辽宁省营口市第二高级中学2020-2021学年高三上学期第一次月考数学(文)试题

辽宁省营口市第二高级中学2020-2021学年高三上学期第一
次月考数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合{}
{}2
2|430,|log 1,M x x x N x x M N =-+≤=≤⋃=则（ ）
A ．[]1,2
B ．[)1,2
C ．[]0,3
D ．(]03,
2．复数1i
z i
-=
在复平面上对应的点位于 ( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．设p ：01x <<，q ：21x ≥，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不
必要条件
4．下列函数中，既是奇函数又在区间0,2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上是减函数的是（ ） A ．3y x =
B ．sin y x =-
C ．21y x =+
D ．cos y x =
5．若tan α=sin cos αα=（ ）
A ．4
±
B C ．
3
D ．
4
6．已知实数,a b R +∈，且2a b +=则
14
a b
+的最小值为( ) A ．9 B ．
92
C ．5
D ．4
7．已知下面四个命题：
①“若20x x -=，则0x =或1x =”的逆否命题为“若0x ≠且1x ≠，则20x x -≠” ②命题：“,x y R ∈，若110x y -+-=，则1x y ==”，用反证法证明时应假设1x ≠或1y ≠.
③命题:p 存在0x R ∈，使得200x x 10++＜，则p ⌝：任意x ∈R ，都有210x x ++≥ ④若p 且q 为假命题，则,p q 均为假命题，其中真命题个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．在公差不为0的等差数列{}n a 中，2
4914220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且
99a b =，则810b b =（ ）
A ．4
B ．16
C ．8
D ．2
9．若将函数2sin(4)y x φ=+的图象向右平移6
π
个单位，得到的图象关于y 轴对称，则φ的最小值是（ ） A ．
6
π B ．
5
π C ．
4
π D ．
3
π 10．设函数f （x ）=
2
x
+lnx ，则 （ ） A ．x=
1
2为f(x)的极大值点 B ．x=
1
2
为f(x)的极小值点 C ．x=2为 f(x)的极大值点 D ．x=2为 f(x)的极小值点
11．函数cos 42x
x
y =
的图像大致是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
12．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨
>⎩，，
，，
()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0） B ．[0，+∞）
C ．[–1，+∞）
D ．[1，+∞）
二、填空题
13．已知向量a 与b 的夹角为60︒且(2,6),10a b =--=,则a b ⋅=______________．
14．已知函数3log ,0
()2,0x
x x f x x >⎧=⎨
≤⎩
则127f f ⎡⎤
⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
的值为______. 15．等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且
3123n n S n T n -=+，则10
10
a b =______. 16．已知函数||()x a f x e -=（a 为常数）.若在区间[1,+∞)上是增函数，则a 的取值范围是________.
三、解答题
17．已知π03x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，，设向量()sin cos m x x =，， 312n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，． （1）若m ∥n ，求x 的值； （2）若35m n ⋅=
，求πsin 12x ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
的值．
18．已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2
15313
a a a +=，756S =． (1)求数列{}n a 的通项公式n a ；
（2）若数列{}n b 满足11b a =且11n n n b b a ++-=，求数列1n b ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n T ． 19．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别是,,a b c ，满足4cos cos cos a B b C c B -=. （1）求cos B 的值；
（2）若3BA BC ⋅=，b =，求a 和c 的值
.
20．已知向量(3sin ,cos )x x =m ，(cos
)x x =-n ，()2
f x =⋅-m n . （1）求函数()f x 的最大值及取得最大值时x 的值； （2）若方程()f x a =在区间0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围. 21．已知函数()2
ln f x a x bx =-， a ， b R ∈． （1）若()f x 在1x =处与直线1
2
y
相切，求a ， b 的值． （2）在（1）的条件下，求()f x 在1,e e
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值．
22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C
的参数方程为cos x y α
α
=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，以原点O
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C
的极坐标方程为
cos()4
ρθπ
-=
（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；
（2）已知点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上，求||PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标．
参考答案
1．D 【详解】
对于集合{}
{}2
|430|13M x x x x x =-+≤=≤≤，对于集合
{}{}2|log 1|02N x x x x =≤=<≤，所以{}|03M N x x ⋃=<≤，故应选D ．
2．C 【详解】
1i z i
-=
2
(1)1i i
i i -==--. 所以在复平面上对应的点位于第三象限，故选C. 3．A 【分析】
根据充分必要条件及由x 范围的大小即可判断． 【详解】
由题设知，210x x ≥⇒≥，∵()[
)010⊂+∞，，
， ∴满足p q ⇒，但q
p ，
根据充分条件、必要条件、充要条件的定义，可知p 是q 的充分不必要条件． 故选A ． 【点睛】
本题考查了充分必要条件的判定，注意方向性，属于基础题． 4．B 【分析】
根据题意，逐项分析函数的奇偶性和单调性，即可求解. 【详解】
3:A y x =是定义域为R 的奇函数，不是减函数，故A 错误；
:sin B y x =-是奇函数，由sin y x =-的正弦曲线的性质可得该函数在区间0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上是减
函数，故B 正确；
:21C y x =+不满足奇函数，也不满足在区间0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上是减函数，故C 错误；
:cos D y x =是偶函数，不是奇函数，故而不符合题意，故D 错误.
