高考数学二轮核心考点突破：专题11-基本不等式及其应用(含答案)

专题 11 基本不等式及其应用【自主热身，概括总结】
2＋3
＝ ab，则 ab 的最小值是 ________．
1、已知 a>0, b>0，且a b
【答案】： 2 6
【分析】利用基本不等式，化和的形式为积的形式．
因为ab＝2
＋
3
≥ 22·
3
，所以 ab≥26，当且仅当
2
＝3＝
6时，取等
号．
a b a b a b
2、已知正数x, y知足 x 2 y 2 ，则x8 y 的最小值为
．xy
【答案】 9
【分析】：=9．
3、已知正实数x， y 知足，则x y 的最小值为．
【答案】： 2 63
4、已知 a， b 为正数，且直线ax＋by－ 6＝ 0 与直线2x＋( b－3)y＋ 5＝ 0 相互平行，则2a＋3b的最小值为________ ．
【答案】 25
【分析】：因为直线 ax＋ by－ 6＝ 0 与直线 2x＋ (b－ 3)y＋ 5＝ 0 相互平行，所以a(b－ 3)＝ 2b，即2
＋
3
＝1(a，b a b
23
＝13＋6b a
≥ 13＋ 6×2
b a
＝25(当且仅当
b a
即 a＝b＝ 5 时取
均为正数 )，所以 2a＋ 3b＝(2a＋ 3b) ＋
b ＋
b
×＝
a a a
b a b
等号 )．
5、已知正实数x, y知足，则 x y 的最小值为．
【答案】 8
【解析】：因为 x, y 0 ，所以y 1 0 ．又因为，所以x 1 0 ，所以
，当且仅当
，即 x 5, y 3 时等号建立．
易错警告 在应用基本不等式时，要注意它使用的三个条件“一正二定三相等”
．此外，在应用基本不等式
时，要注意整体思想的应用．
6、设实数 x ， y 知足 x 2＋2xy － 1＝ 0，则 x 2＋ y 2 的最小值是 ________．
【答案 】 5－1
2
思路剖析 1 注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思虑，消去一个变量，转变为只含有
一个变量的函数，进而求它的最小值．注意中消去
y 较易，所以消去
y.
1－ x
2
1－ x 2 2
1 1
5 1
5－ 1 2
2
22
2 5x
解法 1 由 x ＋ 2xy －1＝ 0 得 y ＝ 2x ，进而 x ＋ y ＝ x ＋ 2x
＝ 4 ＋ 4x
2
－2≥2 16－
2 ＝ 2 ，当且仅
4
1
当 x ＝ ± 5时等号建立．
思路剖析 2 由所求的结论
x 2＋ y 2 想到将条件应用基本不等式，结构出 x 2＋y 2，而后将 x 2＋ y 2 求解出来．
解法 2 由 x 2＋ 2xy －1＝ 0 得 1－ x 2＝ 2xy ≤mx 2＋ ny 2 ，此中 mn ＝ 1(m ， n>0) ，所以 (m ＋ 1)x 2＋ ny 2≥1，令 m ＋1＝
n ，与 mn ＝ 1 联立解得 m ＝
5－1， n ＝ 5＋
1
，进而 x 2＋ y 2≥ 1 ＝ 5－ 1 .
2
2
5＋ 1 2
2
7、若正实数 x ，y 知足 x y
1 ，则 y 4
的最小值是
▲ ．
x y
【答案】、8
【分析】： 因为正实数 x ，y 知足 x y
1 ，
所以
，当且仅当
y 4x y 2x ，又
x
，即
y
x y 1 ，即
，等号建立，即
y 4 获得最小值
8.
