2020学年新教材高中数学第三章函数概念与性质3.1.2函数的表示法第二课时分段函数课件新人教A版必修第一册
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的值域为________． 解析：当 x≥1 时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2； 当 0≤x＜1 时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2； 当 x＜0 时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2. 故 y＝－ －x5－ x＋2， 2，x≥0≤1， x＜1，
x＋2，x＜0. 根据函数解析式作出函数图象，如图所示． 由图象可以看出，函数的值域为{y|y≤2}． 答案：{y|y≤2}
[方法技巧] 1．求分段函数函数值的方法 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间． (2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止． 当出现 f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． 2．已知函数值求字母取值的步骤 (1)先对字母的取值范围分类讨论． (2)然后代入到不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值． (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．
(1)分段函数是一个函数，切不可把它看成是几个函数．分段 函数在书写时要用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式， 并且必须指明各段函数自变量的取值范围．
(2)一个函数只有一个定义域，分段函数的定义域只能写成一 个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式．写分段函数的定 义域时，区间端点应不重不漏．
(3)求分段函数的值域，是分别求出各段上的值域后取并集．
[方法技巧]
分段函数图象的画法
(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝 对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后 分段作出函数图象．
(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每 一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定 义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实， 保证不重不漏．
[课堂一刻钟巩固训练]
一、基础经典题 1．下列给出的函数是分段＋，1x，≤11<，x≤5，
②f(x)＝x＋1，x∈R ， x2，x≥2，
③f(x)＝2xx2，＋x3≤，11，≤x≤5， ④f(x)＝xx2－＋13，，xx≥＜50.，
[答案] (－1,1) (－1,1)
[方法技巧] 求分段函数定义域、值域的策略
(1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集； (2)分段函数的值域是各段函数值域的并集； (3)绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来 解决．
[对点练清]
2x2，0≤x≤1， 1．函数 f(x)＝2，1＜x＜2，
2．[由函数的图象确定其解析式]已知函数 f(x)的 图象如图所示，则 f(x)的解析式是________．
解析：由图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x<0 时，
设 f(x) ＝ ax ＋ b ， 将 ( － 1,0) ， (0,1) 代 入 解 析 式 ， 则
－a＋b＝0， b＝1.
[解] 根据题意得，当直线 l 从点 B 移动到 点 A 时，0<x≤2，y＝12x2；
当直线 l 从点 A 移动到点 D 时，2<x≤4，y ＝12×2×2＋(x－2)·2，即 y＝2x－2.
所以阴影部分的面积 y 与 x 的函数关系式为 y＝
12x2，x∈0，2]，
函数图象如图所示．
2x－2，x∈2，4]，
3)，f f
－52的值；
[解] 由－5∈(－∞，－2]，－ 3∈(－2,2)，－52∈(－∞，
－2]，知 f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－ 3)＝(－ 3)2＋2×(－ 3)＝3－2 3.
∵f －52＝－52＋1＝－32，且－2<－32<2，
∴f
f
－52＝f
3x，x≥4， 若 f(a)＜－3，求 a 的取值范围．
解：当 a≤－2 时，f(a)＝a＜－3，此时不等式的解集是 (－∞，－3)； 当－2＜a＜4 时，f(a)＝a＋1＜－3，此时不等式无解； 当 a≥4 时，f(a)＝3a＜－3，此时不等式无解． 故 a 的取值范围是(－∞，－3)．
题型三 分段函数的图象及应用 [学透用活]
解析：由题意知 f(x)＝x0，，xx>＝00，， x，x<0，
则 f(x)的图象为 C 中图象所示． 答案：C
x2＋1，x≤1，
3．设函数 f(x)＝2x，x>1，
则 f(f(3))＝________.
解析：由题意知 f(3)＝23，则 f(f(3))＝f 23＝232＋1＝193.
答案：(－∞，0)∪(0，＋∞) {－2}∪(0，＋∞) 4．函数 f(x)＝x－＋x1＋，3x，≤x＞1，1， 则 f(f(4))＝________.
解析：∵f(4)＝－4＋3＝－1，f(－1)＝－1＋1＝0， ∴f(f(4))＝f(－1)＝0. 答案：0
题型一 分段函数的定义域、值域 [学透用活]
∴ab＝＝11，.
