讨论主题-窄带随机信号
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即：
ˆ(t ) sin 2π f t xc (t ) = ξ (t ) cos 2π f 0 t + ξ 0 ˆ xs (t ) = ξ (t ) sin 2π f 0 t − ξ (t ) cos 2π f 0 t
由此可得：
ξ (t ) = xc (t ) cos 2π f 0 t + xs (t ) sin 2π f 0 t ˆ ξ (t ) = xc (t ) sin 2π f 0 t − xs (t ) cos 2π f 0 t
c
τ = t1 − t 2
) = E{x s (t1 ) x s (t 2 )} =
s
= Rξ (τ ) cos 2π f 0τ − Rξξˆ (τ ) sin 2π f 0τ = Rx (τ )
s
τ = t1 − t 2
因为 S ξ ( f ) 没有直流分量， 因此 E{ξ (t )} = 0
同理可以求得：
Rx x (t1 , t 2 ) = − Rξ (τ ) sin 2π f 0τ − Rξξˆ (τ ) cos 2π f 0τ = Rx x (τ )
c s c s
Rx x (t1 , t 2 ) = Rξ (τ ) sin 2π f 0τ + Rξξˆ (τ ) cos 2π f 0τ = Rx x (τ )
+∞
2009－2010 年度秋季学期讨论课 孙应飞
=
1 ⋅ j[ Sξ ( f − f 0 ) + S ξ ( f + f 0 ) − 2 − sgn( f − f 0 ) S ξ ( f − f 0 ) − sgn( f + f 0 ) Sξ ( f + f 0 )]
j[ Sξ ( f − f 0 ) − S ξ ( f + f 0 )], = 0,
c
ˆ(t ) sin 2π f t ]} ⋅ [ξ (t 2 ) cos 2π f 0 t 2 + ξ 2 0 2 = Rξ (t1 , t 2 ) cos 2π f 0 t1 cos 2π f 0 t 2 + Rξˆ (t1 , t 2 ) sin 2π f 0 t1 sin 2π f 0 t 2 + + Rξξˆ (t1 , t 2 ) cos 2π f 0 t1 sin 2π f 0 t 2 + Rξˆξ (t1 , t 2 ) sin 2π f 0 t1 cos 2π f 0 t 2 = Rξ (τ ) cos 2π f 0 t1 cos 2π f 0 t 2 + Rξˆ (τ ) sin 2π f 0 t1 sin 2π f 0 t 2 + + Rξξˆ (τ ) cos 2π f 0 t1 sin 2π f 0 t 2 + Rξˆξ (τ ) sin 2π f 0 t1 cos 2π f 0 t 2 = Rξ (τ ) cos 2π f 0 (t1 − t 2 ) − Rξξˆ (τ ) sin 2π f 0 (t1 − t 2 ) = Rξ (τ ) cos 2π f 0τ − Rξξˆ (τ ) sin 2π f 0τ = ˆ Rx (τ )
f < fc f ≥ fc
（5） 由功率谱密度，求 xc (t ) 和 x s (t ) 的相关函数与互相关函数。 由功率谱与相关函数的关系以及功率谱的表达式，我们有：
+∞
x(t ) = V (t ) cos(ω 0 t + φ (t ))
式中 V (t ) 称为包络函数，它是随时间的慢变化函数。 φ (t ) 称为相位函数，它也 是随时间的慢变化函数。 f 0 = 开上式，我们有：
ω0 为信号 x(t ) 的频谱中心位置，称为载频。展 2π
x(t ) = V (t ) cos(ω0 t + φ (t )) = V (t ) cosφ (t ) cos ω 0 t − V (t ) sin φ (t ) sin ω0 t = xc (t ) cos ω0 t − xs (t ) sin ω0 t
2
Rξˆ (τ ) = Rξ (τ )
S ξˆξ ( f ) = − j sgn( f ) Sξ ( f ), Sξξˆ ( f ) = S ξˆξ ( f ) = j sgn( f ) Sξ ( f )
因此可得：
− Sξˆξ ( f ) = S ξξˆ ( f ) ⇒ − Rξˆξ (τ ) = Rξξˆ (τ )
0 0 0 0
+∞
1 = [ Sξ ( f − f 0 ) + S ξ ( f + f 0 )] + 2 1 + [sgn( f + f 0 ) S ξ ( f + f 0 ) − sgn( f − f 0 ) S ξ ( f − f 0 )] 2 S ξ ( f − f 0 ) + S ξ ( f + f 0 ), f < f c = f ≥ fc 0,
（3）写出 ξ (t ) 的分解表达式： 用 e
0
− j 2π f 0 t
和η (t ) 相乘，有：
