河南省洛阳名校2016-2017学年高二下学期第二次联考试题(5月)数学(理)试题(扫描版)

洛阳名校2016—2017学年下期第二次联考

高二数学（理）参考答案

13． 2- 14． 16

15． 2 16． 2ln 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

18．（本小题满分12分） 解:函数()f x 的定义域为(0,)+∞,()1'=-

a f x x

. （1）当2=a 时,()2ln =-f x x x ,2()1(0)'=->f x x x

, (1)1,(1)1'∴==-f f , -------------------------3分

()∴=y f x 在点(1,(1))A f 处的切线方程为1(1)-=--y x ,

即20+-=x y . -------------------------------5分

（2）由()1,0-'=-=>a x a f x x x x

可知: ①当0≤a 时,()0'>f x ,函数()f x 为(0,)+∞上的增函数,函数()f x 无极值;---8分 ②当0>a 时,由()0'=f x ,解得=x a ;

(0,)∈x a 时,()0'<f x ,(,)∈+∞x a 时,()0'>f x

()∴f x 在=x a 处取得极小值,且极小值为()ln =-f a a a a ,无极大值. ------11分 综上:当0≤a 时,函数()f x 无极值 ---------------------------------------12分 当0>a 时,函数()f x 在=x a 处取得极小值ln -a a a ,无极大值.

解:（1）甲班成绩为87分的同学有2个，其他不低于80分的同学有3个“从甲班化学成绩

不低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有C 25＝10(个)，

“抽到至少有一个87分的同学”所组成的基本事件有C 13C 12＋C 22＝(7个)，所以P ＝710

. -------------------------------5分

（2）2×2列联表如下：

K 2＝40×（6×6－14×14）220×20×20×20

＝6.4＞5.024. -----------------10分 因此，我们有97.5%的把握认为成绩优秀与教学方式有关．--------------12分

20．（本小题满分12分）

解：（1）已知a 1＝1，由题意得a 1·a 2＝22，所以a 2＝22.

因为a 1·a 2·a 3＝32，所以a 3＝3222.同理，可得a 4＝4232，a 5＝524

2. 因此这个数列的前5项分别为1，4，94，169，2516

.----------------4分 （2）观察这个数列的前5项，猜测数列的通项公式应为：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，

n 2

（n －1）

2，n ≥2.-----6分 下面用数学归纳法证明当n ≥2时，a n ＝n 2（n －1）

2. ①当n ＝2时，a 2＝22（2－1）

2＝22，结论成立．-------7分 ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k 2（k －1）

2. -----8分 因为a 1·a 2…a k －1＝(k －1)2，a 1·a 2…a k －1·a k ·a k ＋1＝(k ＋1)2， ----------------9分

所以a k ＋1＝（k ＋1）2（a 1a 2a k －1）a k ＝（k ＋1）2（k －1）2·（k －1）2k 2＝（k ＋1）2[（k ＋1）－1]

2. 这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立． -----------10分

根据①②可知，当n ≥2时，这个数列的通项公式是a n ＝n 2（n －1）

2. ---------11分 所以这个数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n 2

（n －1）

2，n ≥2. -------12分

解：（1）记“该生被保送硕士研究生”的事件为事件A ，其对立事件为A ，则

.243112811624364)32()32()32)(31()(4314=+=+=C A P --------------------3分

∴112131()1()1.243243

P A P A =-=-=----------------------------------5分 （2）该生参加测试次数ξ的可能取值为2，3，4，5.

211(2)39P ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭

===， 121214(3)...33327P C ξ===， 2143121241628(4)()3333278181P C ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭==⋅⋅⋅+=+=， 3141232(5).3381P C ξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

==⋅⋅= ------------8分

故ξ

分

∴ .81

32681325812842743912=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE -------------12分

22．（本小题满分12分）

---------------6分

从而2121()10x x e x x ---->，1212()10,x x e x x ---->又1210,x e x x >-2210,x e x x >- 所以1()0,x ϕ<2()0.x ϕ>

因为函数()y x ϕ=在区间[]12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在 012(,)x x x ∈使0()0,x ϕ=即0()f x k '=成立. ------12分

注：以上答案及评分标准仅供参考，其他答案只要正确，请合理给分。