2020届高考数学理一轮(新课标通用)考点测试：54 抛物线

考点测试54　抛物线
高考概览
本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为5分或12分，中、高等难度
考纲研读
1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)
2．理解数形结合的思想
3．
了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用
一、基础小题
1．抛物线y ＝x 2的准线方程是( )
1
4A ．y ＝－1 B ．y ＝－2 C ．x ＝－1 D ．x ＝－2答案　A
解析　依题意，抛物线x 2＝4y 的准线方程是y ＝－1，故选A ．
2．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线准线的距离为( )
A ．4
B ．6
C ．8
D ．12答案　B
解析　依题意得，抛物线y 2＝8x 的准线方程是x ＝－2，因此点P 到该抛物线准线的距离为4＋2＝6，故选B ．
3．到定点A (2，0)与定直线l ：x ＝－2的距离相等的点的轨迹方程为( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x
C ．x 2＝8y
D ．x 2＝－8y 答案　A
解析　由抛物线的定义可知该轨迹为抛物线且p ＝4，焦点在x 轴正半轴上，故选A ．
4．若抛物线y 2＝2px (p >0)上的点A (x 0，)到其焦点的距离是A 到y 轴距离2的3倍，则p 等于( )
A ．
B ．1
C ．
D ．21
23
2答案　D
解析　由题意3x 0＝x 0＋，x 0＝，则＝2，∵p >0，∴p ＝2，故选D ．p
2p
4p 2
25．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |等于( )
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10答案　C
解析　由抛物线y 2＝4x 得p ＝2，由抛物线定义可得
|AB |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2，又因为x 1＋x 2＝6，所以|AB |＝8，故选C ．
6．若抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点为( )
A ．(1，2)
B ．(0，0)
C ．，1
D ．(1，4)1
2答案　C
解析　解法一：根据题意，直线y ＝4x －5必然与抛物线y ＝4x 2相离，抛物线上到直线的最短距离的点就是与直线y ＝4x －5平行的抛物线的切线的切
点．由y ′＝8x ＝4得x ＝，故抛物线的斜率为4的切线的切点坐标是，1，该1
21
2点到直线y ＝4x －5的距离最短．故选C ．
解法二：抛物线上的点(x ，y )到直线y ＝4x －5的距离是d ＝＝
|4x －y －5|
17
＝
，显然当x ＝时，d 取得最小值，此时y ＝1．故选C ．
|4x －4x 2－5|
17
4x －1
2
2＋4
17
1
2
7．已知动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．
答案　y 2＝4x
解析　设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1，0)的距离与其到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x ．
8．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上
的一点，且满足|NF |＝|MN |，则∠NMF ＝________．
3
2答案　π6
解析　过N 作准线的垂线，垂足是P ，则有|PN |＝|NF |，
∴|PN |＝|MN |，∠NMF ＝∠MNP ．又cos ∠MNP ＝，∴∠MNP ＝，即
3
23
2π
6∠NMF ＝．
π
6二、高考小题
9．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2，0)且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则·＝( )
2
3FM → FN → A ．5 B ．6 C ．7 D ．8答案　D
解析　根据题意，过点(－2，0)且斜率为的直线方程为y ＝(x ＋2)，与抛物2
32
3线方程联立Error!消去x 并整理，得y 2－6y ＋8＝0，解得M (1，2)，N (4，4)，又F (1，0)，所以＝(0，2)，＝(3，4)，从而可以求FM → FN
→ 得·＝0×3＋2×4＝8，故选D ．
FM
→ FN → 10．(2017·全国卷Ⅰ)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )
A ．16
B ．14
C ．12
D ．10
答案　
A
解析　因为F 为y 2＝4x 的焦点，所以F (1，0)．
由题意直线l 1，l 2的斜率均存在，且不为0，设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－，故直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k (x －1)，
1
k y ＝－(x －1)．
1k 由Error!得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝
，x 1x 2＝1，
2k 2＋4
k 2所以|AB |＝·|x 1－x 2|1＋k 2＝·1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2
＝·
＝
．
1＋k 22k 2＋4
k 2
2－4
4(1＋k 2)k 2
同理可得|DE |＝4(1＋k 2)．
所以|AB |＋|DE |＝＋4(1＋k 2)
4(1＋k 2)
k 2
＝4＋1＋1＋k 2＝8＋4k 2＋≥8＋4×2＝16，
1
k 21
k 2当且仅当k 2＝，即k ＝±1时，取得等号．故选A ．
1
k 211．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1，1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________．
答案　2
解析　设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则Error!
