顺城区第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

顺城区第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别为（ ）
A ．10 13
B ．12.5 12
C ．12.5 13
D ．10 15
2． 以过椭圆+=1（a ＞b ＞0）的右焦点的弦为直径的圆与其右准线的位置关系是（ ）
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．不能确定
3． 已知全集U=R ，集合M={x|﹣2≤x ﹣1≤2}和N={x|x=2k ﹣1，k=1，2，…}的关系的韦恩（Venn ）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．无穷多个
4． 在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元．已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于，且获得一等奖
的人数不能少于2人，那么下列说法中错误的是（ ）
A ．最多可以购买4份一等奖奖品
B ．最多可以购买16份二等奖奖品
C ．购买奖品至少要花费100元
D ．共有20种不同的购买奖品方案
5． 已知函数()cos (0)f x x x ωωω+>，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于
π，则()f x 的一条对称轴是（ ）
A ．12
x π=-
B ．12
x π=
C ．6
x π
=-
D ．6
x π
=
6． 下列结论正确的是（ ）
A ．若直线l ∥平面α，直线l ∥平面β，则α∥β．
B ．若直线l ⊥平面α，直线l ⊥平面β，则α∥β．
C ．若直线l 1，l 2与平面α所成的角相等，则l 1∥l 2
D ．若直线l 上两个不同的点A ，B 到平面α的距离相等，则l ∥α
7． 某个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图中的圆弧是半径为2的半圆，则该几何体的表面积为 （ ）
A ．π1492+
B ．π1482+
C ．π2492+
D ．π2482+
【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的面积度量.重点考查空间想象能力及对基本面积公式的运用，难度中等.
8． 设函数()(
)2
1,141
x x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则使得()1f x ≥的自变量的取值范围为（ ） A ．(][],20,10-∞- B ．(][],20,1-∞-
C ．(]
[],21,10-∞- D ．[][]2,01,10-
9． 已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列，点22(2,log )M a 、25(5,log )N a 都在直线1y x =-上，则数列{}n a 的前n 项和为（ ）
A ．22n
- B ．1
2
2n +- C ．21n - D ．121n +-
10．若复数z=2﹣i （ i
为虚数单位），则=（ ） A ．4+2i B ．20+10i
C ．4﹣2i D
．
11．已知f （x ）=ax 3+bx+1（ab ≠0），若f （2016）=k ，则f （﹣2016）=（ ） A ．k
B ．﹣k
C ．1﹣k
D ．2﹣k
12．抛物线y=﹣8x 2的准线方程是（ ） A ．
y=
B ．y=2
C ．
x=
D ．y=﹣2
二、填空题
13．若直线y ﹣kx ﹣1=0（k ∈R
）与椭圆恒有公共点，则m 的取值范围是 ．
14．设f （x ）是（x 2
+）6
展开式的中间项，若f （x ）≤mx 在区间
[
，]上恒成立，则实数m 的取值范
围是 ．
15．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）=()
210{ 21(0)
x
x
x e x x x +≥++<，若函数y=f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点，则a 的取值范围是_____． 16．已知函数22tan ()1tan x f x x =
-，则()3
f π
的值是_______，()f x 的最小正周期是______.
【命题意图】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质等基础知识，意在考查运算求解能力． 17
．平面向量
，满足
|2
﹣|=1，
|﹣
2|=1
，则的取值范围 ．
18．若命题“∀x ∈R ，|x ﹣2|＞kx+1”为真，则k 的取值范围是 ．
三、解答题
19．已知数列{a n }满足a 1
=，a n+1=a n
+（n ∈N *）．证明：对一切n ∈N *
，有
（Ⅰ
）
＜
；
（Ⅱ）0＜a n ＜1．
20．（本小题满分12分）
一个盒子里装有编号为1、2、3、4、5的五个大小相同的小球，第一次从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号，并将小球放回盒子，第二次再从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号． （Ⅰ）求第一次或第二次取到3号球的概率；
（Ⅱ）设ξ为两次取球时取到相同编号的小球的个数，求ξ的分布列与数学期望．
21．已知F 1，F 2分别是椭圆=1（9＞m ＞0）的左右焦点，P 是该椭圆上一定点，若点P 在第一象限，
且|PF 1|=4，PF 1⊥PF 2． （Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）求点P 的坐标．
22． 坐标系与参数方程
线l ：3x+4y ﹣12=0与圆C ：（θ为参数 ）试判断他们的公共点个数．
23．（本小题满分12分）若二次函数()()2
0f x ax bx c a =++≠满足()()+12f x f x x -=,
且()01f =.
