暑期拓展思维训练(2)

第三讲配对求和
（简单整数数列的计算）
小朋友们，你听过德国著名数学家、物理学家和天文学家高斯的故事吗？他从小就聪颖过人，还在他8岁的时候，老师给班上同学出了一道题：1＋2＋3＋4＋……＋99＋100＝？8岁的高斯很快报出了得数：5050。

这个答案完全正确！最让老师吃惊的是，小高斯计算的速度如此快捷！那么，小高斯是用什么办法算得这么快的呢？原来，根据所给算式的特点，他用了一种巧妙的方法——配对求和。

采用这种方法，很多整数数列求和的问题都能迎刃而解了。

典型例题
例【1】计算：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10
分析1在这个算式中，共有10个数，将和为11的两个数一一配对，可配成5对。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
解法一1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10
＝（1＋10）＋（2＋9）＋（3＋8）＋（4＋7）＋（5＋6）
＝11×5
＝55
分析2 将和为10的两个数一一配对，可配成4对，另加一个10，一个5。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
解法二 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10
＝（1＋9）＋（2＋8）＋（3＋7）＋（4＋6）＋5＋10
＝10×4＋5＋10
＝55
例【2】计算：11＋12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＋19 分析将11与19、12与18、13与17、14与16配成4对，再加15。

111213 14 15 16 1718 19
解 11＋12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＋19
＝（11＋19）＋（12＋18）＋（13＋17）＋（14＋16）＋15
＝30×4＋15
＝135
例【3】计算：101＋102＋103＋104＋105＋106＋107＋108
＋109＋110
分析此题中每个数里都包含了一个100，可以把这10个100分离出来，转化为例【1】
解101＋102＋103＋104＋105＋106＋107＋108＋109＋110
＝100×10＋（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）
＝1000＋11×5
＝1055
例【4】计算500－（11＋13＋15＋17＋19＋21＋23＋25＋27＋29）
分析先用配对的方法计算11＋13＋15＋17＋19＋21＋23＋25＋27＋29
11 13 15 1719 21 23 2527 29
11＋13＋15＋17＋19＋21＋23＋25＋27＋29
＝（11＋29）＋（13＋27）＋（15＋25）＋（17＋23）＋（19＋21）＝40×5
＝200
解 500－（11＋13＋15＋17＋19＋21＋23＋25＋27＋29）＝500－200
＝300
以上算式都可以配对求和，他们还有一个共同的特点，都是等差数列！像这样的等差数列求和，还可以用公式来解决简单的问题！
例如例1：
例【1】计算：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10
＝（1＋10）×10÷2
＝11×10÷2
＝110÷2
＝55
公式：
等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2
以例1为例，即=（1 ＋ 10 ）×10 ÷2
名词理解：
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列。

数列的第一个数（第一项）即例1中的“1”叫首项，
最后一个数（最后一项）即例1中的“10”叫末项，
所有加数的个数（即数列的项数）即例1中的“要乘的10”。

如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这个不变的数则称为这个数列的公差。

一）如下图，利用两堆堆成完全相同的梯形的钢管，可以拼成一个平行四边形，这时候每层钢管的根数就是梯形第一层和最后一层钢管数之和，相当于公式中首项和末项的和，层数就相当于加数的个数。

每堆钢管的根数=平行四边形每层钢管的根数×层数÷2
=（梯形第一层根数+梯形底层根数）×层数÷2。

二、了解运用求和公式需具备的条件：连加的若干个数从小到大排列，任意两个相邻加数的差是相等的（是等差数列）。

以孩子现有的水平理解求和公式比较困难，本讲只是让孩子对公式有个初步的熟悉和感性认识，不需给出完整公式的形式。

例【2】、计算：11+12+13+14+15+16+17+18+19
11+12+13+14+15+16+17+18+19
想：=（11+19）×9÷2
例【3】、计算：101+102+103+104+105+106+107+108+109+110 101+102+103+104+105+106+107+108+109+110
想：=（101+109）×10÷2
例【4】：计算500－（11＋13＋15＋17＋19＋21＋23＋25＋27＋29）【解析】先用配对的方法计算11＋13＋15＋17＋19＋21＋23＋25＋27＋29 11＋13＋15＋17＋19＋21＋23＋25＋27＋29
＝（11＋29）×10÷2
在这里，还要了解项数（10）的求法：
项数＝（末项－首项）÷公差＋1
即＝（ 29 - 11）÷ 2＋1
＝10
这里的“2”是公差数，即每一项与前一项的差都是2，是一个不变的数，这个2就是公差数！
再例如：计算2+5+8+ (32)
【解析】从这题的前三个加数可以看出，每相邻两个加数的差都是3，即公差数是3。

