中学物理竞赛培训讲义第二讲直流电路及电阻电容网络

ABFEA回路: 2U R UC4 UC3 0, UC4 1 (V),
则各电容器蓄存的能量及总能量分别为
Wi
1 2
CiU
2 Ci
,
W
Wi
C U 1
2
2 i Ci
2.6105
(J),
(2) B、H短接后,电路等效于右图
简单电路ε 中的B、Hε 两点短路，故有
I'
4 2R
8 R
,
I''
1 2R
多少?
解: 所给电路是一个有源二端网络, 可用一等效的电源
替代（如图）, 由第一个条件, 有
1
U额 (P额R) 2 ,
由第二个条件, 有
P实
I 2R
2 (Rr)2
R,
r
R 9
所以，两个相同的灯泡并接时,
R并
R 2
,
P实
I 2 R并
2 (R并 r )2
R并
162 121
2 R
133.88
W,
例8: 求如图所示无穷电容网络中A, B
间的等效电容.
解: 设M, N间的电容为
CMN=Cn, A, B间的电容为
CAB=Cn+1,
则
C , n1
C (C Cn ) C C Cn
当n→∞时, 有方程
C AB Cn1 Cn ,
C2 n
CCn
C2
0,
所以
CAB Cn
5 1 2
C
0.62C.
(电流相等) (电压相等) (电荷相等) (电压相等)
利用对称性将复杂电路中等电势点做“短路”或
“断路”处理, 又不影响各支路电流分布, 从而使电路化
为简单电路. 就可方便地求出等效电阻.
例: 将20个相同电阻R 如 右图连接, 求AB间的电阻。
方法一: 由上下对称性, 故 将a点 和b点按右图断开后, 仍保证a点 和a’点, b点和b’点 等电势, 即它 的等效电阻与原 电路的相等。
6( Rk r ) 2 15Rk 11r
因此RA，B 可 得UIAB等效125电1RRkk阻1113rr r,
RAB
Rk
r 52 55 15
五、例题
例1:三个相同的金属圆圈(每个圆圈的电阻为R )同
心正交连成如图网络, 试求A、B两点间的等效电阻RAB
解:
作变形处理
o1、o2
点等势
Do、oC等流
Ao、oB等流
电求动各势电分容别器为充电1后具4有V总, 能2量 .8V若
C2上将会有多少电荷?
,
解：（1）先变形平面电路，
由于C, E两点只与电容器和电源 相连，且电容的阻直作用使得无电流 通过, 故电路电流的流向为
Є4 →G→ R→ H→ R→ D→
Є1 A→ R→ B→ R→ F→ Є4,
ε ε →
由此可见电流没有分支，其大小为 I
RAC
(r
r 2
r 2
r)//
(
r 2
r 2
)
3r 4
例4: 求图中电阻网络A, B间的等效电阻。 (每小段的电阻为R)。
解: 设电流I从A点流入, B点流出, 初看此电路没有对称性, 但仔细分析可发现它可分解为两个对称网络(如图), 利用电流 分布法和电流叠加原理就可求得等效电阻.
I1'
I 2
,
4 4R
1
3 R
,
则电阻R上的电压为大小为 U R IR 3 (V),
由回路定律求各电容的电压
ABCDA回路: U R 2 UC1 1 0, UC1 1 (V), BFGCB回路: U R 4 UC2 2 0, UC2 5 (V), HDAEH回路: U R 1 UC3 3 0, UC3 5 (V),
U1 '
U2
R1RV R1R2 R1RV R2RV
R2 RV

,
R1R2 R1RV R2RV
U1' U2
R1 R2
2,
U1 4.8 V,
例7: 某电路两端(M和N)的开路端电压
恰好为于100W灯泡的额定电压, 但实际接
上100W灯泡时功率却为81W, 若将两个相
同的灯泡并接两端则此两灯泡的总功率为
方法二: 由上下左右对称性, 故 按右图短接各等势点后, 不改 变电流的分布, 即它的等效电阻 与原电路的相等。
3. 支路电流法:
(利用对称性)分析各支路电流分布, 结合节点定
律、含源电路欧姆定律和电势差等概念, 列方程解得
各支流与总电流的比例关系, 从而求出网络等效电阻。
例: 求图中A, B两点间的等效
电功率: P=I U
焦耳热功率: Q=I 2R (纯电阻)
3. 基尔霍夫定律
(1)节点定律: 对任一节点电流的代数和等于零, 即 ∑I i=0.
