人教版八年级上册第12章《全等三角形》培优练习题

《全等三角形》培优练习题
一．选择题
1．下列说法中错误的是（）
A．有两个角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等
B．有两个角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等
C．有两条边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等
D．有两条边及其中一条边的对角对应相等的两个三角形全等
2．如图，已知AB＝DE，∠1＝∠2．若要得到△ABC≌△DEF，则下列条件中不符合要求的是（）
A．∠A＝∠D B．∠C＝∠F C．AC＝DF D．CE＝FB
3．如图，点C是AB的中点，AD＝BE，CD＝CE，则图中全等三角形共有（）
A．2对B．3对C．4对D．5对
4．在△ABC中，∠ABC＝30°，AB边的长为10，AC边的长度可以在5，7，10，11中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是（）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．如图，在△ABC中，∠ACB的外角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点D．则下列结论正确的是（）
A．AD平分BC B．AD平分∠CAB C．AD平分∠CDB D．AD⊥BC
6．如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（）
A．在∠A、∠B两内角平分线的交点处
B．在AC、BC两边中线的交点处
C．在AC、BC两边高线的交点处
D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处
7．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为（）
A．8 B．7 C．6 D．5
8．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点与∠PRQ 的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC ≌△ADC，这样就有∠QAE＝∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
9．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D点，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，则BE的长为（）
A．0.8 B．1 C．1.5 D．4.2
10．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝（）
A．90°B．120°C．135°D．150°
二．填空题
11．如图，在△ADC与△BDC中，∠1＝∠2，加上条件（只填写一个即可），则有△ADC≌△BDC．
12．如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧，再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连接AD、CD，若∠B＝56°，则∠ADC的大小为度．
13．已知，如图，∠D＝∠A，EF∥BC，添加一个条件：，使得△ABC≌△DEF．
14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AE＝AB，连接ED，且∠E ＝∠C，AD＝2DE，则S△AED：S△ADB＝．
15．在四边形ABCD中，∠ADC与∠BCD的角平分线交于点E，∠DEC＝115°，过点B 作BF∥AD交CE于点F，CE＝2BF，，连接BE，，则CE ＝．
三．解答题
16．如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．
（1）如图1，求证：BD＝CE；
（2）如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE相等的角（∠ADE除外）．
17．如图，AB＝AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．（1）求证：AD＝AE．
（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系，并说明理由．
18．如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．
（1）求证：AE＝CD；
（2）求证：AE⊥CD；
（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正确的有（请写序号，少选、错选均不得分）．
19．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连接AE，DE，DC．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）若∠CAE＝30°，求∠BDC的度数．
20．阅读下面材料：
学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究
小聪将命题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E．小聪的探究方法是对∠B分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
第一种情况：当∠B是直角时，如图1，△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B ＝∠E＝90°，根据“HL”定理，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：当∠B是锐角时，如图2，BC＝EF，∠B＝∠E＜90°，在射线EM上有点D，使DF＝AC，画出符合条件的点D，则△ABC和△DEF的关系是；
A．全等B．不全等C．不一定全等
第三种情况：当∠B是钝角时，如图3，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B ＝∠E＞90°．过点C作AB边的垂线交AB延长线于点M；同理过点F作DE边的垂线交DE延长线于N，根据“ASA”，可以知道△CBM≌△FEN，请补全图形，进而证出△ABC≌△DEF．
参考答案
一．选择题
1．解：A、有两个角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等，是“ASA”，说法正确；
B、两个角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，是“AAS”，说法正确；
C、有两条边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等，是“SAS”，说法正确；
D、有两条边及其中一条边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，说法错误；
故选：D．
2．解：A、添加∠A＝∠D，根据ASA可以判定△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意．
B、添加∠C＝∠F，根据AAS可以判定△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意．
C、添加AC＝DF，根据SSA不可以判定△ABC≌△DEF，故本选项符合题意．
D、添加CE＝FB可以得到BC＝EF，根据SAS可以判定△ABC≌△DEF，故本选项不符
合题意．
故选：C．
3．解：∵点C是以AB的中点，
