高考数学总复习矩阵与变换第2课时逆变换与逆矩阵矩阵的特征值4-2

选修4－2 矩阵与变换第2课时 逆变换与逆矩
阵、矩阵的特征值与特征向量
(对应学生用书(理)189～191页)
1. 设M ＝⎣
⎢
⎢⎡
⎦
⎥⎥
⎤
01
10，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10
12，求MN . 解：MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0110⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤01210. 2. 已知矩阵
M ＝⎣⎢
⎢⎡⎦
⎥
⎥
⎤a 273，若矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣
⎢⎢⎡
⎦
⎥⎥⎤b －2－7
a
，求
a 、
b 的值．
解：由题意，知MM
－1
＝E ，⎣⎢
⎢⎡
⎦⎥⎥⎤a 273⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b －2－7a ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥
⎥
⎤1001，即⎣
⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab －140
7b －213a －14
＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤1001， 即⎩⎪⎨⎪
⎧ab －14＝1，7b －21＝0，3a －14＝1，
解得a ＝5，b ＝3.
3. 求矩阵⎣⎢
⎢⎡
⎦
⎥
⎥
⎤ 12－12的特征多项式． 解：f(λ)＝⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎪⎪⎪λ－1－21
λ－2＝(λ－1)(λ－2)＋2＝λ2
－3
λ＋4.
4. (选修42P 73习题第1题改编)求矩阵M ＝[ 1 6
－2－6
]的特征
值．
解：矩阵M 的特征多项式为
f(λ)＝⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎪⎪⎪λ－1－62
λ＋6
＝(λ＋
2)·(λ＋3)＝0，令f(λ)＝0，得M 的特征值为λ1＝－2，λ2＝－3.
5. (选修42P 73习题第1题改编)求矩阵N ＝⎣
⎢
⎢⎡
⎦
⎥⎥
⎤3652的特征值及相应的特征向量．
解：矩阵N 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎪⎪⎪λ－3－6－5
λ－2
＝(λ－
8)·(λ＋3)＝0，
令f(λ)＝0，得N 的特征值为λ1＝－3，λ2＝8， 当λ1＝－3
时⎩⎪⎨⎪⎧－6x －6y ＝0，－5x －5y ＝0，一个解为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1， 故特征值λ1＝－3的一个特征向量为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥
⎤
－1 1；
当λ2＝8时⎩⎪⎨⎪⎧5x －6y ＝0，－5x ＋6y ＝0，一个解为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝6，
y ＝5，
故特征值λ2＝8
的一个特征向量为⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤
65.
1. 逆变换与逆矩阵
(1) 对于二阶矩阵A 、B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，
B 称为A 的逆矩阵．
(2) 若二阶矩阵A 、B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1
＝B －1A －1
.
(3) 利用行列式解二元一次方程组． 2. 特征值与特征向量
(1) 设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为
A 的属于特征值λ的一个特征向量．
(2) 从几何上看，特征向量的方向经变换矩阵A 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)．特别地，当λ＝0时，特征向量就变换成零向量．
[备课札记]
题型1 求逆矩阵与逆变换
例1 用解方程组的方法求下列矩阵M 的逆矩阵．
(1) M ＝⎣⎢
⎢⎡
⎦⎥⎥
⎤1101； (2) M ＝⎣
⎢
⎢⎡
⎦
⎥⎥
⎤1221. 解：(1) 设M
－1
＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤a b c d ， 则由定义知⎣
⎢
⎢⎡
⎦⎥⎥⎤1101⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤1001，
即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝1，b ＋d ＝0，c ＝0，d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，
b ＝－1，
c ＝0，
d ＝1，
故M
－1
＝⎣⎢⎢⎡
⎦
⎥
⎥
⎤1－10 1. (2) 设M
－1
＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤a b c d ， 则由定义知⎣⎢
⎢⎡
⎦⎥⎥⎤1221⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥
⎥
⎤1001， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，b ＋2d ＝0，2a ＋c ＝0，2b ＋d ＝1，
解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝－13
，
b ＝2
3，c ＝2
3，d ＝－13
，
故M
－1
＝⎣
⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤－13 23 23
－13. 备选变式（教师专享） 已知矩阵
M ＝⎣
⎢
⎢⎡⎦
⎥
⎥
⎤2－31－1所对应的线性变换把点A(x ，y)变成点A′(13，5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．
解：依题意，由
M ＝⎣
⎢
⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－31－1，得|M |＝1，则M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥
⎥
⎤－13－12.从而由⎣
⎢
⎢⎡
⎦⎥⎥⎤2－31－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤135，得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13－12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤135＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥
⎥
⎤－1×13＋3×5－1×13＋2×5
＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤
2－3， 故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，
∴ A 点坐标为(2，－3)．
题型2 求特征值与特征向量 例2 已知矩阵
M ＝⎣
⎢
⎢⎡
⎦
⎥⎥
⎤2a 21，其中a∈R ，若点P(1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P′(－4，0)．
(1) 求实数a 的值；
(2) 求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量．
解：(1) 由⎣
⎢
⎢⎡
⎦⎥⎥⎤2a 21⎣⎢⎢⎡⎦⎥
⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤－4 0， 得2－2a ＝－4a ＝3.
