高三数学文科圆锥曲线大题训练(含答案)

高三数学文科圆锥曲线大题训练（含详细解答）
1．已知椭圆
2
2
:416C x
y
.
（1）求椭圆C 的离心率;
（2）设椭圆C 与y 轴下半轴的交点为
B ,如果直线10y kx k 交椭圆
C 于不同的
两点,E F ,且,,B E F 构成以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形
,判断直线EF 与圆
2
2
12
x
y
的位置关系.
1．解:(I)由题意,椭圆C 的标准方程为
2
2
1164
x
y
,
所以
2
2
2
2
2
16,4,12从而a b c
a b ,
因此
4,23a
c
,故椭圆C 的离心率32
c e
a
............4分
(II)由
2
2
1,416
y kx x
y
得2
2
148120k
x
kx ,
由题意可知
0. ..............5分
设点,E F 的坐标分别为1122,,,x y x y ,EF 的中点M 的坐标为
,M M x y ,
则122
42
14M
x x k x k
,1
2
2
12
14M
y y y k
......................7分因为BEF 是以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形,
所以BM EF , 因此BM 的斜率1BM
k k
. ............... ...........................................8分
又点B 的坐标为
0,2,所以2
2
2
1
22381440
414M BM
M
y k
k
k k
x k
k
,..........10分即
2
38104k k
k
k ,亦即2
18
k
,所以24
k
,....................12分
故EF 的方程为2440x y
.
............... ...........................................13分
又圆2
2
12
x
y
的圆心
0,0O 到直线EF 的距离为422232
18
d
, 所以直线EF 与圆相离.....................14分
2．已知椭圆的中心在坐标原点
O ，长轴长为22,离心率22
e
，过右焦点F 的直线l 交
椭圆于P ，Q 两点．（1）求椭圆的方程；
（2）当直线l 的斜率为1时，求
POQ 的面积；
（3）若以,OP OQ 为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线
l 的方程.
2．解：（1）由已知，椭圆方程可设为
222
2
10x y a b a
b
．
--------1分
∵长轴长为
22,离心率22e
，∴
1,2b c a ．
所求椭圆方程为
2
2
12
x
y
．
----------- 4分
（2）因为直线l 过椭圆右焦点
1,0F ，且斜率为1，所以直线l 的方程为1y
x ．
设
1122,,,P x y Q x y ，由
2
2
22,
1,
x y
y
x 得
2
321
0y
y
，解得12
11,3
y y ．
∴1
21
2
1122
2
3
POQ S OF
y y y y ．--------------9分
（3）当直线l 与
x 轴垂直时，直线l 的方程为1x ，此时
POQ 小于90，,OP OQ 为
邻边的平行四边形不可能是矩形．当直线l 与
x 轴不垂直时，设直线
l 的方程为1y
k x ．
由
2
2
22,
1,
x y y
k x 可得2
2
2
2
124220k x k x k
．
∴22
12
12
2
2
422
,1212k
k
x x x x k k
．
11(1)y k x ，22(1)y k x 212
2
12k
y y k
因为以,OP OQ 为邻边的平行四边形是矩形
0OP OQ
uu u r uuu r
.
由2
21212
2
2
22
01212k
k
OP OQ
x x y y k k
uu u r uuu r 得2
2k
，
2k .