x
y
1
3
1
8、若实数 x ， y 知足 xy ＋ 3x ＝ 3 0＜x ＜ 2 ，则 x ＋ y － 3的最小值为 ________．
【答案】： 8
1 3
解法 1 因为实数 x ， y 知足 xy ＋3x ＝ 3
0＜ x ＜2 ，所以 y ＝ x － 3(y ＞ 3)，
所以3＋ 1 ＝ y ＋ 3＋ 1 ＝ y －3＋ 1
＋6≥2
y －
1 ＋ 6＝ 8，当且仅当 y － 3＝ 1
，即 y ＝4 时
x y －3 y － 3 y － 3 y － 3
y －3 取等号，此时 x ＝3，所以 3＋
1
的最小值为 8. 7 x y － 3
解法 2 因为实数 x ， y 知足 xy ＋3x ＝ 3 0＜ x ＜
1
，所以 y ＝ 3－ 3(y ＞ 3)，y － 3＝ 3
－6＞ 0，
2
x x
所以 3
＋ 1 ＝ 3＋
1 ＝ 3
－6＋ 1
＋6≥2
3
－ 6 · 1
＋ 6＝ 8，当且仅当 3
－ 6＝
1 ，即 x ＝ 3
时取等
x
y － 3
x 3 － 6
x
3
－ 6
x
3
x
3
7
x
x
－ 6
－ 6
x
x
3
1
号，此 时 y ＝ 4，所以 x ＋ y － 3 的最小值为 8.
解后反省 从消元的角度看，能够利用等式
xy ＋ 3x ＝ 3 消 “实数 x ”或消 “实数 y ”，不论用哪一种消元方式，消元
后的式子结构特点显然，利用基本不等式的条件成熟．
1 9
9、 已知正数 a ， b 知足 a ＋b ＝ ab － 5，则 ab 的最小值为 ________．
【答案】 . 36
【分析】：因为正数 a ， b 知足 1＋ 9
＝ ab －5，所以
ab － 5≥2 9
，当且仅当 9a ＝ b 时等号建立，即 ab －
a b
ab
5 ab － 6≥0，解得
ab ≥6或 ab ≤－ 1(舍去 )，所以 ab ≥ 36，进而 ( ab)min ＝ 36.
sin α
10、已知 α，β均为锐角，且
，则 tan α的最大值是 ________．
cos(α＋ β)＝ sin β
【答案】
2
4
1＋ 1
＝ 1，则
4x
＋
9y
的最小值为 ________．
11、 已知正数 x ， y 知足 x y
x － 1 y － 1
【答案 】 25
【分析】：因为
1
＝ 1－ 1，所以 4x
＋ 9y ＝ 4x ＋
9 ＝ 4x ＋ 9x ＝ 4＋
4
＋ 9(x － 1) ＋9＝13＋
4
＋ 9(x
y
x x － 1 y －1 x －
1 1
x － 1
x － 1
x － 1
1－ y
－ 1)＝ 13＋ 4 ＋ 9(x － 1)．又因为 1
1
4
＋ 9(x － 1) ≥13＋ 2 4×9＝ y ＝ 1－ >0 ，所以 x>1，同理 y>1，所以 13＋
x － 1 x
x － 1
25，当且仅当
5
时取等号，所
以
4x
＋
9y
的最小值为 25.
x ＝3
x － 1 y － 1
1
＋
|a|
取最小值时，实数
a 的值是 ________．
12、 已知 a ＋ b ＝ 2， b ＞ 0，当 2|a| b
【答案】： － 2
解法 1
1 ＋ |a| a ＋ b |a| a ＋ b ＋ |a| 1
b |a|
3 ，当且仅当 a ＜0，且 b ＝ |a|
，即 a ＝－ 2，b
＝ ＋ ＝ ≥－ ＋ 2 · ＝
b
2|a| b 4|a| b 4|a| 4|a| b 4
4|a| b 4
4|a| ＝ 4 时取等号．
解法 2
因为 a ＋ b ＝ 2， b ＞ 0，所以
1
＋|a|＝
1 ＋ |a|
2|a| b
2|a|
2－ a (a ＜ 2)．
1
|a|
设 f( a)＝ 2|a|＋2－ a (a ＜ 2)，
1 ＋ a
，
2a 2－a 0≤a ＜2，
则 f( a)＝
)
－ 1 －
a
，
2a 2－a a ＜ 0.
