函数与方程的思想

函数与方程的思想
函数与方程思想是最重要的一种数学思想，在高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多。

函数思想是指用函数的概念、性质、图像去分析问题、转化问题和解决问题，具体体现在：①运用函数的性质解决数学问题；②用映射、函数的观点去观察、分析问题中的数量关系，通过函数的形式把这种数量关系表示出来并加以研究，从而解决问题；③对解不等式、讨论方程的解的个数或分布、某些参数范围的讨论问题等可通过构造函数，利用函数的性质解决。

方程思想是分析数学问题中变量间的相等关系，从而建立方程（组）将问题解决的一种思想方法，具体体现在：①解方程及含参数方程的讨论；②可转化为方程（组）求解的讨论问题及构造方程（组）。

下面通过几个具体例题说明它们的应用。

一、运用函数、方程思想转化解决函数、方程和不等式问题
【例】若a，b是正数，且满足ab=a+b+3，求ab 的取值范围。

思维精析把方程转化成关于ab的不等式。

解法一：（看成函数的值域）：
∵ab=a+b+3∴b=
而b＞0∴＞0 即∵a＞0 ∴a＞1
∴ab=a•=
=(a-1)++5≥9
当且仅当a-1=,即a=3时取等号。

又a＞3时，a-1++5是关于a的单调增函数，
∴ab的取值范围是［9,+∞）。

解法二：（看成不等式的解集）：
∵a，b为正数，∴a+b≥2
又ab=a+b+3∴ab≥2+3
即( )2-2-3≥0
即≥3或≤-1
∴ab≥9
解法三：解若设ab=t，则a+b=t-3
∴a,b可看成方程x2-(t-3)x+t=0的两个正根
△=（t-3）2-4t≥0a+b=t-3＞0ab=t＝＞t≤1,t≥9t＞3t＞0 得t≥9 ，即ab≥9。

点拨：从以上解法可以看出，对于同一个问题，用不同的观点去看，会产生不同的想法，从而有不同的处理方法，解法一用函数观点去分析，则应将已知条件变形后去消元；解法二，解法三则利用题中和、积特征构造不等式、方程来求解，它们分别体现了用函数、用不等式、用方程来解决问
题的意识，因此，在解题过程中，应多方位、多角度去思考、去探索，选用合理简明的解题途径，以求取得事半功倍之效。

变式训练已知=1,
(a,b,c∈R)则有：（）
A、b2 ＞4ac
B、b2 ≥4ac
C、b2 ＜4ac
D、b2 ≤4ac
简析：由选项可知，构造方程求解。

选B。

智能升华对一切的实数x，当a＜b时，二次函数
f(x)=ax2+bx+c的值恒为非负实数，则的最小值为（）解：由题意知a＞0且b2-4ac≤0
c＞0,b2≤4ac≤2
∴c≥2b-4a
∴原式≥≥3
【例】解不等式x1++(x+1)1+＞0
解：设f(x) =x1+(x∈R)
∴f(x)是奇函数，且在［0,+∞)是增函数
∴原不等式可化为：f(x)+f(x+1)＞0
f(x+1)＞-f(x)=f(-x)
∴x+1＞-x
∴x＞-
变式训练已知f(t)=logt2，t∈[8]对于f(t)值域内的所有
实数m，不等式x2+mx+4＞2m+4x恒成立，求x的取值范围。

思维精析求f(t)的值域，将不等式中的m看作“主元”，用一次函数的性质求解。

解：∵t ∈[8] ∴f(t)∈[,3]。

从而m∈[,3]
原题可化为m(x-2)+(x-2)2＞0恒成立
当x=2时，不等式不成立
∴x≠2
令g(m)=m(x-2)+(x-2)2为m的一次函数，
问题转化为g(m)在m∈[,3]上恒大于0。

即g＞0g3＞0
解得x＞2或x＜-1
故x的取值范围是
(-∞,-1)∪(2,+∞)。

点拨：本题中不等式问题通过建立函数转化为最小值大于等于0的简单问题。

函数的观点与意识是函数思想的核心。

当题中有多个变量时，从中选择一个主变量，建立一种函数关系，利用函数的图像、性质可以简捷地解题，尤其是处理方程或不等式中的参数范围问题。

二、用函数与方程思想解决数列问题
【例】已知sn=1+++…….+(n∈,N*)，设f(n)=sn+1-sn，试确定实数m的取值范围，使得对于一切大于1的正整数n，
不等式
f(n)＞［logm(m-1)］2-［logm(m-1)］2恒成立。

解：由f(n)=sn+1-sn,，得f(n)=++…+
∴f(n+1)=++…+
∴f(n+1)-f(n)=+-=(-)+(-)
∴f(n)＞f(n-1)＞…＞f(3)＞f(2)
(n∈N*,n≥2),
∴f(x)min=f(2)=+=
要使对于一切大于1的正整数n，原不等式恒成立，只需不等式
＞[logm(m-1)]2-[logm(m-1)]2成立。

令y=[logm(m-1)]2 ,则y＞0,
＞y-y＞0解得：0＜y＜1
0＜log2m(m-1)＜1m＞0,m≠1m-1≠1m-1＞0
得m＞且m≠2
∴实数m的取值范围为
m＞且m≠2。

点拨：数列与函数的联系非常紧密，对于某些数列问题，如果用函数的思想来解决，有利于学生理解挖掘问题的本质与核心，并使问题迎刃而解。

变式训练求自然数a的最大值，使不等式++…+＞a-7，对一切自然数n都成立。

简析：原不等式可转化为
a＜++…++7
令f(n)=++…++7则f(n)可看成关于n的增函数
∴a＜f(0)=1+7=8
∴a的最大值为7
三、解析几何中的函数与方程思想
解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及二次方程与二次函数的有关理论。

【例】已知椭圆+=1(a＞b＞0)与直线x+y-1=0相交于两点P、Q，且OP⊥OQ(O为原点)。

（1）求+的值。

（2）若椭圆的离心率在〔，〕上变化，求椭圆长轴的取值范围。

解：（1）由方程组b2x2+a2y2-a2b2=0x+y-1=0，消去y 整理，得
a2+b2x2-2a2x+a21-b2=0
设Px1,y1、Qx2,y2则
x1+x2=,x1x2=
∵OP⊥OQ,则x1x2+y1y2=0
而y1=1-x1,y2=1-x2,
∴x1x2+(1-x1)(1-x2)=0
∴-+1=0,即=1
∴+=2
（2）由椭圆离心率e∈〔，〕，知≤e2≤
由（1）得2-e2=2a2(1-e2)
∴a2==(1+)
又∵≤e2≤，则≤≤2，≤a2≤
∴≤a≤
∴长轴的取值范围是［，］。

点拨：一般地，直线与二次曲线的问题，可把它们的方程联立，消元后即可转化为一元二次方程问题，其中韦达定理与判别式是最常用到的两个知识点。

把+=2看作已知，瞄准目标a与e，得到a与e2的函数关系式，用函数的思想求出a的范围。

函数与方程的思想是密切相关的，我们必须用联系的观点去看它们，不要把它们孤立起来。

善于挖掘题中的隐含条件，构造出恰当的函数解析式或方程，是实施函数与方程思想的关键。

（作者单位：湖南省衡东县教师进修学校）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF 格式阅读原文。