故选：B 【点睛】
本题考查三角函数的奇偶性和单调性，属于基础题. 5．D 【分析】
根据题意，运用22sin cos 1αα+=构造齐次式，计算即可求解. 【详解】 由题意， 原式222
sin cos tan sin cos tan 1
ααα
ααα=
=++
代入tan α=
则有原式4
= 故选：D 【点睛】
本题考查齐次式求值，“1”的妙用，属于基础题. 6．B 【解析】 【分析】 根据条件可得()141142a b a b a b ⎛⎫
+=++ ⎪⎝⎭
然后利用基本不等式可求出最小值． 【详解】
∵实数a ，b ∈R +，且a +b ＝2，
∴()141141419552222
b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当
4b a a b =，即a 23=，b 4
3
=时取等号，
∴
14a b +的最小值为92
． 故选B ． 【点睛】
本题考查了利用基本不等式求最值和“1“的代换，考查了转化思想和计算能力，属基础题． 7．C 【分析】
根据题意，由逆否命题的改写判断①是真命题；由反证法假设结论的否定判断②是真命题；由含有一个量词的命题的否定形式判断③是真命题；由且命题的真值判断④是假命题，即可求解. 【详解】
对于①，交换条件和结论，并同时否定，而且“或”的否定为“且”，故①是真命题； 对于②，反证法证明时，假设结论的否定为正确则应假设1x ≠或1y ≠.故②是真命题； 对于③，含有量词（任意，存在）的命题的否定既要换量词，又要否定结论，故③是真命题； 对于④，命题p ，q 中只要有一个为假命题，“p 且q ”为假命题，故④是假命题. 故选：C 【点睛】
本题考查判断命题的真假，考查简易逻辑概念辨析，属于基础题. 8．B 【分析】
根据题意，结合等差数列性质，22m s t m s t a a a =+⇔=+，化简方程，得到94a =，在等比数列中应用性质2
2m s t m s t a a a =+⇔=⋅，计算即可求解. 【详解】
公差不为0的等差数列{}n a 中，2
4914220a a a -+=， 故有2
9940a a -=，求得94a =或0.
又数列{}n b 是等比数列，且990a b =≠，
则2
810916b b b ==.
故选：B
【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的下标和性质，属于基础题. 9．A 【解析】
试题分析：将函数2sin(4)y x ϕ=+的图象向右平移
6
π
个单位后得到的图象对应函数为22sin(4())2sin(4)63y x x ππ
ϕϕ=-+=+-，又图象关于y 轴对称，所以所得函数为偶函
数，在2()32k k Z ππϕπ-=+∈，即7()6k k Z πϕπ=+∈，所以ϕ的最小值为6
π，故选A ． 考点：函数的图像与性质．
10．D 【详解】
22212'()x f x x x x
-=-
+=， 由'()0f x =得2x =， 又函数定义域为(0,)+∞，
当02x <<时，'()0f x <，()f x 递减， 当2x >时，'()0f x >，()f x 递增， 因此2x =是函数()f x 的极小值点．故选D ． 考点：函数的极值． 11．A 【分析】
由函数的解析式可以看出,函数的零点呈周期性出现,且自变量趋向于正无穷大时,函数值在
x 轴上下震荡,幅度越来越小,而当自变量趋向于负无穷大时,函数值在x 轴上下震荡,幅度越
来越大.观察选项即可得出答案. 【详解】 cos 4
2
x
x
y =
∴ 由函数的解析式可以看出,函数的零点呈周期性出现,且自变量趋向于正无穷大时,函数值
在x 轴上下震荡,幅度越来越小,而当自变量趋向于负无穷大时,函数值在x 轴上下震荡,幅度越来越大.