当 a ＜ 0 时， f(a)＝－
1
－ a ，进而 f ′(a)＝ 1
2－ 2 － a －
a ＋
，故当 a ＜－ 2 时， f ′(a)
2
＝
2
a － 2
2a 2－a
2a
a －
2a
＜ 0；当－ 2＜ a ＜ 0 时， f ′(a)＞ 0，故 f(a)在 (－ ∞，－ 2) 上是减函数，在 (－ 2， 0) 上是增函数，故当 a ＝－ 2
时， f(a)获得极小值
3
；同理，当
2
5 3 4 0≤a ＜ 2 时，函数 f( a)在 a ＝ 处获得极小值 4
.综上，当 a ＝－ 2 时， f(a)min ＝ .
3
4
【问题研究，变式训练】
: 例 1、 已知正数 x ， y 知足 x ＋ y ＝ 1，则 4 ＋ 1
的最小值为 ________．x ＋2 y
＋ 1
【答案】：
9 4
4 1 1
4 ＋ 1 ＝ 1 4b a
1 9
解法 1 令 x ＋ 2＝ a ， y ＋ 1＝ b ，则 a ＋ b ＝ 4(a ＞ 2， b ＞1) ， ＋ ＝
a b 5＋
＋
≥
，
a b 4(a ＋b)
4 a b
4(5＋ 4)＝4
当且仅当 a ＝ 8， b ＝4，即 x ＝ 2， y ＝ 1
时取等号．
3 3 3 3
解法 2 (幂均匀不等式 )设 a ＝ x ＋ 2，b ＝ y ＋ 1，则
4
4＋ 1＝2 2
2
＋ 1 ＝ ＋ 1 ≥
x ＋ 2 y ＋ 1 a b a b
2
＋
9
＝ .
a ＋
b 4
解法 3 (常数代换 )设 a ＝ x ＋ 2，b ＝ y ＋ 1，则 4 ＋ 1 4 1 ＝ a ＋ b a ＋ b
5 b a 9
＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＋ ≥ ，当且仅当 a ＝ 2b
x ＋ 2 y ＋ 1 a b a
4b 4 a 4b 4
时取等号．
【变式 1】、已知实数 x ， y 知足 x>y>0，且 x ＋y ≤2，则
2 ＋ 1
的最小值为 ________．
x ＋ 3y x －y
【答案 】
3＋
2 2
4
x ＋ 3y ＝ m ， x ＝ m ＋3n ，
4
所以 x ＋ y ＝ m ＋n
≤2，即 m ＋ n ≤ 4
设.
t ＝
2 ＋
1
＝ 2＋1
，所以
设
解得
m － n x － y ＝ n.
2
x ＋ 3y x － y m n
y ＝
4
.
4t ≥ 2 ＋ 1 (m ＋ n)＝3＋ 2n ＋m ≥3＋ 2 3＋ 2 2 2n ＝ m ，即 m ＝ 2n 时取等号．
m n 2.即 t ≥ ，当且仅当
m n 4 m n
【变式 2】、已知 x ， y 为正实数，则
4x ＋ y 的最大值为
．
4x ＋ y x ＋ y
4 .【答案】：
3
【 解 析
1 】 ： 令
， 从 而 得
， 故
，当且仅当
a 2
b ，即 y 2x 时等
号建立。

解法 2 设 BD ＝ CD ＝ m ， AD ＝ n ，则由已知得
7(2m)2＋ 2(m 2＋ n 2)＝ 4 3，所以 15m 2＋ n 2＝ 2 3≥215mn ，所
以 mn ≤ 5
，当且仅当 15m 2＝ n 2 时取等号，此时 m 2＝ 3，所以面积的最大值为
5 5
15
5
.
例 3、 若实数 x ， y 知足 2x 2＋ xy － y 2＝ 1，则
x － 2y
5x 2－ 2xy ＋ 2y 2的最大值为 ________． 【答案】 .
2
4
【分析】： 在 2x 2 ＋xy － y 2＝ 1 中，独立变量有两个，因为用 x 表示 y 或用 y 表示 x 均不方便，可引入第三个
变量来表示 x ， y.
