中考复习专题 辅助圆模型精选试题(完整版)30题(含答案)

辅助圆模型精选试题——修改版（完整版）
一．选择题（共10小题）
1．如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AC＝AD＝4，BC＝2，则BD为（）
A．B．2C．2D．2
2．如图，AB＝AC＝AD，若∠DAC是∠CAB的k倍（k为正数），那么∠DBC是∠BDC的（）
A．k倍B．2k倍C．3k倍D．k倍
3．如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝44°，则∠CAD的度数为（）
A．68°B．88°C．90°D．112°
4．如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF＝2AE，FC交BD于O，则∠DOC 的度数为（）
A．60°B．67.5°C．75°D．54°
5．如图，点A是半径为8的圆O上一定点，点B是圆O上一动点，点P是弦AB的中点，则点B绕圆周运动一周，点P所经过的路径长为（）
A．4B．8C．4πD．8π
6．如图，已知等边△ABC的边长为8，以AB为直径的圆交BC于点F．以C为圆心，CF 长为半径作图，D是⊙C上一动点，E为BD的中点，当AE最大时，BD的长为（）
A．B．C．D．12
7．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P从C点出发，沿CB运动到点B停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（）
A．B．C．D．
8．如图，BC是⊙O的直径，BC＝4，M、N是半圆上不与B、C重合的两点，且∠MON ＝120°，△ABC的内心为E点，当点A在上从点M运动到点N时，点E运动的路径长是（）
A．B．C．D．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则＝（）
A．B．C．D．
10．已知：如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点D、E分别在AB、BC上，且CA＝CD＝CE，下列说法：①∠EDB＝45°；②∠EAD＝∠ECD；③当△CDB是等腰三角形时，△CAD是等边三角形；④当∠B＝22.5°时，△ACD≌△DCE．其中正确的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（共9小题）
11．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CBD＝15°，BD＝AB，则∠BDC＝．12．在四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2，则BD长为多少．
13．如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝∠BDC，∠BAC＝102°，则∠CAD的度数为．
14．如图，在△ABC中，BC＝2，点A为动点，在点A运动的过程中始终有∠BAC＝45°，则△ABC面积的最大值为．
15．已知：在△ABC中，AB＝AC＝6，∠B＝30°，E为BC上一点，BE＝2EC，DE＝DC，∠ADC＝60°，则AD的长．
16．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠ACB＝60°，过点A作BC的平行线l，P 为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为．
17．已知，⊙O的直径BC＝2，点A为⊙O上一动点，AD、BD分别平分△ABC的外角，AD与⊙O交于点E．若将AO绕O点逆时针旋转270°，则点D所经历的路径长
为．（提示：在半径为R的圆中，n°圆心角所对弧长为）
18．如图所示，在△ABC中，高BE，CF交于点H，且∠BHC＝135°，G为△ABC内一点，且GB＝GC，∠BGC＝3∠A，连接HG，那么∠BHG＝．
19．如图，在正方形ABCD中，AD＝8，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF ⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则FM＝，＝．
三．解答题（共11小题）
20．如图，△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，过点C任作一条直线CD，将线段BC 沿直线CD翻折得线段CE，直线AE交直线CD于点F．
（1）小智同学通过思考推得当点E在AB上方时，∠AEB的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程：
∵AC＝BC＝EC，
∴A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上．
∴∠AEB＝∠ACB＝°．
（2）若BE＝2，求CF的长．
（3）线段AE最大值为；若取BC的中点M，则线段MF的最小值为．
21．（1）【学习心得】
于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝°．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的数．（3）【问题拓展】
如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．
22．阅读理解
（1）【学习心得】
小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用
圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝46°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝°．（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝28°，求∠BAC的数．小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆；△BCD的外接圆也是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．
（3）【问题拓展】
如图3，在△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，求证：∠EFC＝∠DFC．
23．圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．（1）已知：如图1，OA＝OB＝OC，请利用圆规画出过A、B．C三点的圆．若∠AOB ＝70°，则∠ACB＝．
如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BCA＝30°，AB＝2．
（2）已知，如图2．点P为AC边的中点，将AC沿BA方向平移2个单位长度，点A、P、C的对应点分别为点D、E、F，求四边形BDFC的面积和∠BEA的大小．
（3）如图3，将AC边沿BC方向平移a个单位至DF，是否存在这样的a，使得直线DF 上有一点Q，满足∠BQA＝45°且此时四边形BADF的面积最大？若存在，求出四边形BADF面积的最大值及平移距离a，若不存在，说明理由．
24．【发现】
如图（1），AB为⊙O的一条弦，点C在弦AB所对的优弧上，根据圆周角性质，我们知道∠ACB的度数（填“变”或“不变”）；若∠AOB＝150°，则∠ACB ＝°．爱动脑筋的小明猜想，如果平面内线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，那么点C是不是在某一个确定的圆上运动呢？
【研究】
为了解决这个问题，小明先从一个特殊的例子开始研究．如图（2），若AB＝2，直线AB上方一点C满足∠ACB＝45°，为了画出点C所在的圆，小明以AB为底边构造了一个等腰Rt△AOB，再以O为圆心，OA为半径画圆，则点C在⊙O上．请根据小明的思路在图（2）中完成作图（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并用2B铅笔或黑色水笔加黑加粗）．后来，小明通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论，即：若线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型．
【应用】
（1）如图（3），AB＝2，平面内一点C满足∠ACB＝60°，则△ABC面积的最大值为．
（2）如图（4），已知正方形ABCD，以AB为腰向正方形内部作等腰△BAE，其中BE＝BA，过点E作EF⊥AB于点F，点P是△BEF的内心．
①∠BPE＝°，∠BP A＝°；
②连接CP，若正方形ABCD的边长为2，则CP的最小值为．
25．问题发现：
（1）如图①，点A和点B均在⊙O上，且∠AOB＝90°，点P和点Q均在射线AM上，若∠APB＝45°，则点P与⊙O的位置关系是；若∠AQB＜45°，则点Q与⊙O 的位置关系是．
问题解决：
如图②、图③所示，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，∠DAB＝135°，且AB＝1，AD＝2，点P是BC边上任意一点．
（2）当∠APD＝45°时，求BP的长度．
（3）是否存在点P，使得∠APD最大？若存在，请说明理由，并求出BP的长度；若不存在，也请说明理由．
26．如图（1），在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，D、E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，如图（2），设旋转角为a（0°＜a≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．
（1）求证：BD1＝CE1；
（2）当∠CPD1＝2∠CAD1时，则旋转角为a＝（直接写结果）
（3）连接P A，△P AB面积的最大值为（直接写结果）
27．（1）如图1，四边形EFGH中，FE＝EH，∠EFG+∠EHG＝180°，点A，B分别在边FG，GH上，且∠AEB＝∠FEH，求证：AB＝AF+BH．
（2）如图2，四边形EFGH中，FE＝EH，点M在边EH上，连接FM，EN平分∠FEH 交FM于点N，∠ENM＝α，∠FGH＝180°﹣2α，连接GN，HN．
①找出图中与NH相等的线段，并加以证明；
②求∠NGH的度数（用含α的式子表示）．
28．在一次数学探究活动中，王老师设计了一份活动单：
已知线段BC＝4，使用作图工具作∠BAC＝30°，尝试操作后思考：
（1）这样的点A唯一吗？
（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），…．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．
（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．
①该弧所在圆的半径长为；
②△ABC面积的最大值为；
（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形外部，我们记为A′，请你利用图1证明∠BA'C＜30°．
