高中数学：-矩阵与变换-(新人教A选修-)PPT课件

6.二阶矩阵与列向量的乘法法则为:
a11 a21
a a1 22 2x y0 0a a1 21 1 x x0 0 a a1 22 2 yy0 0
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2.1 二阶矩阵与平面向量
7.强化学生对二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义 理解.使他们认识并理解矩阵是向量集合到向量集合 的映射,为后面学习几种常见的几何变换打下基础.
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2.4 逆变换与逆矩阵
15.用二阶矩阵和行列式研究二元一次方程组的解的情 况并不比消元法优越多少.但是,当方程组中的未知元很 多时,矩阵就变成了研究它的一个强有力的工具.
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2.5 特征值与特征向量
1.在本节开始部分，课本安排了两个学生熟知的伸压变换 ，并给出了变换前后的图形，其目的在于让学生借助于感 性理解在矩阵的作用下某些向量的“不变性”，从而为学 生 学习特征值和特征向量打下坚实基础．
s c io n s c s o is n x y x xs c io n s y yc so in s x y
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2.2 几种常见的平面变换
cos sin
sin
cos
0 1 0 1
1
0
,
-1
0
0 1x y 1 0y x
T:xyxyyx
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θ的变换矩阵.其中θ称为旋转角,点O为旋转中心.
P(x, y)
r r P(x, y)
x r cos
y
r
sin
x r c o s () r c o sc o s r s ins in x c o s y s in y r s in () r s inc o s r c o ss in y c o s x s in
1 0
0 1 2
x y
x y 2
T
:
x y
x
y
x
y
2
1 0 2 0
0
2 , 0
1
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2.2 几种常见的平面变换
4.反射变换矩阵是指将平面图形变为关于定直线或定 点对称的平面图形的变换矩阵.
1 0x x
0
1y y
T:xyxyyx
1 0
10,10
2.
3.将矩阵的特征值与特征向量概念转换成矩阵与列向量的 乘法表示来理解，其目的在于引出矩阵的特征多项式．课 本没有对特征多项式作展开讨论，其意图是仅仅让学生将 之作为一个工具．
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2.5 特征值与特征向量
4.
5.
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2.5 特征值与特征向量
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2.5 特征值与特征向量
转移矩阵,而将这种以当前状态来预测下一时段不同
状态的概率模型叫做马尔可夫链,如果清晨天气预报
报告今天阴的概率为 1 ,那么明天的天气预报会是什
2
么?后天呢?
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2.3 变换的复合与矩阵的乘法
明天 晴 M= 阴
今天
晴阴
3 1
4
3
1 2
4 3
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2.3 变换的复合与矩阵的乘法
15
2.2 几种常见的平面变换
7.投影变换矩阵是指映将射平,但面不图是形一投一影映到射某.条直线(或 某个点)上的矩阵,相应的变换为投影变换.
1 1
0
0
xy 11
0xx0,10
00 ,10T0:0xyxyxx
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2.2 几种常见的平面变换
8.切变变换矩阵是指类似于对纸牌实施的变换矩阵.
2 0
0
1
x y
2x
y
T:xyxy2yx
表示的几何变换为:纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍.
8.二元一次方程组 ax by e 可以表示为
cx
dy f
系数矩阵
acb x e Nhomakorabead
y
f
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2.2 几种常见的平面变换
1.恒等变换矩阵(单位矩阵)为E:
1
0
0
1
2.恒等变换是指对平面上任何一点(向量)或图形施以
2．课文从“走过去”、“走回来”的生动形象的话语中 引入了逆矩阵和逆变换．这样安排让学生在轻松氛围中掌 握“找到回家的路”的本质是已知矩阵A，能否找到一个 矩阵B，使得连续进行的两次变换的结果与恒等变换的结 果相同．也便于学生更好的理解逆矩阵，从而为例1的顺 利解决打下基础．
3．例1的设计起着承上启下的作用，所举的几个例子也是 学生熟知的，学生可以从几何变换的角度借助直观找到答 案．所以，例1的目的在于帮助学生从几何的角度理解逆 矩阵的意义，并为后续学习积2021 累丰富的感性认识． 32
6.一个特征值对应着多个特征向量.