由 2x 2
＋xy － y 2
＝ 1，得 (2x － y)(x ＋ y)＝ 1，设 2x － y ＝t ， x ＋y ＝1，此中 t ≠0则. x ＝ 1t ＋ 1 ， y ＝ 2 － 1
t ，进而 x
t 3
3t 3t 3 1 ， 5x 2
2 2
1
1
，则
x － 2y
2＝ u
＝
1
≤ 1
＝
2
－ 2y ＝ t －
－ 2xy ＋ 2y ＝ t ＋ 2
2
2
，当且仅当 u
t
t ，记 u ＝ t － t
5x －2xy ＋ 2y
u ＋ 2
u ＋
2
2
2
4
u u ·
u
2
2
＝ u ，即 u ＝ 2时取等号，即最大值为
4
.
【变式 1】、 已知正实数 x ， y 知足 5x 2＋ 4xy － y 2＝ 1，则 12x 2＋ 8xy － y 2 的最小值为 ________．
7
【答案】：
解法 1( 双变量换元 ) 因为 x>0， y>0 ，且知足 5x 2＋ 4xy － y 2＝ 1，由此可得 (5x － y)(x ＋y)＝ 1，令 u ＝ 5x －y ， v
＝ x ＋ y ， 则有
u>0 ， v>0 ， uv ＝ 1 ，并 且 x ＝
u ＋ v
， y ＝
5v － u
，代入 12x 2 ＋ 8xy － y 2
＝ 12
u ＋v
2 ＋
6 6
6 u ＋ v · 5v －u － 5v － u 2 u 2＋ 9v 2＋22uv ≥ 2 u 2· 9v 2
＋ 22uv 28uv ＝ 28× 1 7
，当且仅当
u ＝ 3v ， uv ＝ 8· 6 6 6 ＝ 12 12＝ 12 12 ＝ 3
3
，亦即 x ＝
2
3
， y ＝
3
时， 12x 2＋ 8xy － y 2
获得最小值
7
1，即 u ＝ 3，v ＝ 3
9
9
3.
解法 2(常数 1的代换) 因为 x>0 ， y>0，且知足 5x 2＋4xy － y 2
＝ 1，由此可得 (5x － y)(x ＋ y)＝ 1，因为 x>0，
y>0 ， x ＋ y>0，所以 5x － y>0 ，即有 y
y ，则 0<t<5 ，所以 12x 2＋ 8xy － y 2＝ 12x 2＋ 8xy － y 2
＝ 0<x <5，令 t ＝ x
1
y
2 8xy － y 2 7x 2 ＋ 4xy
7＋ 4· 4t ＋ 7
12x ＋ 1＋ 2＝ 1＋ x
.
2 2 ＝
5x 2
＋ 4xy － y y y ＝1＋ 2
5x ＋ 4xy － y 2 － t ＋ 4t ＋
5
5＋4·－
x
x
4t ＋ 7
再令 f(t) ＝ 1＋－ t 2＋ 4t ＋ 5(0<t<5) ．
4（－ t 2＋4t ＋ 5）－（ 4t ＋7）（－ 2t ＋ 4） ＝ 2（2t － 1）（ t ＋ 4） 1
令 f ′)(t ＝ 2 ＋ 4t ＋ 5） 2 2 ） 2 ＝0，因为 0<t<5，所以 t ＝ .
（－ t （－ t ＋ 4t ＋ 5 2
当 t ∈ 1 时， f ′ (t)<0 ， f(t) 单一递减；当
t ∈ 1 ， 5 时， f ′ (t)>0 ， f(t) 单一递加，所以当 t ＝ 1 时， f(t) 取极
0，2
2 2 小值，也是最小值
f 1 ＝ 7.
2 3
此时 x ＝ 2y ，联合 5x 2
＋ 4xy －y 2
＝ 1，解得 x ＝
2
3
，y ＝
3
，即当 x ＝
2
3
， y ＝
3
时， 12x 2＋ 8xy － y 2 获得最
9
9 9 9
7
小值 .