对于A,符合上述分析,故A 正确;
对于B,振幅变化规律与函数的性质相悖,故B 不正确;
对于C,是一个偶函数的图像,而已知的函数不是一个偶函数,故C 不正确; 对于D,最高点离开原点的距离的变化趋势不符合题意,故D 不对确. 故选:A. 【点睛】
本题主要考查函数图像的识别,主要通过函数的奇偶性和函数图像上的特点进行排除,属于基础题. 12．C 【解析】
分析：首先根据g （x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解，将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给的
函数解析式，画出函数()f x 的图像（将(0)x
e x >去掉），再画出直线y x =-，并将其上下
移动，从图中可以发现，当1a -≤时，满足y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果.
详解：画出函数()f x 的图像，x
y e =在y 轴右侧的去掉，
再画出直线y x =-，之后上下移动，
可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程()f x x a =--有两个解， 也就是函数()g x 有两个零点， 此时满足1a -≤，即1a ≥-，故选C.
点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果. 13．10． 【解析】
试题分析：()22a =
-=
01
cos60102
a b a b ⋅===． 考点：平面向量数量积． 14．
18
【分析】
根据题意，代入自变量的值根据分段函数的不同范围代入解析式，计算即可求解. 【详解】
3log ,0()
2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩
311log 32727f ⎛⎫
∴==- ⎪⎝⎭
，
()31132278f f f -⎡⎤⎛⎫=-== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
.
故答案为：1
8
【点睛】
本题考查分段函数求值，属于基础题. 15．
5641
【分析】
根据题意，利用等差数列前n 项和公式，化简比例式
()()1191010119
1910101191911919
221922
a a a a a a S
b b b b T b b
++====++，代入即可求解. 【详解】
由已知条件可得：
()()1191010119
1010119
11919
221922
a a a a a a
b b b b b b ++===++
1919319156219341
S T ⨯-=
==⨯+ 故答案为：5641
【点睛】
本题考查等差数列前n 项和公式，属于基础题. 16．(-∞, 1] 【详解】 令
，则
，由于底数，故增且增，
由的图象知在[a ,+∞)上递增,
所以在区间[1,+∞)上是增函数时，a ≤1. 则a 的取值范围是(-∞, 1]. 17．（1）π3x =；（2
） 【详解】 试题分析：
（1）由向量平行的坐标表示可得； （2）由向量的数量积的坐标可得3
sin()6
5x π
+
=
，先求得cos()6
x π+，再由
()6
4
12
x x π
π
π
+
-
=-
，利用两角差的正弦公式可得．
试题解析：
（1）因为()sin cos m x x =，， 3122n ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭
，．且//m n ，
所以1sin cos 22
x x ⋅
=⋅
tan x =π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以π3x =．
（2）因为()sin cos m x x =，， 312n ⎛⎫= ⎪
⎪⎝⎭
，，且m n ⋅35=，所以13cos 225x x +=，即π3sin 65x ⎛
⎫+
= ⎪⎝
⎭，令π6x θ=+，则π6x θ=-，且3sin 5θ=，因为π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，，故
ππ
62θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以4cos 5θ===，所以ππππππsin sin sin sin cos cos sin 12612444x θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
34525210
=⨯-⨯=-
18．(1)3(3)2n a a n d n =+-=．（2）见解析. 【解析】
试题分析：（1）根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列出首项1a 和公差d 的方程组，即可求得首项1a 和公差d ，求得通项公式n a ；（2）利用累差法可求得(1)n b n n =+，所以
1111(1)1
n b n n n n ==-++，累和即可得到前n 项和n T . 试题解析：（1）{}n a 是等差数列且215313
a a a +=，233123
a a ∴=，
又
306n a a >∴=．
177447()
75682
a a S a a +=
==∴=， 432d a a ∴=-=，3(3)2n a a n d n ∴=+-=．
（2）
112n n n n b b a a n ++-==且，12(1)n n b b n +∴-=+
当2n ≥时，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+
22(1)222(1)n n n n =+-++⨯+=+，
当1n =时，12b =满足上式，(1)n b n n =+
1111(1)1
n b n n n n ∴
==-++ 12
111111111111
(1)()(
)()223
11
n n n T b b b b n n n n -∴=
+++
+=-+-++-+--+ 1111
n
n n =-
=++． 考点：等差数列的通项公式、前n 项和公式及累差法求通项及裂项法求和.