所以y －y ＝4x 1－4x 2，2
12所以k ＝＝．
y 1－y 2
x 1－x 24
y 1＋y 2取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1 的垂线，垂足分
别为A ′，B ′．
因为∠AMB ＝90°，所以|MM ′|＝|AB |＝(|AF |＋|BF |)＝(|AA ′|＋|BB ′|)．1
21
21
2因为M ′为AB 的中点，所以MM ′平行于x 轴．因为M (－1，1)，所以y 0＝1，则y 1＋y 2＝2，所以k ＝2．
12．(2018·北京高考)已知直线l 过点(1，0)且垂直于x 轴．若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．
答案　(1，0)
解析　由题意得a >0，设直线l 与抛物线的两交点分别为A ，B ，不妨令A 在B 的上方，则A (1，2)，B (1，－2)，故|AB |＝4＝4，得a ＝1，故抛物线方a a a 程为y 2＝4x ，其焦点坐标为(1，0)．
13．(2017·天津高考)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ．已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点
A ．若∠FAC ＝120°，则圆的方程为________．
答案　(x ＋1)2＋(y －)2＝1
3解析　由y 2＝4x 可得点F 的坐标为(1，0)，准线l 的方程为x ＝－1．由圆心C 在l 上，且圆C 与y 轴正半轴相切(如图)，可得点C 的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO ＝90°．又因为∠FAC ＝120°，
所以∠OAF ＝30°，所以|OA |＝，所以点C 的纵坐标为．
33
所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －)2＝1．3三、模拟小题
14．(2018·沈阳监测)抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( )
A ．(0，a )
B ．(a ，0)
C ．
D ．(0，
116a )(1
16a
，0
)答案　C
解析　将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝y (a ≠0)，所以焦点坐标为
1
4a ，故选C ．
(
0，
1
16a )
15．(2018·太原三模)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，
直线PF 与抛物线交于M ，N 两点，若＝3，则|MN |＝( )
PF → MF
→ A ． B ．8 C ．16 D ．16
383
3答案　A
解析　由题意F (1，0)，设直线PF 的方程为y ＝k (x －1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．因为准线方程为x ＝－1，所以得P (－1，－2k )．所以＝(2，2k )，PF
→ ＝(1－x 1，－y 1)，因为＝3，所以2＝3(1－x 1)，解得x 1＝．把
MF → PF → MF
→ 1
3y ＝k (x －1)代入y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，所以x 1x 2＝1，所以x 2＝3，从
而得|MN |＝|MF |＋|NF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝x 1＋x 2＋2＝．故选A ．
16
316．(2018·豫南九校联考)已知点P 是抛物线x 2＝4y 上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是(8，7)，则|PA |＋|PQ |的最小值为( )
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10答案　C
解析　延长PQ 与准线交于M 点，抛物线的焦点为F (0，1)，准线方程为y ＝－1，根据抛物线的定义知，
|PF |＝|PM |＝|PQ |＋1．∴|PA |＋|PQ |＝|PA |＋|PM |－1＝|PA |＋|PF |－1≥|AF |－1＝－1＝10－1＝9．
82＋(7－1)2当且仅当A ，P ，F 三点共线时，等号成立，则|PA |＋|PQ |的最小值为9．故选C ．
17．(2018·青岛质检)已知点A 是抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的对称轴与准线的交点，过点A 作抛物线C 的两条切线，切点分别为P ，Q ，若△APQ 的面积为4，则实数p 的值为( )
A ．
B ．1
C ．
D ．21
23
2答案　D
解析　解法一：设过点A 且与抛物线C 相切的直线为y ＝kx －．由Error!得p
2x 2－2pkx ＋p 2＝0．由
Δ＝4p 2k 2－4p 2＝0，得k ＝±1，所以得点P －p ，，
p
2Qp ，，
所以△APQ 的面积为S ＝×2p ×p ＝4，解得p ＝
2．故选D ．p
21
2解法二：如图，设点P (x 1，y 1)，
Q (x 2，y 2)．由题意得点A 0，－．y ＝x 2，求导得y ′＝x ，所以切线PA 的p
212p 1
p 方程为y －y 1＝x 1(x －x 1)，即y ＝x 1x －x ，切线PB 的方程为y －y 2＝x 2(x －x 2)，1
p 1
p 1
2p 2
11
p 即y ＝x 2x －x ，代入A 0，－，得点P －p ，，
Qp ，，所以△APQ 的面积为1p 1
2p 2p 2p
2p
2S ＝×2p ×p ＝4，解得p ＝2．故选D ．
1
218．(2018·沈阳质检一)已知抛物线y 2＝4x 的一条弦AB 恰好以P (1，1)为中点，则弦AB 所在直线的方程是________．
答案　2x －y －1＝0
解析　设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由A ，B 都在抛物线上，可得Error!作差得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．因为AB 中点为P (1，1)，所以y 1＋y 2＝2，则有2·＝4，所以k AB ＝＝2，从而直线AB 的方程为y －1＝2(x －1)，即y 1－y 2