7.有了特征值和特征向量的知识,我们就可以方便地计算 多次变换的结果.
2
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2.5 特征值与特征向量
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2.5 特征值与特征向量
投影变换
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2.6 矩阵的简单应用
1.只要求学生对高阶矩阵有一个感性认识. 2.通过本节的学习,让学生了解到矩阵来源于实际生活需要. 3.课本介绍了矩阵在数学领域内的应用,也介绍了它在经济 学领域、密码学领域、生物学领域的应用.
万吨、820万吨。 城市A 城市B 城市C
甲矿区 200 240 160
乙矿区 400 360 2021 820
7
2.1 二阶矩阵与平面向量
4.矩阵通常用大写黑体字母表示.如;矩阵A, 行矩阵和列 矩阵通常用希腊字母α、β等表示. 5.两个矩阵的行数与列数分别相等,并且对应位置的 元素也分别相等时两矩阵相等.
3 后天的天气可用4
1 4
113 161 324 288来刻画， 211 127 324 288
即后天晴的概率为161，阴的概率为127。
288
288
7. 转移矩阵每列的元素的和应该为1,否则做乘法时, 容易出问题.
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2.4 逆变换与逆矩阵
1.对于二阶矩阵A,B,若有AB=BA=E,则称A是可逆的,B称为 A的逆矩阵.
主要内容
通过几何变换讨论二阶矩阵的乘法及性质、逆矩 阵和矩阵的特征向量，并以变换和映射的观点理解解 线性方程组的意义，初步展示矩阵应用的广泛性。
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1
具体内容
2.1 二阶矩阵与平面向量 2.2 几种常见的平面变换 2.3 变换的复合与矩阵的乘法 2.4 逆矩阵与逆变换 2.5 特征值与特征向量 2.6 矩阵的简单应用
2.矩阵乘法MN的几何意义为对向量连续实施的两次 几何变换(先TN,后TM)的复合变换.
3.矩阵乘法不满足交换率,这可能是学生第一次遇到乘 法不满足交换率的情况.此时,我们可以从几何变换角 度进一步明确乘法一般不满足交换率,在适当时候,有 些特殊几何变换(如两次连续旋转变换)满足交换率.
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清晨的天气预报今天阴的概率为 1，则今天晴的概率为 1，
2
2
1
于是今天的天气可用N
2
来
刻
画
，
因
此
明
天
的
天
气
可
用
1
2
3 1 1 13
4
3
2
24
来刻画，即明天晴的概率为
13
，阴的概
1 2 1 11
24
4 3 2 24
率为 11。
24
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2.3 变换的复合与矩阵的乘法
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2.4 逆变换与逆矩阵
几 何 变 换 方 法
7.逆矩阵的求解
待
公
定 式
系 法
数
方
法
行 列 式 方 法
8.矩阵
a c
b d
d
的逆矩阵为
．
ad
bc
c
a d b c
b
ad
bc
a
a d b c
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2.4 逆变换与逆矩阵
9.“先穿袜子后穿鞋”“先脱鞋子后脱袜子”解决了学生 可能 会出现的认知障碍．学生可以借助于此更好地理解公式 （AB）-1=B-1A-1． 10．新教材的螺旋上升体系随处可见，课本在本节中就通 过证明命题“已知A，B，C为二阶矩阵，且AB=AC，若矩 阵A存在逆矩阵，则B=C．”而既做到前后章节间的呼应， 又要求学生会用逆矩阵的知识解释二阶矩阵的乘法何时满 足消去率．
-01,-01-01,1001
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2.2 几种常见的平面变换
或点
5.一般地,二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线.
A (1 α 2 β )1 A α 2 A β
这种把直线变为直线的变换叫做线性变换.
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2.2 几种常见的平面变换
6.旋转变换矩阵是指将平面图形围绕原点逆时针旋转
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5
2.1 二阶矩阵与平面向量
1.本专题研究的矩阵是二阶矩阵,对高阶矩阵只是要
求学生初步了解.二阶矩阵如:1 0
0
1
两行两列
2.在本章中点和向量不加区分.如:
x y既 可 以 表 示 点 （ x,y） ， 也 可 以 表 示 以 O （ 0， 0） 为 起 点 ， 以 P （ x,y） 为 终 点 的 向 量 O P 。
11.逆矩阵与二元一次方程组密切相关，用逆矩阵的知识 理解二元一次方程组的求解过程是为了让学生更好的认识 两者，理解它们间的相互为用、相辅相成.