(2) 回路定律: 对任一闭合回路电势的降落等于零, 即 ∑(±I R)+∑(±‫=)ع‬0
注意: 一复杂电路若共有p条支路, n个节点, 则
只有(n-1)个节点方程和m=p- n+1个回路方程是
多少? (R1=200kΩ, R2=100kΩ)
解法一: 设伏特计的电阻为RV, 由图(1), 有
U1 U U2
9.6V,
I
I1
U1 R1
,
Rab
R2 RV R2 RV
U2 I
50 (k), RV
100 (k),
由图(2), 有 U1'U2 ' U 12 V,
, U
' 2
R2
U1'
Rbc
流向B时的电流分布之叠加, 则
I1 I1' I1''
而
I1'
I 4
,
I1''
I 4
,
I1
I 2
R UAB I1R R
AB I
I2
例6: 用伏特计来测量某分压电路各部
分的电压, 分压电路接在U=12V的直流电源
上(见图), 如果图(1)中伏特计读数
为U2= 2.4V, 那么图(2)中其读数为
3I
' 2
R
(I1'
I
' 2
)R,
I
' 2
I 8
;
电流叠加, 得
I1''
I
'' 3
I
'' 2
,
2I
'' 2
I
'' 4
I,
I
'' 5
2I1'' ,
I
'' 4
R
I
'' 3
R
2I
'' 2
R,
I
'' 5
R
2I1''
R
I
'' 3
R,
I1''
I 24
,
I
'' 2
5I 24
I1
I1'
I1''
13 24
I
,
I2
I
例: 网络元由阻值均为r的电阻组成, 由此构成一维无穷网络, 求等效电阻
解：此一维无穷网络可等效化为下一张
幻灯片图中的电路, 结合逼近法和支路电 流法等方法 求网络等效 电阻 RAB
此一维无穷网络可等效化为下列电路, 结合逼近法和支路电
流法等方法求网络等效电阻RAB。
RAB Rk1 Rk , (when k )
2 R
,
UC2
4
U
' R
2 0, QC2 0
例3:两个均匀金属圆圈和四根均匀金属短
直杆联成图示网络, 1/4大圆弧, 1/4小圆弧和短
直杆的电阻均为r, 求A, C两点间的等效电阻.
解：
等效变形
设电流I由A点 流入 C点流出
对称点D与B, D’与B’等势
又因B点与B’点等势, 其间电阻上无电流, 可做断路处理, 所以
电阻。由对称性和节点定律分析,
可知各支路电流分布如图所示.
UAC I1 2 R (I I1)R (I 2 I1)R
→
I1
2 5
I
U AB
I1
2R
(I
I1)R
7 5
IR
→
RAB U AB I
7 5
R
4. Y-△变换法：
（1）△形联接变换为Y形联接: 已知R12, R23和R13, 可得： R1=R12R13/(R1+R2+R3) R2=R12R23/(R1+R2+R3) R3=R23R13/(R1+R2+R3)
(4) 一段含源电路的欧姆定律: 计算电势降落的顺向: A→B
ε UAB UA UB (IR) ( )
I1(R1 r1) 1 2 I2 (R2 r2 )
约定: I 与顺向同, 取“+IR ”;
‫ ع‬与顺向同, 取“-‫。 ”ع‬
2. 焦耳—楞次定律:
电功: A=I U t,
完成变形后，由简单电路的电阻
串并联公式得
RAB
r 5r 22
r 5r
22
5r 12
5R 48
r
R 4
例2: 如图所示, 四个电池, 四个电阻, 四个电容分别
接入立方体骨架各条棱上, C1=C2=C3=C4=1μF, 电阻均
ε ε 为R, 电池均无内阻, ε ε 将3H和12BV二, 顶4点短16路V,,
电路变形后有右下图：
R , r Rk
x
r Rk
设各支路的电流如右下图，得方程
U AB (I I1) 2r (I I2 ) r
(I I1) 2r I1r (I1 I2 ) r
I2 (r Rx ) (I I2 ) r (I1 I2 ) r
整理上述方程，得
I I , I )I , 9Rk 7r 1 15Rk 11r
练习1: 求如图所示 无穷电阻网络中A, B间 的等效电阻.
练习2: 求如图电路中M, N间的等效电阻.
（各电阻的阻值如图所示，单位为Ω）
形 Y形
Y形 形
练习3:(26全国复赛) 在图示的复杂网络中，所
有电源的电动势均为 0，所有电阻器的电阻均
为R0，所有电容器的电容均为 C0，则图示电容
器A极板上的电荷量为（
二、 直流电路基本规律
1.欧姆定律:
(1) 一段无源电路的欧姆定律:
I
U R
,
R
l S
,
1
R 是电路的电阻, 是材料的电阻率,是材料的电导率.
(2) 欧姆定律的微分形式:
j
E,
E
是稳恒电场
(3) 简单闭合电路的欧姆定律:
I
( i )
R l
ri
,
电流I 从电源正极流出时, 取电动势为+‫ع‬
' 2
I
'' 2
1 3
I,
U AB
I1R
2I2 R
29 24
IR,
R U AB
AB
I
29 24
R
例5: 求下图所示无穷方格电阻网络中A, B两点之间的等效电阻(每段电阻阻值均为R).
解:
设A, B间接有电流I , 通过最短路径由A流向B的电流为I1, 原网络电流分布可等效于由A流向无穷远时和由无穷远
独立的, 由此构成基尔霍夫方程组(共p个方程).
三、二端电阻(电容)网络的等效电阻(电容)
1. 基本串并联接时的等效电阻(电容):
串联电阻: R=R1+R2+…, 并联电阻: 1/R=1/R1+1/R2+…, 串联电容: 1/C=1/C1+1/C2+…, 并联电容: C=C1+C2+….
2. 等势简化方法:
）。
g
h
e
f
a
d
Aj
i
c
b
Rbc
R 1RV R 1RV
200 3
(k),
U1'
4.8 V,
解法二: 不具体求伏特计的电阻为RV, 由图(1), 有
, U2
R2 // RV
R2 RV
U
R1R2 // RV
R1R2 R1RV R2RV
由图(2), 有
, U1'
R1 // RV
U
R2 R1 // RV
R1RV R1R2 R1RV R2RV
（2）Y形联接变换为△形联接:
已知R1, R2和R3, 可得：
R12=R1+R2+R1R2/R3
R23=R2+R3+R2R3/R1
R13=R1+R3+R1R3/R2
四. 无穷网络的等效电阻(电容):
1.无穷网络: 一维网络, 二维网络, 三维网络
2. 方法: 等效变形, 对称性, 归纳法, 逼近法