空间向量及其线性运算
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8.1 空间向量及其线性运算
8.1.1 空间直角坐标系 8.1.2 空间向量的概念及线性运算 8.1.3 向量的坐标表示
22-1
8.1.1 空Βιβλιοθήκη 直角坐标系为了从代数的角度去研究几何问题，我们用类似于平面解析几何 的做法，在空间建立坐标系将几何与代数沟通起来，使得空间的点与 有序数组相对应，将空间的几何图形用代数关系来表示．
所在射线的夹角 为 a 与 b 的夹角，记为 (a,b) ，即有 (a,b) ，其
取值范围为 0 (a,b) π （图 8-1-7）． 如果(a,b) 0 或 π，就称向量 a 与 b
平行，记为 a∥b．
如果 (a,b) π ，就称向量 a 与 b 垂 2
直，记为 a⊥b．
22-9
(二) 向量的线性运算 定义 8.1.1 设有两个不平行的向量 a 与 b，将它 们平移到同一个起点，并以 a,b 为邻边作平行四边 形，称以 a,b 共同起点的对角线向量 c 为 a 与 b 的 和，记为c a b（图 8-1-8）．此方法称为向量加法的平行四边形法则．
模为 0 的向量称为零向量，记为 0 或0 ， 零向量的方向可以是任意的．
如果向量 a 与 b 的模相等且方向相同， 就称 a 与 b 相等，记为 a=b．依此定义，相 等向量与其起点位置无关，因此，一个向量在作任何平移变化时保 持不变，我们将具有这种特征的向量称为自由向量，简称向量．
22-8
设有向量 a 和 b，将 a 或 b 平移使它们有共同的起点，称它们
例如起点为 M1，终点为 M2 的有向线段 M1M2 就表示一个确定的向量（图 8-1-5）．
22-7
向量的大小也称为向量的模或向量的长度，记作|a|,|a |,| M1M2 | 等，向量的模总是一个非负数．
模为 1 的向量称为单位向量．通常用i, j,k 分别表示 x 轴、y 轴 和 z 轴正向的单位向量，并称其为基本单位向量（图 8-1-6）．
在空间直角坐标系中，每两条坐标轴可以确定一个平面，称为坐 标面，因此有三个坐标面，分别称为 xOy 坐标面、yOz 坐标面和 zOx 坐标面．这三个坐标面相互垂直，把空间分成八个部分，每一部分称 为一个卦限．含有 x 轴、y 轴和 z 轴正半轴的卦 限称为第一卦限, 第五卦限在第一卦限的下方， 其他第二、三、四卦限,第六、七、八卦限分别 在 xOy 上方和下方，按逆时针方向确定八个卦 限，分别用罗马字母Ⅰ，Ⅱ，…，Ⅷ表示（图 8-1-2）.
22-3
设 M 为空间中任意一点，过点 M 作三个平面分别垂直于 x 轴、 y 轴和 z 轴（图 8-1-3），设三个垂足 P，Q，R 在 x 轴，y 轴和 z 轴上的坐标依次为 x，y 和 z，于 是点 M 就惟一地对应于一个有序数组( x, y, z )．
反之，对给定的有序数组( x, y, z )，过 x 轴，y 轴和 z 轴上坐标分别为 x, y, z 的三个点作三个垂直 于 x 轴，y 轴和 z 轴的平面，这三个平面相交于空间惟一一个确定的点 M．因此空间的点 M 与有序数组(x, y, z )一一对应，称(x, y, z )为点 M 的 坐标，其中 x, y, z 分别称为点 M 的横坐标、纵坐标和竖坐标，并把点 M 记为 M( x, y, z )．
向量加法的另一种方法：先作 a，然后将 b 的起点放在 a 的终点 作 b，则从 a 的起点到 b 的终点所构成的向量即为 a+b(图 8-1-9），此方法称为向量加法的三角形法则．
三角形法则对平行向量仍适用．
22-10
向量的加法满足下列性质： ⑴ a + 0=a； ⑵ 交换律 a + b=b + a； ⑶ 结合律 (a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c． 定义 8.1.2 设有向量 a 以及实数 ，规定 与 a 的乘积（简称数乘） 是一个向量，记为a ，其模为| a|=| ||a|， a 的方向规定为： 当 >0 时， a 与 a 同方向；当 <0 时，a 与 a 反方向； 当 =0 时， a =0． 特别地，1 a a ; (1)a 称为 a 的负向量，记为a ． 并规定两个向量 a,b 的差为a b a (b) ．
（8.1.1）
22-5