3
解法 3(基本不等式 ) 因为 x>0 ， y>0，设 u>0， v>0，则 ux 2＋ vy 2≥2 uvxy.12x 2＋ 8xy － y 2≥ 12x 2＋ 8xy － y 2＋ (2
uvxy － ux 2－ vy 2)，即 12x 2＋ 8xy － y 2≥ (12－ u)x 2＋ (8＋ 2 uv)xy － (v ＋1)y 2.令 (12－u)x 2＋(8 ＋2 uv)xy － (v
＋ 1)y 2＝ t(5x 2 ＋4xy － y 2
)＝ t ，则 12－ u ＝ 5t ， 8＋ 2 uv ＝ 4t ，v ＋ 1＝ t ，解得 t ＝7， u ＝ 1，v ＝ 4
，
333
2
2
35 2
7
2 1 2 4
2 35 2
7 2
1
2
4
2
35 2
28 7
2 所以 12x ＋ 8xy － y ＝
3 x ＋8xy － 3y
＋
3x ＋ 3
y
≥ 3 x ＋ 8xy － 3y
＋ 2 3x · 3y
＝ 3 x
＋ 3 xy － 3
y
＝ 7
(5x 2＋ 4xy － y 2
)＝
7
，当且仅当
x ＝ 2y ，联合 5x
2
＋ 4xy － y 2
＝ 1，解得 x ＝
2
3， y ＝
3
，即当 x ＝ 2 3
， y ＝ 3
3
9
9 9
3
时， 12x 2＋ 8xy － y 2 获得最小值 7
9
3.
【变式 2】、 若正实数 x ，y 知足 (2xy － 1)2
＝ (5y ＋ 2)(y － 2)，则 x ＋ 1
的最大值为 ________．
2y
【答案】：.
3
2 2
－ 1
解法
1 令 x ＋ 1
＝ z ，则 2xy ＝ 2yz － 1 ，代入 (2xy － 1)2＝ (5y ＋ 2)(y － 2) 整理得 (4z 2 － 5)y 2－ 8(z － 1)y ＋ 8 ＝ 0
2y
(*) ，由题意得 y － 2≥0，该方程在 [2，＋ ∞)应有解，故 Δ≥0，即 64(z － 1)2 －32(4z 2－ 5) ≥0，化简得
2z 2＋ 4z －
3 2
7≤ 0, 故 0< z ≤－ 1＋ 2 .
查验：当 z ＝
3 2
－ 1 时，方程 (*) 可化为 (17 －12 2)y 2－ (12 2－ 16)y ＋8＝ 0，
2
此时 y 1＋ y 2＝
12 2－ 16 8
>4 ，故方程必有大于 2 的实根，所以
x ＋ 1
的最大值为 3 2
－ 1.
17－12 >0， y 1·y 2＝
2y 2 2
17－ 12 2
2
2 1
2
1 2
2
2
5＋ y
1－ y ＋ y
解法 2 (2xy － 1) ＝ (5y ＋ 2)(y － 2)，即 2x － y ＝ 5＋ y 1－ y ，则 x ＝
2
，所以
1 1
2 2 1 x ＋ 2y ＝ 2
5＋ y 1－ y ＋ y
1
1 2
9 1 ＋1 －1 ＝
－ y ＋ ＋ 4＋
y
≤
2
－ 1
＋1 2
＋9＋ 1
＋1 2
－1 y4 y
3 2 ＝
2 －1，
1
2
9 1
4
1 3 2
当且仅当
－ y ＋ 1 ＋ 4＝ y ＋ 1，即 y ＝ 3 2－ 4 >2 时等号建立，所以
x ＋2y 的最大值为 2 － 1.
2
1 2 2 2 解法 3 由(2xy － 1) ＝ (5y ＋2)( y －2) 得 2x － y ＝ 5＋ y 1－ y ，
即 2x －
1
y
2
＝ 9－ 2
y ＋ 2
2
，即 2x － 1
y
2
＋
2
y ＋ 2 2＝ 9，
所以 9＝ 2x －
1
2
＋
2 2
1 1 2
2
，所以 x ＋
1 3 2
－ 1. y
＋2
≥ 2x －
＋ ＋ 2 2y ≤
2
y
2
y
y
【变式 3】、若实数 x ，y 知足 x 2－ 4xy ＋4y 2＋ 4x 2y 2 ＝4，则当 x ＋ 2y 获得最大值时，
x
的值为 ________．
y
【答案】：2
思路剖析 设 x ＝ a,2y ＝ b ，则问题变简单了．
设 x ＝ a,2y ＝ b ，则实数 a ， b 知足 (a － b)2＋ (ab)2 ＝4.