∴AC＝BC，
∵AD＝BE，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SSS），
∴∠D＝∠E，∠A＝∠B，∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACG＝∠BCH，
∴△ACG≌△BCH（ASA），
∴CG＝CH，
∴EG＝DH，△ECH≌△DCG（ASA），
∵∠EFG＝∠DFH，
∴△EFG≌△DFH（AAS）；
∴图中全等三角形共有4对，
故选：C．
4．解：过A作AE⊥BC于E，
∵∠AB＝10，∠B＝30°，
∴AE＝AB＝5，即AE是A到直线BC的最短距离，
当AC＝5时，此时三角形有1个；
当AC＝7此时三角形有2个；
当AC＝10时，此时三角形有1个；
当AC＝11时，此时三角形有1个；
即存在三角形1+2+1+1＝5（个），
故选：B．
5．解：过D点分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、G、F，∵∠ABC、∠ACB外角的平分线相交于点D，
∴ED＝GD，GD＝DF，
∴ED＝DF，
∴AP平分∠CAB．
故选：B．
6．解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B两内角平分线的交点处．故选：A．
7．解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAD＝∠CAD
在△ADE和△ADC中，
，
∴△ADE≌△ADC（SAS），
∴ED＝CD，
∴BC＝BD+CD＝DE+BD＝5，
∴△BDE的周长＝BE+BD+ED＝（6﹣4）+5＝7．故选：B．
8．解：在△ADC和△ABC中，
，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC＝∠BAC，
即∠QAE＝∠PAE．
故选：A．
9．解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°．
∵∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE＝DC．CE＝AD＝2.5．
∵DC＝CE﹣DE，DE＝1.7cm，
∴DC＝2.5﹣1.7＝0.8．
故选：A．
10．解：如图，在△ABC和△DEA中，
，
∴△ABC≌△DEA（SAS），
∴∠1＝∠4，
∵∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
又∵∠2＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°．
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．解：加上条件AD＝BD（答案不唯一），则有△ADC≌△BDC．理由是：
在△ADC和△BDC中，
，
∴△ADC≌△BDC（SAS），
故答案为：AD＝BD（答案不唯一）．
12．解：由作图可知：AD＝BC，AB＝CD，AC＝CA，∴△ABC≌△CDA（SSS），
∴∠ADC＝∠B＝56°，
故答案为：56．
13．解：∵EF∥BC，
∴∠ACB＝∠DFE，
又∵∠D＝∠A，
∴添加条件AC＝DF，可以使得△ABC≌△DEF（ASA），添加条件AB＝DE，可以使得△ABC≌△DEF（AAS），添加条件BC＝EF，可以使得△ABC≌△DEF（AAS），故答案为：AC＝DF（AB＝DE或BC＝EF）．14．解：取AD的中点G，连接BG，
则AG＝DG，AD＝2AG，
∵AD＝2DE，
∴DE＝AG，
∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠ABC+∠C＝∠ABC+∠BAG＝90°，
∴∠C＝∠BAG，
∵∠C＝∠E，
∴∠BAG＝∠E，
在△ABG和△EAD中，
，
∴△ABG≌△EAD（SAS），
∴S△AED＝S△BAG，
∵点G是AD的中点，
∴S△BGD＝S△BAG，
∴S△AED：S△ADB＝1：2，
故答案为：1：2．
15．解：∵∠CBF＝∠BCE，
∴可以假设∠BCE＝4x，则∠CBF＝5x，
∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，
∴∠ADE＝∠EDC，∠ECD＝∠ECB＝4x，设∠ADE＝∠EDC＝y，∵AD∥BF，
∴∠A+∠ABF＝180°，
∴∠ADC+∠DCB+∠CBF＝180°，
∴2y+13x＝180°①，
∵∠DEC＝115°，
∴∠EDC+∠ECD＝65°，即y+4x＝65°②，
由①②解得，
∴∠BCF＝40°，∠CBF＝50°，
∴∠CFB＝90°，
∴BF⊥EC，
∴CE＝2BF，设BF＝m，则CE＝2m，
∵S△BCE＝•EC•BF＝，
∴×2m×m＝，
∴m＝或﹣（舍弃），
∴CE＝2m＝5，
故答案为5．
三．解答题（共5小题）
16．解：（1）在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）∵△ABD≌△DCE，
∴∠B＝∠C，
∴∠ADE＝∠CDE＝∠BAD，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，
∴∠B＝∠ADE＝∠BAD＝∠EDC＝∠C，
∴与∠ADE相等的角有∠EDC，∠BAD，∠B，∠C．17．解：（1）证明：∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
在△ADC与△AEB中，
，
∴△ACD≌△ABE，
∴AD＝AE；
（2）直线OA垂直平分BC，理由如下：
如图，连接AO，BC，延长AO交BC于F，
在Rt△ADO与Rt△AEO中，
，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO，
∴OD＝OE，
∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，
∴AO平分∠BAC，
∵AB＝AC，
∴AO⊥BC．
18．（1）证明：∵∠ABC＝∠DBE，
∴∠ABC+∠CBE＝∠DBE+∠CBE，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD，
∴AE＝CD．
（2）∵△ABE≌△CBD，
∴∠BAE＝∠BCD，
∵∠NMC＝180°﹣∠BCD﹣∠CNM，∠ABC＝180°﹣∠BAE﹣∠ANB，又∠CNM＝∠ANB，
∵∠ABC＝90°，
∴∠NMC＝90°，
∴AE⊥CD．
（3）结论：②
理由：作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J．
∵△ABE≌△CBD，
∴AE＝CD，S△ABE＝S△CDB，
∴•AE•BK＝•CD•BJ，
∴BK＝BJ，∵作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J，
∴BM平分∠AMD．
不妨设①成立，则△ABM≌△DBM，则AB＝BD，显然不可能，故①错误．
故答案为②．
19．（1）证明：
∵∠ABC＝90°，
∴∠DBC＝90°，
在△ABE和△CBD中
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
（2）解：
∵AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠BCA＝45°，
∴∠AEB＝∠CAE+∠BCA＝30°+45°＝75°，
∵△ABE≌△CBD，
∴∠BDC＝∠AEB＝75°．
20．解：第二种情况选C．
理由：由题意满足条件的点D有两个，故△ABC和△DEF不一定全等（如图所示）
故选C．
第三种情况补全图．
证明：由△CBM≌△FEN
得，CM＝FN，BD＝EN
又在Rt△CMA和Rt△FND中
，
∴△CMA≌△FND，∴AM＝DN，
∴AB＝DE，
又在△ABC和△DEF中
，
∴△ABC≌△DEF．。