例 8.1.1 求与两定点 A(1,1, 2),B(2,1, 3) 距离相等的点M (x, y, z) 的轨迹． 解 由于 MA MB ，从而有
(x 1)2 ( y 1)2 (z 2)2 (x 2)2 ( y 1)2 (z 3)2 ， 化简得点 M 的轨迹为
22-4
设 M1(x1, y1, z1) ， M 2 (x2, y2, z2 ) 是空间中的两点，为了计算 M1 与 M2 之间的距离|M1M2|，过 M1 和 M2 各作三个分别垂直于坐标轴的平面， 这六个平面围成了一个以 M1M2 为对角线的长方体（图 8-1-4）．
该长方体各棱的长度分别为 x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 ，由此得对 角线 M1M2 的长度，即 M1 与 M2 之 间的距离公式为 | M1M 2 | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2 ，
在空间取三条相交于一定点 O，且两两垂直的数轴，每一数轴有 相同的长度单位，以 O 点为 原点．这三条数轴分别称为 x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、 z 轴（竖轴），其方向符合右 手法则（图 8-1-1）．
22-2
这样的三条坐标轴就组成了空间直角坐标系，称为 Oxyz 直角标系 （或称为右手系），O 称为坐标原点．
x 2y 5z 4 0．
22-6
8.1.2 空间向量的概念及线性运算
(一) 向量的概念 自然界中的很多量不仅有数量的属性，而且还有方向的属
性．例如位移、速度、力、力矩等等．我们把这种既有大小、又有
方向的量称为向量，通常用黑体字母 a,b，或上方带有箭头的字母
a,b 等表示．在几何上，通常用有向线段来表示向量，有向线段的 长度表示向量的大小，有向线段的方向表示 向量的方向．
8.1.1 空间直角坐标系 8.1.2 空间向量的概念及线性运算 8.1.3 向量的坐标表示
22-1
8.1.1 空Βιβλιοθήκη 直角坐标系为了从代数的角度去研究几何问题，我们用类似于平面解析几何 的做法，在空间建立坐标系将几何与代数沟通起来，使得空间的点与 有序数组相对应，将空间的几何图形用代数关系来表示．
所在射线的夹角 为 a 与 b 的夹角，记为 (a,b) ，即有 (a,b) ，其
取值范围为 0 (a,b) π （图 8-1-7）． 如果(a,b) 0 或 π，就称向量 a 与 b
平行，记为 a∥b．
如果 (a,b) π ，就称向量 a 与 b 垂 2
直，记为 a⊥b．
22-9
(二) 向量的线性运算 定义 8.1.1 设有两个不平行的向量 a 与 b，将它 们平移到同一个起点，并以 a,b 为邻边作平行四边 形，称以 a,b 共同起点的对角线向量 c 为 a 与 b 的 和，记为c a b（图 8-1-8）．此方法称为向量加法的平行四边形法则．
模为 0 的向量称为零向量，记为 0 或0 ， 零向量的方向可以是任意的．
如果向量 a 与 b 的模相等且方向相同， 就称 a 与 b 相等，记为 a=b．依此定义，相 等向量与其起点位置无关，因此，一个向量在作任何平移变化时保 持不变，我们将具有这种特征的向量称为自由向量，简称向量．
22-8
设有向量 a 和 b，将 a 或 b 平移使它们有共同的起点，称它们
例如起点为 M1，终点为 M2 的有向线段 M1M2 就表示一个确定的向量（图 8-1-5）．
22-7
向量的大小也称为向量的模或向量的长度，记作|a|,|a |,| M1M2 | 等，向量的模总是一个非负数．
模为 1 的向量称为单位向量．通常用i, j,k 分别表示 x 轴、y 轴 和 z 轴正向的单位向量，并称其为基本单位向量（图 8-1-6）．
在空间直角坐标系中，每两条坐标轴可以确定一个平面，称为坐 标面，因此有三个坐标面，分别称为 xOy 坐标面、yOz 坐标面和 zOx 坐标面．这三个坐标面相互垂直，把空间分成八个部分，每一部分称 为一个卦限．含有 x 轴、y 轴和 z 轴正半轴的卦 限称为第一卦限, 第五卦限在第一卦限的下方， 其他第二、三、四卦限,第六、七、八卦限分别 在 xOy 上方和下方，按逆时针方向确定八个卦 限，分别用罗马字母Ⅰ，Ⅱ，…，Ⅷ表示（图 8-1-2）.