ˆ(t )][cos 2π f t − j sin 2π f t ] η (t )e − j 2π f t = [ξ (t ) + jξ 0 0 ˆ(t ) sin 2π f t ] + = [ξ (t ) cos 2π f 0 t + ξ 0 ˆ(t ) cos 2π f t ] + j[−ξ (t ) sin 2π f 0 t + ξ 0 = ˆ xc (t ) − j x s (t )
c s c
= ∫−∞ [ Rξ (τ ) cos 2π f 0τ − Rξξˆ (τ ) sin 2π f 0τ ] e − j 2π f τ dτ 1 +∞ [ Rξ (τ )e − j 2π ( f − f )τ + Rξ (τ )e − j 2π ( f + f )τ ] dτ ∫ −∞ 2 1 +∞ − [ Rξξˆ (τ )e − j 2π ( f − f )τ − Rξξˆ (τ )e − j 2π ( f + f )τ ] dτ ∫ −∞ 2j 1 = [ Sξ ( f − f 0 ) + S ξ ( f + f 0 )] − 2 1 − [ j sgn( f − f 0 ) S ξ ( f − f 0 ) − j sgn( f + f 0 ) Sξ ( f + f 0 )] 2j =
2．
实窄带平稳随机信号的表示
如 果 一 个 实 平 稳 随 机 信 号 ξ (t ) 的 功 率 谱 密 度 S ( f ) 的 非 零 值 只 限 于
f 0 − f c < f < f 0 + f c 之内，在此之外功率谱密度为零，则称此实随机信号为
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c s s c c s
+∞
= − ∫−∞ [ Rξ (τ ) sin 2π f 0τ + Rξξˆ (τ ) cos 2π f 0τ ]e − j 2π f τ dτ = 1 ⋅ j[ S ξ ( f − f 0 ) + S ξ ( f + f 0 )] − 2 1 − [ j sgn( f − f 0 ) S ξ ( f − f 0 ) − j sgn( f + f 0 ) S ξ ( f + f 0 )] 2
H 1 ( jf ) = 2U ( f ) = 1 + sgn( f )
因此输出信号η (t ) 可以表示为
ˆ(t ) η (t ) = ξ (t ) + jξ
（B）
ˆ(t ) 可以理解为： 有一线性系统， 它的转移函数为 H ( f ) = − j sgn( f ) ， 其中信号 ξ
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ˆ(t ) 为 ξ (t ) 的 Hilbert 变换。 即ξ （B）式所表示的信号η (t ) 称为与 ξ (t ) 相联系的
解析信号。 （2）由于： H ( jf ) = − j sgn( f ) 因此有：
⇒
H ( jf ) = − j sgn( f ) = 1，
2
2
S ξˆ ( f ) = H ( jf ) S ξ ( f ) = Sξ ( f ) ⇒
s c s c
即 Rxc xs (τ ) = − Rxs xc (τ ) ，其中 τ = t1 − t 2 。因此 xc (t ) 和 x s (t ) 不仅是平稳过程， 而且是联合平稳的。 另外有：
S x x ( f ) = − S x x ( f ) = ∫−∞ Rx x (τ )e − j 2π f τ dτ =
ˆ(t ) 。 输入为 ξ (t ) ，输出即为 ξ
由于对应于转移函数 H ( f ) = − j sgn( f ) 的冲激响应为 h(t ) =
1 ，因此有： πt
ξˆ(t ) = ∫−∞ h(t − u )ξ (u )du =
+∞
π∫
1
+∞ −∞
ξ (u )
t −u
du =
1 * ξ (t ) πt
证明： （1）构造一随机信号η (t ) ，η (t ) 的功率谱密度为：
4 S ( f ), f > 0 Sη ( f ) = ξ f ≤0 0,
即：
Sη ( f ) = 4 Sξ ( f )U ( f )
其中 U ( f ) 为单位阶跃函数。
（A）
式（A）表示了随机信号 ξ (t ) 输入一线性系统，输出为η (t ) 的功率谱之间的 关系，线性系统的转移函数为：
窄带实平稳随机信号，称 f 0 为它的中心频率， 2 f c 为它的带宽。 关于窄带实平稳随机信号，我们有以下的定理。 定理：若 ξ (t ) 是窄带实平稳随机信号，它的功率谱密度为 S ξ ( f ) ，在频率范 围 f 0 − f c < f < f 0 + f c 内，S ξ ( f ) 异于零，在其它频率内 S ξ ( f ) = 0 ，则 ξ (t ) 可以表示为：
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（一）窄带随机信号的表示方法
1．
确定性窄带信号的表示
