高一数学痛点大揭秘专题1 指数型复合函数的单调性的判断(解析版)

指数函数与对数函数
专题1 指数型复合函数的单调性的判断复合函数单调性的规律:若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”．利用复合函数法求解函数单调区间的基本步骤如下：（1）求出原函数的定义域；
（2）将原函数分解为内层函数和外层函数；
（3）分析内层函数和外层函数的单调性；
（4）利用复合函数法“同增异减”可得出结论.
【题型导图】
类型一指数型函数单调性的判断
例1：（2021·全国高一课时练习）函数y＝
22
1
2
x
⎛⎫
⎪
⎝⎭
－
的单调递减区间为（）
A．（－∞，0] B．[0，＋∞）C．（－∞2D．2∞）【答案】B
【详解】
解:函数y＝
1
()
2
u在R上为减函数，
欲求函数y＝
22
1
2
x-
⎛⎫
⎪
⎝⎭
的单调递减区间，只需求函数u＝x2－2的单调递增区间，
而函数u＝x2－2的单调递增区间为[0，＋∞），故所求单调递减区间为[0，＋∞）.
故选:B
【变式1】（2021·浙江杭州市·高一期中）设函数()(1)(0,1)x f x a a b a a =-+>≠，则函数()f x 的单调性（ ） A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 无关，且与b 有关 C ．与a 有关，且与b 无关 D ．与a 无关，且与b 无关
【答案】D 【详解】
因为函数()(1)(0,1)x f x a a b a a =-+>≠，
所以当01a <<时，()(1)x f x a a b =-+单调递增.当1a >时，()(1)x f x a a b =-+单调递增. 则0a >且1a ≠，b R ∈，()(1)x f x a a b =-+的单调性都为单调递增. 所以函数()(1)x f x a a b =-+的单调性与a b ，无关. 故选：D
【变式2】函数()2
43
3x x f x -++=的单调递增区间为（ ）
A ．(),2-∞
B ．()2,+∞
C ．()3,2-
D ．()2,7
【答案】A 【详解】
因为函数243y x x =-++的单调递增区间为(),2-∞，
所以根据复合函数单调性可知，()f x 的单调递增区间为(),2-∞ 故选：A
【变式3】（2021·江西景德镇市·景德镇一中高一期末）函数21()+=-x x f x e e （x ∈R ）的单调递减区间为______．
【答案】()(1ln 2-∞-+⎤⎦，
【详解】 对于21
()+=-x x
f x e
e （x ∈R ），令()0x
t e t =>，则2
2
11
24y et t e t e e
⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭
因为x t e =在R 上单增，
所以要求21()+=-x x f x e e （x ∈R ）的单调递减区间，
只需1
02x
e e
<≤
，解得：()1ln 2x ≤-+， 所以函数21()+=-x x f x e e （x ∈R ）的单调递减区间为()(1ln 2-∞-+⎤⎦，.
故答案为：()(1ln 2-∞-+⎤⎦，
【痛点直击】解决指数型复合函数的单调性问题，要先判断此复合函数是由指数函数与什么函数复合而成的复合函数，进而判断两个基本初等函数的单调性，利用复合函数的“同增异减”来判断复合函数的单调性。

类型二 由指数型复合函数的单调性求参数问题
例2.（2021·全国高一课时练习）若函数()2
21
x ax f x a -+=(0a >且1a ≠)在区间()1,3上单调递增，则实数a 的
取值范围为____． 【答案】(]1,4 【详解】
内函数为二次函数221y x ax =-+，在区间,4a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递减，在区间,4a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭单调递增
当01a <<时，外函数单调递减，所以()f x 在,4a ⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭上单调递增，在,4a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，
因为函数()f x 在()1,3上单调递增，所以01,
3,4
a a <<⎧⎪
⎨≥⎪⎩无解﹔
当1a >时，外函数单调递增，所以()f x 在,4a ⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭上单调递减，在,4a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，
因为函数()f x 在()1,3上单调递增，所以1,1,4a a >⎧⎪
⎨≤⎪⎩解得14a <≤．
综上，实数a 的取值范围为(]1,4．
【变式1】（2021·上海高一期末）已知函数||()2x a f x -=在区间[1,)+∞上是严格增函数，则实数a 的取值范围为______. 【答案】(,1]-∞ 【详解】 因为函数()2x a
f x -=的对称轴为x a =， 所以函数()2x a
f x -=在[),a +∞上是增函数；
又函数()2
x a
f x -=在[)1,+∞上是增函数，所以1a ≤．
故答案为：(],1-∞.
