2023年中考数学专题复习：一道关于中位线的探究题详解(含答案)

图（1）
一道关于中位线的探究题详解
三角形的中位线定理是一个很重要且有趣的定理,定理内容包含了两条线段之间的数量关系和位置关系,有着非常重要的应用.对中位线定理的考查,出现了中位线模型.
三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.
几何图形的美,在于对称美,对于圆来说,它既是轴对称图形（经过圆心的直线都是圆的对称轴,圆有无数条对称轴）,又是中心对称图形（对称中心是圆心）,所以人们称圆是最完美的几何图形.
当然,人们对圆的赞美绝不仅仅在于它的对称性,而更在于有关圆的性质定理和结论有着非常重要且广泛的应用,这样的例子很多.下面的问题通过添加圆辅助线,能巧妙地解决几何中的某些最值问题.
与圆有关的重要结论
如图（1）所示,点P 是⊙O 外一点,
点A 是⊙O 上一动点,连结OA 、P A ,则 有下列重要结论:
（1）当点A 为OP 与⊙O 的交点时,线段P A 的长度取得最小值,如图（2）所示; （2）当点A 为PO 的延长线与⊙O 的交点时,线段P A 的长度取得最大值,如图（3）所示.
图（2）
图（3
）
例 【教材呈现】如图是华师九年级上册数学教材第77页的部分内容
【定理证明】
（1）请根据材料内容,结合图①,写出证明过程. 【定理应用】
（2）如图②,四边形ABCD 中,M 、N 、P 分别为AD 、BC 、BD 的中点,边BA 、CD 的延长线交于点E ,︒=∠45E ,则MPN ∠的度数是_________.
（3）如图③,矩形ABCD 中,3,4==AD AB ,点E 在边AB 上,且BE AE 3=.
将线段AE 绕点A 旋转一周,得到线段AF ,M 是线段CF 的中点,直接写出旋转过程中线段BM 长的最大值和最小值.
图 ①
E
D
B
C
A
图 ②
N P
M E
B
C
D
A
图 ③
（1）证明:∵点D 、E 分别是AB 、AC 的中点 ∴
2
1
==AC AE AB AD ∵A A ∠=∠ ∴△ADE ∽△ABC
∴21
,
==∠=∠AB AD BC DE ABC ADE ∴BC DE BC DE 2
1
,//=.
（2）解:︒135;
提示 方法一:如图所示,延长MP 交BC 于点G .
∵M 、N 、P 分别为AD 、BC 、BD 的中点 ∴CD PN AB PM //,//
∴ECB PNG EBC PGN ∠=∠∠=∠, ∵︒=∠45E
∴︒=︒-︒=∠+∠13545180ECB EBC ∵PNG PGN MPN ∠+∠=∠ ∴︒=∠+∠=∠135ECB EBC MPN .
方法二: 如图所示,延长PM 、NP ,分别交CE 、BE 于点G 、H ∵M 、N 、P 分别为AD 、BC 、BD 的中点 ∴CD PN AB PM //,// ∴CE NH BE PG //,// ∴1,1∠=∠∠=∠GPH E ∴︒=∠=∠45E GPH ∴︒=︒-︒=∠13545180MPN .
（3）解: BM 长的最大值为4,最小值为1. 提示 方法一: 连结AC ,取AC 的中点O , 连结OM 、OB
由题意可知,OM 是△ACF 的中位线 ∴2
32121===
AE AF OM 在Rt △ABC 中,由勾股定理得:
5342
222=+=+=BC AB AC ∴2
521==
AC OB 显然,在旋转的过程中,点M 在以点O 为圆心,以
2
3
的长为半径的⊙O 上 当点M 为BO 的延长线与⊙O 的
交点时,BM 的长取得最大值,最大值为42
5
23=+=
+=OB OM BM ,当点M 为OB
与⊙O 的交点时,BM 的长取得最小值,最小值为12
3
25=-=
-=OM OB BM . 方法二: 延长CB 至点G ,连结GF ,构造以点A 为圆心,以AF 的长为半径的圆,如图所示,连结AG ,由勾股定理求得5=AG
易知BM 是△CFG 的中位线,所以GF BM 2
1
=
,故BM 的最值取决于GF 的最值. 当点F 为GA 的延长线与⊙A 的交点时,GF 的长取得最大值,最大值为:
N
835=+=+=AF AG GF ,所以BM 的长的最大值为4;当点F 为AG 与⊙A 的交点时,GF 的长取得最小值,最小值为235=-=-=AF AG GF ,所以BM 的长的最小值为1. 练习
1. 如图（4）所示, AB 是半圆O 的直径,AB =6,P A 为⊙O 的切线,P A =4,点C 为⊙O 上一动点,则PC 的最小值为________.
图（4）
2. 如图（5）所示,正方形ABCD 的边长为2,点E 、F 为AD 边上的两个动点,且AE =DF ,连结BD 、BE 、CF ,BD 与CF 交于点G ,连结AG ,交BE 于点H ,则线段DH 的最小值是________.
图（5）
H
G
F D
A
B
C
E
3. 如图（6）所示,在边长为2的菱形ABCD 中,∠A =60°,点M 是AD 边的中点,点N 是AB 边上的一动点,将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ′MN ,则A ′C 长度的最小值是________.
解析
1. 解:连结OP ,与半圆O 交于点C ,此时PC 取得最小值. ∵P A 是⊙O 的切线 ∴AB PA ⊥
在Rt △AOP 中,由勾股定理得:
5342222=+=+=OA PA OP ∴235=-=-=OC OP PC 即PC 的最小值为2.
2. 解:∵四边形ABCD 为正方形
∴︒=∠=∠︒=∠=∠==45,90,CDG ADG CDF BAE DC DA AB 在△ABE 和△DCF 中
∵⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=DC AB CDF BAE DF AE ∴△ABE ≌△DCF （SAS ） ∴21∠=∠
同理可证:△ADG ≌△CDG
∴32∠=∠ ∴31∠=∠
∵︒=∠+∠903BAH ∴︒=∠+∠901BAH ∴︒=∠90AHB
∴点H 在以AB 为直径的⊙O 上
如图所示,连结OD ,当点H 为OD 与⊙O 的交点时,DH 取得最小值. 在Rt △AOD 中,由勾股定理得:
5122222=+=+=OA AD OD ∴15-=-=OH OD DH . 即DH 的最小值为15-.
3. 解: ∵点M 是AD 边的中点 ∴1==DM AM 由折叠可知:M A AM '= ∴M A DM AM '==
∴点A 、D 、'A 在以点M 为圆心,以AM 的长为半径的圆上,如左图所示. 当点'A 为CM 与⊙M 的交点时,C A '的长取得最小值.
过点M 作CD ME ⊥,交CD 的延长线于点E . ∵四边形ABCD 为菱形 ∴AB CD //
∴︒=∠=∠60EDM A ∴︒=∠30DME
∴2
5212,2121=+
=+===DE CD CE DM DE ∴232112
2
2
2
=⎪⎭⎫
⎝⎛-=-=DE DM ME
在Rt △CEM 中,由勾股定理得:
723252
2
22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=ME CE CM ∴17''-=-=M A CM C A 即C A '的最小值为17-.。