所求直线的方程为
2(1)y
x ．----------------14分
3．在平面直角坐标系
xOy 中，椭圆C ：2
2
2
21(0)x
y a
b a
b
的一个顶点为(2,0)A ，
离心率为
63
．
（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 过点
A ，过O 作l 的平行线交椭圆C 于P ，Q 两点，如果以PQ 为直径的圆
与直线l 相切，求l 的方程．3. 解：（1）依题意，椭圆的焦点在
x 轴上，
因为2a
，
63
c a
，
所以
263
c
，2
2
2
43
b a
c
．
所以椭圆的方程为2
2
314
4
x
y ．
…………４分（2）依题意，直线
l 的斜率显然存在且不为
0，设l 的斜率为k ，
则可设直线l 的方程为(2)y k x ，则原点O 到直线l 的距离为
2
|2|1
k d
k
．
设
11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则
2
2
34y kx x
y
消y
得2
2
(31)4k
x
．
可得
2
2
22(
,
)3131
k P k
k
，2
2
22(
,
)31
31
k Q k
k
．
因为以
PQ 为直径的圆与直线l 相切，
所以
1||2PQ d ，即||OP d ．所以
2
2
2
2
2
2
22|2|(
)()(
)31
31
1
k k k
k k
，解得
1k ．
所以直线l 的方程为20x
y
或2
0x y ．
………14分
4．已知离心率为
32的椭圆2
222
:1(0)x
y C a b
a
b
与直线2x 相交于,P Q 两点（点P
在
x 轴上方），且2PQ ．点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，且
APQ BPQ ．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）求四边形APBQ 面积的取值范围．
4．解：（1）由已知得32
e
，则
12
b a
，设椭圆方程为
22
2
2
1(0)
4x
y b b
b
由题意可知点(2,1)P 在椭圆上，
所以
2
2
4114b
b
．解得2
2b
．故椭圆C 的标准方程为
2
2
182
x
y
．
………４分
（2）由题意可知，直线
PA ，直线PB 的斜率都存在且不等于0．
因为
APQ BPQ ，所以PA
PB k k ．
设直线PA 的斜率为k ，则直线:1(2)PA y k x （0k
）．
由
2
2
48
(12),
x
y
y kx k 得22
2
(14)8(12)161640k x
k k x k k ……(1).
依题意，方程（1）有两个不相等的实数根，即根的判别式0成立.
即22
22
64(12)
4(14)161640k k k k
k ,
化简得
2
16(21)
0k ，解得12
k
.
因为2是方程（1）的一个解，所以
2
2
16164
214A
k
k
x k
．
所以2
2
882
14A
k
k
x k
．
当方程（1）根的判别式0时，12
k
，此时直线PA 与椭圆相切.
由题意，可知直线
PB 的方程为1(2)y k x ．
同理，易得
2
2
2
2
8()
8()
2882
14()14B
k k k
k
x k k
．
由于点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，APQ BPQ ，
且能存在四边形
APBQ ，则直线PA 的斜率k 需满足12
k
.
设四边形APBQ 面积为S ，则
1
12
2
2
2
APQ
BPQ
A
B
S S
S
PQ x PQ
x 2
2
2
2
1
882
882
2
1414B A k k k k PQ x x k
k
2
1614k k
由于12
k
，故
2
1616
1144k S
k
k
k
.
当1
2k
时，144k k
，即110
14
4k
k ，即04S .
(此处另解：设
t k ，讨论函数1()
4f t t t 在1,
2
t
时的取值范围.
2
2
2
141
()4t f t t
t
，则当12
t
时，()0f t ，()f t 单调递增.
则当12
t 时，()(4,
)f t ，即S 0,4.)
所以四边形APBQ 面积S 的取值范围是
0,4.
………14分
5．已知椭圆的一个顶点为)1,0(A ，焦点在x 轴上，若右焦点到直线02
2y x
的距离为 3.
（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线0y
kx
m k
与椭圆相交于不同的两点M 、N ，当A M
A N 时，
求m 的取值范围.
5．解: （1）依题意可设椭圆方程为
22
2
1x y
a
，………….2分
则右焦点F 的坐标为
2
1,0a
，
由题意得
2
12232
a
，解得2
3a
，
故所求椭圆的标准方程为
2
2
13
x
y
.
………………………….5分
6．已知椭圆
1C 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线
2
2
2:
12
x
C y
的顶点，直线
20x y
与椭圆1C 交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(
2,1)，点P 是椭圆1C 上异
于点A ,B 的任意一点，点Q 满足0AQ AP
，0BQ BP ，且A ，B ，Q 三点不共线.
（1）求椭圆
1C 的方程；
（2）求点Q 的轨迹方程；（3）求
ABQ 面积的最大值及此时点
Q 的坐标.
