二维随机变量(ξ ,η)

求: 二维随机变量(ξ ,η)的联合分布列.
例、设ξ ~E(λ),令
1

0, 1,
1 1
2

0, 1,
2 2
求(η1,η2)的联合分布列
§3.3二维连续型随机变量及其联合概率密度函数
一、二维联合概率密度函数
设二维随机变量(ξ ,η)的联合分布函数 为F(x,y).如果存在一个非负函数p(x ,y),使得 对任意实数x ,y,总有
1, 0
x
1,
y

x;
0, others.
求（1）边际密度函数 p (x), p ( y) （2） P(X 0.5), P(X Y 1)
yx
F (x, y)
p(u, v)dudv

则称(ξ ,η)为连续型随机变量,p(x ,y)为二维 随机变量的联合概率密度.
（ξ ,η）~ p(x, y)
p(x, y) 0

p(x, y)dxdy 1
P(( ,) G)
p(x, y)dxdy

p (x)
p(x, y)dy

( ξF,(ηy))关 F于(η,的y) 边 际y 密度p(u函,v)数du为dv

p ( y)
p(x, y)dx
源自文库
例 设随机变量ξ 和η具有联合概率密度
6 x2 y x
p(x, y)
称为二维随机变量（ξ ,η）的联合分布函 数。
二维随机变量（ξ,η） 一维随机变量ξ
ξ 和η的联合分布函数
F(x, y) P( x, y)
x, y
ξ 的分布函数
F(x) P( x)
x
如果把(ξ,η)看成 平面上随机点的坐标.
取定x,y R1， F(x,y)就是点(ξ,η) 落在平面上的以(x,y) 为顶点而位于该点左 下方的无限矩形区域 内的概率.
3、研究某年龄段儿童的身体发育情况，同时 考虑身高、体重、肺活量、血压等指标
4、研究某日的天气状况，同时考虑最高温度、最 大湿度、最大风力等指标。
一、多维随机变量的概念
设随机试验E的样本空间是Ω.ξ =ξ() 和η=η()都是定义在Ω上的随机变量,由它 们构成的变量(ξ,η),称为二维随机变量.
3 10
η ξ
0
1
pi.
0
7/15
7/30
7/10
把1这些数据补充7/30到前面表1上/15:
3/10
7/10
3/10
1
p.j
3、二维连续随机变量的边际密度函数
p(x, y) ξ
和η的联合概F率 (x密) 度F(x为,)

x




p(u, v)dv du
则( ξ ,η )关于ξ 的边际密度函数为
的联合分布列。 并计算P(ξ >η)
ξ
1
2
3
η
1
1/4
1/8 1/12
2
0
1/8 1/12
3
0
0
1/12
4
0
0
0
4
1/16 1/16 1/16 1/16
例 设有10件产品,其中7件正品,3件次品.
现从中任取两次,每次取一件产品,取后不放回. 令:
ξ =1： 若第一次取到的产品是次品. ξ =0： 若第一次取到的产品是正品. η=1： 若第二次取到的产品是次品. η=0： 若第二次取到的产品是正品.
)
2
2( x 1 )( y 2 ) ( y 2 )2 ]}
1
2
2
其中 1, 2,1, 2, 均为常数,且
1 0, 2 0, | | 1
则称（ ξ ,η）服从参数为 1, 2,1的, 2,
二维正态分布. 记作（ξ ,η）～N(
其中:
F (, y) : lim F ( x, y) , x
F ( x,) : lim F ( x, y), y
F (,) : lim F ( x, y) , x y
F (, ) : lim F ( x, y) x x
3、F(x ,y)=F(x +0,y), F(x ,y)=F(x ,y+0) 即F(x ,y)关于x 右连续，关于y也右连续。
区域A是x=0,y=0和x+y=1三条直线所围成的 三角区域,并且包含在圆域x2+y2≤4之内,面积 =0.5
∴ P{(ξ,η)A}=0.5/4=1/8
2、 二维正态分布
若二维随机变量（ξ,η）具有概率密度
p(x,
y)