22-3
设 M 为空间中任意一点，过点 M 作三个平面分别垂直于 x 轴、 y 轴和 z 轴（图 8-1-3），设三个垂足 P，Q，R 在 x 轴，y 轴和 z 轴上的坐标依次为 x，y 和 z，于 是点 M 就惟一地对应于一个有序数组( x, y, z )．
反之，对给定的有序数组( x, y, z )，过 x 轴，y 轴和 z 轴上坐标分别为 x, y, z 的三个点作三个垂直 于 x 轴，y 轴和 z 轴的平面，这三个平面相交于空间惟一一个确定的点 M．因此空间的点 M 与有序数组(x, y, z )一一对应，称(x, y, z )为点 M 的 坐标，其中 x, y, z 分别称为点 M 的横坐标、纵坐标和竖坐标，并把点 M 记为 M( x, y, z )．
向量加法的另一种方法：先作 a，然后将 b 的起点放在 a 的终点 作 b，则从 a 的起点到 b 的终点所构成的向量即为 a+b(图 8-1-9），此方法称为向量加法的三角形法则．
三角形法则对平行向量仍适用．
22-10
向量的加法满足下列性质： ⑴ a + 0=a； ⑵ 交换律 a + b=b + a； ⑶ 结合律 (a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c． 定义 8.1.2 设有向量 a 以及实数 ，规定 与 a 的乘积（简称数乘） 是一个向量，记为a ，其模为| a|=| ||a|， a 的方向规定为： 当 >0 时， a 与 a 同方向；当 <0 时，a 与 a 反方向； 当 =0 时， a =0． 特别地，1 a a ; (1)a 称为 a 的负向量，记为a ． 并规定两个向量 a,b 的差为a b a (b) ．
（8.1.1）
22-5
例 8.1.1 求与两定点 A(1,1, 2),B(2,1, 3) 距离相等的点M (x, y, z) 的轨迹． 解 由于 MA MB ，从而有
(x 1)2 ( y 1)2 (z 2)2 (x 2)2 ( y 1)2 (z 3)2 ， 化简得点 M 的轨迹为
22-4
设 M1(x1, y1, z1) ， M 2 (x2, y2, z2 ) 是空间中的两点，为了计算 M1 与 M2 之间的距离|M1M2|，过 M1 和 M2 各作三个分别垂直于坐标轴的平面， 这六个平面围成了一个以 M1M2 为对角线的长方体（图 8-1-4）．
该长方体各棱的长度分别为 x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 ，由此得对 角线 M1M2 的长度，即 M1 与 M2 之 间的距离公式为 | M1M 2 | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2 ，
在空间取三条相交于一定点 O，且两两垂直的数轴，每一数轴有 相同的长度单位，以 O 点为 原点．这三条数轴分别称为 x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、 z 轴（竖轴），其方向符合右 手法则（图 8-1-1）．
22-2
这样的三条坐标轴就组成了空间直角坐标系，称为 Oxyz 直角标系 （或称为右手系），O 称为坐标原点．
x 2y 5z 4 0．
22-6
8.1.2 空间向量的概念及线性运算
(一) 向量的概念 自然界中的很多量不仅有数量的属性，而且还有方向的属
性．例如位移、速度、力、力矩等等．我们把这种既有大小、又有
方向的量称为向量，通常用黑体字母 a,b，或上方带有箭头的字母
a,b 等表示．在几何上，通常用有向线段来表示向量，有向线段的 长度表示向量的大小，有向线段的方向表示 向量的方向．