当 0≤x≤1 时，设 f(x)＝kx，将(1，－1)代入，则 k＝－1.
∴f(x)＝x－＋x1，，0－≤1x≤≤x1<. 0， 答案：f(x)＝x－＋x1，，0－ ≤1x≤ ≤x1<0，
3．[利用函数图象确定值域]设 x∈R ，则函数 y＝2|x－1|－3|x|
函数有着不同的 对应关系 ，称这样的函数为分段函数．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)分段函数由几个函数构成．
()
(2)分段函数有多个定义域．
()
(3)函数 f(x)＝x－＋x1＋，3x，≤x＞1，0 是分段函数． (4)函数 f(x)＝|x|可以用分段函数表示．
() ()
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
答案：－2
A．①②
B．①④
C．②④
D．③④
解析：对于②：取 x＝2，f(2)＝3 或 4，对于③：取 x＝1，
f(1)＝5 或 1，所以②③都不合题意． 答案：B
2．设 x∈R ，定义符号函数 sgn x＝10，，xx>＝00，， －1，x<0，
则函数 f(x)
＝|x|sgn x 的图象大致是
()
－32＝－322＋2×－32＝94－3＝－34.
(2)若 f(a)＝3，求实数 a 的值．
[解] 当 a≤－2 时，a＋1＝3，即 a＝2>－2，不合题意， 舍去；
当－2<a<2 时，a2＋2a＝3，即 a2＋2a－3＝0. ∴(a－1)(a＋3)＝0，得 a＝1 或 a＝－3. ∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)， ∴a＝1 符合题意； 当 a≥2 时，2a－1＝3，即 a＝2 符合题意． 综上可得，当 f(a)＝3 时，a＝1 或 a＝2.
3，x≥2
的值域是
()
A．R
B．[0，＋∞)
C．[0,3]
D．[0,2]∪{3}
解析：当 x∈[0,1]时，f(x)＝2x2∈[0,2]，所以函数 f(x)的值 域为[0,2]∪{2,3}＝[0,2]∪{3}．
答案：D
2．已知函数 f(x)＝x12，，x－＞11≤或xx≤＜1－，1， 求函数 f(x)的定义 域和值域．
2．f(x)＝|x－1|的图象是
()
解析：∵f(x)＝|x－1|＝x1－－1x，，xx≥＜11，， 当 x＝1 时，f(1) ＝0，可排除 A、C.又 x＝－1 时，f(－1)＝2，排除 D. 答案：B
3．函数 y＝x－2，2，x＞x＜0，0 的定义域为____________，值域为 ____________．
f????????????5252132且2322f????????????f????????????52f????????????32????????????3222????????????3294334
第二课时 分段函数
(一)教材梳理填空
如果函数 y＝f(x)，x∈A，根据自变量 x 在不同的取值范围内，
[对点练清]
1．[求函数值]已知函数 f(x)＝x＋x－1 2，x>2， 则 f(f(1))＝(
)
x2＋2，x≤2，
A．－12 C．4
B．2 D．11
解析：由函数的解析式可得，f(1)＝12＋2＝3，则 f(f(1))＝f(3) ＝3＋3－1 2＝4. 答案：C
x2＋2，x≤2，
2．[求自变量的值]函数 f(x)＝45x，x>2.
x2－1，－1＜x＜0 ________，值域为________．
的定义域为
[解析] 由已知定义域为{x|0＜x＜1}∪{0}∪{x|－1＜x＜0} ＝{x|－1＜x＜1}，即(－1,1)．
又 0＜x＜1 时，0＜－x2＋1＜1，－1＜x＜0 时，－1＜x2－1 ＜0，x＝0 时，f(x)＝0，故值域为(－1,0)∪{0}∪(0,1)＝(－1,1)．
若 f(x0)＝8，
则 x0＝________.
解析：当 x0≤2 时，f(x0)＝x20＋2＝8，即 x20＝6， ∴x0＝－ 6或 x0＝ 6(舍去)； 当 x0>2 时，f(x0)＝45x0＝8，∴x0＝10. 综上可知，x0＝－ 6或 x0＝10.