（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD的边长AB＝2，BC＝5，点P在直线CD的左侧，且∠DPC＝60°，则线段PB长的最小值为．
29．思考发现：
（1）如图1，点A和点B均在⊙O上，且∠AOB＝60°，点P和点Q均在射线AM上，若∠APB＝30°，则点P与⊙O的位置关系是；若∠AQB＞30°，则点Q与⊙O 的位置关系是．
问题解决：
如图2，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠DAB＝135°，且AB＝2，AD＝4．（2）若点P是BC边上任意一点，且∠APD＝45°，求BP的长；
（3）如图3，以B为圆心，BC为半径作弧，交BA的延长线于点E，若点Q为弧EC上的动点，过点Q作QH⊥BC于点H，设点I为△BQH的内心，连接BI，QI，当点Q从点C运动到点E时，则内心I所经过的路径长为．（直接填空）
30．（1）学习心得：小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到有一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝．
（2）问题解决：
如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．（3）问题拓展：
抛物线与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C，点P 在抛物线上，直线PQ∥BC交x轴于点Q，连接BQ．
①若含45°角的直线三角板如图所示放置，其中，一个顶点与C重合，直角顶点D在
BQ上，另一顶点E在PQ上，求Q的坐标；
②若含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E
在PQ上，求点P的坐标．
辅助圆模型精选试题——修改版（完整版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AC＝AD＝4，BC＝2，则BD为（）
A．B．2C．2D．2
【分析】以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF．在△BDF中，由勾股定理即可求出BD的长．
【解答】解：∵AB＝AC＝AD＝4，
∴点B，C，D在以A为圆心，AB长为半径的同一个圆上，以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF．
∵DC∥AB，
∴＝，
∴DF＝CB＝2，BF＝4+4＝8，
∵FB是⊙A的直径，
∴∠FDB＝90°，
∴BD＝＝＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，解题的关键是作出以A为圆心，AB长为半径的圆，构建直角三角形，从而求解．
2．如图，AB＝AC＝AD，若∠DAC是∠CAB的k倍（k为正数），那么∠DBC是∠BDC的（）
A．k倍B．2k倍C．3k倍D．k倍
【分析】先证出点B、C、D在以A为圆心的圆上再根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵AB＝AC＝AD，
∴点B、C、D在以A为圆心的圆上，
∴∠BDC＝∠CAB，∠DBC＝∠DAC，
∵∠DAC＝k∠CAB，
∴∠DBC＝k∠CAB＝k×2∠BDC＝k∠BDC，
故选：A．
【点评】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
3．如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝44°，则∠CAD的度数为（）
A．68°B．88°C．90°D．112°
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据圆周角定理即可解答本题．
【解答】解：以点A为圆心，AB长为半径作圆，如右图所示，
∵∠CBD＝44°，
∴∠CAD＝2∠CBD＝88°，
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
4．如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF＝2AE，FC交BD于O，则∠DOC 的度数为（）
A．60°B．67.5°C．75°D．54°
【分析】如图，连接DF、BF．如图，连接DF、BF．首先证明∠FDB＝∠F AB＝30°，再证明△F AD≌△FBC，推出∠ADF＝∠FCB＝15°，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，连接DF、BF．
∵FE⊥AB，AE＝EB，
∴F A＝FB，
∵AF＝2AE，
∴AF＝AB＝FB，
∴△AFB是等边三角形，
∵AF＝AD＝AB，
∴点A是△DBF的外接圆的圆心，
∴∠FDB＝∠F AB＝30°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，∠ADB＝∠DBC＝45°，
∴∠F AD＝∠FBC，
∴△F AD≌△FBC，
∴∠ADF＝∠FCB＝15°，
∴∠DOC＝∠OBC+∠OCB＝60°．
解法二：连接BF．易知∠FCB＝15°，∠DOC＝∠OBC+∠FCB＝45°+15°＝60°故选：A．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．5．如图，点A是半径为8的圆O上一定点，点B是圆O上一动点，点P是弦AB的中点，则点B绕圆周运动一周，点P所经过的路径长为（）
A．4B．8C．4πD．8π
【分析】连接OP，OA，由点P为AB的中点，得∠OP A＝90°，则点P在以OA为直径的圆上运动，求出圆周长即可．