因为 (a ＋ b)2＝ (a － b)2＋ 4ab ＝ 4－ (ab)2 ＋4ab ＝ 8－ (ab － 2)2≤8，
当且仅当 a ＝ b ＝ 2时， a ＋ b 取最大值 2
2，此时 x ＝ 2y ，所以 x
＝ 2.
y
【关系 1】、 已知对知足 x ＋ y ＋ 4＝ 2xy 的随意正实数 x ， y ，都有 x 2＋ 2xy ＋ y 2
－ ax － ay ＋1≥0，则实数 a 的取
值范围是 ________．
【答案】：
－∞，
17
4
x ， y ，由 x ＋ y ＋ 4＝2xy 得 x ＋ y ＋ 4＝ 2xy ≤
x ＋ y
2 【分析】：关于正实数
，解得 x ＋ y ≥4，
2
不等式 x 2＋ 2xy ＋y 2－ ax － ay ＋1≥0可化为 (x ＋ y)2－ a(x ＋ y)＋ 1≥0，
令 t ＝ x ＋ y(t ≥4)，则该不等式可化为 t 2
－ at ＋1≥0，即 a ≤t ＋ 1
关于随意的 t ≥4恒建
立，
t
令 u(t) ＝t ＋ 1
′
1 t 2
－ 1
1
2
2
u( t)＝ t ＋ t (t ≥ 4)为单一递加函
t (t ≥ 4)，则 u (t)＝ 1－t ＝
t >0 关于随意的 t ≥4恒建立，进而函数
1 ＝ 17 17
数，所以 u(t)min ＝ u(4)＝ 4＋
，于是 a ≤ .
4 4 4
【关系 2】、 设实数 x ，y 知足 x 2 2
2
－ y ＝ 1，则 3x － 2xy 的最小值是 ________．
4
【答案】 . 6＋4 2
解法 1 因为
x 2
－ y 2 ＝ 1 ，所以 3x 2－ 2xy ＝ 3x 2 －2xy ＝
2y ，令 k ＝ y ∈ －1， 1 ，则 3x 2
－ 2xy ＝ 3－ 2k ＝
3－x
2
4
x
2
1 y
2
x
2 2
1 2
4 －y
－
x
－ k
4
4
－ 2k ，再令 t ＝ 3－ 2k ∈ (2,4) ，则 k ＝ 3
－ t
，故 3x 2－ 2xy ＝
4t ＝ 4
≥
4
＝ 6＋
2
2
1－ 4k
2
－ t ＋ 6t － 8
8
＋6 6－2
8
－ t ＋ t
4 2，当且仅当 t ＝2 2时等号建立．
2
3x 2－t x 2
2 4 2
2 2
解法 2 令 t ＝ 3x － 2xy ，则 y ＝ 2x
，代入方程 4 － y ＝ 1 并化简得 8x ＋ (4－ 6t)x ＋t ＝ 0，令 u ＝ x ≥4，则
＝ － 6t
2
－ 32t 2≥0，
8u 2＋ (4－ 6t)u ＋ t 2＝0 在 [4，＋ ∞)上有解，进而由 6t － 4
>0， 得 t 2－ 12t ＋ 4≥0，解得 t ≥6＋
16
3
4 2，当获得最小值时，
u ＝ 2＋ 2 2知足题意．
2
x ＝ t ＋ 1，
解法 3 因为 x
－y 2 ＝1＝ x
＋ y
x
－ y
，所以令 x ＋y ＝ t ，则 x － y ＝ 1
，进而 t
则 3x 2
－ 2xy ＝6
4 2 2
2 2 t 1 1
y ＝2 t － t ，
＋ 2t 2 ＋ 4
2≥6＋ 4 2，当且仅当 t 2＝ 2时等号建
立． t。