6．（1）解法1：∵双曲线2
2
2:
12
x
C y
的顶点为1(2,0)F ,2(2,0)F , ……１分
∴椭圆
1C 两焦点分别为1(2,0)F ,2(2,0)F .
设椭圆
1C 方程为
12
22
2b
y a
x 0a b ，∵椭圆1C 过点A (2,1)，∴1
2
24a AF AF ，得2a
.……２分
∴
2
2
2
2
2b
a
.
………………………３
分
∴椭圆
1C 的方程为
2
2
142
x
y
.
………………………４分
解法2:∵双曲线2
2
2:
12
x
C y
的顶点为1(2,0)F ,2(2,0)F , …………………１分
∴椭圆
1C 两焦点分别为1(
2,0)F ,2(2,0)F .
设椭圆
1C 方程为
12
22
2b
y a
x 0a
b ，
∵椭圆1C 过点A (
2,1)，
∴
22211a
b . ①………………………２分. ∵2
2
2a
b
,
②
………………………３
分
由①②解得2
4a
, 2
2b .
∴椭圆
1C 的方程为
2
2
142
x y
.
………………………４分
（2）解法1：设点),(y x Q ，点
),(11y x P ，
由A (2,1)及椭圆1C 关于原点对称可得
B (2,
1)，
∴(2,1)AQ
x
y ，11(2,1)AP x y ，(2,1)BQ
x
y ，1
1(2,1)BP x y . 由0AQ AP , 得1
1(2)(2)(1)(1)
0x
x y y ，……………………５分
即
11(2)(2)
(1)(1)x
x y y .
①
同理, 由0BQ BP , 得1
1(2)(2)(1)(1)x x y y . ②……………６分
①②得
2
2
2
21
1
(2)(2)(1)(1)x
x
y y
.
③
………………………７
分
由于点
P 在椭圆1C 上, 则
221
1
142
x
y
，得221
1
42x
y , 代入③式得22
2
21
1
2(1)(2)(1)(1)y
x
y y
.
当21
10y
时，有2
2
25x y
，
当
2
1
10y ，则点(
2,1)P 或(2,1)P ,此时点Q 对应的坐标分别为
(2,1)或
(2,1)，其坐标也满足方程
2
2
25x
y
.
………………………８
分
当点P 与点A 重合时，即点
P (
2,1)，由②得23y
x ，
解方程组
2
2
25,23,
x y
y
x
得点Q 的坐标为
2,1或
2,22.
同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q 的坐标为
2,1或
2,22.
∴点Q 的轨迹方程为
2
2
25x
y
, 除去四个点2,1,2,22
, 2,1,
2,22
.
………………………９分
解法2：设点),(y x Q ，点
),(11y x P ，
由A
(
2,1)及椭圆1C 关于原点对称可得B (2,
1)，
∵0AQ AP
，0BQ BP
，
∴AQ AP
，BQ BP
.
∴
11
11
12
2y y x x
1
2x ，①
……………………５分
11
11122y y x x 1
2x . ②
……………………６分
①②得
1
2
2
22
1
1112
2
y y x
x
. (*)
………………………７分
∵点P 在椭圆
1C 上,
∴
2
2
1114
2
x y ，得2
21
1
2
2
x y
,
代入(*)式得
22
1
22
1
11
1212
2
x
y x
x
，即
2
2
1112
2
y x
,
化简得2
2
25x
y .
若点(
2,1)P 或(2,1)P , 此时点Q 对应的坐标分别为
(2,1)或
(2,1)，其坐标也满足方程
2
2
25x
y
.
………………………８
分
当点P 与点A 重合时，即点P (
2,1)，由②得23y
x ，
解方程组
2
2
25,23,
x y
y
x
得点Q 的坐标为
2,1或
2,22.
同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q 的坐标为
2,1或
2,22.
∴点Q 的轨迹方程为
2
2
25x
y
, 除去四个点2,1,2,22
, 2,1,
2,22
.
………………………９分
(3) 解法1：点Q
,x y 到直线:AB 20x
y 的距离为
23
x y .