【解答】解：连接OP，OA，
∵点P为AB的中点，
∴∠OP A＝90°，
∴点P在以OA为直径的圆上运动，
∵OA＝8，
∴点P的运动路径长为：2π×4＝8π，
故选：D．
【点评】本题主要考查了垂径定理，利用定弦对定角确定点P的运动路径是解题的关键．6．如图，已知等边△ABC的边长为8，以AB为直径的圆交BC于点F．以C为圆心，CF 长为半径作图，D是⊙C上一动点，E为BD的中点，当AE最大时，BD的长为（）
A．B．C．D．12
【分析】点D在⊙C上运动时，点E在以F为圆心的圆上运到，要使AE最大，则AE 过F，连接CD，由△ABC是等边三角形，AB是直径，得到EF⊥BC，根据三角形的中位线的性质得到CD∥EF，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：点D在⊙C上运动时，点E在以F为圆心的圆上运动，要使AE最大，则AE过F，连接CD，
∵△ABC是等边三角形，AB是直径，
∴EF⊥BC，
∴F是BC的中点，
∵E为BD的中点，
∴EF为△BCD的中位线，
∴CD∥EF，
∴CD⊥BC，
BC＝8，CD＝4，
故BD＝＝＝4，
故选：B．
【点评】本题考查了轨迹，等边三角形的性质，圆周角定理，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助圆是解题的关键．
7．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P从C点出发，沿CB运动到点B停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（）
A．B．C．D．
【分析】由AQ⊥BQ，得点Q在以AB为直径的⊙O上运动，运动路径为，连接OC，代入弧长公式即可．
【解答】解：∵AQ⊥BQ，
∴点Q在以AB为直径的⊙O上运动，运动路径为，连接OC，
∵∠ACB＝90°，OA＝OB，
∴CO＝OA＝1，
∴∠COB＝2∠CAB＝60°，
∴的长为，
故选：D．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，弧长公式，确定点Q在以AB为直径的⊙O上运动是解题的关键．
8．如图，BC是⊙O的直径，BC＝4，M、N是半圆上不与B、C重合的两点，且∠MON ＝120°，△ABC的内心为E点，当点A在上从点M运动到点N时，点E运动的路径长是（）
A．B．C．D．
【分析】如图，连接BE、CE，由∠BAC＝90°，E是内心，推出∠BEC＝135°，推出点E在以P为圆心的PC为半径的圆上运动（轨迹是），求出PG，∠GPH即可解决问题．
【解答】解：如图，连接BE、CE，
∵∠BAC＝90°，E是内心，
∴∠BEC＝135°，
∴点E在以P为圆心的PC为半径的圆上运动（轨迹是），在⊙P上取一点M′，连接BM′、CM′，则∠M′＝180°﹣135°＝45°，∠BPC＝2∠M′＝90°，
∴△BCP是等腰直角三角形，
∵BC＝4，
∴PB＝PC＝4，
∵∠HPC＝2∠HBC＝∠NBC＝∠NOC，同理∠GPB＝∠MOB，
∴∠HPC+∠GPB＝（∠NOC+∠MOB）＝30°，
∴∠GPH＝60°，
∴点E运动的路径长是＝π，
故选：B．
【点评】本题考查三角形的内心、三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是正确寻找点E的运动轨迹，学会添加辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则＝（）
A．B．C．D．
【分析】如图，连接BF，取BF的中点O，连接OE，OC．证明B，C，F，E四点共圆，推出∠EBF＝∠ECF，推出tan∠EBF＝tan∠ACD可得＝＝．
【解答】解：如图，连接BF，取BF的中点O，连接OE，OC．
∵四边形ABCD是矩形，EF⊥BE，
∴四边形EFCB对角互补，
∴B，C，F，E四点共圆，
∴∠BEF＝∠BCF＝90°，AB＝CD＝3，BC＝AD＝5，
∵OB＝OF，
∴OE＝OB＝OF＝OC，
∴B，C，F，E四点在以O为圆心的圆上，
∴∠EBF＝∠ECF，
∴tan∠EBF＝tan∠ACD，
∴＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查矩形的性质，四点共圆的判定，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
10．已知：如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点D、E分别在AB、BC上，且CA＝CD＝CE，下列说法：①∠EDB＝45°；②∠EAD＝∠ECD；③当△CDB是等腰三角形时，△CAD是等边三角形；④当∠B＝22.5°时，△ACD≌△DCE．其中正确的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①②构造辅助圆，利用圆周角定理解决问题即可．
③想办法证明DC＝DA即可．
④想办法证明∠ACD＝45°即可解决问题．
【解答】解：如图，由题意：CA＝CD＝CE，以C为圆心CA为半径，作⊙C．
∵∠EAD＝∠DCE，∠AED＝∠ACD，
∴∠EDB＝∠EAD+∠AED＝（∠ACD+∠ECD）＝45°，故①②正确，
当△BDC是等腰三角形时，易知DC＝DB，
∴∠DCB＝∠B，
∵∠ACD+∠DCB＝90°，∠CAD+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠CAD，
∴DC＝DA，
∵CA＝CD，
∴AC＝CD＝AD，
∴△ACD是等边三角形，故③正确，
当∠B＝22.5°时，易知∠CAD＝∠CDA＝67.5°，
∴∠ACD＝180°﹣2×67.5°＝45°，
∴∠DCA＝∠DCE＝45°，
