高中二年级数学‘函数的单调性与导数’课程设计教案和和后练习.docx

高中二年级数学‘函数的单调性与导数’课程设计教案和和后练习
1．函数的单调性与其导数的关系
在某个区间(,)a b 内，如果_______，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果_______，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减.
注意：在某个区间内，()0f x '>（()0f x '<）是函数()f x 在此区间内单调递增（减）的充分条件，而不是必要条件.函数()f x 在(,)a b 内单调递增（减）的充要条件是()0f x '≥（()0f x '≤）在(,)a b 内恒成立，且()f x '在(,)a b 的任意子区间内都不恒等于0. 2．函数图象与()f x '之间的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较______，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些.
K 知识参考答案：
1．()0f x '> ()0f x '< 2．大
一、利用导数判断函数的单调性
1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式()0f x '>（()0f x '<）在给定区间上恒成立．一般步骤为：①求导数()f x '；②判断()f x '的符号；③给出单调性结论．
2．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集R 可以省略不写.在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.
3．当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“∪”连接．
【例2】已知函数3
2
2
()4361,,f x x tx t x t x =+-+-∈R 其中t ∈R . （1）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）当0t ≠时，求()f x 的单调区间.
二、函数与导函数图象之间的关系
判断函数与导数图象间对应关系时，首先要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象，其次对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.
【例3】设函数()
=的图象如图所示，则导
y f x
y f x
=在定义域内可导，()
函数'()
=可能为
y f x
A B C
D
【答案】D
【解析】本题主要考查导数图象的判定.根据题意，已知函数的图象，结合函数的单调性可知，在y轴左侧为增函数，导数恒大于等于零，排除A，C，然后在y轴右侧，函数先增后减再增，导数值先正后负再正，故可知排除B，满足题意的为D.
【名师点睛】常见的函数值变化快慢与导数的关系为：
对于①，函数值增加得越来越快，()0f x '>且越来越大； 对于②，函数值增加得越来越慢，()0f x '>且越来越小；
对于③，函数值减少得越来越快，()0f x '<且越来越小，绝对值越来越大； 对于④，函数值减少得越来越慢，()0f x '<且越来越大，绝对值越来越小.
三、导数在解决单调性问题中的应用
1．已知函数的单调性求参数的值或取值范围问题，是一类非常重要的题型，其基本解法是利用分离参数法，将()0f x '≥或()0f x '≤的参数分离，转化为求函数的最值问题. 2．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解.
【例4】已知函数2
()ln f x x x ax =++，a ∈R .若函数()f x 在其定义域上为增函数，求的取值范围.
()ln f x =∵函数(f x
()ln f x =方程22x +【例5】（2016·北京文科）设函数3
2
().f x x ax bx c =+++ （I ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；
（II ）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围； （III ）求证：230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.
【解析】（I ）由32()f x x ax bx c =+++，得2
()32f x x ax b '=++．
因为(0)f c =，(0)f b '=，
所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y bx c =+．
（II ）当4a b ==时，32()44f x x x x c =+++，所以2
()384f x x x '=++．
四、求函数单调区间时忽略函数的定义域
1．函数cos y x x =+在(,)-∞+∞内是
A ．增函数
B ．减函数
C ．先增后减
D ．先减后增
2．已知函数()y f x =的图象如图所示，则函数()y f x '=的图象可能是
A B C
D
3．定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数为()y f x '=，且满足()()f x f x '>，
(0)2f =，则不等式()2e x f x <的解集为
A ．(,0)-∞
B ．(,2)-∞
C ．(0,)+∞
D ．(2,)+∞ 4．若函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞上单调递增, 则实数的取值范围是
A ．(,2]-∞-
B ．(,1]-∞-
C ．[2,)+∞
D ．[1,)+∞ 5．函数2
()2ln f x x x =-，(0,)x ∈+∞的单调递减区间为 ．
6．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()1f x '<，若(1)()12f m f m m -->-，则实数m 的取值范围是__________．
7．已知1x >，证明：1
ln 1x x
+>.
8．已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++，试讨论()f x 的单调性.