给定一确定性信号 x(t ), − ∞ < t < ∞ ，此信号的频谱为：
F ( jf ) = ∫−∞ x(t )e − j 2π f t d t
如果此频谱只在窄的频率范围内异于零，这异于零的频带的中心位于 ± f 0 ，带 宽为 ∆ f ，且 ∆ f << f 0 ，则这样的信号称为窄带信号。 这类窄带信号可以表示为：
c s
f < fc f ≥ fc f < fc f ≥ fc
j[ Sξ ( f − f 0 ) − Sξ ( f + f 0 )], S x x ( f ) = −S x x ( f ) = 0,
c s s c
并且有：
E{[ξ (t )]2 } = E{[ xc (t )]2 } = E{[ x s (t )]2 }
其中：
2πf 0 = ω0
V (t ) = xc2 (t ) + x s2 (t ) = φ ( ) ( ) cos ( ) x t V t t c ⇒ xs (t ) = φ ( ) t arctg = φ ( ) ( ) sin ( ) x t V t t s xc (t )
ξ (t ) = xc (t ) cos 2π f 0 t + xs (t ) sin 2π f 0 t
其中 xc (t ) ， x s (t ) 均为平稳随机过程，且满足：
S ( f − f 0 ) + Sξ ( f + f 0 ), Sx ( f ) = Sx ( f ) = ξ 0,
ˆ(t )} = 0 ， ⇒ E{ξ 由此可得：
E{xc (t )} = 0, E{x s (t )} = 0 ，这样我们得到 xc (t ) 和 xs (t ) 均为平稳过程。
下面我们求 xc (t ) 和 x s (t ) 的功率谱密度：
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+∞
S x ( f ) = S x ( f ) = ∫−∞ Rx (τ )e − j 2π f τ dτ =
（4）研究 xc (t ), x s (t ) 的统计特性：
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先求 xc (t ), x s (t ) 的相关函数及互相关函数， 然后导出功率谱密度函数的表达 式。
ˆ(t ) sin 2π f t ] ⋅ Rx (t1 , t 2 ) = E{xc (t1 ) xc (t 2 )} = E{[ξ (t1 ) cos 2π f 0 t1 + ξ 1 0 1
ˆ(t ) sin 2π f t xc (t ) = ξ (t ) cos 2π f 0 t + ξ 0 ˆ xs (t ) = ξ (t ) sin 2π f 0 t − ξ (t ) cos 2π f 0 t
由此可得：
ξ (t ) = xc (t ) cos 2π f 0 t + xs (t ) sin 2π f 0 t ˆ ξ (t ) = xc (t ) sin 2π f 0 t − xs (t ) cos 2π f 0 t
c
τ = t1 − t 2
) = E{x s (t1 ) x s (t 2 )} =
s
= Rξ (τ ) cos 2π f 0τ − Rξξˆ (τ ) sin 2π f 0τ = Rx (τ )
s
τ = t1 − t 2
因为 S ξ ( f ) 没有直流分量， 因此 E{ξ (t )} = 0
同理可以求得：
Rx x (t1 , t 2 ) = − Rξ (τ ) sin 2π f 0τ − Rξξˆ (τ ) cos 2π f 0τ = Rx x (τ )
c s c s
Rx x (t1 , t 2 ) = Rξ (τ ) sin 2π f 0τ + Rξξˆ (τ ) cos 2π f 0τ = Rx x (τ )
+∞
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=
1 ⋅ j[ Sξ ( f − f 0 ) + S ξ ( f + f 0 ) − 2 − sgn( f − f 0 ) S ξ ( f − f 0 ) − sgn( f + f 0 ) Sξ ( f + f 0 )]
j[ Sξ ( f − f 0 ) − S ξ ( f + f 0 )], = 0,
c
ˆ(t ) sin 2π f t ]} ⋅ [ξ (t 2 ) cos 2π f 0 t 2 + ξ 2 0 2 = Rξ (t1 , t 2 ) cos 2π f 0 t1 cos 2π f 0 t 2 + Rξˆ (t1 , t 2 ) sin 2π f 0 t1 sin 2π f 0 t 2 + + Rξξˆ (t1 , t 2 ) cos 2π f 0 t1 sin 2π f 0 t 2 + Rξˆξ (t1 , t 2 ) sin 2π f 0 t1 cos 2π f 0 t 2 = Rξ (τ ) cos 2π f 0 t1 cos 2π f 0 t 2 + Rξˆ (τ ) sin 2π f 0 t1 sin 2π f 0 t 2 + + Rξξˆ (τ ) cos 2π f 0 t1 sin 2π f 0 t 2 + Rξˆξ (τ ) sin 2π f 0 t1 cos 2π f 0 t 2 = Rξ (τ ) cos 2π f 0 (t1 − t 2 ) − Rξξˆ (τ ) sin 2π f 0 (t1 − t 2 ) = Rξ (τ ) cos 2π f 0τ − Rξξˆ (τ ) sin 2π f 0τ = ˆ Rx (τ )