∵CA＝AE，CD＝CD，
∴△ACD≌△ECD（SAS），故④正确．
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二．填空题（共9小题）
11．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CBD＝15°，BD＝AB，则∠BDC＝45°．
【分析】过点A作AM⊥BD于M．分别求出∠ADC，∠ADB，可得结论．
【解答】解：过点A作AM⊥BD于M．
∵AB＝AC＝AD，
∴∠CAD＝2∠CBD＝30°，
∴∠ADC＝∠ACD＝75°，
∵AB＝AD，AM⊥BD，
∴BM＝DM，
∵BD＝AB，
∴＝，
∴cos∠ABM＝，
∴∠ABM＝∠ADB＝30°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝45°．
故答案为：45°．
【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
12．在四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2，则BD长为多少．
【分析】以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF．在△BDF中，由勾股定理即可求出BD的长．
【解答】解：以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF．
∵AB＝AC＝AD＝2，
∴D，C在圆A上，
∵DC∥AB，
∴弧DF＝弧BC，
∴DF＝CB＝1，BF＝AB+AF＝2AB＝4，
∵FB是⊙A的直径，
∴∠FDB＝90°，
∴BD＝＝
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理，解题的关键是作出以A为圆心，AB长为半径的圆，构建直角三角形，从而求解．
13．如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝∠BDC，∠BAC＝102°，则∠CAD的度数为68°．
【分析】先利用圆的定义判断点B、C、D在以A点为圆心的圆上，则利用圆周角定理得到∠BDC＝∠BAC＝51°，接着计算出∠CBD＝34°，然后再根据圆周角定理得到∠CAD的度数．
【解答】解：∵AB＝AC＝AD，
∴点B、C、D在以A点为圆心，AB为半径的圆上；
∴∠BDC＝∠BAC＝×102°＝51°，
∵∠CBD＝∠BDC＝×51°＝34°，
∴∠CAD＝2∠CBD＝2×34°＝68°．
故答案为68°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
14．如图，在△ABC中，BC＝2，点A为动点，在点A运动的过程中始终有∠BAC＝45°，则△ABC面积的最大值为+1．
【分析】作出△ABC的外接圆⊙O，连接OB、OC，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出∠BOC＝90°，过点O作OD⊥BC，根据等腰直角三角形的性质求出半径OB 的长度，再根据三角形的面积公式，底边BC一定，边BC上的高越大则三角形的面积越大，所以，当BC边上的高过圆心O时，三角形的面积最大，进行求解即可．
【解答】解：如图，△ABC的外接圆⊙O，连接OB、OC，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×45°＝90°，
过点O作OD⊥BC，垂足为D，
∵OB＝OC，
∴BD＝CD＝BC＝1，
∵∠BOC＝90°，OD⊥BC，
∴OD＝BC＝1，
∴OB＝＝，
∵BC＝2保持不变，
∴BC边上的高越大，则△ABC的面积越大，当高过圆心时，最大，
此时BC边上的高为：+1，
∴△ABC的最大面积是：×2×（+1）＝+1．
故答案为：+1．
【点评】本题主要考查了面积及等积变化，解题的关键是利用同弦所对的圆周角与圆心角的关系得△BOC是等腰直角三角形是关键．
15．已知：在△ABC中，AB＝AC＝6，∠B＝30°，E为BC上一点，BE＝2EC，DE＝DC，∠ADC＝60°，则AD的长．
【分析】连接AE，根据等腰三角形的性质及勾股定理得到AE＝CE，证明A、D、C、E 四点共圆，根据同弧所对圆周角相等，得到∠ADE＝30°．过A点作AM⊥DE，易得△AME是等腰直角三角形，从而求出AM长度，在Rt△AMD中，根据30°直角三角形的性质可求AD长度．
【解答】解：连接AE，过点A作AH⊥BC于H点，在Rt△ABH中，
∵∠B＝30°，∴AH＝AB＝3．
利用勾股定理可得BH＝3，
根据等腰三角形性质可知CH＝BH＝3，BC＝6．
∴CE＝BC＝2．
∴HE＝CH﹣CE＝．
在Rt△AHE中，由勾股定理可求AE＝2．
所以AE＝CE，∠CAE＝∠ACB＝30°，
所以∠AEB＝60°＝∠ADC，
∴四边形AECD对角互补，
∴点A、D、C、E四点共圆，
∴∠ADE＝∠ACE＝30°，
所以∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝30°．
∵DE＝DC，∴∠DEC＝75°．
∴∠AED＝120°﹣75°＝45°．
过点A作AM⊥DE于M点，
则AM＝AE＝．
在Rt△AMD中，∠ADM＝30°，
∴AD＝2AM＝．
故答案为2．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理以及圆周角的性质，正确作出辅助线、辅助圆是解题的关键．
16．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠ACB＝60°，过点A作BC的平行线l，P 为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为2．