1
21 2
1
2
exp{
2(1
1

2
)
[(
x
1 1
二维随机变量(ξ,η)的性质不仅与ξ 及 η的性质有关,而且还依赖于ξ 和η的相互关 系,因此必须把(ξ,η)作为一个整体加以研究.
二、二维随机变量的联合分布函数
定义：设（ξ ,η）是二维随机变量，对于 任意实数ξ ,η,二元函数：
F (x, y) P{( x) ( y)}P( x, y)
见右图.
说明
由上面的几何解释,易见: 随机点(ξ,η)落在矩形区域:
x 1<ξ ≤x 2, y1<η≤y2 内的概率
P{x 1<ξ ≤x 2 ,y1<η≤y2} =F(x 2,y2)-F(x 2,y1)- F(x 1,y2)+F(x 1,y1)
二维分布函数F(x ,y)的四条基本性质 1. F(x ,y)是单变量x ,y的非减函数.

pk 1
k
联合分布列也可以用表格表示.
η ξ
y1
y2

x1
p11
p12

x2
p21
P22

┇
┇
┇
xi
pi1
Pi2

┇
┇
┇
yj

p1j

p2j

┇
pij

┇
F (x, y) pij xi x y j y
二、常见多维分布
1、多维超几何分布
设某总体共有N个元素，其中有Ni个元 素具有特征Ai, 1≤i≤k,现从中随机取出n 个元素，求其中有mi个具有特征Ai的概 率 用ξi表示n个元素中具有特征Ai的个数
2、 二维离散型随机变量的边际分布列
一般，对离散型 r.v ( ξ ,η )， ξ 和η 的联合分布列为
P(xi , y j)pij, i, j 1,2,
则(ξ ,η)关于ξ 的边际分布列为
P(xi ) pi• pij , i 1,2,
j
(ξ ,η)关于η 的边际分布列为
k
mi n
i 1
2、多项分布-二项分布的推广
设每次试验共有k种不同的可能结果 k
A1
,
A2
,
Ak
P( Ai ) pi , i 1,2 k, pi 1
i 1
将该实验独立地重复n次，用ξ 1,ξ 2,…ξ k表示
A1, A2 , Ak 发生的次数，则(ξ 1,ξ 2,…ξ k)服从多
1
,

2
,

2 1
,

2
2
,)

1、n维随机变量或n为随机变量：
E是一个随机试验，它的样本空间是Ω={e},设
X1 X1(e), X 2 X 2 (e), X n X n (e)
是定义在Ω上的随机变量，由它们构成一个n维
变量，叫做n维随机变量或n为随机变量
2、随机变量的分布函数或联合分布函数：
即 yR1取定,当x 1<x 2时,
F(x 1, y)≤F(x 2, y).
同样, x R1取定,当y1 < y2时,
F(x , y1)≤F(x , y2).
2. x , y R1 有 0≤F(x , y)≤1
yR1, F(-∞,y)=0， xR1, F(x,-∞)=0， F(-∞,-∞)=0， F(∞,∞)=1
求法
Fξ (x )=P{ξ≤x }=P{ξ≤x ,η<∞}=F(x ,∞) Fη(y)=P{η≤y}=P{ξ <∞,η≤y}=F(∞,y)
例: 设(ξ ,η)的联合分布函数为
1 ex e y ex yxy x 0, y 0
F(x, y)
0
其它
求关于ξ 和η的边际分布函数 (λ>0).
而把F(x,y)称为ξ 和η的 联合分布函数.
注意
ξ和η的边际分布函数,本质上就是一维 随机变量ξ和η的分布函数.之所以称其为边 际分布是相对于(ξ,η)的联合分布而言的.
同样地,联合分布函数F(ξ,η)就是二维 随机变量(ξ,η)的分布函数,之所以称其为联 合分布是相对于其分量ξ 或η的分布而言的.
二维离散型随机 变量（ξ ,η）的联 合分布列
P(xi , y j)pij,
i, j =1,2, …
pij 0, i, j 1,2,