△ABQ 的面积为2
2
21(22)
(11)
23
x
y S
………………………
10分
2x
y
2
2
222x
y
xy .
………………………11分
而
2
2
222(2)(
)422
y y
xy x x
（当且仅当22
y x
时等号成立）
∴2
2
2
2
2
2
2
2
52222452
2
y
S x
y
xy
x
y
x
x
y
522
. ……12分
当且仅当22
y x
时, 等号成立.
由
2
22,2
25,
y x x
y
解得
2
,22,x y
或2,
2
2.
x
y
………………………13分
∴△ABQ 的面积最大值为
522
, 此时,点Q 的坐标为
2,22
或
2,22
.…14分
解法2：由于2
2
2211
23AB ，
故当点Q 到直线AB 的距离最大时，△ABQ 的面积最大．………………………10分
设与直线AB 平行的直线为
20x y m ，
由
2
2
20,
25,
x y m x
y
消去
x ，得2
2
542250y my c ，
由2
2
322025
0m
m
，解得522
m
．………………………11分
若522
m
，则2y ，22
x ；若522
m
，则2y ，22
x
．…12分
故当点Q 的坐标为
2,22
或
2,22
时，△ABQ 的面积最大，其值为
2
2
2
22
21522
2
1
2
S
AB
．………………………14分
7．如图，B A,分别是椭圆C ：
)0(12
22
2b
a b
y a
x 的左右顶点，F 为其右焦点，2是
AF 与FB 的等差中项，
3是AF 与FB 的等比中项．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知点P 是椭圆C 上异于B A,的动点，直线l 过点A 且垂直于x 轴，若过F 作直线FQ
垂直于AP ，并交直线l 于点Q ．证明：B P Q ,,三点共线．
7．【解析】：（1）解：F （1，0），|AF|=a+c ，|BF|=a ﹣c ．由2是|AF|与|FB|的等差中项，是|AF|与|FB|的等比中项．∴
，解得a=2，c=1，
∴b 2
=a 2
﹣c 2
=3．∴椭圆C 的方程为=1．
（2）证明：直线
l 的方程为：x=﹣2，直线AP 的方程为：y=k （x+2）（k ≠０），
联立
，化为（3+4k 2）x 2+16k 2x+16k 2
﹣12=0，
∴，
∴x P =
，∴y P =k （x P +2）=，
∵QF ⊥AP ，∴k PF =﹣．直线QF 的方程为：y=﹣，
把x=﹣2代入上述方程可得y Q =，
∴Q
．
∴k PQ =
=，k BQ =．
∴k PQ =k BQ ，
∴B ，P ，Q 三点共线．
8．已知椭圆222
2
:
10x y C a b a
b
的离心率为
32
，且经过点
0,1．圆
2
2
2
2
1:C x
y
a
b
. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l
:0y kx m k 与椭圆C 有且只有一个公共点
M ，且l 与圆1C 相交
于,A B 两点，问AM BM 0是否成立？请说明理由．8．解析：（1）解：∵椭圆22
2
2
:
1x y C a
b
过点0,1，
∴2
1b
.
∵
2
2
2
3,2c a
b c a
，
∴2
4a
．
∴椭圆C 的方程为
2
2
14
x
y
.
……………４分
（2）解法1：由（1）知，圆
1C 的方程为2
2
5x
y
，其圆心为原点O . ……………５分
∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M ，
∴方程组
2
2
,
1
4
y
kx m x y
（*）有且只有一组解．
由（*）得2
2
2
148440k
x
kmx
m ．…………６分
从而
2
2
2
841444
0km k m
,化简得2
2
14m
k ．①………７分
2
2
8414214M
km km
x k
k
，2
2
2
41414M M
k m m y kx m
m
k
k
. ……９分
∴点M 的坐标为
2
2
4,
1414km m k
k
. ……………10分
由于0k ，结合①式知0m ，
∴OM
k k
2
2
114144
14m
k k
km
k
.
…………11分
∴OM 与AB 不垂直. ……12分∴点M 不是线段AB 的中点. ………13分∴AM
BM
0不成立.