【变式2】（2021·重庆）函数()2
23x ax
f x -+=在区间(),1-∞内递增，则a 的取值范围是_____________.
【答案】[)1,+∞ 【详解】
因函数3x y =在R 上单调递增，而复合函数()2
23x
ax
f x -+=在区间(),1-∞内递增，
所以函数22y x ax =-+在区间(),1-∞内递增，又二次函数22y x ax =-+的单调递增区间是(,)a -∞， 则有(,1)(,)a -∞⊆-∞，即1a ≥. 故答案为：[)1,+∞
【变式3】已知函数2
3
()2x ax f x -++=在[3,)+∞上单调递减，则a 的取值范围为___________．
【答案】6a ≤ 【详解】
令23t x ax =-++， 则2t y =，
因为2t y =为R 上增函数，23t x ax =-++在,2a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
上单调递减，在(,]2a
-∞上单调递增，
所以函数2
3
()2x ax f x -++=在,2a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
上单调递减，在(,]2a
-∞上单调递增，
因为函数2
3
()2x ax f x -++=在[3,)+∞上单调递减，
所以
32
a
≤， 即6a ≤. 故答案为：6a ≤
【痛点直击】 由指数型复合函数的单调性求参数问题，应准确判断函数的单调性，利用单调性解决参数的取值问题。

【限时训练】
1．函数2
491()()x x f x e
+-=（e 为自然对数的底）的单调递增区间是（ ）
A ．()2-∞，-
B ．()2+∞，
C ．()2+-∞，
D ．()2-∞，
【答案】A 【详解】
249u x x =+-在(,2)-∞-上递减，在(2,)-+∞上递增，
又1u
y e ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
是减函数，
∴所求增区间是(,2)-∞-． 故选：A ．
2．函数1()2f x ⎛= ⎪⎝⎭
的单调递增区间为（ ）
A ．(,1]-∞-
B ．[2,)+∞
C ．1,2⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭
D ．1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
【答案】A 【详解】
令220x x --≥可得2x ≥或1x ≤-，
所以函数1()2f x ⎛= ⎪
⎝⎭
的定义域为{2x x ≥或}1x ≤-，
因为函数2y x x 2=--在(],1-∞-上单调递减，
所以函数y (],1-∞-上单调递减，
又函数12x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，
所以函数1()2f x ⎛= ⎪
⎝⎭
的单调递增区间为(,1]-∞-.
故选：A.
3．函数y = ） A ．(],2-∞ B ．[]1,2
C ．[)2,+∞
D ．[]2,3
【答案】D 【详解】
令2430x x -+-≥，即()()130x x --≤，解得函数定义域为[]1,3
2t y =单调递增，t =在[)1,2上单调递增，在[]2,3上单调递减
∴y =[]2,3
故选：D
4．（2021·上海市建平中学高一期末）函数22
1()2x x f x --⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为________．
【答案】1,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
【详解】
()f x 定义域为R ，由题意，设2()2g x x x =--，则函数()g x 的对称轴为12x =
，单调递减区间为1,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦，
因为1()2t
f t ⎛⎫= ⎪⎝⎭()t R ∈是减函数，根据复合函数的单调性可知，函数22
1()2x x f x --⎛⎫
= ⎪
⎝⎭的单调递增区间是
1,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦． 故答案为：1,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦.