【分析】如图，连接CE．首先证明∠BEC＝120°，由此推出点E在以O'为圆心，O'B 为半径的上运动，连接O'A交于E′，此时AE′的值最小．
【解答】解：如图，连接CE．
∵AP∥BC，
∴∠P AC＝∠ACB＝60°，
∴∠CEP＝∠CAP＝60°，
∴∠BEC＝120°，
∴点E在以O'为圆心，O'B为半径的上运动，
连接O'A交于E′，此时AE′的值最小．此时⊙O与⊙O'交点为E'．
∵∠BE'C＝120°
∴所对圆周角为60°，
∴∠BO′C＝2×60°＝120°，
∵△BO′C是等腰三角形，BC＝8，
∴O′B＝O′C＝8，
∵∠ACB＝60°，∠BCO'＝30°，
∴∠ACO'＝90°
∴O'A＝＝＝10，
∴AE′＝O'A﹣O'E′＝10﹣8＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、平行线的性质、圆周角定理、勾股定理，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题．
17．已知，⊙O的直径BC＝2，点A为⊙O上一动点，AD、BD分别平分△ABC的外角，
AD与⊙O交于点E．若将AO绕O点逆时针旋转270°，则点D所经历的路径长为．（提示：在半径为R的圆中，n°圆心角所对弧长为）
【分析】如图，设∠ACB＝α，由BC是⊙O的直径，可得：∠BAC＝90°，根据角平分线定义可得：∠DAB＝45°，∠ABD＝45°+α，进而可得出：∠EDB＝∠EBD＝90°﹣α，得出：EB＝ED，再由等弧所对的圆周角相等，可得：∠ECB＝∠EAB＝45°，进而推出EB＝EC＝ED，可得点D在半径为2的⊙E上逆时针旋转135°，再利用弧长公式即可得出答案．
【解答】解：如图，连接CE，设∠ACB＝α，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠DEB＝α，∠ABC＝90°﹣α，
∵AD、BD分别平分△ABC的外角，
∴∠DAB＝45°，∠ABD＝45°+α，
∴∠EDB＝180°﹣∠DAB﹣∠ABD＝180°﹣45°﹣（45°+α）＝90°﹣α，
∴∠EBD＝180°﹣∠DEB﹣∠EDB＝180°﹣α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴EB＝ED，
∵＝，
∴∠ECB＝∠EAB＝45°，
∵∠CEB＝90°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴EB＝EC，
∴EB＝EC＝ED，
∴点D在半径为2的⊙E上逆时针旋转135°，
∴点D所经历的路径长为：＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了圆的性质，旋转变换的性质，角平分线定义，等腰直角三角形性质，弧长公式，点的运动轨迹等，解题关键是确定点D的运动轨迹为半径为2的⊙E上逆时针旋转135°的圆弧．
18．如图所示，在△ABC中，高BE，CF交于点H，且∠BHC＝135°，G为△ABC内一点，且GB＝GC，∠BGC＝3∠A，连接HG，那么∠BHG＝22.5°．
【分析】由∠BGC＝3∠A＝135°，得∠BGC＝∠BHC，则B，G，H，C四点共圆，得∠BCG＝∠GHB，再由GB＝GC，从而求出∠BCG的度数．
【解答】解：连接HG，
∵高BE，CF交于点H，且∠BHC＝135°，
∴∠BHF＝45°，∠A＝45°，
∴∠BGC＝3∠A＝135°，
∴∠BGC＝∠BHC，
∴B，G，H，C四点共圆，
∴∠BCG＝∠GHB，
∵GB＝GC，∠BHC＝135°，
∴∠BCG＝22.5°，
∴∠BHG＝22.5°，
故答案为：22.5°．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，四边形内角和定理，利用定弦定角构造辅助圆是解题的关键．
19．如图，在正方形ABCD中，AD＝8，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF ⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则FM＝，＝．
【分析】证明△AGF∽△CGD，得出，求出AF＝4，由勾股定理求出DF＝4，则可求出FM；先判断出点A，D，E，F四点共圆，进而得出∠EDF＝45°，进而求出DE＝EF＝，再判断出GM∥DE，得出△FPG∽△FED，进而求出PF＝，再判断出△MPN∽△DEN，求出EN，即可得出结论．
【解答】解：∵将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，
∴FG＝FM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴△AGF∽△CGD，
∴，
∵点F是AB的中点，
∴AF＝CD，
∴，
∵AD＝8，
∴AF＝4，
∴DF＝＝4，
∴FM＝FG＝；
∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠CAD＝45°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°＝∠BAD，
∴∠BAD+∠DEF＝180°，
∴点A，D，E，F四点共圆，
∴∠DFE＝∠DAC＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴DE＝EF＝DF＝2，
连接GM，交EF于P，
由折叠知，PG＝PM，GM⊥EF，∵DE⊥EF，
∴GM∥DE，
∴△FPG∽△FED，
∴，
∴PF＝EF＝，
∴PE＝EF﹣PF＝，
∵GM∥DE，
∴△MPN∽△DEN，
∴，
∴，
∴EN＝PE＝，