pij 1
ij
一维随机变量ξ 离散型
ξ 的概率分布
P( xk ) pk,
k=1,2, …
pk 0, k=1,2, …
若二维随机变量(ξ ,η)的联合密度函数为:
1
p( x,
y)


d
0
(x, y) D (x, y) D
则(ξ ,η)称 服从D上的均匀分布.
例 设(ξ,η)服从圆
域 x2+y2≤4上的均匀分 布.
计算P{(ξ,η)A}, 这里A是图中阴影部 分的区域
解: 圆域x2+y2≤4的面积d=4
p(u, v)dudv

y
x
F ( x, y)
p(u, v)dudv

例：设二维随机变量(ξ ,η)具有概率密度：
2e(2x y) x 0, y 0
p( x, y) 0
其它
（1）求概率P(ξ <1); (2) 求概率 P(η <ξ);
二、 两种常用的多维连续型概率分布 1、二维均匀分布 定义 设D是平面上的有界区域,其面积为d,
对任意n个实数x1,x2, xn,n元函数 F (x1,x2, xn, ) P{ X1 x1, X 2 x2,
Xn xn}
§3.4 边际分布与 随机变量的独立性
一、 边际分布
1、随机变量的边际分布函数
二维随机变量(ξ,η)作为一个整体,具有 分布函数F(x,y).
其分量ξ和η也都是随机变量,也有自己 的分布函数,将其分别记为Fξ (x ),Fη(y). 依次称为ξ 和η的 边际分布函数.
第三章
多维随机变量及其概率分布
§3.1 多维随机变量及其联合概率分布
第三章作业题
P158
1,3,5,7,8 10,12,14,17,18 21,26,27,30 31,34,39,40
有些随机现象用一个随机变量来描述不够， 例如
1、 在打靶时,命中点的位置是由一对r.v(两个坐
标)来确定的.
2、 飞机的重心在空中的位置是由三个r.v (三个 坐标）来确定的等等.
0
其它
求边际概率密度 p (x), p ( y)
课堂练习 设二维随机变量 (ξ, η) 的密度函数为
e y , 0 x y p(x, y)
0, else
求：1、边缘密度函数 p (x), p ( y)
2、计算概率P{ξ+η≤1}.
例、设(ξ ,η)的联合密度函数为
p(x, y)
4、P{x 1<ξ ≤x 2 ,y1<η≤y2} =F(x 2,y2)-F(x 2,y1)- F(x 1,y2)+F(x 1,y1)≥0
§3.2二维离散型随机变量及其联合概率分布列
一、联合分布列
如果二维随机变量(ξ,η)的每个 分量都是离散型随机变量,则称(ξ,η) 是二维离散型随机变量.
二维离散型随机变量(ξ,η)所有 可能取的值也是有限个或可列无穷个.
G
G 2
ξ ~ p(x)
p(x) 0

p(x)dx 1
P{a b}
b
a p(x)dx
对二维连续型r.v(ξ ,η)，其联合概 率密度与联合分布函数的关系如下：
p(x, y) 2F(x, y) xy
在 p (x ,y)的连续 点
xy
F(x, y)
项分布，其联合分布列为
P( X1 n1, X 2 n2 , X k nk )

n! n1!n2!
nk !
p n1 1
p n2 2

pk nk ,
i
ni n
例：设随机变量ξ 在1，2，3，4四个数中等 可能地取一个值，另一个随机变量η在1—ξ 中等可能地取一个整数值，试求（ξ，η）
P(yi ) p• j pij , j 1,2,
i
例1
布.
求表中(ξ ,η)的分量ξ 和η的边际分
η ξ
0
1
0
7/15
7/30
1
7/30
1/15
p1

P{

x1}
2 j 1
p1 j
77 15 30
7 10
p2

P{

x2}
2 j 1
p2 j

71 30 15