如图，平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD 上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）①当AE= 3.5 cm时，四边形CEDF是矩形；
②当AE= 2 cm时，四边形CEDF是菱形．
（直接写出答案，不需要说明理由）
【考点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定．
【分析】（1）证△CFG≌△EDG，推出FG=EG，根据平行四边形的判定推出即可；（2）①求出△MBA≌△EDC，推出∠CED=∠AMB=90°，根据矩形的判定推出即可；
②求出△CDE是等边三角形，推出CE=DE，根据菱形的判定推出即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CF∥ED，
∴∠FCG=∠EDG，
∵G是CD的中点，
∴CG=DG，
在△FCG和△EDG中，
，
∴△FCG≌△EDG（ASA）
∴FG=EG，
∵CG=DG，
∴四边形CEDF是平行四边形；
（2）①解：当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形，
理由是：过A作AM⊥BC于M，
∵∠B=60°，AB=3，
∴BM=1.5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，
∵AE=3.5，
∴DE=1.5=BM，
在△MBA和△EDC中，
，
∴△MBA≌△EDC（SAS），
∴∠CED=∠AMB=90°，
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴四边形CEDF是矩形，
故答案为：3.5；
②当AE=2时，四边形CEDF是菱形，
理由是：∵AD=5，AE=2，
∴DE=3，
∵CD=3，∠CDE=60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴CE=DE，
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴四边形CEDF是菱形，
故答案为：2．
25．如图：平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BCD的平分线交AD于F，且AB=3，DE=2，
（1）求平行四边形ABCD的周长．
（2）求证：BE⊥CF
（3）若CF=2，求BE的长．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】（1）由平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，可得△ABE是等腰三角形，即可求得AD的长，继而求得答案；
（2）由平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BCD的平分线交AD于F，易证得∠CBE+∠BCF=90°，继而证得结论；
（3）首先过点E作EN∥CF，交BC的延长线于点N，然后由勾股定理求得BE的长．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=3，
∴AD=AE+DE=3+2=5，
∴平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）=2×（3+5）=16；
（2）证明：设BE与CF交于点M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠CBE=∠ABC，∠BCF=∠BCD，
∴∠CBE+∠BCF=90°，
∴∠BMC=90°，
即BE⊥CF；
（3）解：过点E作EN∥CF，交BC的延长线于点N，
∵AD∥BC，
∴四边形EFCN是平行四边形，
∴CN=EF，EN=CF=2，
∵AB=AE=3，
同理：CD=DF=AB=3，
∴EF=AE+DF﹣AD=3+3﹣5=1，
∴CN=1，
∴BN=BC+CN=5+1=6，
在Rt△BEN中，BE==4．。