（1）求()f x 的解析式； （2）若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立，求实数m 的取值范围．
24．设函数f （x ）=lg （a x ﹣b x ），且f （1）=lg2，f （2）=lg12
（1）求a ，b 的值．
（2）当x ∈[1，2]时，求f （x ）的最大值．
（3）m 为何值时，函数g （x ）=a x 的图象与h （x ）=b x
﹣m 的图象恒有两个交点．
顺城区第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标，
∴中间的一个矩形最高，故10与15的中点是12.5，众数是12.5
而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于Y轴的直线横坐标
第一个矩形的面积是0.2，第三个矩形的面积是0.3，故将第二个矩形分成3：2即可
∴中位数是13
故选：C．
【点评】用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．频率分布直方图中小长方形的面积=组距
×，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求众数和中位数，属于常规题型．
2．【答案】C
【解析】解：设过右焦点F的弦为AB，右准线为l，A、B在l上的射影分别为C、D
连接AC、BD，设AB的中点为M，作MN⊥l于N
根据圆锥曲线的统一定义，可得
==e，可得
∴|AF|+|BF|＜|AC|+|BD|，即|AB|＜|AC|+|BD|，
∵以AB为直径的圆半径为r=|AB|，|MN|=（|AC|+|BD|）
∴圆M到l的距离|MN|＞r，可得直线l与以AB为直径的圆相离
故选：C
【点评】本题给出椭圆的右焦点F，求以经过F的弦AB为直径的圆与右准线的位置关系，着重考查了椭圆的简单几何性质、圆锥曲线的统一定义和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
3．【答案】B
【解析】解：根据题意，分析可得阴影部分所示的集合为M∩N，
又由M={x|﹣2≤x﹣1≤2}得﹣1≤x≤3，
即M={x|﹣1≤x≤3}，
在此范围内的奇数有1和3．
所以集合M∩N={1，3}共有2个元素，
故选B．
4．【答案】D
【解析】【知识点】线性规划
【试题解析】设购买一、二等奖奖品份数分别为x，y，
则根据题意有：，作可行域为：
A(2，6)，B(4，12)，C(2，16)．在可行域内的整数点有：（2，6），（2，7），……．（2，16），（3，9），（3，10），……．．(3，14)，(4，12)，共11+6+1=18个。

其中，x最大为4，y最大为16．
最少要购买2份一等奖奖品，6份二等奖奖品，所以最少要花费100元。

所以A 、B 、C 正确，D 错误。

故答案为：D 5． 【答案】D 【解析】
试题分析：由已知()2sin()6
f x x π
ω=+
，T π=，所以22π
ωπ=
=，则()2sin(2)6
f x x π
=+，令 2,62x k k Z π
π
π+
=+
∈，得,26
k x k Z ππ
=
+∈，可知D 正确．故选D ．
考点：三角函数()sin()f x A x ωϕ=+的对称性． 6． 【答案】B
【解析】解：A 选项中，两个平面可以相交，l 与交线平行即可，故不正确； B 选项中，垂直于同一平面的两个平面平行，正确；
C 选项中，直线与直线相交、平行、异面都有可能，故不正确；
D 中选项也可能相交． 故选：B ．
【点评】本题考查平面与平面，直线与直线，直线与平面的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
7． 【答案】A
8． 【答案】A 【解析】
考
点：分段函数的应用.