9．已知函数3
21()5(0)3
f x ax x a =
-+>在(0,2)上不单调，则的取值范围是 A ．01a << B ．1
02
a <<
C ．1
12
a << D ．1a >
10．已知函数()y f x =为定义在实数集R 上的奇函数，且当(,0)x ∈-∞时，'()()xf x f x <-
（其中'()f x 是()f x 的导函数），若a =，(lg3)(lg3)b f =，
2211
(log )(log )44
c f =，则
A ．c a b >>
B ．c b a >>
C ．a b c >>
D ．a c b >>
11．已知函数()y f x =是R 上的可导函数，当0x ≠1
()()F x xf x =+
的零点个数是______.
12
（1）求函数()g x 的单调区间；
（2）若函数()f x 在(1,)+∞上是减函数，求实数a 的最小值．
13．（2015·陕西文科）设()sin f x x x =-，则()f x
A ．既是奇函数又是减函数
B ．既是奇函数又是增函数
C ．是有零点的减函数
D ．是没有零点的奇函数
14．（2016·新课标全国Ⅰ文科）若函数1
()sin 2sin 3
f x x x a x =-+在(,)-∞+∞单调递增，
则a 的取值范围是 A ．[1,1]-
B ．1[1,]
3- C ．11
[,]33-
D ．1[1,]
3--
15．（2016·新课标全国Ⅰ文科）已知函数2
()(2)e (1)x f x x a x =-+-.
（I ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）若()f x 有两个零点，求的取值范围.
1．A 【解析】因为1sin 0y x '=-≥恒成立，所以函数cos y x x =+在(,)-∞+∞内是增函数，故选A.
2．B 【解析】由()y f x =的图象及导数的几何意义可知，当0x <时，()0f x '>；当0x =时，()0f x '=；当0x >时，()0f x '<，故B 符合.
3．C 0<，()F x 在R 上单调递
4．D 在区间(1,)+∞上单调递增，∴
()0f x '≥在区间(1,)+∞
上恒成立，∴x k 1≥
，而x
y 1
=在区间(1,)+∞上单调递减，∴1≥k ．∴的取值范围是[1,)+∞．故选D ．
5．1
(0,)2（也可写为1(0,]2）
(0,)x ∈+∞，则x
6．),21
(+∞
【解析】令()()F x f x x =-,则()()10F x f x ''=-<,故函数()()F x f x x
=-在R 上单调递减,又由题设知(1)()12f m f m m -->-，则)()1(m F m F >-,故
m m <-1,即2
1
>
m ． 7．【解析】令1()ln (1)f x x x x =+>，则22111
()x f x x x x
-'=-=.
∵1x >，∴()0f x '>， ∴1
()ln f x x x
=+
在(1,)+∞上单调递增， ∴()(1)ln111f x f >=+=. 从而1
ln 1x x
+
>，命题得证． 8．【解析】(2)(1)'()2(2)a x a x f x x a x x
--=-++
=，0x >. 当0a ≤时，易知()f x 在(0,1)上为减函数，在[1,)+∞上为增函数；
当02a <<时，()f x 在(0,)2a 上为增函数，在[,1]2
a
上为减函数，在(1,)+∞上为
增函数；
当2a =时，()f x 在(0,)+∞上为增函数；
当2a >时，()f x 在(0,1)上为增函数，在[1,]2a 上为减函数，在(),2
a
+∞上为增
函数.
9．D 【解析】由3
21()5(0)3
f x ax x a =-+>得2()2f x ax x '=-.因为函数()f x 在(0,2)上不单调，所以
()f x '在(0,2)上存在零点，而0a >，所以2
02a
<
<，解得1a >.故选D .
10．A 【解析】因为()f x 是奇函数，则()()f x f x -=-，则不等式'()()xf x f x <-为
'()()xf x f x <-，即'()()0x f x f x +<.设()()g x xf x =，则()g x 是偶函数，又
'()'()
()0g x x f x f x =+<，所以()g x 是(,0)-∞上的减函数，是(0,)+∞上的增函数，
2
1
log 24
=-，
21
(log )(2)(2)
4
g g g =-=，
又
23l g 3>>，所
以
(2)(lg 3)g g g >>，即c a b >>．故选A ．
11．1 【解析】
令，得1
()xf x x
=-.设()()g x xf x =，则()()()
g x f x x f x ''=+， ∵0x ≠
0x ≠
0x >时，()0g x '>，
此时函数()()g x xf x =单调递增，()g(0)0g x >=；当0x <时，()0g x '<，此时函数()()g x xf x =单调递减，()g(0)0g x >=，结合函数1
y x
=-的图象，可知在区间(),0-∞上函数()()g x xf x =和1y x =-的图象有一个交点，即1
()()F x xf x x
=+的
零点个数是.