【方法点晴】本题主要考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式及累差法求数列的通项公式和数列的裂项法求和等基本方法，属于基础题.求等差数列的通项公式最基本的方法就是
根据题目条件解方程组求得基本量1
a 和公差d ；本题第（2）问解答的关键是求出数列1n
b ⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
的通项公式，先通过累差求出n b 即得1
n
b ，根据其形式特点可采用裂项法求出其前n 项和n T . 19．（1）1
cos 4
B =（2）a c ==【解析】
试题分析：（1）4sin cos sin
cos sin cos A B B C C B -=得4sin cos ?sin A B A =，所以
1cos 4
B =
；（2）
·3BA BC =得cos 3,12ac B ac ==，又有余弦定理得2222cos ,b a c ac B b =+-=2224a c +=，得a c == 试题解析：
（1）由题意得，4sin cos sin cos sin cos A B B C C B -=
所以()4sin cos sin cos sin cos sin sin A B B C C B B C A =+=+= 因为sin 0A ≠ 所以1
cos 4
B =
(2）由·3BA BC =得cos 3,12ac B ac ==
由2222cos ,b a c ac B b =+-=2224a c +=
所以()2
0,a c a c -==代入12ac =可得a c ==
20．(1) 6x k π
π=-，k ∈Z 时，函数f （x (2) ⎛ ⎝⎦
. 【分析】
（1）先通过数量积求出5()26
f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，再根据三角函数即可求出最大值．
（2）方程()f x a =在区间0,
2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数根表示()f x a =与y 在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有两个不同的交点，画出()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
的图像易得a 的取值范围．
【详解】
（1）23()3sin cos sin 2222
f x x x x x =⋅-
=--=-+m n
35
cos 2)sin 22226x x x x π⎛
⎫+=-=+ ⎪⎝
⎭
.
当52262x k πππ+
=+，即6
x k π
π=-，k ∈Z 时，函数f （x
（2）由于0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，55112,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.
而函数()g x x =
在区间53,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在区间311,26ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增.
又113622g g π
π⎛⎫⎛⎫=-=
⎪
⎪⎝⎭⎝⎭56g π⎛⎫
=
⎪⎝⎭结合图象（如图），所以方程()f x a =在区间0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有两个不同的实数根时，
2
a
⎛
∈-
⎝⎦
.故实数a
的取值范围为
2
⎛
-
⎝⎦
.
【点睛】
此题考查数列积运算得到三角函数的最值和在定区间值域的问题，通过图像
来解题较易，属于一般性题目，
21．（1）1
a=，
1
2
b=；（2）
1
2
-．
【解析】
【分析】
(1)根据导数的几何意义与函数值，代入即可求得a、b的值。

(2)根据导函数的符号，判断函数的单调性，进而在定义域内求得函数的最大值。

【详解】
（1）0
x>，()926
f x x
x
-
'=，
∴
()
()
10
{1
1
2
f
f
=
=-
'
，即
20
{1
2
a b
b
-=
-=-
，
∴
1
{1
2
a
b
=
=
．
（2）()2
1
ln
2
f x x x
=-，定义域()
0,
x∈+∞，
()2
11x
f x x
x x
'
-
=-=，()0
f x
'>，得01
x
<<，()0
f x
'<，得1
x>，
∴()
f x在
1
,1
e
⎛⎫
⎪
⎝⎭
上单调递增，在(1,e]上单调递减，
∴()
f x在
1
,
e
e
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
上最大值为()
1
1
2
f=-．
【点睛】
本题考查了导函数的几何意义，利用导数研究函数的单调性与最值，属于基础题。

22．（1）
2
21
3
y
x+=，60
x y
+-=；（2
）
13
(,)
22
P．
【解析】
（1
）由x cos y αα
=⎧⎪⎨=⎪⎩
可得2
21x +=，即22
13y x +=， 故曲线1C 的普通方程为22
13
y x +=，
由cos 4πρθ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
cos sin 22
ρθρθ+=
即
22
x y +=即60x y +-=， 故曲线2C 的直角坐标方程为60x y +-=．
（2）由题意，可设点P
的直角坐标为()
cos αα，
因为曲线2C 是直线，所以PQ 的最小值即点P 到直线60x y +-=的距离的最小值， 易得点P 到直线60x y +-=
的距离为36d πα⎛
⎫==+- ⎪⎝
⎭，
当且仅当()23
k k Z π
απ=+
∈时，d 取得最小值，
故PQ
取得最小值，最小值为P 的直角坐标为13,22⎛⎫
⎪⎝⎭
．。