x 1－x 2y 1－y 2
x 1－x 22x －y －1＝0
．
一、高考大题
1．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2，0)，B (－2，0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．
(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；(2)证明：∠ABM ＝∠ABN ．
解　(1)当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝2，可得M 的坐标为(2，2)或(2，－2)．
所以直线BM 的方程为y ＝x ＋1或y ＝－x －1．
1
21
2(2)证明：当l 与x 轴垂直时，AB 为线段MN 的垂直平分线，所以
∠ABM ＝∠ABN ．
当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0．
由Error!得ky 2－2y －4k ＝0，可知y 1＋y 2＝，y 1y 2＝－4．2
k 直线BM ，BN 的斜率之和为
k BM ＋k BN ＝＋＝
．①
y 1x 1＋2y 2x 2＋2x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)
(x 1＋2)(x 2＋2)
将x 1＝＋2，x 2＝＋2及y 1＋y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得
y 1
k y 2
k x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)＝2y 1y 2＋4k (y 1＋y 2)
k
＝
＝0．所以k BM ＋k BN ＝0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以
－8＋8k
∠ABM ＝∠ABN ．
综上，∠ABM ＝∠ABN ．
2．(2018·浙江高考)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C
上．
(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；
(2)若P 是半椭圆x 2＋＝1(x <0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围．
y 2
4解　(1)证明：设P (x 0，y 0)，A y ，y 1，B y ，y 2．1
4211
42因为PA ，PB 的中点在抛物线上，
所以y 1，y 2为方程2＝4·
即y 2－2y 0y ＋8x 0－y ＝0的两个不同的y ＋y 0
2
1
4
y 2＋x 02
2
0实根．
所以y 1＋y 2＝2y 0，因此，PM 垂直于y 轴．(2)由(1)可知Error!
所以|PM |＝(y ＋y )－x 0＝y －3x 0，1
82123420|y 1－y 2|＝2．2(y 2
0－4x 0)因此，△PAB 的面积S △PAB ＝|PM |·|y 1－y 2|1
2＝(y －4x 0)．32
42
032因为x ＋＝1(x 0<0)，2
0y 20
4所以y －4x 0＝－4x －4x 0＋4∈[4，5]．2
020因此，△PAB 面积的取值范围是6，．
21510
4
3．(2018·北京高考)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1，2)．过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．
(1)求直线l 的斜率的取值范围；
(2)设O 为原点，＝λ，＝μ，求证：＋为定值．QM → QO → QN → QO
→ 1λ1
μ解　(1)因为抛物线y 2＝2px 过点(1，2)，所以2p ＝4，即p ＝2．故抛物线C 的方程为y 2＝4x ，
由题意知，直线l 的斜率存在且不为0．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)．由Error!得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0．
依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1>0，
解得k <0或0<k <1．
又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2)．
从而k ≠－3．
所以直线l 斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0，1)．
(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由(1)知x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝．
2k －4
k 21k 2直线PA 的方程为y －2＝(x －1)．
y 1－2
x 1－1令x ＝0，得点M 的纵坐标为
y M ＝＋2＝＋2．
－y 1＋2x 1－1－kx 1＋1
x 1－1同理得点N 的纵坐标为y N ＝＋2．
－kx 2＋1
x 2－1由＝λ，＝μ得λ＝1－y M ，μ＝1－y N ．
QM → QO → QN → QO → 所以＋＝＋＝＋＝·＝1λ1μ11－yM 11－yN x 1－1(k －1)x 1x 2－1(k －1)x 21k －12x 1x 2－(x 1＋x 2)x 1x 2·＝2．1
k －12
k 2
＋2k －4k 21k 2
所以＋为定值．
1λ1μ二、模拟大题
4．(2018·湖北八市联考)如图，已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)，其焦点到准线的
距离为2，圆S ：x 2＋y 2－py ＝0，直线l ：y ＝kx ＋与圆和抛物线自左至右顺次交p 2于A ，B ，C ，D 四点．
(1)若线段AB ，BC ，CD 的长按此顺序构成一个等差数列，求正数k 的值；
