有理数的意义-知识讲解

有理数的意义

【学习目标】

1．掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量；2．理解正数、负数、有理数的概念；

3. 掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想．【要点梳理】

要点一、正数与负数

像+3、+1.5、

1

2

+、+584等大于0的数，叫做正数；像－3、－1.5、

1

2

-、－584等

在正数前面加“－”号的数，叫做负数．

要点诠释：

（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号，“+”常省略，但“-”不能省略. （2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．

（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的“分水岭”．

要点二、有理数的分类

（1）按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与0的关系分类：

要点诠释：

（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.

（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如π．

（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．

【典型例题】

类型一、正数与负数

1．若把向北走7km记为－7km，则＋10km表示的含义是（）．

A．向北走10km B．向西走10km C．向东走10km D．向南走10km 【答案】D

【解析】“正”和“负”相对，－7km表示向北走7km，则＋10km表示向南走10 km，所以答案D

【总结升华】正负数表示具有相反意义的量.如果一个量为“正数”，则与其相反意义的量就是负数.

反之，当如果一个量为“负数”，则与其相反意义的量就是正数，且这两个量的单位相同．举一反三：

【高清课堂：有理数的意义 356786概念的应用例3（1）】

【变式1】

如果以每月生产180个零件为标准，超过的零件数记作正数，不足的零件数记作负数，那么1月生产160个零件记作______个，2月生产200个零件记作______个．

【答案】20,20

-+

【变式2】（1）如果收入300元记作+300元，那么支出500元用___________ 表示，0元表示__________ .

(2)若购进50本书，用-50本表示，则盈利30元如何表示？

【答案】(1)-500元；既没有收入也没有支出. (2)不是一对具有相反意义的量，不能表示. 【变式3】（2011江苏南通）如果60m表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为（）．

A．－20m B．－40m C．20m D．40m

【答案】B

2．体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3，1，0

（1）这8名男生有百分之几达到标准？

（2）他们共做了多少引体向上？

【答案与解析】（1）由题意可知：正数或0表示达标，

而正数或0的个数共有5个，所以百分率为：5

100%62.5%

8

⨯=；

答：这8名男生有62.5%达到标准.

（2）（7+2）+（7-1）+7+（7+3）+（7-2）+（7-3）+（7+1）+7=56（个）

答：他们共做了引体向上56个.

【总结升华】一定要先弄清“基准”是什么.

类型二、有理数的分类

【高清课堂：有理数的意义 356786 概念的应用例2】

3．下面说法中正确的是( )．

A．非负数一定是正数．

B．有最小的正整数，有最小的正有理数．

C．a

-一定是负数．

D ．正整数和正分数统称正有理数．

【答案】D

【解析】(A)不对，因为非负数还包括0；(B) 最小的正整数为1，但没有最小的正有理数；

(C)不对，当a为负数或0时，则a

-为正数或0，而不是负数；(D)对

【总结升华】一个有理数既有性质符号，又有除性质符号外的数值部分，两者合在一起才表示这个有理数.

举一反三：

【变式1】判断题：

（1）0是自然数，也是偶数．（ ） （2）0既可以看作是正数，也可以看成是负数.（ ）

（3）整数又叫自然数.（ ） （4）非负数就是正数，非正数就是负数.（ ）

【答案】√， ⨯，⨯，⨯

【变式2】下列四种说法，正确的是( ).

(A)所有的正数都是整数 (B)不是正数的数一定是负数

(C)正有理数包括整数和分数 (D)0不是最小的有理数

【答案】Ｄ

4．请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里.

1, 0.0708, -700, -3.88, 0, 3.14159265, 723-， .

正整数集合:{ …}， 负整数集合:{ …}，

整数集合:{ …}， 正分数集合:{ …}，

负分数集合:{ …}，分数集合:{ …}，

非负数集合：{ …}，非正数集合：{ …}.

【答案】正整数： 1；负整数：-700；整数：1，0，-700；正分数：0.0708，3.14159265，

；

负分数： -3.88，723

-； 分数：0.0708，3.14159265，，-3.88，723

-； 非负数： 1,0.0708， 3.14159265，0，

； 非正数：-700, -3.88, 0, 723

-

【解析】

【总结升华】填数的方法有两种：一种是逐个考察，一一进行填写；二是逐个填写相关的集