答案：－ 6或 10
x，x≤－2， 3．[分段函数与不等式]函数 f(x)＝x＋1，－2＜x＜4，
[对点练清]
1．[分段函数图象的识别]已知函数 f(x)＝xx＋2＋11，，xx∈∈[－0，1，1]0，]，
则函数 f(x)的图象是
()
解析：当 x＝－1 时，y＝0，即图象过点(－1,0)，D 错；当 x ＝0 时，y＝1，即图象过点(0,1)，C 错；当 x＝1 时，y＝2， 即图象过点(1,2)，B 错．故选 A. 答案：A
解：由已知定义域为[－1,1]∪(1，＋∞)∪(－∞，－1) ＝R.又 x∈[－1,1]时，x2∈[0,1]，故函数的值域为[0,1]．
题型二 分段函数求值问题 [学透用活]
[典例 2] 已知函数 f(x)＝xx＋2＋12，x，x≤－－2<2x，<2， 2x－1，x≥2.
(1)求 f(－5)，f(－
[典例 3] 如图，底角∠ABE＝45°的直角 梯形 ABCD，底边 BC 长为 4 cm，腰长 AB 为 2 2 cm，当一条垂直于底边 BC 的直线 l 从左 至右移动(与梯形 ABCD 有公共点)时，直线 l 把梯形分成两部分， 令 BE＝x，试写出阴影部分的面积 y 与 x 的函数关系式，并画 出函数大致图象．
答案：193
4．已知函数 f(x)＝3xx－，1x，≥x0<，0， 若 f(a)＋f(1)＝0，则实数 a 的值等于________． 解析：∵f(a)＋f(1)＝0，且 f(1)＝3， ∴f(a)＝－3.当 a≥0 时，由 f(a)＝3a＝－3，得 a＝－1， 不符合题意，舍去；当 a<0 时，由 f(a)＝a－1＝－3， 得 a＝－2.
[典例 1] (1)已知函数 f(x)＝|xx|，则其定义域为 ( )
A．R
B．(0，＋∞)
C．(－∞，0)
D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
[解析] 要使 f(x)有意义，需 x≠0， 故定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． [答案] D
－x2＋1，0＜x＜1， (2) 函 数 f(x) ＝ 0，x＝0，
x＋2，x＜0. 根据函数解析式作出函数图象，如图所示． 由图象可以看出，函数的值域为{y|y≤2}． 答案：{y|y≤2}
[方法技巧] 1．求分段函数函数值的方法 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间． (2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止． 当出现 f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． 2．已知函数值求字母取值的步骤 (1)先对字母的取值范围分类讨论． (2)然后代入到不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值． (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．
(1)分段函数是一个函数，切不可把它看成是几个函数．分段 函数在书写时要用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式， 并且必须指明各段函数自变量的取值范围．
(2)一个函数只有一个定义域，分段函数的定义域只能写成一 个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式．写分段函数的定 义域时，区间端点应不重不漏．
(3)求分段函数的值域，是分别求出各段上的值域后取并集．
[方法技巧]
分段函数图象的画法
(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝 对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后 分段作出函数图象．
(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每 一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定 义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实， 保证不重不漏．
[课堂一刻钟巩固训练]
一、基础经典题 1．下列给出的函数是分段＋，1x，≤11<，x≤5，
②f(x)＝x＋1，x∈R ， x2，x≥2，
③f(x)＝2xx2，＋x3≤，11，≤x≤5， ④f(x)＝xx2－＋13，，xx≥＜50.，
[答案] (－1,1) (－1,1)
[方法技巧] 求分段函数定义域、值域的策略
(1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集； (2)分段函数的值域是各段函数值域的并集； (3)绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来 解决．
[对点练清]
2x2，0≤x≤1， 1．函数 f(x)＝2，1＜x＜2，
2．[由函数的图象确定其解析式]已知函数 f(x)的 图象如图所示，则 f(x)的解析式是________．
解析：由图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x<0 时，
设 f(x) ＝ ax ＋ b ， 将 ( － 1,0) ， (0,1) 代 入 解 析 式 ， 则
－a＋b＝0， b＝1.