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2.4 逆变换与逆矩阵
12.
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2.4 逆变换与逆矩阵
12. AX=B X= A-1B 13. AXC=B X= A-1BC-1
14.
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2.3 变换的复合与矩阵的乘法
6.有关转移矩阵.
假设某市的天气分为晴和阴两种状态,若今天晴,则明
天晴的概率为 3 ,阴的概率为 1 ,若今天阴则明天晴的
概率为
1 3
4
,阴的概率为
2 3
4
,这些概率可以通过观察某市
以往几年每天天气的变化趋势来确定,通常将用矩阵
来表示的这种概率叫做转移矩阵概率,对应的矩阵为
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旋转矩阵
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2.3 变换的复合与矩阵的乘法
1.矩阵乘法的法则是:
a a 1 2 1 1a a 1 2 2 2 b b 1 2 1 1b b 1 2 2 2 a a 1 2 1 1 b b 1 1 1 1 a a 1 2 2 2 b b 2 2 1 1a a 1 2 1 1 b b 1 1 2 2 a a 1 2 2 2 b b 2 2 2 2
难点
切变变换，逆变换(矩阵)，特征值与特征向 量。
主要数学思想
（1）数学化思想； （2）数学建模；
（3）数形结合的思想；（4）算法思想。
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具体内容解析
2.1 二阶矩阵与平面向量 2.2 几种常见的平面变换 2.3 变换的复合与矩阵的乘法 2.4 逆矩阵与逆变换 2.5 特征值与特征向量 2.6 矩阵的简单应用
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2.1 二阶矩阵与平面向量
3.矩阵的概念——从表、网络图、坐标平面上的点（向 量）、生活实例等引出. 即在大量举例的基础上引出矩 阵的概念和表示方法.如:
某公司负责从两个矿区向三个城市送煤： 从甲矿区向城市A,B,C送煤的量分别是200万吨、240
万吨、160万吨； 从乙矿区向城市A,B,C送煤的量分别是400万吨、360
矩阵
1
0
0
1
对应的变换,都把自己变为自己.
1 0 x x
x x x
0
1
y
y
T:yyy
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2.2 几种常见的平面变换
3.伸压变换矩阵是指将图形作沿x轴方向伸长或压缩, 或沿y轴方向伸长或压缩的变换矩阵.
伸压变换不是简单地把平面上的点(向量) “向下” 压,而是向x轴或y轴方向压缩.
设 A （ a,b ） ,A (am ,b)， 则 T: b a b am 变换矩阵为10 1k,km b
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2.2 几种常见的平面变换
9.切变变换矩阵
1
0
k 1
把平面上的点P(x,y)沿x轴方
向平移 k y 个单位.
10.研究平面上的多边形或直线在矩阵的变换作用后 形成的图形时,只需考察顶(端)点的变化结果即可.
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本专题的定位和意图 定位
低起点——以初中数学知识为基础； 低维度——以二阶矩阵为研究对象； 形→数——以(几何图形)变换研究二阶矩阵。
意图
在基本思想上对矩阵、变换等有一个初步了 解，对进一步学习和工作打下基础。
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本专题重点、难点及主要数学思想 重点
通过几何图形变换，学习二阶矩阵的基本概 念、性质和思想。
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2.3 变换的复合与矩阵的乘法
4.要求学生从几何变换角度理解AB.
5.要求学生从几何变换角度理解矩阵乘法不满足销去 率.
若 A B A C ， 则 不 一 定 有 B C
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cos-sinn cosn-sinn sin cos sinn cosn
2.4 逆变换与逆矩阵
4．既然有些矩阵存在逆矩阵，那么，什么样的矩阵存在 逆矩阵呢？课本从映射角度给出解释，让抽象的问题更 贴近学生实际．
5．矩阵
a c
b d
的行列式为 a c
b d
ad
bc
a ,则如果
c
b d
0
则矩阵
a c
b
d
存在逆矩阵.
几何解释
6.矩阵是否可逆的判断
代数解释
行列式 映射观点