f < fc f ≥ fc
（5） 由功率谱密度，求 xc (t ) 和 x s (t ) 的相关函数与互相关函数。 由功率谱与相关函数的关系以及功率谱的表达式，我们有：
+∞
x(t ) = V (t ) cos(ω 0 t + φ (t ))
式中 V (t ) 称为包络函数，它是随时间的慢变化函数。 φ (t ) 称为相位函数，它也 是随时间的慢变化函数。 f 0 = 开上式，我们有：
ω0 为信号 x(t ) 的频谱中心位置，称为载频。展 2π
x(t ) = V (t ) cos(ω0 t + φ (t )) = V (t ) cosφ (t ) cos ω 0 t − V (t ) sin φ (t ) sin ω0 t = xc (t ) cos ω0 t − xs (t ) sin ω0 t
2
Rξˆ (τ ) = Rξ (τ )
S ξˆξ ( f ) = − j sgn( f ) Sξ ( f ), Sξξˆ ( f ) = S ξˆξ ( f ) = j sgn( f ) Sξ ( f )
因此可得：
− Sξˆξ ( f ) = S ξξˆ ( f ) ⇒ − Rξˆξ (τ ) = Rξξˆ (τ )
0 0 0 0
+∞
1 = [ Sξ ( f − f 0 ) + S ξ ( f + f 0 )] + 2 1 + [sgn( f + f 0 ) S ξ ( f + f 0 ) − sgn( f − f 0 ) S ξ ( f − f 0 )] 2 S ξ ( f − f 0 ) + S ξ ( f + f 0 ), f < f c = f ≥ fc 0,
（3）写出 ξ (t ) 的分解表达式： 用 e
0
− j 2π f 0 t
和η (t ) 相乘，有：
ˆ(t )][cos 2π f t − j sin 2π f t ] η (t )e − j 2π f t = [ξ (t ) + jξ 0 0 ˆ(t ) sin 2π f t ] + = [ξ (t ) cos 2π f 0 t + ξ 0 ˆ(t ) cos 2π f t ] + j[−ξ (t ) sin 2π f 0 t + ξ 0 = ˆ xc (t ) − j x s (t )
c s c
= ∫−∞ [ Rξ (τ ) cos 2π f 0τ − Rξξˆ (τ ) sin 2π f 0τ ] e − j 2π f τ dτ 1 +∞ [ Rξ (τ )e − j 2π ( f − f )τ + Rξ (τ )e − j 2π ( f + f )τ ] dτ ∫ −∞ 2 1 +∞ − [ Rξξˆ (τ )e − j 2π ( f − f )τ − Rξξˆ (τ )e − j 2π ( f + f )τ ] dτ ∫ −∞ 2j 1 = [ Sξ ( f − f 0 ) + S ξ ( f + f 0 )] − 2 1 − [ j sgn( f − f 0 ) S ξ ( f − f 0 ) − j sgn( f + f 0 ) Sξ ( f + f 0 )] 2j =
2．
实窄带平稳随机信号的表示
如 果 一 个 实 平 稳 随 机 信 号 ξ (t ) 的 功 率 谱 密 度 S ( f ) 的 非 零 值 只 限 于
f 0 − f c < f < f 0 + f c 之内，在此之外功率谱密度为零，则称此实随机信号为
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c s s c c s
+∞
= − ∫−∞ [ Rξ (τ ) sin 2π f 0τ + Rξξˆ (τ ) cos 2π f 0τ ]e − j 2π f τ dτ = 1 ⋅ j[ S ξ ( f − f 0 ) + S ξ ( f + f 0 )] − 2 1 − [ j sgn( f − f 0 ) S ξ ( f − f 0 ) − j sgn( f + f 0 ) S ξ ( f + f 0 )] 2
H 1 ( jf ) = 2U ( f ) = 1 + sgn( f )
因此输出信号η (t ) 可以表示为
ˆ(t ) η (t ) = ξ (t ) + jξ
（B）
ˆ(t ) 可以理解为： 有一线性系统， 它的转移函数为 H ( f ) = − j sgn( f ) ， 其中信号 ξ