[解] 根据题意得，当直线 l 从点 B 移动到 点 A 时，0<x≤2，y＝12x2；
当直线 l 从点 A 移动到点 D 时，2<x≤4，y ＝12×2×2＋(x－2)·2，即 y＝2x－2.
所以阴影部分的面积 y 与 x 的函数关系式为 y＝
12x2，x∈0，2]，
函数图象如图所示．
2x－2，x∈2，4]，
3)，f f
－52的值；
[解] 由－5∈(－∞，－2]，－ 3∈(－2,2)，－52∈(－∞，
－2]，知 f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－ 3)＝(－ 3)2＋2×(－ 3)＝3－2 3.
∵f －52＝－52＋1＝－32，且－2<－32<2，
∴f
f
－52＝f
3x，x≥4， 若 f(a)＜－3，求 a 的取值范围．
解：当 a≤－2 时，f(a)＝a＜－3，此时不等式的解集是 (－∞，－3)； 当－2＜a＜4 时，f(a)＝a＋1＜－3，此时不等式无解； 当 a≥4 时，f(a)＝3a＜－3，此时不等式无解． 故 a 的取值范围是(－∞，－3)．
题型三 分段函数的图象及应用 [学透用活]
解析：由题意知 f(x)＝x0，，xx>＝00，， x，x<0，
则 f(x)的图象为 C 中图象所示． 答案：C
x2＋1，x≤1，
3．设函数 f(x)＝2x，x>1，
则 f(f(3))＝________.
解析：由题意知 f(3)＝23，则 f(f(3))＝f 23＝232＋1＝193.
答案：(－∞，0)∪(0，＋∞) {－2}∪(0，＋∞) 4．函数 f(x)＝x－＋x1＋，3x，≤x＞1，1， 则 f(f(4))＝________.
解析：∵f(4)＝－4＋3＝－1，f(－1)＝－1＋1＝0， ∴f(f(4))＝f(－1)＝0. 答案：0
题型一 分段函数的定义域、值域 [学透用活]
∴ab＝＝11，.
当 0≤x≤1 时，设 f(x)＝kx，将(1，－1)代入，则 k＝－1.
∴f(x)＝x－＋x1，，0－≤1x≤≤x1<. 0， 答案：f(x)＝x－＋x1，，0－ ≤1x≤ ≤x1<0，
3．[利用函数图象确定值域]设 x∈R ，则函数 y＝2|x－1|－3|x|
函数有着不同的 对应关系 ，称这样的函数为分段函数．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)分段函数由几个函数构成．
()
(2)分段函数有多个定义域．
()
(3)函数 f(x)＝x－＋x1＋，3x，≤x＞1，0 是分段函数． (4)函数 f(x)＝|x|可以用分段函数表示．
() ()
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
答案：－2
A．①②
B．①④
C．②④
D．③④
解析：对于②：取 x＝2，f(2)＝3 或 4，对于③：取 x＝1，
f(1)＝5 或 1，所以②③都不合题意． 答案：B
2．设 x∈R ，定义符号函数 sgn x＝10，，xx>＝00，， －1，x<0，
则函数 f(x)
＝|x|sgn x 的图象大致是
()
－32＝－322＋2×－32＝94－3＝－34.
(2)若 f(a)＝3，求实数 a 的值．
[解] 当 a≤－2 时，a＋1＝3，即 a＝2>－2，不合题意， 舍去；
当－2<a<2 时，a2＋2a＝3，即 a2＋2a－3＝0. ∴(a－1)(a＋3)＝0，得 a＝1 或 a＝－3. ∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)， ∴a＝1 符合题意； 当 a≥2 时，2a－1＝3，即 a＝2 符合题意． 综上可得，当 f(a)＝3 时，a＝1 或 a＝2.
