2019高考数学理科二轮复习第一篇微型专题练习：微专题18 圆锥曲线的标准方程与几何性质 Word版含解析

18圆锥曲线的标准方程与几何性质

1.已知椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点为F,该椭圆上有一点A,满足△OAF是等边三角形(O为坐标原点),则椭圆的离心率是().

A.-1

B.2-

C.-1

D.2-

解析▶根据题意,设F(c,0),又由△OAF是等边三角形,得A.

因为点A在椭圆上,所以+=1.①

又a2=b2+c2,②

联立①②,解得c=(-1)a,则其离心率e==-1,故选A.

答案▶A

2.直线l:x-2y-5=0过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点且与其一条渐近线平行,则双曲线的方程为().

A.-=1

B.-=1

C.-y2=1

D.x2-=1

解析▶对于直线l,令y=0,得x=5,即c=5.又=,所以a2=20,b2=5,所以双曲线的方程为-=1,故选A.

答案▶A

3.从抛物线y2=4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且

|PM|=9,设抛物线的焦点为F,则直线PF的斜率为().

A.B. C. D.

解析▶设P(x0,y0),因为抛物线y2=4x的焦点坐标为F(1,0),准线方程为

x=-1,|PM|=9,根据抛物线的定义,可得x0=8,所以y0=±4.又点P在第一象限,所以P(8,4),所以k PF=,故选C.

答案▶C

4.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为().

A.2

B.3

C.6

D.8

解析▶设P(x0,y0),则+=1,即=3.又F(-1,0),所

以·=x0(x0+1)+=+x0+3=(x0+2)2+2.因为x0∈[-2,2],所以(·)max=6,故选C.

答案▶C

【例1】已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是().

A.直线

B.圆

C.椭圆

D.双曲线的右支

解析▶因为N为F1M的中点,O为F1F2的中点,所以F2M=2ON=2.因为点P在线段F1M的中垂线上,所以|PF1|=|PM|,因此|PF1|-|PF2|=F2M=2ON=2,即点P的轨迹是双曲线的右支,故选D.

答案▶D

求轨迹方程的常用方法:一是定义法,动点满足圆或圆锥曲线的定义;二是直接法,化简条件即得;三是转移法,除所求动点外,一般还有已知轨迹的动点,寻求两者之间的关系是关键;四是交轨法或参数法,如何消去参数是解题关键,且需注意消参过程中的等价性.

椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若线段PF2的中点在y轴上,则|PF2|是|PF1|的().

A.7倍

B.5倍

C.4倍

D.3倍

解析▶设线段PF2的中点为D,

则|OD|=|PF1|,OD∥PF1,OD⊥x轴,

∴PF1⊥x轴,∴|PF1|===.

又∵|PF1|+|PF2|=4,

∴|PF2|=4-=,

∴|PF2|是|PF1|的7倍,故选A.

【例2】已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)过点(,),且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,则双曲线C的标准方程是().

A.-y2=1

B.-=1

C.x2-=1

D.-=1

解析▶由题意可得解得

∴双曲线C的标准方程是x2-=1,故选C.

答案▶C

渐近线、焦点、顶点、准线等是圆锥曲线的几何性质,这些性质往往与平面图形中三角形、四边形的有关几何量结合在一起,只有正确把握和理解这些性质,才能通过待定系数法求解圆锥曲线的方程.

已知双曲线-=1的离心率为,且双曲线与抛物线x2=-4y的准线交于A,B两点,S△ABO=,则双曲线的实轴长为().

A.B.2 C.2 D.4

解析▶因为抛物线的方程为x2=-4y,

所以准线方程为y=.

因为S△ABO=,所以×2×|x A|×=,

所以x A=±1,所以A(1,)或A(-1,).

因为双曲线-=1的离心率为,

所以a=b,所以-=1,故a=,

因此双曲线的实轴长为2,故选C.

【例3】已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,y轴上的点P 在椭圆外,且线段PF1与椭圆E交于点M,若|OM|=|MF1|=|OP|,则椭圆E的离心率为().

A.B.

C.-1

D.

解析▶因为|OM|=|MF1|=|OP|,所以∠F1PO=30°, ∠MF1F2=60°,连接MF2 ,则可得三角形MF1F2为直角三角形.在Rt△MF1F2中,易知MF1=c,MF2=c,则c+c=2a,所以离心率e===-1,故选C.

答案▶C

求离心率一般有以下几种方法:①直接求出a,c,从而求出e;②构造a,c的齐次式,求出e;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解.本题中,根据特殊直角三角形可以建立关于焦半径和焦距的关系,从而找出a,c之间的关系,求出离心率e.

过双曲线-=1(a>b>0)的左焦点F作某一渐近线的垂线,分别与两条渐近线相交于A,B两点,若=,则双曲线的离心率为().

A.B.2 C. D.

解析▶因为a>b>0,所以交点A,B在F的两侧.由=及角平分线定理知==.

由AB⊥AO知cos∠AOB==,所以∠AOB=60°,∠AOF=30°,

据此可知渐近线的方程为y=±x,

而双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,

故=,则双曲线的离心率e==,故选A.