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ˆ(t ) 为 ξ (t ) 的 Hilbert 变换。 即ξ （B）式所表示的信号η (t ) 称为与 ξ (t ) 相联系的
解析信号。 （2）由于： H ( jf ) = − j sgn( f ) 因此有：
⇒
H ( jf ) = − j sgn( f ) = 1，
2
2
S ξˆ ( f ) = H ( jf ) S ξ ( f ) = Sξ ( f ) ⇒
s c s c
即 Rxc xs (τ ) = − Rxs xc (τ ) ，其中 τ = t1 − t 2 。因此 xc (t ) 和 x s (t ) 不仅是平稳过程， 而且是联合平稳的。 另外有：
S x x ( f ) = − S x x ( f ) = ∫−∞ Rx x (τ )e − j 2π f τ dτ =
ˆ(t ) 。 输入为 ξ (t ) ，输出即为 ξ
由于对应于转移函数 H ( f ) = − j sgn( f ) 的冲激响应为 h(t ) =
1 ，因此有： πt
ξˆ(t ) = ∫−∞ h(t − u )ξ (u )du =
+∞
π∫
1
+∞ −∞
ξ (u )
t −u
du =
1 * ξ (t ) πt
证明： （1）构造一随机信号η (t ) ，η (t ) 的功率谱密度为：
4 S ( f ), f > 0 Sη ( f ) = ξ f ≤0 0,
即：
Sη ( f ) = 4 Sξ ( f )U ( f )
其中 U ( f ) 为单位阶跃函数。
（A）
式（A）表示了随机信号 ξ (t ) 输入一线性系统，输出为η (t ) 的功率谱之间的 关系，线性系统的转移函数为：
窄带实平稳随机信号，称 f 0 为它的中心频率， 2 f c 为它的带宽。 关于窄带实平稳随机信号，我们有以下的定理。 定理：若 ξ (t ) 是窄带实平稳随机信号，它的功率谱密度为 S ξ ( f ) ，在频率范 围 f 0 − f c < f < f 0 + f c 内，S ξ ( f ) 异于零，在其它频率内 S ξ ( f ) = 0 ，则 ξ (t ) 可以表示为：
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（一）窄带随机信号的表示方法
1．
确定性窄带信号的表示
给定一确定性信号 x(t ), − ∞ < t < ∞ ，此信号的频谱为：
F ( jf ) = ∫−∞ x(t )e − j 2π f t d t
如果此频谱只在窄的频率范围内异于零，这异于零的频带的中心位于 ± f 0 ，带 宽为 ∆ f ，且 ∆ f << f 0 ，则这样的信号称为窄带信号。 这类窄带信号可以表示为：
c s
f < fc f ≥ fc f < fc f ≥ fc
j[ Sξ ( f − f 0 ) − Sξ ( f + f 0 )], S x x ( f ) = −S x x ( f ) = 0,
c s s c
并且有：
E{[ξ (t )]2 } = E{[ xc (t )]2 } = E{[ x s (t )]2 }
其中：
2πf 0 = ω0
V (t ) = xc2 (t ) + x s2 (t ) = φ ( ) ( ) cos ( ) x t V t t c ⇒ xs (t ) = φ ( ) t arctg = φ ( ) ( ) sin ( ) x t V t t s xc (t )
ξ (t ) = xc (t ) cos 2π f 0 t + xs (t ) sin 2π f 0 t
其中 xc (t ) ， x s (t ) 均为平稳随机过程，且满足：
S ( f − f 0 ) + Sξ ( f + f 0 ), Sx ( f ) = Sx ( f ) = ξ 0,
ˆ(t )} = 0 ， ⇒ E{ξ 由此可得：
E{xc (t )} = 0, E{x s (t )} = 0 ，这样我们得到 xc (t ) 和 xs (t ) 均为平稳过程。
下面我们求 xc (t ) 和 x s (t ) 的功率谱密度：
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+∞
S x ( f ) = S x ( f ) = ∫−∞ Rx (τ )e − j 2π f τ dτ =
（4）研究 xc (t ), x s (t ) 的统计特性：
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先求 xc (t ), x s (t ) 的相关函数及互相关函数， 然后导出功率谱密度函数的表达 式。
ˆ(t ) sin 2π f t ] ⋅ Rx (t1 , t 2 ) = E{xc (t1 ) xc (t 2 )} = E{[ξ (t1 ) cos 2π f 0 t1 + ξ 1 0 1