12．【解析】（1）由已知得函数)(x g 的定义域为),1()1,0(+∞ ,
2
2)(ln 1ln )(ln 1
ln )(x x x x x x x g -=⋅
-=
',
当e >x 时,0)(>'x g ，所以函数)(x g 的单调递增区间是),e (+∞；
当e 0<<x 且1≠x 时,0)(<'x g ，所以函数)(x g 的单调递减区间是)e ,1(),1,0(. （2）因为()f x 在(1,)+∞上为减函数，且ax x
x
x f -=
ln )(， 在(1,)+∞上恒成立．
所以当(1,)x ∈+∞时，max ()0f x '≤．
a
13．B 【解析】因为()sin()(sin )()f x x x x x f x -=---=--=-，所以()f x 是奇函数.又()1cos 0f x x '=-≥，所以()f x 单调递增，故()f x 既是奇函数又是增函数.
14． C 【解析】()
2
1c o s 2c o s 03
f x x a x '=-+≥对x ∈R 恒成立，故
221(2cos 1)cos 03x a x --+≥，即245
cos cos 033a x x -+≥恒成立，即
245033t at -++≥对[1,1]t ∈-恒成立，构造245
()33f t t at =-++，开口向下的二次函数()f t 的最小值的可能值为端点值，故只需保证1(1)03
1(1)0
3f a f a ⎧
-=-≥⎪⎪⎨⎪=+≥⎪⎩
，解得
11
33
a -≤≤．故选C ． 15．【解析】（I ）()()()()()
'1e 211e 2.x x f x x a x x a =-+-=-+
（i ）设0a ≥，则当(),1x ∈-∞时，()'0f x <；当()1,x ∈+∞时，()'0f x >. 所以()f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增. （ii ）设0a <，由()'0f x =得1x =或()ln 2x a =-.
①若e
2a =-
，则()()()'1e e x f x x =--，所以()f x 在(),-∞+∞上单调递增. ②若e
2
a >-，则()ln 21a -<，故当()()(),ln 21,x a ∈-∞-+∞时，()'0f x >；
当()()
ln 2,1x a ∈-时，()'0f x <，所以()f x 在()()
(),ln 2,1,a -∞-+∞上单调递增，在()()
ln 2,1a -上单调递减. ③若e
2
a <-
，则()ln 21a ->，故当()()(),1ln 2,x a ∈-∞-+∞时，()'0f x >，当
()()1,ln 2x a ∈-时，()'0f x <，所以()f x 在()()(),1,ln 2,a -∞-+∞上单调递增，在
()()1,ln 2a -上单调递减.
（Ⅱ）（i ）设0a >，则由（I ）知，()f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增.
又()()e 12f f a =-=，，取b 满足b <0且ln 2
a b <， 则()()()2
2321()022
a f
b b a b a b b >
-+-=->，所以()f x 有两个零点. （ii ）设a =0，则()()2e x
f x x =-，所以()f x 只有一个零点. （iii ）设a <0，若e
2
a ≥-
，则由（I ）知，()f x 在()1,+∞上单调递增. 又当1x ≤时，()0f x <，故()f x 不存在两个零点； 若e
2
a <-，则由（I ）知，()f x 在()()1,ln 2a -上单调递减，在()()ln 2,a -+∞上单调递增.
又当1x ≤时()0f x <，故()f x 不存在两个零点. 综上，a 的取值范围为()0,+∞.
【名师点睛】本题第（I ）问是用导数研究函数的单调性，对含有参数的函数单调性的确定，通常要根据参数进行分类讨论，要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第（Ⅱ）问是求参数的取值范围，由于这类问题常涉及导数、函数、不等式等知识，越来越受到高考命题者的青睐，解决此类问题的思路是构造适当的函数，利用导数研究函数的单调性破解.。