【方法点晴】本题主要考查了分段函数的应用，其中解答中涉及到不等式的求解，集合的交集和集合的并集运算，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据
分段函数的分段条件，列出相应的不等式，通过求解每个不等式的解集，利用集合的运算是解答的关键. 9． 【答案】C
【解析】解析：本题考查等比数列的通项公式与前n 项和公式．22log 1a =，25log 4a =，∴22a =,516a =,∴11a =,2q =，数列{}n a 的前n 项和为21n
-，选C ．
10．【答案】A
【解析】解：∵z=2﹣i ，
∴==
=
=
，
∴
=10•
=4+2i ，
故选：A ．
【点评】本题考查复数的运算，注意解题方法的积累，属于基础题．
11．【答案】D
【解析】解：∵f （x ）=ax 3+bx+1（ab ≠0），f （2016）=k ， ∴f （2016）=20163a+2016b+1=k ， ∴20163a+2016b=k ﹣1，
∴f （﹣2016）=﹣20163a ﹣2016b+1=﹣（k ﹣1）+1=2﹣k ． 故选：D ．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
12．【答案】A
【解析】解：整理抛物线方程得x 2
=﹣y ，∴p=
∵抛物线方程开口向下，
∴准线方程是y=，
故选：A ．
【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．
二、填空题
13．【答案】 [1，5）∪（5，+∞） ．
【解析】解：整理直线方程得y ﹣1=kx ，
∴直线恒过（0，1）点，因此只需要让点（0.1）在椭圆内或者椭圆上即可，
由于该点在y 轴上，而该椭圆关于原点对称，
故只需要令x=0有
5y2=5m
得到y2=m
要让点（0.1）在椭圆内或者椭圆上，则y≥1即是
y2≥1
得到m≥1
∵椭圆方程中，m≠5
m的范围是[1，5）∪（5，+∞）
故答案为[1，5）∪（5，+∞）
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．本题采用了数形结合的方法，解决问题较为直观．14．【答案】[5，+∞）．
【解析】二项式定理．
【专题】概率与统计；二项式定理．
【分析】由题意可得f（x）=x3，再由条件可得m≥x2在区间[，]上恒成立，求得x2在区间[，]上的最大值，可得m的范围．
【解答】解：由题意可得f（x）=x6=x3．
由f（x）≤mx在区间[，]上恒成立，可得m≥x2
在区间[，]上恒成立，
由于x2在区间[，]上的最大值为5，故m≥5，
即m的范围为[5，+∞），
故答案为：[5，+∞）．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，函数的恒成立问题，属于中档题．
15．【答案】
11 [133
e e
⎧⎫+⋃+
⎨⎬
⎩⎭
，）
【解析】当x＜0时，由f（x）﹣1=0得x2+2x+1=1，得x=﹣2或x=0，
当x ≥0时，由f （x ）﹣1=0得
110x x
e
+-=，得x=0， 由，y=f （f （x ）﹣a ）﹣1=0得f （x ）﹣a=0或f （x ）﹣a=﹣2， 即f （x ）=a ，f （x ）=a ﹣2， 作出函数f （x ）的图象如图：
y=
1x
x
e +≥1（x ≥0）， y ′=1x
x e
-，当x ∈（0，1）时，y ′＞0，函数是增函数，x ∈（1，+∞）时，y ′＜0，函数是减函数，
x=1时，函数取得最大值：1
1e
+，
当1＜a ﹣211e <+时，即a ∈（3，3+1
e ）时，y=
f （f （x ）﹣a ）﹣1有4个零点，
当a ﹣2=1+1e 时，即a=3+1
e 时则y=
f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点，
当a ＞3+1
e 时，y=
f （f （x ）﹣a ）﹣1有1个零点
当a=1+1
e 时，则y=
f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点，
当11{ 21
a e a >+-≤时，即a ∈（1+1e
，3）时，y=f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点．
综上a ∈1
1[133e
e ⎧⎫+⋃+⎨⎬⎩⎭
，），函数有3个零点． 故答案为：11[133e
e ⎧⎫+⋃+⎨⎬⎩⎭
，）．
点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 16．
【答案】π.
【解析】∵22tan ()tan 21tan x f x x x ==-
，∴2()tan 33f ππ==22
1tan 0
x k x ππ⎧≠+⎪
⎨⎪-≠⎩
，∴()f x 的定义域为(,)(,)(,)244442k k k k k k ππππ
ππ
πππ
πππ-+-+
-++++，k Z ∈，将(
)f x
的图象如下图画出，从而可知其最小正周期为π
，故填：
，π
.
