有理数的意义-知识讲解

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有理数的意义

【学习目标】

1.掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量;2.理解正数、负数、有理数的概念;

3. 掌握有理数的分类方法,初步建立分类讨论的思想.【要点梳理】

要点一、正数与负数

像+3、+1.5、

1

2

+、+584等大于0的数,叫做正数;像-3、-1.5、

1

2

-、-584等

在正数前面加“-”号的数,叫做负数.

要点诠释:

(1)一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号,“+”常省略,但“-”不能省略. (2)用正数和负数表示具有相反意义的量时,哪种为正可任意选择,但习惯把“前进、上升”等规定为正,而把“后退、下降”等规定为负.

(3)0既不是正数也不是负数,它是正数和负数的“分水岭”.

要点二、有理数的分类

(1)按整数、分数的关系分类:(2)按正数、负数与0的关系分类:

要点诠释:

(1)有理数都可以写成分数的形式,整数也可以看作是分母为1的数.

(2)分数与有限小数、无限循环小数可以互化,所以有限小数和无限循环小数可看作分数,但无限不循环小数不是分数,例如π.

(3)正数和零统称为非负数;负数和零统称为非正数;正整数、0、负整数统称整数.

【典型例题】

类型一、正数与负数

1.若把向北走7km记为-7km,则+10km表示的含义是().

A.向北走10km B.向西走10km C.向东走10km D.向南走10km 【答案】D

【解析】“正”和“负”相对,-7km表示向北走7km,则+10km表示向南走10 km,所以答案D

【总结升华】正负数表示具有相反意义的量.如果一个量为“正数”,则与其相反意义的量就是负数.

反之,当如果一个量为“负数”,则与其相反意义的量就是正数,且这两个量的单位相同.举一反三:

【高清课堂:有理数的意义 356786概念的应用例3(1)】

【变式1】

如果以每月生产180个零件为标准,超过的零件数记作正数,不足的零件数记作负数,那么1月生产160个零件记作______个,2月生产200个零件记作______个.

【答案】20,20

-+

【变式2】(1)如果收入300元记作+300元,那么支出500元用___________ 表示,0元表示__________ .

(2)若购进50本书,用-50本表示,则盈利30元如何表示?

【答案】(1)-500元;既没有收入也没有支出. (2)不是一对具有相反意义的量,不能表示. 【变式3】(2011江苏南通)如果60m表示“向北走60m”,那么“向南走40m”可以表示为().

A.-20m B.-40m C.20m D.40m

【答案】B

2.体育课上,华英学校对九年级男生进行了引体向上测试,以能做7个为标准,超过的次数记为正数,不足的次数记为负数,其中8名男生的成绩如下:2,-1,0,3,-2,-3,1,0

(1)这8名男生有百分之几达到标准?

(2)他们共做了多少引体向上?

【答案与解析】(1)由题意可知:正数或0表示达标,

而正数或0的个数共有5个,所以百分率为:5

100%62.5%

8

⨯=;

答:这8名男生有62.5%达到标准.

(2)(7+2)+(7-1)+7+(7+3)+(7-2)+(7-3)+(7+1)+7=56(个)

答:他们共做了引体向上56个.

【总结升华】一定要先弄清“基准”是什么.

类型二、有理数的分类

【高清课堂:有理数的意义 356786 概念的应用例2】

3.下面说法中正确的是( ).

A.非负数一定是正数.

B.有最小的正整数,有最小的正有理数.

C.a

-一定是负数.

D .正整数和正分数统称正有理数.

【答案】D

【解析】(A)不对,因为非负数还包括0;(B) 最小的正整数为1,但没有最小的正有理数;

(C)不对,当a为负数或0时,则a

-为正数或0,而不是负数;(D)对

【总结升华】一个有理数既有性质符号,又有除性质符号外的数值部分,两者合在一起才表示这个有理数.

举一反三:

【变式1】判断题:

(1)0是自然数,也是偶数.( ) (2)0既可以看作是正数,也可以看成是负数.( )

(3)整数又叫自然数.( ) (4)非负数就是正数,非正数就是负数.( )

【答案】√, ⨯,⨯,⨯

【变式2】下列四种说法,正确的是( ).

(A)所有的正数都是整数 (B)不是正数的数一定是负数

(C)正有理数包括整数和分数 (D)0不是最小的有理数

【答案】D

4.请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里.

1, 0.0708, -700, -3.88, 0, 3.14159265, 723-, .

正整数集合:{ …}, 负整数集合:{ …},

整数集合:{ …}, 正分数集合:{ …},

负分数集合:{ …},分数集合:{ …},

非负数集合:{ …},非正数集合:{ …}.

【答案】正整数: 1;负整数:-700;整数:1,0,-700;正分数:0.0708,3.14159265,

负分数: -3.88,723

-; 分数:0.0708,3.14159265,,-3.88,723

-; 非负数: 1,0.0708, 3.14159265,0,

; 非正数:-700, -3.88, 0, 723

-

【解析】

【总结升华】填数的方法有两种:一种是逐个考察,一一进行填写;二是逐个填写相关的集

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