………14分
解法2：由（1）知，圆
1C 的方程为2
2
5x
y
，其圆心为原点O .
………５分
∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M ，
∴方程组
2
2
,
1
4
y
kx m x y
（*）有且只有一组解．
由（*）得2
2
2
148440k
x
kmx
m ．………６分
从而
2
2
2
841444
0km k m
,化简得2
2
14m
k ．①
………７分
2
2
8414214M
km km x k
k
，
………………８分
由于0k ，结合①式知0m ，
设
1122,,,A x y B x y ,线段AB 的中点为,N N N x y , 由
2
2
,5,
y kx m x
y
消去y ,得2
2
2
1
250k
x
kmx m
.…………９分
∴1
22
2
1N x x km x k . …………10分
若
N M x x ,得
2
2
4114km km k
k
,化简得30,矛盾. ………11分
∴点N 与点M 不重合. ………12分∴点M 不是线段AB 的中点. …………13分∴AM
BM 0不成立.
………14分
9．已知抛物线
C ：2
2(0)y
px p 的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线相
交于,M N 两点,且
8MN
．
（1）求抛物线C 的方程；
（2）设直线
l 为抛物线C 的切线，且l ∥MN ,P 为l 上一点，求PM PN 的最小值．
9．【解析】（1）由题可知(
,0)2
p F ，则该直线方程为：
2
p y
x
，………１分
代入
2
2(0)
y
px p
得：2
2
304
p
x
px
，设1122(,),(,)M x y N x y ，则有
12
3x x p …３分
∵
8MN
，∴1
2
8x x p ，即38p p ，解得
p 2
∴抛物线的方程为：2
4y
x ．………５分
（2）设l 方程为y
x
b ，代入
2
4y
x ，得2
2
(24)0x
b x b ，因为l 为抛物线C 的切线，∴0，
解得
1b ，∴:l 1
y
x ………７分
由（1）可知：
1
26x x ，121
x x 设(,1)P m m ，则
1
122
(,(1)),(,(1))
PM
x m y m PN x m y m 所以
12
12
()()[(1)][(1)]
PM PN
x m x m y m y m 2
2
121
2121
2()
(1)()
(1)
x x m x x m
y y m y y m 12
6x x ，12
1x x ，
2
1212
()1616y y x x ，124y y ，
22
1
21
24()y
y x x ，∴121
2
1
2
44
x x y y y y 2
2
1644(1)(1)
PM PN m m m m ………10分
2
2
2[43]2[(2)
7]14
m
m m 当且仅当
2m 时，即点P 的坐标为(2,3)时，PM PN 的最小值为
14．………12分
10．已知动圆
C 过定点）（2,0M ，且在x 轴上截得弦长为4．
设该动圆圆心的轨迹为曲线C .
（1）求曲线
C 方程；
（2）点A 为直线l ：20x
y 上任意一点，过
A 作曲线C 的切线，切点分别为
P 、
Q ，APQ 面积的最小值及此时点A 的坐标.
10．解析：（1）设动圆圆心坐标为(,)C x y ，根据题意得
2
2
2
(2)4x y y +-=
+，
（2分）化简得
2
4x y =.
（2分）
（2）解法一：设直线
PQ 的方程为y kx b =+，
由24x y y kx b
ì?=?í?
=+?消去y 得2440x kx b --=设1122(,),(,)P x y Q x y ，则121244x x k x x b
ì+=??í?=-?，且21616k b D =+（2分）
以点P 为切点的切线的斜率为1112
y x ￠=
，其切线方程为1111()
2
y y x x x -=
-即2
11
112
4
y x x x
=
-
同理过点Q 的切线的方程为2
22
11
2
4
y x x x =
-
设两条切线的交点为
(,)A A A x y 在直线20x y --=上，
12x x 1Q ，解得1212224A A x x x k x x y b ì+??==???í??==-???