(2) 由(1)知
M ＝⎣
⎢
⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤2321，则矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪λ－2－3－2
λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2
－3λ－4.令f(λ)＝
0，得矩阵M 的特征值为－1与4.
当λ＝－1
时，⎩⎪⎨
⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0，
－2x ＋（λ－1）y ＝0
x ＋y ＝0，
∴ 矩阵M 的属于特征值－1
的一个特征向量为⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤
1－1；
当λ＝4时，⎩⎪⎨
⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0，
－2x ＋（λ－1）y ＝0
2x －3y ＝0.∴ 矩阵M 的属于特征值
4
的一个特征向量为⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤32.
变式训练
已知
M ＝⎣⎢
⎢⎡⎦⎥⎥⎤1221，β＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤17，计算M 5β. 解：矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎪⎪⎪λ－1－2－2
λ－1＝λ2
－
2λ－3.
令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，从而求得对应的一个特
征向量分别为α1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤
1－1.
令β＝m α1＋n α2，则m ＝4，n ＝－3.
M 5β＝M 5(4α1－3α2)
＝4(M 5α1)－3(M 5
α2) ＝4(λ5
1α1)－3(λ5
2α2) ＝4×3
5⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11－3×(－1)5⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤
975969. 题型3 根据特征值或特征向量求矩阵 例3
矩阵M ＝⎣
⎢
⎢⎡⎦⎥⎥⎤1102有特征向量为e 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，e 2＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤10， (1) 求e 1和e 2对应的特征值； (2) 对向量
α＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤41，记作
α＝e 1＋3e 2，利用这一表达式间接
计算M 4
α，M 10
α.
解：(1) 设向量e 1、e 2对应的特征值分别为
λ1、λ2，则⎣
⎢
⎢⎡
⎦
⎥⎥⎤1102⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝λ1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，⎣
⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1102⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10＝λ2⎣⎢⎢⎡⎦
⎥
⎥
⎤10， 故λ1＝2，λ2＝1，
即向量e 1，e 2对应的特征值分别是2，1. (2) 因为α＝e 1＋3e 2，
所以M 4
α＝M 4
(e 1＋3e 2)＝M 4e 1＋3M 4
e 2＝λ41e 1＋3λ42e
2
＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
1916， M 10α＝M 10(e 1＋3e 2)＝M 10e 1＋3M 10e 2＝λ101e 1＋3λ102e 2＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤210＋3210.
备选变式（教师专享）
已知矩阵M ＝⎣
⎢
⎢⎡
⎦⎥
⎥⎤2
00－1有特征向量e 1→＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10，e 2→＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤01，相应的特征值为λ1，λ2.
(1) 求矩阵M 的逆矩阵M －1
及λ1，λ2；
(2) 对任意向量α→
＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤
x y ，求
M 100
α→
.