3，x≥2
的值域是
()
A．R
B．[0，＋∞)
C．[0,3]
D．[0,2]∪{3}
解析：当 x∈[0,1]时，f(x)＝2x2∈[0,2]，所以函数 f(x)的值 域为[0,2]∪{2,3}＝[0,2]∪{3}．
答案：D
2．已知函数 f(x)＝x12，，x－＞11≤或xx≤＜1－，1， 求函数 f(x)的定义 域和值域．
2．f(x)＝|x－1|的图象是
()
解析：∵f(x)＝|x－1|＝x1－－1x，，xx≥＜11，， 当 x＝1 时，f(1) ＝0，可排除 A、C.又 x＝－1 时，f(－1)＝2，排除 D. 答案：B
3．函数 y＝x－2，2，x＞x＜0，0 的定义域为____________，值域为 ____________．
f????????????5252132且2322f????????????f????????????52f????????????32????????????3222????????????3294334
第二课时 分段函数
(一)教材梳理填空
如果函数 y＝f(x)，x∈A，根据自变量 x 在不同的取值范围内，
[对点练清]
1．[求函数值]已知函数 f(x)＝x＋x－1 2，x>2， 则 f(f(1))＝(
)
x2＋2，x≤2，
A．－12 C．4
B．2 D．11
解析：由函数的解析式可得，f(1)＝12＋2＝3，则 f(f(1))＝f(3) ＝3＋3－1 2＝4. 答案：C
x2＋2，x≤2，
2．[求自变量的值]函数 f(x)＝45x，x>2.
x2－1，－1＜x＜0 ________，值域为________．
的定义域为
[解析] 由已知定义域为{x|0＜x＜1}∪{0}∪{x|－1＜x＜0} ＝{x|－1＜x＜1}，即(－1,1)．
又 0＜x＜1 时，0＜－x2＋1＜1，－1＜x＜0 时，－1＜x2－1 ＜0，x＝0 时，f(x)＝0，故值域为(－1,0)∪{0}∪(0,1)＝(－1,1)．
若 f(x0)＝8，
则 x0＝________.
解析：当 x0≤2 时，f(x0)＝x20＋2＝8，即 x20＝6， ∴x0＝－ 6或 x0＝ 6(舍去)； 当 x0>2 时，f(x0)＝45x0＝8，∴x0＝10. 综上可知，x0＝－ 6或 x0＝10.
答案：－ 6或 10
x，x≤－2， 3．[分段函数与不等式]函数 f(x)＝x＋1，－2＜x＜4，
[对点练清]
1．[分段函数图象的识别]已知函数 f(x)＝xx＋2＋11，，xx∈∈[－0，1，1]0，]，
则函数 f(x)的图象是
()
解析：当 x＝－1 时，y＝0，即图象过点(－1,0)，D 错；当 x ＝0 时，y＝1，即图象过点(0,1)，C 错；当 x＝1 时，y＝2， 即图象过点(1,2)，B 错．故选 A. 答案：A
解：由已知定义域为[－1,1]∪(1，＋∞)∪(－∞，－1) ＝R.又 x∈[－1,1]时，x2∈[0,1]，故函数的值域为[0,1]．
题型二 分段函数求值问题 [学透用活]
[典例 2] 已知函数 f(x)＝xx＋2＋12，x，x≤－－2<2x，<2， 2x－1，x≥2.
(1)求 f(－5)，f(－
[典例 3] 如图，底角∠ABE＝45°的直角 梯形 ABCD，底边 BC 长为 4 cm，腰长 AB 为 2 2 cm，当一条垂直于底边 BC 的直线 l 从左 至右移动(与梯形 ABCD 有公共点)时，直线 l 把梯形分成两部分， 令 BE＝x，试写出阴影部分的面积 y 与 x 的函数关系式，并画 出函数大致图象．
答案：193
4．已知函数 f(x)＝3xx－，1x，≥x0<，0， 若 f(a)＋f(1)＝0，则实数 a 的值等于________． 解析：∵f(a)＋f(1)＝0，且 f(1)＝3， ∴f(a)＝－3.当 a≥0 时，由 f(a)＝3a＝－3，得 a＝－1， 不符合题意，舍去；当 a<0 时，由 f(a)＝a－1＝－3， 得 a＝－2.
[典例 1] (1)已知函数 f(x)＝|xx|，则其定义域为 ( )
A．R
B．(0，＋∞)
C．(－∞，0)
D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
[解析] 要使 f(x)有意义，需 x≠0， 故定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． [答案] D
－x2＋1，0＜x＜1， (2) 函 数 f(x) ＝ 0，x＝0，