，即(2,)A k b -则：220k b +-=，即22b k
=-（2分）
代入222
161616323216(1)160
k b k k k D =+=+-=-+>2
22
12||1||41PQ k x x k
k b
=
+-=++(2,)A k b -到直线PQ 的距离为2
2
|22|1
k b d k +=
+（2分）
3
3
2
2
2
2
4(22)4[(1)1]k k k =-+=-+当1k =时，APQ S D 最小，其最小值为
4，此时点A 的坐标为(2,0). （4分）
解法二：设00(,)A x y 在直线20x y --=上，点1122(,),(,)P x y Q x y 在抛物线2
4x y
=上，则以点P 为切点的切线的斜率为1112
y x ￠=
，其切线方程为1111()
2
y y x x x -=-即11
12
y x x y =
-同理以点Q 为切点的方程为
22
12y x x y =
-（2分）
设两条切线的均过点
00(,)A x y ，则0101
010112
12y x x y y x x y ì??=-??í
??=-???
，点,P Q 的坐标均满足方程
0012
y xx y =
-，即直线PQ 的方程为：00
12y x x y =
-（2分）
代入抛物线方程
2
4x y =消去y 可得：
2
00240
x x x y -+=
00(,)A x y 到直线PQ 的距离为2
002
01|
2|2
11
4
x y d x -=
+（2分）
3
3
2
2
2
2
00011(48)[(2)4]2
2
x x x =
-+=
-+所以当
02x =时，APQ S D 最小，其最小值为4，此时点A 的坐标为(2,0).
（4分）
11．已知点)1,2(A 在抛物线:2
x ay 上，直线1:l 1y kx （R k ，且0k ）与抛物线E 相交于C B,两点，直线AC AB,分别交直线2:l 1y 于点S ，T ．
（1）求a 的值；（2）若
25S
，求直线1l 的方程；
（3）试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐
标；若不是，说明理由．
11．（1）解：∵点2,1A 在抛物线2
:E x ay 上，∴4a . ……１分
第（2）、（3）问提供以下两种解法：
解法1：（2）由（1）得抛物线E 的方程为2
4x
y.
设点,B C 的坐标分别为1122,,,x y x y ，依题意，2
21
12
24,4x
y x
y ，
由
2
1,4,y kx x
y 消去y 得2
440x
kx ，
解得2
2
1,2
441
2212
k
k x k k
.
∴1
212
4,4x x k x x .
……………２分
直线AB 的斜率21
111
1112
4224AB
x
y x k x x ，
故直线AB 的方程为1
2124
x y x
.
……………３分
令1y
，得182
2
x
x ，∴点S 的坐标为
1
82
,12
x . ……………４分
同理可得点T 的坐标为
2
82
,12
x .
……………５分
∴1
21
2
12
88822
22
22x x ST
x x x x 1
21
2
1
2
12
1
2
8824
8x x x
x
x x x x x x k
k . ……………６分
∵25ST ，
∴1
2
25x x k .
由2
2
12
12
124x x x x x x ，得2
2
201616k
k
，
解得2k , 或2k ,
……………　7分
∴直线1l 的方程为21y
x ，或21y
x .
……………９分
（3）设线段ST 的中点坐标为0,1x ，则1
2
1
212441882
2
2
22222x x x x x x x 121
2
444444
2
22
24
8k k x x x x k k . ……………10分
而2
ST
2
221
2
1
212
2
2
2
161
4k
x x x x x x k k
k
，……………11分
∴以线段ST 为直径的圆的方程为
2
22
211
4
x
y ST k 22
41
k
k
.
展开得22
2
2
2
41
441
4k
x x y k
k
k
.
……………12分令0x
，得2
1
4y ，解得1y 或3y
.
……………13分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点0,1,0,3.
……………14分
解法2：（2）由（1）得抛物线E 的方程为2
4x
y.
设直线AB 的方程为112y k x ，点B 的坐标为11,x y ，
由
112,1,
y k x y
解得
1
22,
1.
x k y
∴点S 的坐标为
1
22
,1k . ………２分
由
12
12,4,
y k x x
y 消去y ，得211
4840x k x k ，
即1242
0x x k ，解得2x
或142x k .
∴1
1
42x k ，2
2
1
1
1
1
14414y x k k .