解：(1) 由矩阵
M ＝⎣
⎢
⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤20
0－1
变换的意义知M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤12
00－1， 又Me 1→＝λ1e 1→，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤20
0－1
⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10＝λ1⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤10，故λ1＝2，
同理Me 2→＝λ2e 2→，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤200－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤01＝λ2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤
01，故λ2＝－1. (2) 因为α→
＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤x y ＝x e 1→＋y e 2→，所以M 100
α→
＝M 100
(x e 1→＋y·e 2→)＝xM 100e 1→＋yM 100e 2→＝xλ1001e 1→＋yλ2100e 2→＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
2100x y .
1. 求函数f(x)＝⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎪2
cosx sinx －1
的值域．
解：f(x)＝－2－sinxcosx ＝－2－1
2sin2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52
，－32.
2. 已知矩阵A 的逆矩阵A
－1
＝⎣
⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤
－14 34 12
－12，求矩阵A 的特征值．
解：∵ A －1A ＝E ，∴ A ＝(A －1)－1.∵ A
－1
＝⎣
⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤－14 34 12
－12，∴ A ＝(A －1)
－1
＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤2321.
∴ 矩阵A 的特征多项式为f(λ)＝⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎪⎪⎪λ－2－3－2
λ－1＝λ2
－
3λ－4.
令f(λ)＝0，解得矩阵A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4.
3. (2013·江苏)已知矩阵A ＝⎣
⎢
⎢⎡
⎦⎥⎥⎤－10 02，B ＝⎣
⎢⎢
⎡⎦
⎥⎥
⎤
1206，求矩阵A －1B .
解：设矩阵A
的逆矩阵为⎣
⎢
⎢⎡
⎦
⎥⎥
⎤a b c d ， 则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 02⎣⎢
⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣
⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤1001， 即⎣
⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥
⎥⎤1001， 故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝1
2
.
∴ 矩阵A 的逆矩阵为A －1＝⎣
⎢⎢⎡⎦⎥
⎥⎤－10 012，
∴ A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤－10012⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1206＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤－1－2 0 3. 4. 设曲线2x 2
＋2xy ＋y 2
＝1在矩阵A ＝⎣⎢
⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤a 0b 1(a>0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2
＋y 2
＝1.
(1) 求实数a 、b 的值； (2) 求A 2
的逆矩阵．
解：(1) 设曲线2x 2
＋2xy ＋y 2
＝1上任一点P(x ，y)在矩阵A 对应的变换下的象是
P′(x′，y ′)，由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥
⎤x′y′＝⎣
⎢
⎢⎡
⎦⎥⎥⎤a 0b 1⎣⎢⎢⎡⎦
⎥
⎥
⎤x y ＝[]ax
bx ＋y
，得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝ax ，y ′＝bx ＋y.
因为P′(x′，y ′)在圆x 2
＋y 2
＝1上， 所以(ax)2
＋(bx ＋y)2
＝1，
化简可得(a 2
＋b 2
)x 2
＋2bxy ＋y 2
＝1， 依题意可得a 2
＋b 2
＝2，2b ＝2a ＝1，b ＝1或a ＝－1，b ＝1，
而由a>0可得a ＝b ＝1.
(2) 由(1)A ＝⎣
⎢
⎢⎡
⎦⎥⎥⎤1011，A 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1011⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1011＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤1021|A 2
|＝1，
(A 2)
－1
＝⎣⎢⎢⎡
⎦
⎥
⎥
⎤ 10－21. 1. 已知矩阵
A ＝⎣
⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤1 －1a
1，若点P(1，1)在矩阵A 对应的变换
作用下得到点P′(0，－8)．
(1) 求实数a 的值； (2) 求矩阵A 的特征值．
解：(1) 由⎣
⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1
－1a
1⎣⎢⎢⎡⎦⎥
⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤ 0－8，得a ＋1＝－8， 所以a ＝－9. (2) 由(1)知
A ＝⎣
⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤ 1 －1－9
1，则矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪
λ－1 19 λ－1＝(λ－1)2－9＝λ2－2λ－8，令f(λ)＝0，所以矩
阵A 的特征值为－2或4.