17
．【答案】
[
，1]
．
【解析】
解：设两个向量的夹角为
θ， 因为|2﹣
|=1，|﹣2|=1， 所以，
，
所以，
=
所以5
=1，所以
，所以5a 2
﹣1∈[
]，
[，1]，
所以；
故答案为：[，1]．
【点评】本题考查了向量的模的平方与向量的平方相等的运用以及通过向量的数量积定义，求向量数量积的范围．
18．【答案】[﹣1，﹣）．
【解析】解：作出y=|x﹣2|，y=kx+1的图象，如图所示，直线y=kx+1恒过定点（0，1），结合图象可知k∈[﹣
1，﹣）．
故答案为：[﹣1，﹣）．
【点评】本题考查全称命题，考查数形结合的数学思想，比较基础．
三、解答题
19．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）∵数列{a n}满足a1=，a n+1=a n+（n∈N*），
∴a n＞0，a n+1=a n+＞0（n∈N*），a n+1﹣a n=＞0，
∴，
∴对一切n∈N*，
＜．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对一切k∈N*
，
＜，
∴，∴当n≥2时，
=
＞3﹣
[1+]
=3﹣[1+]
=3﹣（1+1
﹣）
=，
∴a n＜1
，又，
∴对一切n∈N*，0＜a n＜1．
【点评】本题考查不等式的证明，是中档题，解题时要注意裂项求和法和放缩法的合理运用，注意不等式性质的灵活运用．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）事件“第一次或第二次取到3号球的概率”的对立事件为“二次取球都没有取到3号球”，∴所求概率为
22
44
22
55
16
1
25
C C
P
C C
=-⋅=（6分）
（Ⅱ）0,1,2,
ξ=23
2
5
3
(0)
10
C
P
C
ξ===，
11
23
2
5
3
(1)
5
C C
P
C
ξ
⋅
===，
2
2
2
5
1
(2)
10
C
P
C
ξ===，（9分）
故
的分布列为：
（10分）
∴3314
012105105
E ξ=⨯
+⨯+⨯= （12分） 21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由已知得：|PF 2|=6﹣4=2，
在△PF 1F 2中，由勾股定理得，
，
即4c 2=20，解得c 2
=5．
∴m=9﹣5=4；
（Ⅱ）设P 点坐标为（x 0，y 0），由（Ⅰ）知，，
，
∵
，
，
∴，解得．
∴P （）．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查了椭圆的简单性质，属中档题．
22．【答案】
【解析】解：圆C ：
的标准方程为（x+1）2+（y ﹣2）2
=4
由于圆心C （﹣1，2）到直线l ：3x+4y ﹣12=0的距离
d=
=＜2
故直线与圆相交 故他们的公共点有两个．
【点评】本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆的参数方程，其中将圆的参数方程化为标准方程，进而求出圆心坐标和半径长是解答本题的关键．
23．【答案】（1）()2
=+1f x x x -；（2）1m <-． 【解析】
试题分析：（1）根据二次函数()()2
0f x ax bx c a =++≠满足()()+12f x f x x -=，利用多项式相等，即
可求解,a b 的值，得到函数的解析式；（2）由[]()1,1,x f x m ∈->恒成立，转化为2
31m x x <-+，设
()2g 31x x x =-+，只需()min m g x <，即可而求解实数m 的取值范围．
试题解析：（1） ()()2
0f x ax bx c a =++≠ 满足()01,1f c ==
()()()()2
212,112f x f x x a x b x ax bx x +-=+++--=，解得1,1a b ==-,
故()2=+1f x x x -.
考点：函数的解析式；函数的恒成立问题.
【方法点晴】本题主要考查了函数解析式的求解、函数的恒成立问题，其中解答中涉及到一元二次函数的性质、多项式相等问题、以及不等式的恒成立问题等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，推理与运算能力，以及转化与化归思想，试题有一定的难度，属于中档试题，其中正确把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题是解答的关键. 24．【答案】
【解析】解：（1）∵f （x ）=lg （a x
﹣b x
），且f （1）=lg2，f （2）=lg12，
∴a ﹣b=2，a 2﹣b 2
=12，
解得：a=4，b=2；
（2）由（1）得：函数f （x ）=lg （4x ﹣2x
），
当x ∈[1，2]时，4x
﹣2x
∈[2，12]， 故当x=2时，函数f （x ）取最大值lg12，
（3）若函数g （x ）=a x 的图象与h （x ）=b x
﹣m 的图象恒有两个交点．
则4x ﹣2x =m 有两个解，令t=2x
，则t ＞0，
则t 2
﹣t=m 有两个正解；
则，
解得：m ∈（﹣，0）
【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．。