∴点B 的坐标为2
11142,441k k k . ………３分
同理，设直线AC 的方程为212y k x ，则点T 的坐标为
2
22,1k ，点C 的坐标为22
2
242,441k k
k . …………４分
∵点,B C 在直线1:1l y kx 上，
∴2
2222
21
12
1
21
2
12
1
44144142
42
k
k k
k k
k
k k k k k k k 121k k .
∴12
1k k k . ………５分
又2
111
44142
k k k k 1，得2
1
11
121
4442412k k kk k
k k k k ，
化简得12
2k k k .
……………６分
1
2
1
2
12
2222
2
k k ST
k k k k ，
…………７分
∵25ST ，∴
1
2
12
225k k k k .∴2
2
1
2
12
5k k k k .
由2
2
2
1
2
12
12
12
12454k k k k k k k k k k ，
得22
5124k k
k ，
解得2k
.
……８分
∴直线1l 的方程为21y
x ，或21y
x .
…… 9分
（3）设点,P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ，………10分
得1
2
222
2
11
0x x y y k k ，…11分整理得，2
2
44
1
0x x
y k . …12分
令0x
，得2
1
4y ，解得1y 或3y
.
……13分
∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点
0,1,0,3.
…14分
12．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，
离心率为
22
（1）求椭圆C 的方程；（2）B A,为椭圆C 上满足
AOB 的面积为
64
的任意两点，
E 为线段AB 的中点，射线
OE 交椭圆C 于点P ，设OP
tOE ，求实数t 的值.
12．【解】(I)设椭圆C 的方程为
)
0(12
22
2b
a
b
y a
x 由题意可得：
2
22
2
2
2
2
b a c
e
c
b
a
，解得：1
,2c b a 因此：椭圆C 的方程为
1
2
2
2
y
x
(II)（1）当B A,两点关于x 轴对称时，设直线
AB 的方程为m x
，
由题意可得：)
2,0()
0,2(m 将
x m 代入椭圆方程12
2
2
y
x ，得2
2|
|2
m y 所以：4
622|
|2
m m S AOB ，解得：2
32m 或2
12
m
①
又)
0,()
0,2(21)
(2
1mt m t OB OA t OE
t OP
因为P 为椭圆C 上一点，所以12)
(2
mt ②由①②得：42
t
或3
42
t
，又知0t
，于是2t
或33
2
t
（2）当B A,两点关于
x 轴不对称时，设直线
AB 的方程为h kx
y
，
由h
kx y y x 122
2
得：0
124)21(2
2
2h
khx x
k 设
),(),,(2211y x B y x A ，由判别式
0可得：2
2
21h
k 此时：2
21
212
2
2
12
2
121
22)
(,21
22,214k
h h
x x k y y k
h x x k
kh x x ，
所以
2
2
2
2
212
212
21211224)(1||k
h
k k
x x x x k
AB 因为点O 到直线AB 的距离
2
1||k
h d
所以：2
2
2
22
1||21211222
1||2
1
k
h k
h
k
k
d AB S
AOB
4
6|
|21212
2
2
2h k
h
k
③
令2
21k n
，代入③整理得：0
161634
2
2
h n h n 解得：24h n 或234h n ，即：2
2421h k 或223421h k ④
又)21,212(),(21)(212
22121k
ht
k kht y y x x t OB OA t OE t OP 因为P 为椭圆C 上一点，所以1])21
(
)
21
2(
2
1[2
2
2
2
2
k
h k
kh t ，即
1212
2
2
t
k
h
⑤
将④代入⑤得：42
t 或34
2
t
，又知0t ，于是2t 或33
2
t
，经检验，符合题意综上所述：2t
或3
3
2t
13．已知点
2,1P 在抛物线2
1:20C x
py p
上，直线l 过点0,2Q 且与抛物线1C 交
于A 、B 两点。

（1）求抛物线1C 的方程及弦AB 中点M 的轨迹2C 的方程；
（2）若直线
1l 、2l 分别为1C 、2C 的切线，且12//l l ，求12l l 到的最近距离。