人教版八年级数学下册18.2.1 第1课时 矩形的性质 教案

18．2特殊的平行四边形

18．2.1矩形

第1课时矩形的性质

1．理解并掌握矩形的性质定理及推论；(重点)

2．会用矩形的性质定理及推论进行推导证明；(重点)

3．会综合运用矩形的性质定理、推论以及特殊三角形的性质进行证明与计算．(难点)

一、情境导入

如图，用四段木条做一个平行四边形的活动木框，将其直立在地面上轻轻地推动点D，你会发现什么？

可以发现，角的大小改变了，但不管如何，它仍然保持平行四边形的形状．

我们若改变平行四边形的内角，使其一个内角恰好为直角，就得到一种特殊的平行四边形，也就是我们早已熟悉的长方形，即矩形，如图所示．

二、合作探究

探究点一：矩形的性质

【类型一】运用矩形的性质求线段或角

在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为24cm，则AB长为()

A．1cm B．2cm C．2.5cm D．4cm

解析：在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°.根据矩形的性质得到△ABO≌△OCD，则OA＝OD，∠DAO＝45°，所以∠BOA＝∠BAO＝45°，即BC＝2AB.由矩形ABCD的周长为24cm，得2AB ＋4AB＝24cm，解得AB＝4cm.故选D.

方法总结：解题时矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．【类型二】运用矩形的性质解决有关面积问题

如图，矩形ABCD的对角线的交点为O，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F，则图中阴影部分的面积是矩形ABCD 的面积的()

A.

1

5 B.

1

4 C.

1

3 D.

3

10

解析：∵在矩形ABCD中，AB∥CD，OB＝OD，∴∠ABO＝∠CDO.在△BOE和

△DOF中，

⎩⎪

⎨

⎪⎧

∠ABO＝∠CDO，

OB＝OD，

∠BOE＝∠DOF，∴△BOE≌△DOF(ASA)，∴S△BOE＝S△DOF，

∴S 阴影＝S △AOB ＝1

4S 矩形ABCD .故选B.

方法总结：运用矩形的性质，通过证明全等三角形进行转化，将求不规则图形的面积转化为求简单图形面积是解题的关键．

【类型三】 运用矩形的性质证明线段相等

如图，在矩形ABCD 中，以顶点

B 为圆心、边B

C 长为半径作弧，交A

D 边于点

E ，连接BE ，过C 点作C

F ⊥BE 于F .求证：BF ＝AE .

解析：利用矩形的性质得出AD ∥BC ，∠A ＝90°，再利用全等三角形的判定得出△BFC ≌△EAB ，进而得出答案．

证明：在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°，∴∠AEB ＝∠FBC .∵CF ⊥BE ，∴∠BFC ＝∠A ＝90°.由作图可知，BC ＝BE .在△BFC 和△EAB 中，⎩⎪⎨⎪

⎧∠A ＝∠CFB ，∠AEB ＝∠FBC ，

EB ＝BC ，∴△BFC ≌△EAB (AAS)，∴BF ＝AE .

方法总结：涉及与矩形性质有关的线段的证明，可运用题设条件结合三角形全等进行证明，一般是将两条线段转化到一对全等三角形中进行证明．

【类型四】 运用矩形的性质证明角相等

如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分

别是边BC 、AB 上的点，且EF ＝ED ，EF ⊥ED .求证：AE 平分∠BAD .

解析：要证AE 平分∠BAD ，可转化为△ABE 为等腰直角三角形，得AB ＝BE .又AB ＝CD ，再将它们分别转化为两全等三角形的两对应边，根据全等三角形的判定和矩形的性质，即可求证．

证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝∠BAD ＝90°，AB ＝CD ，∴∠BEF ＋∠BFE ＝90°.∵EF ⊥ED ，∴∠BEF ＋∠CED ＝90°.∴∠BFE ＝∠CED ，∴∠BEF ＝∠EDC .在△EBF 与△DCE 中，⎩⎪⎨⎪

⎧∠BFE ＝∠CED ，EF ＝ED ，∠BEF ＝∠EDC ，

∴△EBF ≌△DCE (ASA)．∴BE ＝CD .∴BE ＝AB ，∴∠BAE ＝∠BEA ＝45°，∴∠EAD ＝45°，∴∠BAE ＝∠EAD ，∴AE 平分∠BAD .

方法总结：矩形的问题可以转化到直角三角形或等腰三角形中去解决．

探究点二：直角三角形斜边上的中线的性质

如图，在△ABC 中，AD 是高，E 、

F 分别是AB 、AC 的中点．

(1)若AB ＝10，AC ＝8，求四边形AEDF 的周长；

(2)求证：EF 垂直平分AD .

解析：(1)根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得DE ＝AE ＝1

2AB ，

DF ＝AF ＝1

2AC ，再根据四边形的周长的公

式计算即可得解；(2)根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”证明即可．

(1)解：∵AD 是△ABC 的高，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴DE ＝AE ＝12AB ＝

1

2×10＝5，DF ＝AF ＝12AC ＝1

2×8＝4，∴四

边形AEDF 的周长＝AE ＋DE ＋DF ＋AF ＝5

＋5＋4＋4＝18；

(2)证明：∵DE ＝AE ，DF ＝AF ，∴E 、F 在线段AD 的垂直平分线上，∴EF 垂直平

分AD.

方法总结：当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．

三、板书设计

1．矩形的性质

矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．

2．直角三角形斜边上的中线的性质

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

通过多媒体演示知识的探究过程，让学生在体验、实践的过程中有更直观地认识，扩大认知结构，发展能力，更好地理解平行四边形与矩形之间的从属关系和内在联系，使课堂教学真正落实到学生的发展上．