(2)若直线l 1过抛物线焦点且垂直于直线l ，l 1与抛物线交于点M ，N ，设MN ，AD 的中点分别为P ，Q ，求证：直线PQ 过定点．
解　(1)由题意可得p ＝2，所以抛物线x 2＝4y ，
圆S 的方程可化为x 2＋(y －1)2＝1，其圆心S (0，1)，圆的半径为1，设点A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．
由Error!得x 2－4kx －4＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，
所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2，
所以|AB |＋|CD |＝|AS |＋|DS |－|BC |
＝y 1＋1＋y 2＋1－2
＝y 1＋y 2＝4k 2＋2＝2|BC |＝4，
所以k ＝(负值舍去)．
22(2)证明：因为x 1＋x 2＝4k ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2，
所以Q (2k ，2k 2＋1)．
当k ≠0时，用－替换k 可得P －，＋1，
1k 2k 2k 2所以k PQ ＝，
k 2－1k 所以PQ 的直线方程为y －(2k 2＋1)＝
(x －2k )，k 2－1k 化简得y ＝x ＋3，过定点(0，3)．k 2－1k 当k ＝0时，直线l 1与抛物线只有一个交点，不符合题意，舍去．
5．(2018·珠海摸底)已知椭圆C 1，抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和
C 2的顶点均为原点O ，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是(3，－2)，
3(－2，0)，(4，－4)，，
．22
2(1)求C 1，C 2的标准方程；
(2)是否存在直线l 满足条件：①过C 2的焦点F ；②与C 1交于不同的两点
M ，N ，且满足⊥？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
OM → ON → 解　(1)设抛物线C 2：y 2＝2px (p ≠0)，
则有＝2p (x ≠0)，
y 2
x 据此验证四个点知(3，－2)，(4，－4)在抛物线上，
3易得，抛物线C 2的标准方程为y 2＝4x ．
设椭圆C 1：＋＝1(a >b >0)，
x 2a 2y 2
b 2把点(－2，0)，，代入可得a 2＝4，b 2＝1，
222所以椭圆C 1的标准方程为＋y 2＝1．
x 2
4(2)由抛物线的标准方程可得C 2的焦点F (1，0)，
当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1．
直线l 交椭圆C 1于点M 1，
，N 1，－，323
2·≠0，不满足题意．
OM → ON → 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，并设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．
由Error!消去y ，得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－1)＝0，于是x 1＋x 2＝，
8k 2
1＋4k 2x 1x 2＝．　①
4(k 2－1)
1＋4k 2则y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1)
＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]
＝k 2－＋1
4(k 2－1)1＋4k 28k 2
1＋4k 2＝．　②
－3k 2
1＋4k 2由⊥得x 1x 2＋y 1y 2＝0．　③
OM → ON → 将①②代入③式，得＋＝＝0，
4(k 2－1)1＋4k 2－3k 21＋4k 2k 2－4
1＋4k 2解得k ＝±2，所以存在直线l 满足条件，且l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0．
6．(2018·石家庄质检二)已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝的圆心C 在抛物线94x 2＝2py (p ＞0)上，圆C 过原点且与抛物线的准线相切．
(1)求该抛物线的方程；
(2)过抛物线焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，分别在A ，B 处作抛物线的两条切线交于点P ，求△PAB 面积的最小值及此时直线l 的方程．
解　(1)由已知可得圆心C (a ，b )，
半径r ＝，焦点F 0，，准线y ＝－，因为圆C 与抛物线F 的准线相切，所32p 2p 2以b ＝－．又因为圆C 过原点，且圆C 过焦点F ，所以圆心C 必在线段OF 的
32p 2垂直平分线上，即b ＝，所以－＝，解得p ＝2，
p 432p 2p 4所以抛物线的方程为x 2＝4y ．
(2)易得焦点F (0，1)，直线l 的斜率必存在，设为k ，即直线l 的方程为y ＝kx ＋1，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
由Error!得x 2－4kx －4＝0，Δ>0，
所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，
对y ＝求导得y ′＝，即k AP ＝．
x 24x 2x 12
直线AP 的方程为y －y 1＝(x －x 1)，
x 12即y ＝x －x ，x 12142
1同理得直线BP 的方程为y ＝x －x ．
x 22142设点P (x 0，y 0)，联立直线AP 与BP 的方程，解得Error!即P (2k ，－1)，所以|AB |＝|x 1－x 2|＝4(1＋k 2)，点P 到直线
1＋k 2AB 的距离d ＝＝2，所以△PAB 的面积|2k 2＋2|
1＋k 21＋k 2S ＝·4(1＋k 2)·2＝4(1＋k 2)≥4，
121＋k 23
2
当且仅当
k
＝
0时取等号
．
综上，
△
PAB
面积的最小值为
4
，此时直线
l
的方程为
y
＝
1
．。