5．函数||1
14x y -+⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
的单调增区间为__________．
【答案】[)0+∞，
【详解】
11
1
10
410
414x x x x y x -+-++⎧⎛⎫⎪ ⎪≥⎪⎝⎭⎛⎫
==⎨ ⎪<⎝⎭⎛⎫
⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎩ 当0x ≥时，1
1144x x y -+-⎛⎫
== ⎪
⎝⎭，此时函数在[)0+∞，
上单调递增. 当0x <时，1
14x y +⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，此时函数在()0-∞，
上单调递减. 所以函数||1
14x y -+⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
的单调增区间为：[)0+∞，
故答案为：[)0+∞，
6．函数223
x x
f x
的递增区间是______．
【答案】(),1-∞（或(],1-∞） 【详解】 函数223
x x
f x
的定义域为R ，
令22u x x =-+，则内层函数22u x x =-+的递增区间为(),1-∞，递减区间为()1,+∞.
外层函数3u y =为增函数， 由复合函数法可知，函数223
x x
f x
的递增区间为(),1-∞（或(],1-∞）.
故答案为：(),1-∞（或(],1-∞）.
7．函数1()2⎛= ⎪⎝⎭
f x ______________．
【答案】(],2-∞- 【详解】
因为231002x x x --≥⇒≤-或5x ≥， 所以函数的定义域为(]
[),25,-∞-+∞，
由t =(],2-∞-上单调递减，在[)5,+∞单调递增，
由复合函数单调性质得函数1()2⎛= ⎪
⎝⎭
f x (],2-∞-单调递增，
故答案为：(],2-∞-.
8．函数1
()()
2
f x =________.
【答案】)+∞
【详解】
函数()1(2
f x =210x x ∴--≥，求得x ≤
x ≥，
故函数的定义域为x x ⎧⎪≤⎨⎪⎩
x ≥⎪⎭，
本题即求21t x x =--在定义域内的增区间，
再根据二次函数的性质可得21t x x =--在定义域内的增区间为)+∞，
故答案为：)+∞.
9．（2021·全国高一专题练习）已知函数()2
212x x f x -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，求f (x )的值域与单调区间.
【答案】值域1,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
，递增区间为()1,+∞，单调递减区间为()1-∞，
. 【分析】
根据指数函数的单调性，结合二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】
()2
2
22122x x x
x
f x --⎛⎫== ⎪
⎝⎭
，
令22()2(1)1g x x x x =-=--，当1x =时，min ()(1)1g x g ==-， 所以()min 1(1)2f x f =-=
，因此f (x )的值域为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
， 函数22()2(1)1g x x x x =-=--，当1x >时，单调递增，当1x <时，单调递减， 所以函数f (x )的递增区间为()1,+∞，单调递减区间为()1-∞，
. 10．（2021·全国高一课前预习）设函数()x x
f x ka a -=-（0a >且1a ≠）是定义在R 上的奇函数.
（1）求k 的值；
（2）若()10f >，试判断函数的单调性（不需证明），并求不等式()()22
240f x x f x ++->的解集.
【答案】（1）1k =；（2）()f x 在R 上单调递增，不等式的解集为{}|2x x >-. 【详解】
（1）因为()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以()00f =，即()010f k =-=， 所以1k =，
当1k =时，()x x
f x a a -=-，此时()()()x x x x f x a a a a f x ---=-=--=-，
此时()x x
f x a a -=-是奇函数，所以1k =符合题意，
（2）因为()110f a a =->即
21
0a a ->，又因为0a >且1a ≠，所以1a >， 因为x y a =在R 上单调递增，x y a -=在R 上单调递减，
所以()x x
f x a a -=-在R 上单调递增， 由()()22
240f x x f x ++->
可得()()()222
244f x x f x f x +>--=-
所以2224x x x +>-，解得：2x >-， 所以不等式的解集为：{}|2x x >-，
所以()f x 在R 上单调递增，不等式的解集为{}|2x x >-.。