后面的省略号表示依此类推，后面就按照这样的规律继续加下去，一直加到32。

这里最小的加数是2，最大的加数是32，需要求出的是项数，即加数的个数。

项数＝（末项－首项）÷公差＋1
即＝（32 - 2 ）÷3 +1＝11
所以：2+5+8+……+32
=（2+32）×11÷2
=34×11÷2
=374÷2
=187
例【5】 有一垛电线杆叠堆在一起，一共有20层。

第1层有12根，第2层有13根……下面每层比上层多一根（如下图）。

这一垛电线杆共有多少根？
..………………
20层 分析 因为这堆电线杆从第2层起，每层比上面一层多一根，
共有20层，所以，这垛电线杆的总数为：
12＋13＋14＋……＋29＋30＋31
解析：12＋13＋14＋……＋29＋30＋31
＝（12＋31）×20÷2
＝43×20÷2
＝430 （注：因为有20层，所以20是项数，也可以项数=（31-12）÷1+1=20）
=（12+20）×9÷2
例【6】从18开始，一次加比它大1，大2，大3，……的数，连续加25个数的和是多少？
【解析】：这题可以先根据题中条件尝试写出这个加法算式： 18+（18+1）+（18+2）+……+（18+25），
即：18+19+20+……
+43
这题每相邻两个加数的差都是1（即公差数是“1”），首项是18，末项是43，加数的个数即项数是：（43-18）÷1+1=26或者因为连续加了25个数，加上原来的18，加数的个数即项数是：（25+1=26）
所以：18+19+20+……+43
=（18+43）×26÷2
=62×26÷2
=1612÷2
=806
例【7】有一串数，第1个数是5，以后每个数都比前一个数大5，最后一个数是90。

这串数连加，和是多少？
【解析】：
先根据题中条件尝试写出这个加法算式：5+10+15+……+90。

这题每相邻两个加数的差都是5，即公差数是5，首项是5，末项是90，项数是：（90-5）÷5+1=18或者90÷5=18（个）。

所以：5+10+15+……+90
=（5+90）×18÷2
=95×18÷2
=1710÷2
=855
例【8】：建筑工地有一些砖，码成近似梯形，最下层2块，第2层6块，第3层10块……，下面的每层都比上一层多4块，已知最下层有58块。

这堆砖一共有多少块？
【解析】：先根据题中条件尝试写出这个加法算式：
2+6+10+ (58)
这题每相邻两个加数的差都是4，即公差数是4，首项是2，末项是58，
解题的关键是求出项数：（58-2）÷4+1=15（个）。

所以：2+6+10+……+58
=（2+58）×15÷2
=60×15÷2
=900÷2
=450.
练习与思考：
1.计算：1+2+3+4+…+18+19
2.计算：1+2+3+4+…+29+30
3.计算：2+4+6+8+…+98+100
4.计算：40+41+42+…+61
5.计算：13+14+15+…+27
6.计算：48+50+52+54+56+58+60+62
7.计算：8+28+48+68+88
8.计算92+93+94+95+96+97+98+99
9.计算72＋75＋78＋81＋84+86
10.计算2+6+10+14+…+210+214
11.有20个数，第1个数是9，以后每个数都比前一个数大3。

这20个数连加，
和是多少？
12.有一串数，第1个数是4，以后每个数比前一个数大6，最后一个数是118。

这串数连加，和是多少？
13.一堆圆木共15层，第1层有8根，下面每层比上层多1根。

这堆圆共多少
根？
14.省工人体育馆的12区共有20排座位，呈梯形。

第1排有10个座位，第2
排有11个座位，第3排有12个座位，……这个体育馆的12区共有多少个座位？
15.有一个挂钟，一个点钟敲2下，三点钟敲3下……十二点敲12下，每逢分
种指向6时敲1下。

问这个挂种一昼夜共敲多少下？
16、小红读一本长篇小说，第一天读了30页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多4页，最后一天读了70页，刚好读完。

问：这本小说共多少页？
17、影剧院有座位若干排，第一排有25个座位，以后每排比前一排多3个座位。

最后一排有94个座位。

问：这个影剧院共有多少个座位？。