在Rt△DEN中，，
故答案为：；．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，四点共圆，构造出相似三角形是解本题的关键．
三．解答题（共11小题）
20．如图，△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，过点C任作一条直线CD，将线段BC 沿直线CD翻折得线段CE，直线AE交直线CD于点F．
（1）小智同学通过思考推得当点E在AB上方时，∠AEB的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程：
∵AC＝BC＝EC，
∴A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上．
∴∠AEB＝∠ACB＝45°．
（2）若BE＝2，求CF的长．
（3）线段AE最大值为8；若取BC的中点M，则线段MF的最小值为2﹣2．
【分析】（1）根据AC＝BC＝EC，得A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上，根据圆周角定理可知∠AEB的度数；
（2）由△EFG是等腰三角形可求出FG＝1，利用勾股定理求出CG的长，从而得出答案；（3）根据直径是圆中最大的弦知当AE经过圆心C时，线段AE的最大值为2AC＝8，取AB的中点O，连接OF，可证∠AFB＝90°，则点F在以AB为直径的圆O上，当OF 经过点M时，MF最短，此时OF⊥BC，从而解决问题．
【解答】解：（1）∵AC＝BC＝EC，
∴A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上，
∴∠AEB＝，
故答案为：，45；
（2）由折叠可知，CD垂直平分BE，
∴BE⊥CD，
设CD、BE交于点G，则GE＝BG＝，
∴∠FGE＝90°，
∵∠AEB＝45°，
∴FG＝GE＝1，
在Rt△CEG中，
由勾股定理得，CG＝＝，
∴CF＝CG﹣FG＝﹣1；
（3）∵A，B，E，三点在以C为圆心，以AC为半径的圆上，
∴当AE经过圆心C时，线段AE的最大值为2AC＝8，
在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝4，
BM＝CM＝，∠ABC＝∠BAC＝45°，
连接BF，取AB的中点O，连接OF，如图，
∵CD垂直平分BE，∠AEB＝45°，
∴BF＝EF，
∴∠EBF＝∠AEB＝45°，
∴∠EFB＝90°，
∴∠AFB＝90°，
∴OF＝，
∴点F在以点O为圆心，AB为直径的圆上，
∵∠ACB＝90°，
∴点C在⊙O上，
∴当OF经过点M时，MF最短，此时OF⊥BC，
∴OM＝BM•tan∠ABC＝2×1＝2，
∴MF＝OF﹣OM＝2﹣2，
即线段MF的最小值为2﹣2，
故答案为：8；2﹣2．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，圆周角定理，利用定点定长构造辅助圆是解题的关键．
21．（1）【学习心得】
于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝45或135°．（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的数．（3）【问题拓展】
如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是
﹣1．
【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．
（2）由A、B、C、D共圆，得出∠BDC＝∠BAC，
（3）根据正方形的性质可得AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3，从而得到∠1＝∠3，然后求出∠AHB＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH＝AB＝1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．
【解答】解：（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC，
∴以点A为圆心，AB为半径作圆A，点B、C、D必在⊙A上，
∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，
∴∠BDC＝∠BAC＝45°，
当点D在BC的下方时，∠BDC＝135°，
故答案是：45或135；
（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴点A、B、C、D共圆，
∴∠BDC＝∠BAC，
∵∠BDC＝25°，
∴∠BAC＝25°，
（3）如图3，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1＝∠2，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，
∴∠1+∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，
取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH＝AO＝AB＝1，
在Rt△AOD中，OD＝＝＝，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
最小值＝OD﹣OH＝﹣1．
（解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB，AB直径的半圆上运动当O、H、D三点共线时，DH长度最小）
故答案为：﹣1．。