2. 已知
M ＝⎣
⎢
⎢⎡
⎦⎥⎥⎤2－1－4
3
，N ＝⎣
⎢⎢
⎡
⎦
⎥⎥⎤4－1－3
1
，求二阶方阵
X ，使
MX ＝N .
解：(解法1)设
X ＝⎣
⎢
⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y z w ，据题意有⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1－43⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤x y z w ＝⎣
⎢⎢⎡
⎦⎥⎥
⎤4－1－3
1，根据矩阵乘法法则有⎩⎪⎨⎪⎧2x －z ＝4，
2y －w ＝－1，－4x ＋3z ＝－3，
－4y ＋3w ＝1.
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝92
，y ＝－1，z ＝5，
w ＝－1，
所以X ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤9
2－1
5－1. (解法2)因为MX ＝N ，所以X ＝M －1N ，M －1
＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
321221.所以X ＝M
－1N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤321221⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4－1－31＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤92－15－1. 3. 已知矩阵M ＝⎣
⎢
⎢⎡
⎦
⎥⎥
⎤2a 21，其中a∈R ，若点P(1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P′(－4，0)，求实数a 的值；并求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量．
解：由⎣⎢
⎢⎡
⎦⎥⎥⎤2a 21⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－2＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥
⎥
⎤－40，∴ 2－2a ＝－4a ＝3.
∴ M ＝⎣
⎢
⎢⎡
⎦⎥⎥
⎤2321，则矩阵M 的特征多项式为
f (λ)＝⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎪⎪⎪λ－2－3－2
λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2
－3λ－4
令f(λ)＝0，得矩阵M 的特征值为－1与4. 当λ＝－1
时， ⎩⎪⎨
⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0－2x ＋（λ－1）y ＝0
x ＋y ＝0，
∴ 矩阵M 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤
1－1；
当λ＝4
时， ⎩⎪⎨
⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0
－2x ＋（λ－1）y ＝0
2x －3y ＝0，
∴ 矩阵M 的属于特征值4
的一个特征向量为⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤32.
4. 设矩阵M ＝⎣
⎢
⎢⎡
⎦
⎥⎥
⎤a 00b (其中a>0，b>0)．
(1) 若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1
；
(2) 若曲线C ：x 2
＋y 2
＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C′：x 2
4
＋y 2
＝1，求a 、b 的值．
解：(1) 设矩阵M 的逆矩阵M
－1
＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥
⎥
⎤x 1y 1x 2y 2，则MN －1＝ ⎣
⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001.又M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2003，所以⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2003⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 1y 1x 2y 2＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤1001，所以2x 1＝1，2y 1＝0，3x 2＝0，3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13
，故
所求的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎢
⎡⎦
⎥⎥⎤
120013.
(2) 设曲线C 上任意一点P(x ，y)，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到
P′(x′，y ′)，则⎣
⎢
⎢⎡
⎦⎥⎥⎤a 00b ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x′y′，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x′，by ＝y′.
又点P′(x′，y ′)在曲线C′上，所以x′2
4＋y′2＝1，则a 2x 2
4＋b 2y
2
＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为
x 2＋y 2
＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2
＝4，b 2
＝1.
又a>0，b>0，所以⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝2，
b ＝1.
1. 矩阵的逆矩阵
(1) 已知A 、B 、C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则B ＝C .
(2) 对于二阶可逆矩阵
A ＝⎣
⎢
⎢⎡
⎦
⎥⎥
⎤a b c d (ad －bc≠0)，它的逆矩阵为A
－1
＝
⎣⎢⎢⎡
⎦
⎥⎥⎤d ad －bc －b ad －bc
－c ad －bc
a ad －bc . 2. 二阶行列式与方程组的解
对于关于x 、y
的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，
cx ＋dy ＝n ，我们把⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪a b c d 称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值(或多项式)，记为det(A)
＝⎪
⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎪a b c d ＝ad －bc. 若将方程组中行列式⎪
⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪⎪a b c d 记为D ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪m b n d 记为D x ，⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪a m c n 记为D y
，则当D≠0时，方程组的解为⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝D x
D
，
y ＝D
y
D .
请使用课时训练（B ）第2课时（见活页）.
[备课札记]。